IB Aplicaciones e Interpretación NM · Regresión y correlación lineal · Apartado 4 de 4

Coeficiente de correlación por rangos de Spearman

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

El coeficiente de Pearson solo detecta relaciones lineales. El de Spearman, $r_{s}$ , mide algo más amplio: si una variable crece (o decrece) siempre cuando crece la otra, aunque sea a ritmo variable. Para ello no usa los datos, sino sus posiciones en una clasificación (los rangos). En el examen del IB se pide calcular $r_{s}$ (a mano o con la calculadora) e interpretarlo en el contexto.

Relaciones monótonas y rangos

Una relación es monótona creciente si, al aumentar una variable, la otra nunca disminuye; es monótona decreciente si nunca aumenta. Toda relación lineal es monótona, pero no al revés: una curva que sube cada vez más deprisa es monótona y no es una recta.

Por eso Pearson puede quedarse lejos de $1$ con una curva que sube sin fallar ni una vez, mientras que Spearman la valora al máximo.

Diagrama de dispersión de ocho puntos que forman una curva creciente que sube cada vez más deprisa, de (1, 2) a (8, 130); Pearson r = 0,852 y Spearman rs = 1

Un caso concreto: los valores $9, 14, 14, 20$ ordenados de mayor a menor son $20, 14, 14, 9$ ; reciben los rangos $1, 2, 5, 2, 5, 4$ .

El coeficiente de Spearman

Cómo leerlo:

$r_{s} = 1$ : los rangos coinciden en todos los pares; a mayor $x$ , mayor $y$ , siempre (relación monótona creciente perfecta).
$r_{s} = - 1$ : los rangos están totalmente invertidos; a mayor $x$ , menor $y$ , siempre.
$r_{s}$ cerca de $0$ : los puestos de una variable no dicen casi nada de los de la otra.
Cuanto más cerca de $\pm 1$ , más fuerte es la asociación; el signo da el sentido. Se describe con las mismas palabras que en Pearson: positiva o negativa, fuerte, moderada o débil.

La fórmula tiene sentido: si todos los rangos coinciden, todas las diferencias valen $0$ y $r_{s} = 1$ . Cuanto más se desordenan, mayor es $\sum d_{i}^{2}$ y más baja $r_{s}$ .

Cuándo usar Spearman y cuándo Pearson

Pearson cuando la nube de puntos se parece a una recta y los datos son numéricos medidos. Mide la fuerza de la relación lineal.
Spearman cuando la relación parece monótona pero curva, cuando los datos son ordinales (puestos, clasificaciones, valoraciones del 1 al 10) o cuando hay algún valor muy extremo que distorsionaría Pearson. Al trabajar con posiciones, un dato extraño pesa mucho menos.

Si la relación es lineal y sin datos extremos, los dos coeficientes salen parecidos. Si $r_{s}$ es mucho mayor en valor absoluto que $r$ , es señal de una relación monótona no lineal.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Horas de práctica y resultado

Siete alumnos de un club de ajedrez anotan las horas semanales que entrenan ( $x$ ) y los puntos que sumaron en un torneo ( $y$ ):

Alumno	A	B	C	D	E	F	G
Horas $x$	12	7	15	9	4	10	6
Puntos $y$	78	65	71	60	52	84	58

a) Asigna rangos a cada variable (rango $1$ para el valor mayor) y calcula $\sum d_{i}^{2}$ .

b) Calcula el coeficiente de Spearman y descríbelo.

Solución

a) Ordenando de mayor a menor, los rangos de las horas son: $15 \to 1, 12 \to 2, 10 \to 3, 9 \to 4, 7 \to 5, 6 \to 6, 4 \to 7$ . Los de los puntos: $84 \to 1, 78 \to 2, 71 \to 3, 65 \to 4, 60 \to 5, 58 \to 6, 52 \to 7$ .

Alumno	A	B	C	D	E	F	G
Rango $x$	2	5	1	4	7	3	6
Rango $y$	2	4	3	5	7	1	6
$d_{i}$	0	1	$- 2$	$- 1$	0	2	0
$d_{i}^{2}$	0	1	4	1	0	4	0

$\sum d_{i}^{2} = 0 + 1 + 4 + 1 + 0 + 4 + 0 = 10$

b) Con $n = 7$ : $r_{s} = 1 - \frac{6 \cdot 10}{7 ( 7 ^{2} - 1 )} = 1 - \frac{60}{336} = \frac{23}{28} \approx 0, 821$

Hay una asociación positiva y fuerte entre las horas de entrenamiento y los puntos: en general, quien entrena más puntúa más, aunque el orden no coincide del todo.

Ejemplo 2 Medio

Empates en los rangos

Ocho estudiantes anotan las horas que dedicaron a estudiar un examen ( $x$ ) y la nota que obtuvieron sobre 100 ( $y$ ):

$x$ (horas)	3	5	8	5	10	2	8	6
$y$ (nota)	40	55	70	62	66	35	70	52

a) Con rango $1$ para el valor mayor, ¿qué rango recibe cada uno de los dos estudiantes que estudiaron 8 horas?

b) Calcula el coeficiente de Spearman, usando como $r_{s}$ el coeficiente de Pearson de los rangos.

Solución

a) Ordenadas de mayor a menor, las horas son $10, 8, 8, 6, 5, 5, 3, 2$ . Los dos 8 ocupan los puestos $2$ y $3$ , así que cada uno recibe $\frac{2 + 3}{2} = 2, 5$ .

b) Se hace lo mismo con las dos variables. Los dos 5 de $x$ ocupan los puestos $5$ y $6$ (rango $5, 5$ ) y los dos 70 de $y$ los puestos $1$ y $2$ (rango $1, 5$ ):

Rango $x$	7	5,5	2,5	5,5	1	8	2,5	4
Rango $y$	7	5	1,5	4	3	8	1,5	6

Con la CPG se introducen estas dos listas de rangos, se pide la regresión lineal y se lee el coeficiente de correlación: $r_{s} = 0, 849$

Hay una asociación positiva y fuerte entre las horas de estudio y la nota.

(Comprobación: $\sum d_{i}^{2} = 12, 5$ , y la fórmula daría $1 - \frac{6 \cdot 12 , 5}{8 \cdot 63} = 0, 851$ , valor muy próximo pero no exacto porque hay empates.)

Ejemplo 3 Difícil

Una caída que no es una recta

Una cadena de cafeterías estudia seis locales. Para cada uno anota la distancia al centro de la ciudad ( $x$ , en km) y el número medio de clientes al día ( $y$ ):

Distancia $x$ (km)	2	4	5	7	9	12
Clientes $y$	95	60	50	28	22	15

a) Calcula el coeficiente de Spearman.

b) Con la CPG, calcula el coeficiente de correlación de Pearson para los datos originales.

c) Explica por qué los dos coeficientes no coinciden.

d) El director concluye: «Alejar un local del centro hace que pierda clientes». ¿Se deduce eso de los datos?

Solución

a) Con rango $1$ para el valor mayor, los rangos de $x$ son $6, 5, 4, 3, 2, 1$ y los de $y$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6$ . Las diferencias son $5, 3, 1, - 1, - 3, - 5$ y $\sum d_{i}^{2} = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 25 = 70$ Con $n = 6$ : $r_{s} = 1 - \frac{6 \cdot 70}{6 ( 6 ^{2} - 1 )} = 1 - \frac{420}{210} = - 1$

b) Introduciendo en la CPG las dos listas de datos originales y pidiendo la regresión lineal: $r = - 0, 926$

c) Los clientes bajan siempre al aumentar la distancia: la relación es monótona decreciente perfecta, y por eso $r_{s} = - 1$ . Pero la bajada es rápida al principio y se frena después; la nube de puntos es una curva, no una recta. Pearson mide el ajuste a una recta, y por eso queda en $- 0, 926$ , fuerte pero no perfecto.

d) No. Los datos muestran una asociación negativa muy fuerte, pero solo con seis locales y sin controlar otros factores (alquiler, competencia, zona de oficinas) no se puede afirmar una relación causa-efecto.

En el examen: da el valor numérico con 3 cifras significativas e interpreta siempre el signo y la fuerza en el contexto. Si se pide comparar Pearson y Spearman, la respuesta que puntúa es que $r_{s} = - 1$ indica relación monótona perfecta mientras que $r$ no, al no ser lineal. En las preguntas de causa y efecto, no afirmes causalidad.

Errores típicos

Resumen

El coeficiente de Spearman $r_{s}$ mide la fuerza y el sentido de una relación monótona usando los rangos de los datos, no los datos.
Rangos: se ordenan los valores con el mismo criterio en $x$ e $y$ ; si hay empates, a cada dato empatado se le asigna la media de los puestos que ocupan.
Fórmula, sin empates: $r_{s} = 1 - \frac{6 \sum d _{i}^{2}}{n ( n ^{2} - 1 )}$ , con $d_{i}$ la diferencia de rangos de cada par y $n$ el número de pares.
$- 1 \leq r_{s} \leq 1$ : $r_{s} = \pm 1$ es relación monótona perfecta (creciente o decreciente), $r_{s} \approx 0$ es ausencia de asociación entre los rangos.
Con empates (o en la Prueba 2) se calcula el coeficiente de Pearson de los rangos con la CPG: ese valor es $r_{s}$ .
Usa Spearman con relaciones curvas pero monótonas, datos ordinales o valores extremos; usa Pearson para relaciones lineales. Asociación no es causalidad.

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