IB Aplicaciones e Interpretación NM · Trigonometría · Apartado 4 de 4

Área de un triángulo

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La fórmula «base por altura entre dos» exige conocer una altura, y en un terreno o en un dibujo casi nunca la tienes. Si conoces dos lados y el ángulo que forman, puedes calcular el área directamente con el seno. En el examen del IB aparece en problemas de parcelas, jardines, pistas o paneles, casi siempre después de usar el teorema del coseno o del seno para obtener el dato que falta.

De «base por altura» a la fórmula con el seno

Ya conoces el área de un triángulo: la mitad de una base por su altura. El problema es la altura. Mira la figura: trazamos desde $B$ la altura $h$ sobre el lado $b$ .

Triángulo con los lados a y b que forman el ángulo C y la altura h sobre el lado b

En el triángulo rectángulo de la izquierda, el cateto $h$ es el opuesto al ángulo $C$ y la hipotenusa es $a$ , así que $sin C = \frac{h}{a}$ y, por tanto, $h = a sin C$ . Sustituyendo en la fórmula de siempre:

$A ˊ rea = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} b (a sin C)$

Esta fórmula también vale si $C$ es obtuso, porque $sin (18 0^{\circ} - C) = sin C$ : el seno de un ángulo obtuso es positivo y el área sale bien. Si $C = 9 0^{\circ}$ , $sin C = 1$ y se recupera «base por altura entre dos» con los dos catetos.

Cuando falta el ángulo comprendido

La fórmula pide un ángulo concreto: el que está entre los dos lados. Si el enunciado da otros datos, primero hay que conseguirlo.

Si conoces los tres lados, calcula el ángulo que quieras con el teorema del coseno, por ejemplo $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ , y después aplica la fórmula del área con $a$ , $b$ y ese $C$ .
Si conoces dos ángulos, el tercero es $18 0^{\circ}$ menos su suma. Con el teorema del seno puedes hallar los lados que te falten.
Si el ángulo que te dan no está entre los dos lados, usa el teorema del seno o el del coseno para hallar el ángulo comprendido, o cambia de pareja de lados.

Parcelas y figuras compuestas

Una parcela de cuatro lados o más no tiene una fórmula directa, pero se puede dividir en triángulos. Se traza una diagonal (o varias desde un mismo vértice), se calcula el área de cada triángulo y se suman.

Para que el reparto funcione, cada triángulo debe tener datos suficientes: dos lados y el ángulo comprendido, o los tres lados. Con frecuencia el primer triángulo se resuelve con los datos del enunciado y la diagonal que aparece (calculada con el teorema del coseno) pasa a ser un lado del segundo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Un panel solar triangular

Un panel solar tiene forma de triángulo. Dos de sus lados miden $7, 4$ m y $5, 2$ m y el ángulo que forman es de $3 8^{\circ}$ .

a) Calcula el área del panel.

b) Calcula la altura del triángulo respecto al lado de $7, 4$ m.

Solución

a) El ángulo de $3 8^{\circ}$ está entre los dos lados dados, así que se aplica la fórmula directamente: $A = \frac{1}{2} \cdot 7, 4 \cdot 5, 2 \cdot sin 3 8^{\circ} = 11, 8 m^{2}$

b) Tomando el lado de $7, 4$ m como base, $A = \frac{1}{2} \cdot 7, 4 \cdot h$ . Despejando, $h = \frac{2 A}{7 , 4} = \frac{2 \cdot 11 , 845}{7 , 4} = 3, 20 m$ Coincide con $h = 5, 2 sin 3 8^{\circ}$ , que es el cateto opuesto al ángulo de $3 8^{\circ}$ en el triángulo rectángulo.

Ejemplo 2 Medio

Un solar con los tres lados conocidos

Un solar triangular tiene lados de $9, 5$ m, $12$ m y $14$ m.

a) Halla el ángulo que forman los lados de $9, 5$ m y $12$ m.

b) Calcula el área del solar.

Solución

a) El ángulo $C$ que forman los lados de $9, 5$ m y $12$ m es el opuesto al lado de $14$ m. Por el teorema del coseno, $1 4^{2} = 9, 5^{2} + 1 2^{2} - 2 \cdot 9, 5 \cdot 12 cos C \Rightarrow cos C = \frac{9 , 5 ^{2} + 1 2 ^{2} - 1 4 ^{2}}{2 \cdot 9 , 5 \cdot 12} = \frac{38 , 25}{228}$ Luego $C = 80, 3^{\circ}$ .

b) Ya tenemos dos lados y el ángulo comprendido: $A = \frac{1}{2} \cdot 9, 5 \cdot 12 \cdot sin 80, 3^{\circ} = 56, 2 m^{2}$ Para no arrastrar errores de redondeo, en la CPG se usa el valor completo de $C$ (el resultado coincide con 3 cifras).

Ejemplo 3 Difícil

Una parcela de cuatro lados

Una parcela tiene forma de cuadrilátero $A B C D$ . Se sabe que $A B = 80$ m, $B C = 65$ m, $C D = 50$ m, $D A = 70$ m y que el ángulo $A B C = 7 2^{\circ}$ . Se traza la diagonal $A C$ .

a) Calcula la longitud de la diagonal $A C$ .

b) Calcula el área del triángulo $A B C$ .

c) Calcula el ángulo $A D C$ .

d) Calcula el área del triángulo $A C D$ y el área total de la parcela.

Solución

a) En el triángulo $A B C$ conocemos dos lados y el ángulo comprendido, así que usamos el teorema del coseno: $A C^{2} = 8 0^{2} + 6 5^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 65 cos 7 2^{\circ} \Rightarrow A C = 86, 1 m$

b) Con los mismos datos, $A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 65 \cdot sin 7 2^{\circ} = 2470 m^{2}$ .

c) En el triángulo $A C D$ conocemos los tres lados: $A C = 86, 1$ , $C D = 50$ y $D A = 70$ . El ángulo $D$ es el opuesto a $A C$ : $cos D = \frac{5 0 ^{2} + 7 0 ^{2} - 86 , 1 ^{2}}{2 \cdot 50 \cdot 70} \Rightarrow D = 90, 1^{\circ}$

d) Con $C D$ , $D A$ y el ángulo comprendido $D$ : $A_{A C D} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 70 \cdot sin 90, 1^{\circ} = 1750 m^{2}$ El área total es la suma de los dos triángulos: $2470 + 1750 = 4220 m^{2}$ .

En el examen: en un problema así se puntúa cada paso: la diagonal con el teorema del coseno, el ángulo comprendido correcto en cada triángulo y la suma final. Guarda los valores sin redondear en la CPG (la diagonal y el ángulo $D$ ) para no arrastrar error, y escribe la unidad, $m^{2}$ .

Errores típicos

Resumen

Si conoces dos lados y el ángulo comprendido, $A = \frac{1}{2} a b sin C$ ; es la forma «base por altura entre dos» con $h = a sin C$ .
El ángulo debe estar entre los dos lados usados. Con cualquier pareja de lados se cumple: $\frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} ab sin C$ .
Si no tienes ese ángulo, hállalo: teorema del coseno con los tres lados, o suma de ángulos de $18 0^{\circ}$ y teorema del seno.
Una figura de más de tres lados se divide en triángulos con una diagonal; se suman las áreas.
Para tres lados: primero el ángulo con el teorema del coseno, luego la fórmula del área.
La CPG en grados, sin redondear los valores intermedios; resultado con 3 cifras significativas y su unidad de área.

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