Ejercicios IB del tema 9

a)

1. Las medias son $\bar{m}=40$ y $\bar{p}=16$. Situamos en el diagrama el punto $\mathrm{M}(40,16)$ y lo rotulamos «M».

b) 2. La recta de ajuste óptimo «a ojo» debe pasar por M y dejar aproximadamente el mismo número de puntos por encima y por debajo, siguiendo la tendencia creciente de los datos. 3. Una buena opción es la que pasa por M y se acerca a los puntos $(10,8)$, $(65,22)$ y $(70,24)$: va aproximadamente de $(0,5)$ a $(80,26)$.

c) 4. Subimos desde $m=20$ en el eje horizontal hasta la recta y leemos la altura en el eje vertical: se obtiene un valor entre $10$ y $11$. 5. La nota estimada en física es, por tanto, de entre $10$ y $11$ (el valor exacto depende de la recta trazada a ojo).

Resultado: a) M$(40,16)$ situado y rotulado; b) recta a ojo por M, de $(0,5)$ a $(80,26)$ aprox.; c) entre $10$ y $11$

a)

1. La recta de regresión de $h$ sobre $a$ siempre pasa por el punto medio $(\bar{a},\bar{h})$. Como $\bar{a}=50$, sustituimos en la ecuación: $$\bar{h}=0,22\cdot 50+15=11+15=26.$$
2. Las personas encuestadas ven la televisión una media de $26$ horas a la semana.

b) 3. Calculamos dos puntos de la recta: para $a=0$, $h=15$; para $a=50$, $h=26$ (el punto medio). Trazamos la recta que pasa por $(0,15)$ y $(50,26)$, y la prolongamos hasta $a=80$ (donde $h\approx 32,6$).

c) 4. La pendiente de la recta es positiva ($0,22>0$) y la nube de puntos sube de izquierda a derecha: a mayor edad, más horas de televisión. La correlación es positiva.

d) 5. Los datos corresponden a edades de $25$ a $75$ años. Los $18$ años de Diogo están fuera de ese rango, así que usar la recta sería una extrapolación y la estimación no sería fiable.

Resultado: a) $26$ horas; b) recta por $(0,15)$ y $(50,26)$; c) la correlación es positiva; d) $18$ años está fuera del rango de los datos (extrapolación)

a) 1. Marcamos los siete puntos $(\text{paˊginas},\text{costo})$ con $1$ cm por cada $50$ páginas en el eje horizontal y $1$ cm por cada AUD en el vertical.

b) 2. Con la calculadora de pantalla gráfica, el coeficiente de correlación lineal es $r=-0,141$.

c) 3. Como $|r|=0,141$ es muy próximo a $0$, casi no hay correlación lineal entre el número de páginas y el costo: los puntos no se alinean. 4. Además, $50$ páginas está en el extremo del rango de los datos. Una línea de mejor ajuste no daría una estimación fiable, así que el método de Stephen no es adecuado.

Resultado: a) diagrama de dispersión; b) $r=-0,141$; c) no es adecuado, porque $r$ es muy próximo a $0$ (casi no hay correlación lineal)

a) Se calcula cada media sumando los datos y dividiendo entre $5$.

1. (i) Altura media: $$\bar{h}=\frac{182+173+162+178+190}{5}=\frac{885}{5}=177\text{cm}.$$
2. (ii) Peso medio: $$\bar{w}=\frac{73+68+60+66+75}{5}=\frac{342}{5}=68,4\text{kg}.$$

b) En la cuadrícula el peso va en el eje horizontal y la altura en el vertical.

1. Marcamos con una cruz los cinco puntos (peso, altura): $(73,182)$, $(68,173)$, $(60,162)$, $(66,178)$ y $(75,190)$.
2. Marcamos también el punto medio $(68,4;177)$, formado por las dos medias: la recta de mejor ajuste pasa siempre por él.
3. Dibujamos una recta creciente que pase por el punto medio y deje los puntos repartidos a ambos lados, lo más cerca posible de todos ellos.

Resultado: a) (i) $177$ cm; (ii) $68,4$ kg; b) diagrama de dispersión con la recta de mejor ajuste que pasa por $(68,4;177)$

a)

1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) introducimos las temperaturas $t$ como variable independiente y las ventas $s$ como dependiente, y hacemos la regresión lineal de $s$ sobre $t$.
2. La CPG da $m\approx 3,5644$ y $c\approx -14,613$, así que $$s=3,56t-14,6.$$

b) 3. Sustituimos $t=24$ con los coeficientes sin redondear: $$s=3,5644\cdot 24-14,613\approx 70,9.$$ 4. Como las ventas son un número entero de helados, redondeamos al entero más cercano: $71$ helados.

Resultado: a) $s=3,56t-14,6$; b) $\approx 71$ helados

a)

(i) 1. Introducimos en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) las distancias como $x$ y el número de mosquitos como $y$, y hacemos la regresión lineal. 2. La CPG da $r=-0,99777\dots$, es decir, $r=-0,998$. Está muy cerca de $-1$: correlación lineal negativa y muy fuerte (cuanto más lejos del lago, menos mosquitos).

(ii) 3. En el mismo cálculo, la recta de regresión de $y$ sobre $x$ es $$y=-0,470x+81,7.$$

b) 4. Sustituimos $x=28$ con los coeficientes sin redondear ($-0,46971$ y $81,728$): $$y=-0,46971\cdot 28+81,728\approx 68,6.$$ 5. Se estiman unos $68,6$ mosquitos (unos $69$). La distancia $28$ m está dentro del rango de datos ($8\le x\le 82$), por lo que la estimación es fiable.

Resultado: a) (i) $r=-0,998$; (ii) $y=-0,470x+81,7$; b) $\approx 68,6$ mosquitos

a)

1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) introducimos las puntuaciones de Matemáticas como lista $x$ y las de Física como lista $y$.
2. Hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$; la CPG da el coeficiente de correlación de Pearson: $$r=0,814.$$

b) 3. En la misma regresión lineal, la CPG da la pendiente y la ordenada en el origen: $$y=0,888x+13,5.$$

c) 4. Sustituimos $x=72$ en la recta, con los valores sin redondear de los coeficientes: $$y=0,8877\cdot 72+13,49\approx 77,4.$$ 5. Como $72$ está dentro del rango de los datos ($32\le x\le 84$), la estimación es una interpolación. La puntuación estimada en Física es de unos $77$ puntos.

Resultado: a) $r=0,814$; b) $y=0,888x+13,5$; c) $\approx 77$ puntos

a) Con la calculadora, regresión lineal de $y$ sobre $x$ con los cinco pares de datos: $a=14,9$ y $b=-80$.

$$y=14,9x-80.$$

b) Se sustituye $x=17$:

$$y=14,9\cdot 17-80=253,3-80=173,3\approx 173\text{calorıˊas}.$$

c) La estimación es fiable: el coeficiente de correlación es muy alto ($r\approx 0,989$) y $17$ minutos está dentro del rango de los datos ($10$ a $30$ min), por lo que es una interpolación.

Resultado: a) $y=14,9x-80$; b) $173$ calorías; c) fiable (correlación muy fuerte y $17$ dentro del rango de datos)

a) 1. Con la calculadora de pantalla gráfica, regresión lineal de $y$ (objetos) sobre $x$ (edad): $$y=-0,134x+20,9.$$

b) 2. Sustituimos $x=28$ (valores sin redondear): $$y=-0,13435\cdot 28+20,891\approx 17,1.$$ 3. Estimamos unos $17$ objetos (la edad $28$ está dentro del rango $15$–$55$).

c) 4. La calculadora da el coeficiente de correlación: $r=-0,756$.

d) 5. El signo negativo indica que, al aumentar la edad, tiende a disminuir el número de objetos recordados. Como $|r|=0,756$ es mayor que $0,5$ pero no está muy cerca de $1$, la correlación lineal es moderadamente fuerte y negativa.

Resultado: a) $y=-0,134x+20,9$; b) $\approx 17$ objetos; c) $r=-0,756$; d) correlación moderadamente fuerte y negativa

a) 1. El octavo estudiante hizo $x=25$ flexiones e $y=52$ abdominales (según la tabla). Marcamos el punto $(25,52)$ en el diagrama.

b) 2. La recta de mejor ajuste pasa por el punto medio $(\bar{x},\bar{y})=(34,40)$, que marcamos. Trazamos una recta que pase por él y que deje aproximadamente el mismo número de puntos por encima y por debajo; los datos muestran una tendencia creciente suave, así que la pendiente es positiva (aproximadamente $0,4$).

c) 3. En la recta se lee la ordenada para $x=60$: unos $50$ abdominales.

Resultado: a) punto $(25,52)$; b) recta por $(34,40)$; c) $\approx 50$ abdominales

a) 1. Al aumentar la nota de francés, la de alemán también aumenta y los puntos se agrupan en torno a una recta ascendente. La correlación es fuerte y positiva.

b) 2. El punto medio es $M(29,31)$ (medias de francés y de alemán). Lo marcamos en la gráfica.

c) 3. Trazamos una recta creciente que pase por $M$ y que deje aproximadamente el mismo número de puntos por encima y por debajo.

d) 4. Desde $32$ en el eje de francés subimos hasta la recta y leemos en el eje de alemán: unos $33$ puntos.

Resultado: a) correlación fuerte y positiva; b), c) M $(29,31)$ y recta de ajuste por M; d) $\approx 33$

a)

1. Introducimos en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) las distancias como lista de la variable independiente $x$ y los precios como lista de la variable dependiente $y$.
2. Hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$ (ajuste por mínimos cuadrados). La CPG da $a\approx 0,38422$ y $b\approx 629,42$, es decir, $$y=0,384x+629.$$

b) 3. Sustituimos $x=2900$ km (con los coeficientes sin redondear): $$y=0,38422\cdot 2900+629,42\approx 1744.$$ 4. El precio estimado es de unos $1740$ HKD (3 cifras significativas).

c) 5. La estimación es válida por dos motivos:

• $2900$ km está dentro del rango de distancias con el que se ha calculado la recta ($1700\le x\le 9200$), así que se trata de una interpolación.
• La correlación es lineal, positiva y fuerte ($r=0,948$, cercano a $1$), de modo que la recta describe bien la relación entre distancia y precio.

Resultado: a) $y=0,384x+629$; b) $\approx 1740$ HKD; c) $2900$ km está dentro del rango de los datos y la correlación es fuerte ($r=0,948$)

a)

(i) 1. Introducimos en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) las temperaturas como $x$ y las concentraciones de oxígeno como $y$, y pedimos la regresión lineal con su coeficiente de correlación. 2. La CPG da $r=-0,9737\dots$, es decir, $r=-0,974$. Es un valor cercano a $-1$: correlación lineal negativa y fuerte (a más temperatura, menos oxígeno disuelto).

(ii) 3. En el mismo cálculo, la recta de regresión de $y$ sobre $x$ es $$y=-0,365x+17,9.$$

b) 4. Sustituimos $x=18$ en la recta, con los coeficientes sin redondear ($-0,36503$ y $17,942$): $$y=-0,36503\cdot 18+17,942\approx 11,4.$$ 5. La concentración estimada es de $11,4$ mg l${}^{-1}$. Como $18$ °C queda fuera del rango de los datos ($20\le x\le 32$), es una extrapolación y conviene tomarla con cautela.

Resultado: a) (i) $r=-0,974$; (ii) $y=-0,365x+17,9$; b) $11,4$ mg l${}^{-1}$

a)

1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$ con los cinco pares de datos. Da $$y=15,5x-80.$$
2. Comprobación: la recta debe pasar por el punto medio $(20,230)$ y, en efecto, $15,5\cdot 20-80=230$.

b) 3. Para dibujar la recta bastan dos puntos:

• La ordenada en el origen es $-80$: la recta pasa por $(0,-80)$.
• También pasa por la media $(20,230)$.

4. Unimos ambos puntos con una regla y prolongamos la recta por el diagrama. Cruza el eje horizontal en $x=80/15,5\approx 5,2$ y en $x=30$ vale $15,5\cdot 30-80=385$, es decir, llega junto al último punto.

c) 5. La recta solo es fiable para estimar dentro del rango de temperaturas con el que se ha obtenido, que va de $10$ a $30$ °C. Fuera de él no sabemos si la relación sigue siendo lineal. 6. Por tanto $a=10$ y $b=30$.

Resultado: a) $y=15,5x-80$; b) recta por $(0,-80)$ y $(20,230)$; c) $a=10$, $b=30$

a)

1. (i) Media de la temperatura: $$\bar{x}=\frac{7+12+14+15+16+20}{6}=\frac{84}{6}=14.$$

(ii) Media de bebidas vendidas: $$\bar{y}=\frac{280+350+380+420+400+450}{6}=\frac{2280}{6}=380.$$

b) 2. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), regresión lineal de $y$ sobre $x$: $$y=13,4x+192.$$ 3. Dibujamos la recta: pasa por $(0,192)$ y por el punto medio $(14,380)$, y llega hasta $(20,460)$ aproximadamente. Queda muy cerca de los puntos.

c) 4. Sustituimos $x=10$ con los coeficientes sin redondear ($13,404$ y $192,34$): $$y=13,404\cdot 10+192,34\approx 326.$$ 5. Se estiman unas $326$ bebidas frías.

Resultado: a) (i) $14$ °C; (ii) $380$ bebidas; b) $y=13,4x+192$; c) $\approx 326$ bebidas

a)

1. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), introducimos $n$ como lista independiente y $t$ como lista dependiente, y hacemos la regresión lineal de $t$ sobre $n$: $$t=-20,1n+205.$$

b) 2. En la misma regresión, el coeficiente de correlación de Pearson es $r=-0,941$ (correlación negativa y fuerte: a más limpiadores, menos tiempo).

c) 3. Sustituimos $n=4$ con los coeficientes sin redondear ($-20,105$ y $204,756$): $$t=-20,105\cdot 4+204,756\approx 124.$$ 4. Cuatro limpiadores tardan unos $124$ minutos.

Resultado: a) $t=-20,1n+205$; b) $r=-0,941$; c) $124$ minutos

a) Los valores desconocidos se leen en el diagrama, que contiene los quince puntos de la tabla.

1. Los puntos con $x=1$ son $(1,5)$ y $(1,8)$. En la tabla uno es $(1,5)$ y el otro es $(1,a)$, luego $a=8$.
2. En la tabla, el punto $(b,4)$ aparece entre $x=4$ y $x=6$; en el diagrama el único punto con $y=4$ en esa zona es $(5,4)$, luego $b=5$.

Comprobación con las medias dadas: la suma de las $x$ es $75=15\cdot 5$ y la suma de las $y$ es $60=15\cdot 4$.

Resultado: (i) $a=8$; (ii) $b=5$

b) La recta de ajuste óptimo debe pasar por el punto medio $(5,4)$ y dejar aproximadamente el mismo número de puntos a cada lado, siguiendo la tendencia decreciente. Una buena recta es $y=-0,61x+7,04$: corta el eje vertical en $7,04$, pasa por $(5,4)$ y llega cerca de $(10,1)$.

Resultado: recta decreciente que pasa por $(5,4)$, por ejemplo $y=-0,61x+7,04$

c) Se lee en la recta para $x=6,5$:

$$y=-0,61\cdot 6,5+7,04\approx 3,09.$$

Con una recta dibujada a mano se aceptan valores próximos a $3$.

Resultado: a) (i) $a=8$; (ii) $b=5$; b) $y=-0,61x+7,04$; c) $y\approx 3,09$

a) 1. Introducimos las notas de Física ($x$) y de Química ($y$) en la calculadora de pantalla gráfica y hacemos la regresión lineal: $r=0,965$.

b) 2. De la misma regresión, pendiente $m=1,1545\dots$ y ordenada $c=0,9756\dots$: $$y=1,15x+0,976.$$

c) 3. Sustituimos $x=7$ (valores sin redondear): $$y=1,1545\cdot 7+0,9756\approx 9,06.$$ 4. La nota estimada es de unos $9,06$.

d) 5. Es válido porque $7$ está dentro del rango de los datos de Física ($4\le x\le 12$), es decir, es una interpolación, y porque $r=0,965$ está muy cerca de $1$ (correlación lineal fuerte).

Resultado: a) $r=0,965$; b) $y=1,15x+0,976$; c) $\approx 9,06$; d) $7$ está dentro del rango de los datos y $r$ es próximo a $1$

a) 1. Al aumentar la puntuación en matemáticas, la puntuación en el juego tiende a disminuir y los puntos siguen una tendencia descendente. Hay una correlación negativa.

b) 2. Una recta de ajuste óptimo pasa por el punto medio $M(56,9;45,9)$. Como el enunciado da también el punto $(0,69)$, trazamos la recta que une ambos.

3. Su pendiente es $\frac{45,9-69}{56,9-0}\approx -0,41$, y por tanto llega a unos $(95,31)$.

c) 4. En la recta, con $x=45$ se lee (o se calcula): $y\approx 69-0,406\cdot 45\approx 50,7$. 5. Redondeando al entero más próximo, Jane obtendría unos $51$ puntos.

Resultado: a) correlación negativa; b) recta por $(0,69)$ y M; c) $\approx 51$ puntos

Para el coeficiente de Spearman primero se sustituyen los datos por sus rangos (de menor a mayor).

1. Rangos de $x$: $1,2,3,4,5$.
2. Rangos de $y$: los valores $6,7,8,8,16$ tienen un empate en los dos $8$, que ocupan los puestos $3$ y $4$; reciben el rango medio $3,5$. Rangos: $1,2,3,5,3,5,5$.
3. Como hay empates, calculamos el coeficiente de correlación de Pearson de los dos conjuntos de rangos (con la calculadora de pantalla gráfica): $$r_s=0,975.$$
4. Está muy cerca de $1$: correlación positiva fuerte (a mayor $x$, mayor $y$).

Resultado: $r_s=0,975$ (fuerte correlación positiva)

1. Los datos de gustos ya son rangos (1 = la que más le gusta). Ordenamos los precios de mayor a menor, de modo que el rango $1$ sea la pizza más cara: $8,50\to 1$; $7,45\to 2$; $6,50\to 3$; $4,50\to 4$; $4,35\to 5$; $3,95\to 6$; $3,50\to 7$; $2,65\to 8$; $1,45\to 9$.
2. Rangos de precio para A a I: $7,2,3,4,1,8,6,5,9$.
3. Diferencias $d$ entre el rango de gusto y el de precio: $0,1,1,2,0,1,-4,0,-1$, y $\sum d^2=0+1+1+4+0+1+16+0+1=24$.
4. No hay empates, así que $$r_s=1-\frac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}=1-\frac{6\cdot 24}{9\cdot 80}=1-0,2=0,8.$$
5. Comentario: la correlación es fuerte y positiva. Como el rango $1$ es la pizza que más le gusta y también la más cara, las pizzas que más le gustan tienden a ser las más caras. (Si se ordenaran los precios de menor a mayor, el signo sería el contrario, $-0,8$, con la misma fuerza de relación.)

Resultado: $r_s=0,8$ (correlación fuerte y positiva entre el rango de gusto y el rango de precio, con el rango $1$ para la más cara)

a) Los rangos de los tenistas ya están dados ($1,2,\dots ,8$; el rango $1$ es el mejor). Para los aces asignamos rangos de mayor a menor, de modo que el rango $1$ sea el mayor número de aces: $10\to 1$; $7\to 2$; $6\to 3$; $5$ (dos veces, puestos $4$ y $5$) $\to 4,5$; $4\to 6$; $3\to 7$; $1\to 8$. Para los tenistas $1$ a $8$ los rangos de aces son $1,2,6,3,4,5,4,5,7,8$.

Hay empate en los $5$ aces, por lo que calculamos el coeficiente de correlación de Pearson entre los dos conjuntos de rangos (con la calculadora de pantalla gráfica): $$r_s=0,850.$$

b) $r_s=0,850$ está cerca de $1$: correlación fuerte y positiva. Como el rango $1$ corresponde tanto al mejor tenista como al que más aces gana, cuanto mejor es el tenista, más aces gana. La validez es razonable pero limitada: solo hay $8$ datos (una muestra pequeña, un partido por jugador), hay un empate y una correlación no prueba causalidad.

Resultado: a) $r_s=0,850$; b) correlación fuerte y positiva: los tenistas de mejor categoría ganan más aces

a) Asignamos rangos de menor a mayor en cada variable; los valores repetidos reciben el rango medio.

1. Alturas (ya ordenadas, con $153$ y $164$ repetidos): $1;2,5;2,5;4;5;6;7;8,5;8,5;10;11;12$.
2. Tiempos: $17,5\to 11$; $18\to 12$; $16,5\to 10$; $16\to 9$; $15,4\to 8$; $13,2$ (dos veces, puestos $4$ y $5$) $\to 4,5$; $14\to 7$; $13,7\to 6$; $12,5\to 3$; $12$ (dos veces, puestos $1$ y $2$) $\to 1,5$. Rangos: $11;12;10;9;8;4,5;7;6;4,5;3;1,5;1,5$.
3. Hay empates, por lo que calculamos el coeficiente de correlación de Pearson entre los dos conjuntos de rangos (con la calculadora de pantalla gráfica): $$r_s=-0,952.$$

b) $r_s=-0,952$ está muy cerca de $-1$: correlación fuerte y negativa. Los alumnos más altos tienden a tardar menos en correr los $100$ m, es decir, son más rápidos. Es una relación válida como tendencia en esta muestra de $12$ alumnos, aunque la muestra es pequeña y la correlación no demuestra que la altura sea la causa.

Resultado: a) $r_s=-0,952$; b) correlación fuerte y negativa: los más altos son los más rápidos

a) Rangos de menor a mayor (los valores repetidos reciben el rango medio).

1. Edad: $11\to 1$; $18\to 2$; $21\to 3$; $24\to 4$; $32\to 5$; $43\to 6$; $66\to 7$; $85\to 8$.
2. Tiempo de reacción: $0,15\to 1$; $0,20$ (dos veces, puestos $2$ y $3$) $\to 2,5$; $0,25\to 4$; $0,30\to 5$; $0,35\to 6$; $0,45\to 7$; $0,70\to 8$.

b) Con empates calculamos el coeficiente de correlación de Pearson de los rangos (con la calculadora de pantalla gráfica): $$r_s=0,707.$$

c) $r_s=0,707$ es positivo y relativamente cercano a $1$: hay una correlación positiva bastante fuerte; en esta muestra, a mayor edad, mayor tiempo de reacción (más lento).

d) Dos posibles mejoras: (1) aumentar el número de participantes (la muestra de $8$ es muy pequeña); (2) repetir la prueba varias veces con cada persona y usar la media, y/o elegir edades más repartidas y con el mismo número de personas por franja, realizando la prueba en condiciones idénticas.

Resultado: a) rangos de la edad $5,4,8,1,6,7,2,3$ y del tiempo de reacción $6;2,5;8;5;4;7;1;2,5$; b) $r_s=0,707$; c) correlación positiva bastante fuerte; d) más participantes y repetir la prueba en condiciones iguales

a) Rangos de menor a mayor; los valores repetidos reciben el rango medio.

1. Edad: $8\to 1$; $14\to 2$; $17\to 3$; $24\to 4$; $28\to 5$; $31\to 6$; $39\to 7$; $40\to 8$; $42$ (dos veces, puestos $9$ y $10$) $\to 9,5$; $45\to 11$; $81\to 12$.
2. Horas: $2\to 1$; $14\to 2$; $15\to 3$; $16\to 4$; $19\to 5$; $20$ (dos veces, puestos $6$ y $7$) $\to 6,5$; $21\to 8$; $25\to 9$; $26\to 10$; $28\to 11$; $30\to 12$.

b) Hay empates, así que calculamos el coeficiente de correlación de Pearson de los rangos (con la calculadora de pantalla gráfica): $$r_s=-0,596.$$

c) $r_s=-0,596$ indica una correlación negativa moderada: en esta muestra, las personas de más edad tienden a ver menos televisión. Sin embargo, una correlación no implica causalidad: no se puede concluir que la edad cause que se vea menos televisión (pueden influir otros factores, y la muestra es de solo $12$ personas). Por tanto, la afirmación de Neeve no está justificada con estos cálculos; solo puede concluir que existe una asociación negativa moderada entre ambas variables.

Resultado: a) rangos de la edad $1;9,5;3;12;11;2;7;9,5;6;8;5;4$ y de las horas $6,5;3;12;1;9;11;5;2;4;8;10;6,5$; b) $r_s=-0,596$; c) la afirmación no es correcta: correlación negativa moderada, que no prueba causalidad

a) Con la calculadora (estadística de una variable) sobre los valores de la Ronda 1:

1. Media: $\bar{x}=\frac{869}{12}\approx 72,4$.
2. Desviación típica: ${\sigma }_x\approx 4,77$ (desviación típica poblacional).
3. Se calcula el umbral: $\bar{x}+{\sigma }_x\approx 72,42+4,77=77,19$. Superan ese valor las puntuaciones $79$ y $82$, es decir, 2 golfistas.

Resultado: (i) $72,4$; (ii) $4,77$; (iii) $2$ golfistas

b) Con la calculadora (regresión lineal de $y$ sobre $x$): $r\approx 0,990$.

Resultado: $r=0,990$

c) Con los mismos cálculos: $a\approx 1,014$ y $b\approx 0,816$.

$$y=1,01x+0,816.$$

Resultado: $y=1,01x+0,816$

d) Se sustituye $x=70$ (coeficientes sin redondear):

$$y=1,01405\cdot 70+0,81618\approx 71,8.$$

Resultado: $y\approx 71,8$

e) No es adecuado: la puntuación $89$ queda fuera del rango de los datos de la Ronda 1 ($66$ a $82$), así que usar la recta supondría una extrapolación y la estimación no sería fiable.

Resultado: a) (i) $72,4$; (ii) $4,77$; (iii) $2$ golfistas; b) $r=0,990$; c) $y=1,01x+0,816$; d) $71,8$; e) no, $89$ está fuera del rango de datos

a) Con la calculadora (estadística de una variable) sobre las $13$ temperaturas:

1. Media: $\bar{T}\approx 19,2{}^{\circ }\text{C}$ (exactamente $19,15\dots$).
2. Desviación típica: ${\sigma }_T\approx 1,45{}^{\circ }\text{C}$.

Resultado: (i) $19,2{}^{\circ }\text{C}$; (ii) $1,45{}^{\circ }\text{C}$

b) Con la calculadora (regresión lineal de $n$ sobre $T$): $r\approx 0,942$.

Resultado: $r=0,942$

c) $r=0,942$ es positivo y cercano a $1$: correlación fuerte y positiva. Cuanto mayor es la temperatura, más botellas se venden.

Resultado: correlación fuerte y positiva

d)

1. (i) La calculadora da la recta $n\approx 11,5T-100$, luego $d=11,5$.
2. (ii) Para $T=19,6$: $n=11,5\cdot 19,6-100\approx 125$ botellas (con $d=11,518$ sale $125,4$).

Resultado: (i) $d=11,5$; (ii) $125$ botellas

e) La estimación no es fiable porque $6^{\circ }$ queda muy fuera del rango de temperaturas de los datos ($17^{\circ }$ a $21^{\circ }$): sería una extrapolación.

Resultado: a) (i) $19,2{}^{\circ }$C; (ii) $1,45{}^{\circ }$C; b) $r=0,942$; c) correlación fuerte y positiva; d) (i) $d=11,5$; (ii) $125$ botellas; e) $6^{\circ }$ está fuera del rango de datos

a), c), e) Diagrama de dispersión, punto medio y recta de regresión.

1. Se marcan los diez puntos $(x,y)$ con la escala indicada (2 cm = $10\%$ en $x$; 2 cm = $10$ unidades térmicas en $y$).
2. Se sitúa y rotula $\mathrm{M}(42,64)$ (apartado b).
3. Se traza la recta $y=-0,470x+83,7$: corta al eje vertical en $83,7$ y pasa por $\mathrm{M}$. Una segunda comprobación: para $x=90$, $y=-0,470\cdot 90+83,7=41,4$.

Resultado: gráfica con los diez puntos, $\mathrm{M}(42,64)$ y la recta $y=-0,470x+83,7$

b)

1. $\bar{x}=\frac{8+15+22+30+34+45+50+60+74+82}{10}=\frac{420}{10}=42\%$.
2. $\bar{y}=\frac{80+77+74+69+68+61+61+55+50+45}{10}=\frac{640}{10}=64$ unidades térmicas.

Resultado: (i) $\bar{x}=42\%$; (ii) $\bar{y}=64$

d) Con la calculadora (regresión lineal): $r\approx -0,998$. Correlación negativa y muy fuerte.

Resultado: $r=-0,998$

f) Se sustituye $x=25$ en la recta dada:

$$y=-0,470\cdot 25+83,7=-11,75+83,7=71,95\approx 72,0\text{unidades teˊrmicas}.$$

Resultado: $72,0$ unidades térmicas

g) Sí es apropiado: la correlación es muy fuerte ($r=-0,998$) y $25\%$ está dentro del rango de los datos ($8\%$ a $82\%$), por lo que es una interpolación fiable.

Resultado: b) (i) $\bar{x}=42\%$; (ii) $\bar{y}=64$; d) $r=-0,998$; f) $72,0$ unidades térmicas; g) sí es apropiado (correlación fuerte y $25\%$ dentro del rango de datos)

a) 1. Marcamos los nueve pares $(x,y)$ en unos ejes con $2$ cm por cada $10$ m en el horizontal y $2$ cm por cada $10$ especies en el vertical.

b) 2. Al aumentar la distancia a la orilla, el número de especies disminuye y los puntos siguen bastante bien una línea descendente. La correlación es negativa (y fuerte).

c) 3. Introducimos los datos en la calculadora de pantalla gráfica y pedimos las estadísticas de una variable:

(i) $\bar{x}=17$ m;

(ii) $\bar{y}=23$ especies.

d) 4. Marcamos el punto $M(17,23)$ en el diagrama (figura de arriba). La recta de regresión siempre pasa por este punto.

e) 5. Con la calculadora, regresión lineal de $y$ sobre $x$: $$y=-0,708x+35,0.$$

f) 6. Para dibujar la recta basta con dos puntos: por ejemplo $(0,35)$ y $M(17,23)$ (la recta pasa por $M$). Se unen y se prolongan sobre el diagrama (figura de arriba).

g) 7. Sustituimos $x=30$ (con los valores sin redondear de la regresión): $$y=-0,708\cdot 30+35,04\approx 13,8.$$ 8. Como $30$ m está dentro del rango de los datos ($2\le x\le 40$), la estimación es fiable. Redondeando al número entero de especies: $14$.

Resultado: a) diagrama de dispersión; b) correlación negativa; c) (i) $\bar{x}=17$; (ii) $\bar{y}=23$; d) punto $M(17,23)$; e) $y=-0,708x+35$; f) recta por $(0,35)$ y $M$; g) $\approx 14$ especies

Con la calculadora de pantalla gráfica introducimos los tiempos de viaje $x$ y los niveles de estrés $y$ y hacemos la regresión lineal de $y$ sobre $x$.

(i) El coeficiente de correlación es $r=0,667$.

(ii) Un coeficiente de correlación positivo indica que, al aumentar una variable, la otra tiende a aumentar también: a mayor tiempo de viaje, mayor nivel de estrés.

(iii) La CPG da pendiente $a=0,181$ y ordenada $b=2,22$: $$y=0,181x+2,22.$$

(iv) Tres cuartos de hora son $x=45$ minutos. Sustituimos (con los valores sin redondear): $$y=0,1810\cdot 45+2,2235\approx 10,4.$$ Como la escala llega hasta $10$ y el nivel es un número entero, el nivel de estrés estimado es $10$.

(v) No es fiable, por dos razones:

1. $x=45$ queda fuera del rango de los datos ($6\le x\le 36$): es una extrapolación.
2. $r=0,667$ no está próximo a $1$: la correlación es solo moderada.

Resultado: (i) $r=0,667$; (ii) al aumentar el tiempo de viaje aumenta el nivel de estrés; (iii) $y=0,181x+2,22$; (iv) nivel $\approx 10$; (v) no es fiable (extrapolación y correlación moderada)

a)

1. Dibujamos los ejes: el horizontal ($x$, diferencia de temperatura) de $-0,3$ a $0,5$ con $2$ cm por cada $0,1$ °C, y el vertical ($y$, latidos por minuto) de $60$ en adelante con $1$ cm por cada $2$ latidos.
2. Marcamos los ocho puntos: $(-0,2;63)$, $(0,3;77)$, $(-0,3;70)$, $(-0,2;74)$, $(-0,1;65)$, $(0;78)$, $(0,2;79)$ y $(0,5;86)$.

b)

(i) 3. La media de $x$ es la suma de los ocho valores entre $8$: $$\bar{x}=\frac{-0,2+0,3-0,3-0,2-0,1+0+0,2+0,5}{8}=\frac{0,2}{8}=0,025.$$

(ii) 4. La media de $y$: $$\bar{y}=\frac{63+77+70+74+65+78+79+86}{8}=\frac{592}{8}=74.$$

c) 5. Situamos el punto $\mathrm{M}(0,025;74)$ en el diagrama (casi sobre el eje vertical, a la altura de $74$) y lo rotulamos «M».

d)

(i) 6. Con la calculadora de pantalla gráfica (CPG), en el cálculo de regresión lineal, obtenemos $r=0,8068\dots$, es decir, $r=0,807$.

(ii) 7. Como $r$ es positivo y está entre $0,7$ y $1$, la correlación es positiva y moderadamente fuerte: a mayor temperatura corporal, tiende a haber más latidos por minuto.

e) 8. La regresión lineal de $y$ sobre $x$ da $y\approx 21,98x+73,45$, es decir, $$y=22,0x+73,5.$$

f) 9. La recta pasa por M. Calculamos otro punto para trazarla con regla: en $x=-0,3$, $y=21,98\cdot (-0,3)+73,45\approx 66,9$; en $x=0,5$, $y\approx 84,4$. Unimos esos puntos pasando por M.

Resultado: a) diagrama de dispersión con los 8 puntos; b) (i) $\bar{x}=0,025$; (ii) $\bar{y}=74$; c) M$(0,025;74)$ en el diagrama; d) (i) $r=0,807$; (ii) correlación positiva y moderadamente fuerte; e) $y=22,0x+73,5$; f) recta dibujada por M, de $(-0,3;66,9)$ a $(0,5;84,4)$

a)

(i) 1. Introducimos en la calculadora de pantalla gráfica (CPG) las notas del proyecto como $x$ y las del examen como $y$, y pedimos las estadísticas de dos variables. La media de las notas del proyecto es $\bar{x}=14$.

(ii) 2. La media de las notas del examen es $\bar{y}=54$.

(iii) 3. El coeficiente de correlación de Pearson es $r=0,5$.

b)

(i) 4. La CPG da la recta de regresión de $y$ sobre $x$ con los valores exactos $$m=0,875=\frac{7}{8},c=41,75=\frac{167}{4}.$$

(ii) 5. La recta de regresión siempre pasa por el punto medio. Lo comprobamos sustituyendo $x=\bar{x}=14$: $$y=0,875\cdot 14+41,75=12,25+41,75=54=\bar{y}.$$ 6. Como se cumple la igualdad, $\mathrm{M}(14,54)$ pertenece a la recta de regresión.

c)

(i) 7. Sustituimos $x=17$: $$y=0,875\cdot 17+41,75=56,625\approx 56,6.$$

(ii) 8. El valor $x=17$ está dentro del rango de los datos ($6\le x\le 18$), así que es una interpolación. 9. Sin embargo, la correlación es baja ($r=0,5$), es decir, solo moderada: la recta describe mal la relación entre las dos notas. Por eso la estimación no es muy fiable y no es del todo válido utilizar la recta.

d) 10. El porcentaje de error compara el valor estimado con el real: $$\text{error}=\left|\frac{56,625-65}{65}\right|\cdot 100=\frac{8,375}{65}\cdot 100\approx 12,9\%.$$

Resultado: a) (i) $\bar{x}=14$; (ii) $\bar{y}=54$; (iii) $r=0,5$; b) (i) $m=0,875$, $c=41,75$; (ii) $0,875\cdot 14+41,75=54=\bar{y}$; c) (i) $56,6$; (ii) no es muy válido: $17$ está en el rango pero $r=0,5$ es baja; d) $12,9\%$