IB Aplicaciones e Interpretación NM · Trigonometría · Apartado 1 de 4

Conocimientos previos: Pitágoras, semejanza, arcos y sectores

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Antes de usar seno, coseno y tangente necesitas cinco herramientas que ya conoces de la ESO: la suma de los ángulos de un triángulo, el teorema de Pitágoras, la semejanza, los grados con minutos y segundos, y las fórmulas del arco y del sector circular. En el examen del IB aparecen solas en problemas fáciles y casi siempre mezcladas con otros apartados de trigonometría.

Los ángulos de un triángulo

Una forma de verlo: si recortas las tres esquinas de un triángulo de papel y las juntas por el vértice, forman una línea recta, es decir, medio giro.

En un triángulo rectángulo uno de los ángulos mide $9 0^{\circ}$ , así que los otros dos suman $9 0^{\circ}$ . Dos ángulos que suman $9 0^{\circ}$ se llaman complementarios: si uno mide $α$ , el otro mide $9 0^{\circ} - α$ .

El teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa y siempre es el más largo. Los otros dos son los catetos.

Triángulo rectángulo con catetos a y b, hipotenusa c y ángulos agudos alfa y beta

Para hallar un cateto se despeja: $a = c^{2} - b^{2}$ . Por ejemplo, con hipotenusa $10$ y un cateto $6$ , el otro cateto es $100 - 36 = 8$ .

Cuando los lados dependen de $x$ . En muchos problemas los lados se dan como expresiones como $x$ , $x + 1$ , $x + 9$ . Se escribe Pitágoras con esas expresiones, se desarrollan los cuadrados y queda una ecuación cuadrática. La hipotenusa es el lado más largo, así que va sola en el miembro izquierdo.

Triángulos semejantes

Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma aunque distinto tamaño: uno es una ampliación o reducción del otro.

El cociente común de las razones es la razón de semejanza: si es $2$ , todos los lados del triángulo grande miden el doble que los del pequeño. Así se calculan alturas que no se pueden medir de forma directa: un objeto y su sombra forman con el suelo y el sol un triángulo semejante al de otro objeto y su sombra a la misma hora.

Medir ángulos: grados, minutos y segundos

El ángulo se mide en grados sexagesimales: una vuelta completa son $36 0^{\circ}$ . Para mayor precisión cada grado se divide en $60$ minutos y cada minuto en $60$ segundos: $1^{\circ} = 6 0^{'} 1^{'} = 6 0^{''}$

Para pasar de grados, minutos y segundos a grados decimales, divides los minutos entre $60$ y los segundos entre $3600$ . Por ejemplo, $2 0^{\circ} 3 0^{'} 1 8^{''} = 20 + \frac{30}{60} + \frac{18}{3600} = 20, 50 5^{\circ}$ . Para el camino inverso, la parte decimal se multiplica por $60$ y da los minutos; la parte decimal de estos, por $60$ , da los segundos.

Longitud de arco y área de un sector

Un arco es un trozo de circunferencia y un sector circular es la región entre dos radios y su arco, como una porción de pizza.

Sector circular de centro O, radio r y ángulo theta, con el arco de longitud L

La idea es proporcional. Un ángulo de $θ^{\circ}$ es la fracción $\frac{θ}{360}$ de una vuelta completa, así que el arco es esa fracción de la circunferencia y el sector es esa fracción del círculo.

Por ejemplo, un sector de $9 0^{\circ}$ y radio $4$ es un cuarto del círculo: $L = \frac{1}{4} \cdot 2 π \cdot 4 = 2 π$ y $A = \frac{1}{4} \cdot π \cdot 16 = 4 π$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Triángulo rectángulo y ángulos

a) En un triángulo, dos ángulos miden $5 2^{\circ}$ y $7 1^{\circ}$ . Calcula el tercero.

b) Un triángulo rectángulo tiene catetos de $20 cm$ y $21 cm$ . Calcula la hipotenusa.

c) Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide $3 7^{\circ}$ . Calcula el otro.

Solución

a) Los tres ángulos suman $18 0^{\circ}$ : $18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} - 7 1^{\circ} = 5 7^{\circ}$ .

b) Con Pitágoras, $c^{2} = 2 0^{2} + 2 1^{2} = 400 + 441 = 841$ , luego $c = 841 = 29 cm$ .

c) Los ángulos agudos son complementarios: $9 0^{\circ} - 3 7^{\circ} = 5 3^{\circ}$ .

Ejemplo 2 Medio

Una sombra y un ángulo

Una persona de $1, 8 m$ de altura proyecta una sombra de $2, 4 m$ . En ese mismo momento, un árbol proyecta una sombra de $10 m$ .

a) Calcula la altura del árbol.

b) Un instrumento marca un ángulo de $3 5^{\circ} 2 4^{'} 3 6^{''}$ . Exprésalo en grados decimales.

c) Expresa $72, 35 5^{\circ}$ en grados, minutos y segundos.

Solución

a) A la misma hora los rayos del sol llegan con la misma inclinación, así que los triángulos formados por cada objeto y su sombra son semejantes (los dos tienen un ángulo recto y el mismo ángulo en el suelo). Con $h$ la altura del árbol: $\frac{h}{10} = \frac{1 , 8}{2 , 4} \Rightarrow h = \frac{1 , 8 \cdot 10}{2 , 4} = 7, 5 m$

b) $35 + \frac{24}{60} + \frac{36}{3600} = 35 + 0, 4 + 0, 01 = 35, 4 1^{\circ}$ .

c) Los grados enteros son $7 2^{\circ}$ . La parte decimal $0, 35 5^{\circ}$ se multiplica por $60$ : $0, 355 \cdot 60 = 21, 3^{'}$ , es decir, $2 1^{'}$ y una parte decimal $0, 3^{'}$ . Se multiplica esta por $60$ : $0, 3 \cdot 60 = 1 8^{''}$ . Resulta $7 2^{\circ} 2 1^{'} 1 8^{''}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Un parque con un triángulo y un parterre

En un parque hay una zona triangular con un ángulo recto. Sus lados miden $x$ , $(x + 1)$ y $(x + 9)$ metros, donde $x$ es positivo. Junto a ella se construye un parterre con forma de sector circular, de ángulo central $8 0^{\circ}$ y cuyo radio es la longitud, en metros, del lado más largo del triángulo.

a) Escribe una ecuación cuadrática en $x$ y halla el valor de $x$ .

b) Calcula la longitud del arco del parterre, con dos cifras decimales.

c) Calcula el área del parterre, con dos cifras decimales.

Solución

a) El lado más largo es la hipotenusa, $x + 9$ . Por Pitágoras: $(x + 9)^{2} = x^{2} + (x + 1)^{2}$ Desarrollando, $x^{2} + 18 x + 81 = 2 x^{2} + 2 x + 1$ . Pasando todo a un miembro: $x^{2} - 16 x - 80 = 0 \Rightarrow (x - 20) (x + 4) = 0$ Las soluciones son $x = 20$ y $x = - 4$ . Como una longitud es positiva, $x = 20$ . Los lados miden $20$ , $21$ y $29$ metros, y se cumple $2 0^{2} + 2 1^{2} = 841 = 2 9^{2}$ .

b) El radio es la hipotenusa, $r = 29 m$ . La longitud del arco es $L = \frac{80}{360} \cdot 2 π \cdot 29 = \frac{116 π}{9} \approx 40, 49 m$

c) El área del sector es $A = \frac{80}{360} \cdot π \cdot 2 9^{2} = \frac{2}{9} π \cdot 841 \approx 587, 13 m^{2}$

En el examen: se puntúa escribir la ecuación de Pitágoras con la hipotenusa en el lugar correcto, resolver la cuadrática y rechazar la solución negativa. Para las fórmulas del arco y del sector, escribe la sustitución antes del resultado y redondea solo al final, sin usar valores ya redondeados.

Errores típicos

Resumen

Los ángulos de un triángulo suman $18 0^{\circ}$ ; los dos agudos de un triángulo rectángulo suman $9 0^{\circ}$ (son complementarios).
Pitágoras: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , con $c$ la hipotenusa. Si los lados dependen de $x$ , sale una cuadrática: desarrolla bien y descarta las soluciones negativas.
Triángulos semejantes: ángulos iguales y razones iguales entre lados correspondientes.
$1^{\circ} = 6 0^{'}$ y $1^{'} = 6 0^{''}$ . Para pasar a decimal: minutos entre $60$ y segundos entre $3600$ .
Arco: $L = \frac{θ}{360} \cdot 2 π r$ . Área del sector: $A = \frac{θ}{360} \cdot π r^{2}$ . Perímetro del sector: $2 r + L$ .
Con la CPG, comprueba siempre que está en modo grados antes de usar ángulos.

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