IB Aplicaciones e Interpretación NM · Trigonometría · Apartado 3 de 4

Resolución de cualquier triángulo: teoremas del seno y del coseno

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Las razones trigonométricas del triángulo rectángulo no bastan cuando el triángulo no tiene ángulo recto. Los teoremas del seno y del coseno permiten hallar cualquier lado o ángulo desconocido de cualquier triángulo a partir de tres datos. En el examen del IB aparecen en mapas, distancias entre puntos, cables y terrenos, casi siempre con una figura y con la CPG.

Notación estándar de un triángulo

En un triángulo $A B C$ se llama $a$ al lado opuesto al vértice $A$ , $b$ al opuesto a $B$ y $c$ al opuesto a $C$ . Las letras mayúsculas nombran vértices (y sus ángulos) y las minúsculas, longitudes. «Opuesto» significa que el lado no toca ese vértice.

Triángulo ABC con los lados a, b y c opuestos a los vértices A, B y C

Los dos teoremas relacionan estas seis medidas. Resolver un triángulo es hallar todas las que falten. Recuerda además que los tres ángulos suman $18 0^{\circ}$ y que el lado mayor siempre se opone al ángulo mayor.

Teorema del seno

La idea es que, en un mismo triángulo, a mayor ángulo corresponde mayor lado, y el cociente entre ambos es una constante. Se demuestra trazando la altura $h$ desde $C$ : vale $h = b sin A$ y también $h = a sin B$ , de donde $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ .

Para usarlo hacen falta dos pares «lado y ángulo opuesto», uno completo y otro con una sola incógnita. Por eso sirve en dos situaciones:

Dos ángulos y un lado (cualquiera). El tercer ángulo sale de la suma $18 0^{\circ}$ y ya tienes los pares necesarios.
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Aquí hay que tener cuidado, porque puede haber dos triángulos.

El caso ambiguo

Supón que conoces el ángulo $A$ y los lados $b$ (el que toca $A$ ) y $a$ (el opuesto a $A$ ). Imagina el lado $b$ fijo sobre un rayo desde $A$ , con su extremo en $C$ . El lado $a$ es un segmento de longitud fija que sale de $C$ y debe llegar a la otra semirrecta que sale de $A$ . Según su longitud, puede tocarla en ninguno, uno o dos puntos.

Dos posiciones B1 y B2 del vértice B para los mismos valores de A, a y b

La altura desde $C$ vale $h = b sin A$ y marca el límite:

En el caso de dos triángulos, el teorema del seno da $sin B = \frac{b sin A}{a}$ , y esta ecuación tiene dos soluciones entre $0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ : $B_{1} = sin^{- 1} (\frac{b sin A}{a}) y B_{2} = 18 0^{\circ} - B_{1}$ Ambos valen porque $sin B_{1} = sin (18 0^{\circ} - B_{1})$ . La calculadora solo te da $B_{1}$ (agudo): el obtuso $B_{2}$ hay que obtenerlo tú. Después se descarta cualquier solución con la que $A + B$ sume $18 0^{\circ}$ o más. Con $a \geq b$ esto ocurre siempre con $B_{2}$ , por eso solo queda una solución.

Teorema del coseno

El teorema del seno necesita un par «lado y ángulo opuesto» completo. Cuando no lo tienes, hace falta otra herramienta.

Fíjate en que el ángulo del segundo miembro es siempre el opuesto al lado del primer miembro, y que los otros dos lados son los que lo forman. Si $A = 9 0^{\circ}$ , el término con el coseno vale 0 y queda $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ : el teorema de Pitágoras es un caso particular. El término con el coseno hace de «corrección» respecto a Pitágoras: si $A$ es agudo se resta algo y $a^{2}$ queda menor que $b^{2} + c^{2}$ ; si $A$ es obtuso, el coseno es negativo y $a^{2}$ queda mayor.

Se usa en estas dos situaciones:

Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (el que forman). Se obtiene el tercer lado.
Los tres lados. Se obtiene cualquier ángulo despejando el coseno.

Elegir entre los dos teoremas

Mira qué datos tienes y qué buscas:

Datos	Teorema	Qué se obtiene
Dos ángulos y un lado	Seno	Los otros lados
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos	Seno (cuidado: caso ambiguo)	El otro ángulo opuesto
Dos lados y el ángulo que forman	Coseno	El tercer lado
Los tres lados	Coseno	Un ángulo

En muchos problemas se encadenan: el coseno da el primer dato que falta y después el seno completa el resto. Cuando haya que hallar un ángulo y dudes, usa el coseno: su función inversa devuelve ángulos entre $0^{\circ}$ y $18 0^{\circ}$ , así que reconoce los obtusos sin ambigüedad. Con el seno, un resultado agudo puede esconder un obtuso.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dos ángulos y un lado

En un triángulo $A B C$ se sabe que $A = 4 8^{\circ}$ , $B = 7 1^{\circ}$ y que el lado opuesto a $A$ mide $a = 12$ cm.

a) Calcula el ángulo $C$ .

b) Calcula el lado $b$ .

c) Calcula el lado $c$ .

Da los lados con 3 cifras significativas.

Solución

a) Los ángulos suman $18 0^{\circ}$ , luego $C = 18 0^{\circ} - 4 8^{\circ} - 7 1^{\circ} = 6 1^{\circ}$ .

b) Se conoce el par $a$ y $A$ , así que sirve el teorema del seno: $\frac{b}{sin 7 1 ^{\circ}} = \frac{12}{sin 4 8 ^{\circ}} \Rightarrow b = \frac{12 sin 7 1 ^{\circ}}{sin 4 8 ^{\circ}} \approx 15, 3 cm$

c) De la misma forma, $c = \frac{12 sin 6 1 ^{\circ}}{sin 4 8 ^{\circ}} \approx 14, 1 cm$

Comprobación: el lado mayor es $b$ , que se opone al ángulo mayor $B = 7 1^{\circ}$ .

Ejemplo 2 Medio

Dos barcos desde un puerto

Desde un puerto $A$ salen dos barcos. El barco $B$ navega 7,5 km y el barco $C$ navega 11 km. Las dos rutas forman entre sí un ángulo de $6 4^{\circ}$ . Se llama $B C$ a la distancia que los separa al final.

a) Calcula la distancia $B C$ .

b) Calcula el ángulo en $B$ del triángulo $A B C$ .

c) Calcula el ángulo en $C$ .

Da las distancias con 3 cifras significativas y los ángulos con 3 cifras significativas.

Solución

Se conocen dos lados y el ángulo que forman, así que se empieza con el teorema del coseno.

a) Con $a = B C$ , $b = 11$ , $c = 7, 5$ y $A = 6 4^{\circ}$ : $a^{2} = 1 1^{2} + 7, 5^{2} - 2 \cdot 11 \cdot 7, 5 cos 6 4^{\circ} \approx 104, 9 \Rightarrow a \approx 10, 2 km$

b) Ahora se conocen los tres lados y se despeja el ángulo $B$ con el coseno (usando el valor sin redondear de $a$ ): $cos B = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{2 a c} \approx 0, 2614 \Rightarrow B \approx 74, 8^{\circ}$

c) $C = 18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} - 74, 8^{\circ} = 41, 2^{\circ}$ .

Comprobación con el seno: $\frac{sin C}{7 , 5} = \frac{sin 6 4 ^{\circ}}{10 , 24}$ da $C \approx 41, 2^{\circ}$ , y el lado mayor $b = 11$ se opone al ángulo mayor $B$ .

Ejemplo 3 Difícil

Un cable que puede cerrarse de dos formas

Un cable de 14 m une el punto $C$ de una torre con un punto $B$ del suelo. Un observador está en un punto $A$ del suelo, situado a 18 m de $C$ en línea recta, y el ángulo en $A$ entre el suelo y la visual hacia $C$ es de $4 0^{\circ}$ . El punto $B$ está en el suelo, sobre la semirrecta que sale de $A$ , sin que se sepa en qué lado de la altura de $C$ cae.

a) Halla los dos valores posibles del ángulo $A B C$ .

b) Halla las dos distancias posibles $A B$ .

c) Si el cable midiera 10 m en lugar de 14 m, ¿cuántos triángulos $A B C$ serían posibles? Da el número.

Da los ángulos y las longitudes con 3 cifras significativas.

Solución

Se conocen $A = 4 0^{\circ}$ , $b = A C = 18$ y $a = B C = 14$ : dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Es el caso ambiguo.

a) Se comprueba que hay dos triángulos: la altura desde $C$ es $h = 18 sin 4 0^{\circ} \approx 11, 57$ y se cumple $11, 57 < 14 < 18$ . Por el teorema del seno, $sin B = \frac{18 sin 4 0 ^{\circ}}{14} \approx 0, 8265 \Rightarrow B_{1} \approx 55, 7^{\circ}$ El otro ángulo es $B_{2} = 18 0^{\circ} - 55, 7^{\circ} = 124, 3^{\circ}$ . Ambos valen: $4 0^{\circ} + 124, 3^{\circ} < 18 0^{\circ}$ .

b) En cada triángulo, $C = 18 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - B$ .

Con $B_{1}$ : $C_{1} \approx 84, 3^{\circ}$ y $A B = \frac{14 sin 84 , 3 ^{\circ}}{sin 4 0 ^{\circ}} \approx 21, 7$ m.

Con $B_{2}$ : $C_{2} \approx 15, 7^{\circ}$ y $A B = \frac{14 sin 15 , 7 ^{\circ}}{sin 4 0 ^{\circ}} \approx 5, 91$ m.

c) Con $a = 10$ se tiene $a < 18 sin 4 0^{\circ} \approx 11, 57$ : el cable no llega al suelo. Esto también se ve porque $sin B = \frac{18 sin 4 0 ^{\circ}}{10} \approx 1, 157 > 1$ , imposible. Hay 0 triángulos.

En el examen: cuando el enunciado dé dos lados y un ángulo no comprendido, escribe que hay dos soluciones y calcula ambas; si el contexto (o el dibujo) descarta una, di por qué. Dar solo el ángulo agudo deja el apartado incompleto.

Errores típicos

Resumen

Notación: el lado $a$ es opuesto al ángulo $A$ , el $b$ al $B$ y el $c$ al $C$ ; los tres ángulos suman $18 0^{\circ}$ .
Teorema del seno: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$ . Se usa con dos ángulos y un lado, o con dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Caso ambiguo (dos lados y un ángulo opuesto): según $a$ frente a $b sin A$ y a $b$ , salen 0, 1 o 2 triángulos; el segundo ángulo es $18 0^{\circ} - B_{1}$ .
Teorema del coseno: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ . Se usa con dos lados y el ángulo que forman, o con los tres lados; en este último caso $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Para hallar un ángulo, el coseno distingue agudos y obtusos; el seno no.
Con la CPG: modo grados, no redondear en los pasos intermedios y escribir la ecuación planteada.

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