Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

Los tres lados según el ángulo que mires

En un triángulo rectángulo, el lado más largo, el que está frente al ángulo recto, es la hipotenusa. Los otros dos son los catetos. Sus nombres de «opuesto» y «adyacente» dependen del ángulo agudo $\theta$ que elijas como referencia:

• el cateto opuesto es el que está enfrente de $\theta$, sin tocarlo;
• el cateto adyacente es el que forma $\theta$ junto con la hipotenusa.

Si cambias de ángulo, los dos catetos intercambian su papel; la hipotenusa nunca cambia.

Estos cocientes solo dependen del ángulo, no del tamaño del triángulo: si amplías el triángulo, todos los lados se multiplican por lo mismo y el cociente no cambia. Por eso una calculadora puede guardar el valor de $\sin 30^{\circ }$ y servirte para cualquier triángulo con ese ángulo.

Para recordar qué lados van en cada razón, usa la regla SOH-CAH-TOA: Seno = Opuesto / Hipotenusa, Coseno = Adyacente / Hipotenusa, Tangente = Opuesto / Adyacente. Si prefieres una frase: «Sofía ordena habitaciones, cada aula huele, tomás organiza archivos».

Hallar un lado y hallar un ángulo

Hallar un lado. Conoces un ángulo agudo y un lado. Eliges la razón que contiene ese lado y el lado que buscas, y despejas. Si el lado buscado queda en el denominador, la ecuación se resuelve igual: multiplicas en cruz.

Hallar un ángulo. Conoces dos lados. Calculas su cociente y aplicas la función inversa. Si $\sin \theta =0,6$, entonces $\theta ={\sin }^{-1}(0,6)\approx 36,9^{\circ }$. Las funciones ${\sin }^{-1}$, ${\cos }^{-1}$ y ${\tan }^{-1}$ devuelven el ángulo agudo que tiene esa razón.

Resolver un triángulo rectángulo

Resolver un triángulo es calcular todos sus lados y ángulos. En un triángulo rectángulo basta con conocer dos datos además del ángulo recto, y uno de ellos tiene que ser un lado:

• Si sabes dos lados, el tercero sale con Pitágoras, un ángulo agudo con una razón inversa y el otro como $90^{\circ }$ menos el primero.
• Si sabes un lado y un ángulo agudo, el otro ángulo es $90^{\circ }$ menos el dado, y los lados salen con las razones.

Cuando un triángulo no es rectángulo, a veces se puede dividir en dos con una altura. Esta es la idea que hay detrás de las figuras compuestas y de los problemas en 3D.

Elevación y depresión

Muchos enunciados dan ángulos medidos «mirando hacia arriba» o «hacia abajo». Siempre se miden desde la horizontal que pasa por el ojo del observador, nunca desde la vertical.

Las horizontales por el observador y por el objeto son paralelas. Por eso, si desde lo alto de una torre ves un coche con depresión de $20^{\circ }$, desde el coche ves la cima de la torre con elevación de $20^{\circ }$ (ángulos alternos internos entre paralelas). Este dato permite colocar el mismo ángulo dentro del triángulo rectángulo que dibujes.

Problemas con dibujo

La mayor parte de los problemas del IB cuentan una situación y no mencionan ningún triángulo. Tu trabajo es encontrar el triángulo rectángulo escondido.

• Escalera apoyada en una pared: la pared (vertical) y el suelo (horizontal) forman el ángulo recto; la escalera es la hipotenusa.
• Tejado a dos aguas: la altura de la cumbrera divide la fachada triangular en dos triángulos rectángulos iguales.
• Sombras, torres y árboles: la altura, la distancia horizontal y la línea de visión forman el triángulo.
• Rumbos y distancias: desplazarse hacia el norte y luego hacia el este forma un ángulo recto; cuando el enunciado dice «N$30^{\circ }$E», significa que partes del norte y giras $30^{\circ }$ hacia el este.

Figuras en 3D sencillas. Un prisma o una caja tiene muchos triángulos rectángulos. La técnica es dibujar solo el triángulo plano que necesitas y calcular por pasos. Por ejemplo, en una caja de base $8\times 6$ y altura $5$ (en cm), la diagonal de la base es $\sqrt{8^2+6^2}=10$ cm. Luego la diagonal de la caja es la hipotenusa de un triángulo con catetos $10$ y $5$, es decir $\sqrt{125}\approx 11,2$ cm, y esa diagonal forma con la base un ángulo ${\tan }^{-1}\frac{5}{10}\approx 26,6^{\circ }$.