IB Aplicaciones e Interpretación NM · Regresión y correlación lineal · Apartado 2 de 4

Correlación lineal y coeficiente de Pearson

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando se miden dos variables en los mismos individuos, la pregunta natural es si están relacionadas y cuánto. El diagrama de dispersión da una primera impresión visual y el coeficiente de correlación de Pearson, $r$ , la convierte en un número entre $- 1$ y $1$ . En el examen del IB casi nunca se calcula a mano: se obtiene con la calculadora de pantalla gráfica (CPG) y lo que se puntúa es interpretarlo bien: signo, fuerza, tipo de relación y, sobre todo, no confundir correlación con causalidad.

Correlación: qué mide y qué tipos hay

Hay correlación entre dos variables cuando los valores de una están asociados con los de la otra. Para detectarla se dibuja la nube de puntos (diagrama de dispersión) con una variable en cada eje y se observa cómo se reparten los puntos.

Se describe con tres características:

Sentido. Si al aumentar $x$ tiende a aumentar $y$ , la correlación es positiva. Si al aumentar $x$ tiende a disminuir $y$ , es negativa. Si la nube no sigue ninguna dirección, no hay correlación (correlación nula).
Fuerza. Cuanto más estrechos y alineados estén los puntos en torno a una línea, más fuerte es la correlación; cuanto más dispersos, más débil.
Forma. La correlación es lineal cuando los puntos se agrupan en torno a una recta, y no lineal cuando siguen una curva (por ejemplo, una parábola o una curva que crece cada vez más despacio).

Ejemplos cercanos: las horas de estudio y la nota de un examen suelen tener correlación positiva; la temperatura exterior y el gasto en calefacción, negativa; el número de calzado de un alumno y su nota en Matemáticas, nula.

Seis diagramas de dispersión: correlación positiva fuerte, negativa fuerte y nula (fila superior); positiva débil, negativa moderada y no lineal, con curva creciente que se aplana (fila inferior)

El coeficiente de correlación de Pearson

El ojo es subjetivo, así que se usa un número. El coeficiente de correlación lineal de Pearson mide cómo de bien se ajusta la nube a una recta.

La división por $s_{x} s_{y}$ elimina las unidades de medida. Por eso $r$ no cambia si se pasa de metros a centímetros o de euros a dólares, y sirve para comparar relaciones entre magnitudes distintas.

Propiedad · Interpretación de r

$r = 1$ : todos los puntos están sobre una recta de pendiente positiva (correlación positiva perfecta). $r = - 1$ : sobre una recta de pendiente negativa (negativa perfecta).
$r = 0$ : no hay relación lineal.
Cuanto más cerca está $∣ r ∣$ de $1$ , más fuerte es la relación lineal; cuanto más cerca de $0$ , más débil.

Una escala habitual para describir la fuerza es:

Valor de $∣ r ∣$	Correlación
de 0 a 0,25	muy débil
de 0,25 a 0,5	débil
de 0,5 a 0,75	moderada
de 0,75 a 1	fuerte

Estas franjas son una convención orientativa: al describir una correlación se indica siempre el sentido y la fuerza («positiva y fuerte», «negativa y débil»).

Dos precisiones que el examen explota:

$r$ mide solo relación lineal. Puede haber una relación muy clara y de $r$ cercano a $0$ si la nube sigue una curva. Por ejemplo, los puntos $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ y $(2, 4)$ cumplen $y = x^{2}$ exactamente, pero su $r$ vale $0$ , porque la parte izquierda y la derecha de la parábola se compensan.
Un valor de $r$ cercano a $1$ en valor absoluto, con pocos puntos o con un dato muy alejado de los demás, puede ser engañoso. Conviene mirar siempre el diagrama de dispersión además del número.

Correlación y causalidad

Que dos variables estén correlacionadas no demuestra que una cause la otra. Hay tres explicaciones posibles para una correlación alta:

$x$ influye en $y$ (relación causal directa).
$y$ influye en $x$ (la causa es la contraria).
Hay una tercera variable que influye en las dos, o es pura coincidencia.

Ejemplo: el consumo de helados y el número de personas que se bañan en la playa tienen una fuerte correlación positiva a lo largo del año. Comer helados no hace que la gente se bañe; ambos aumentan cuando hace calor, que es la variable oculta.

Redacta siempre la conclusión con prudencia: «hay una correlación positiva fuerte entre las variables», y solo añade «lo cual sugiere que…» si el contexto lo justifica.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

De la covarianza al coeficiente de Pearson

En un estudio sobre el tiempo diario que un grupo de adultos pasa caminando ( $x$ , en horas) y su pulso en reposo ( $y$ , en pulsaciones por minuto) se han obtenido estos parámetros: $s_{x} = 2, 5$ , $s_{y} = 2, 0$ y covarianza $s_{x y} = - 4, 2$ .

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal de Pearson.

b) Describe la fuerza y el sentido de la correlación.

Solución

a) Se aplica la definición: $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}} = \frac{- 4 , 2}{2 , 5 \cdot 2 , 0} = \frac{- 4 , 2}{5} = - 0, 84$

b) El signo es negativo, así que cuando aumenta el tiempo caminando el pulso en reposo tiende a disminuir. Como $∣ r ∣ = 0, 84$ está entre $0, 75$ y $1$ , la correlación es fuerte. Es una correlación negativa y fuerte.

Ejemplo 2 Medio

Práctica de piano y puntuación

Ocho alumnos de una escuela de música practican cada semana un número de horas ( $x$ ) y obtienen una puntuación ( $y$ ) en una audición.

Alumno	1	2	3	4	5	6	7	8
Horas de práctica, $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Puntuación, $y$	3	5	4	8	6	9	7	10

a) Halla el coeficiente de correlación de Pearson con la calculadora.

b) Describe la correlación e interprétala en el contexto.

c) Indica si, con estos datos, se puede afirmar que practicar más horas hace que la puntuación sea mayor.

Solución

a) Se introducen las listas de $x$ y de $y$ en la CPG y se pide el análisis de regresión lineal. La calculadora devuelve $r = 0, 857$

b) $r > 0$ , luego la correlación es positiva; y $0, 75 < r \leq 1$ , luego es fuerte. En el contexto: los alumnos que practican más horas tienden a obtener mayor puntuación en la audición, y la relación es claramente lineal.

c) No se puede afirmar con certeza. El coeficiente solo muestra una asociación. Podría haber otros factores (por ejemplo, el talento previo o el nivel del curso) que expliquen a la vez que unos alumnos practiquen más y que obtengan mejor puntuación. Con una muestra de 8 alumnos, además, la conclusión es todavía más limitada.

Ejemplo 3 Difícil

Temperatura y chocolate caliente

Una cafetería registra durante siete días la temperatura máxima ( $x$ , en °C) y el número de chocolates calientes que vende ( $y$ ).

Día	1	2	3	4	5	6	7
Temperatura, $x$ (°C)	4	6	7	9	11	12	14
Chocolates vendidos, $y$	22	17	18	13	9	10	4

a) Halla el coeficiente de correlación de Pearson e interpreta su valor en el contexto.

b) Con otra variable se obtienen los siete pares $(- 3, 9)$ , $(- 2, 4)$ , $(- 1, 1)$ , $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(2, 4)$ y $(3, 9)$ , que cumplen $y = x^{2}$ . Calcula $r$ para estos datos y explica por qué no contradice que haya una relación entre las variables.

c) Un directivo afirma: «el frío hace que la gente tome más chocolate, así que bajar la calefacción del local aumentará las ventas». Comenta si los datos de la tabla permiten llegar a esa conclusión.

Solución

a) Con la CPG, introduciendo las dos listas y pidiendo la regresión lineal: $r = - 0, 981$ Como $r < 0$ y $∣ r ∣ > 0, 75$ , la correlación es negativa y fuerte: los días más fríos tienden a venderse más chocolates calientes, y los días templados, menos. Los puntos están muy cerca de una recta descendente.

b) Introduciendo estos siete pares en la CPG se obtiene $r = 0$ La razón es que la nube es simétrica respecto al eje $y$ : la rama izquierda de la parábola desciende (relación negativa) y la derecha asciende (relación positiva), y los dos efectos se compensan en el cálculo de la covarianza. Pero $r$ solo mide relación lineal. Entre estas variables hay una relación perfecta, $y = x^{2}$ , que no es una recta. Un $r$ próximo a $0$ no significa «no hay relación», sino «no hay relación lineal». Por eso hay que mirar siempre el diagrama de dispersión.

c) Los datos solo muestran asociación entre las dos variables; la conclusión de que el frío causa mayores ventas es razonable por el contexto, pero la tabla no lo demuestra. Y la medida propuesta (bajar la calefacción del local) no tiene relación con la temperatura exterior, que es la variable registrada: el estudio no dice nada sobre lo que ocurriría al cambiar la temperatura interior. No se puede concluir que esa medida aumente las ventas.

En el examen: al dar $r$ se puntúa el valor (3 cifras significativas), su signo y su fuerza, y una frase en el contexto del problema. Si preguntan por causalidad, la respuesta correcta es que la correlación no implica causalidad y se debe nombrar una posible explicación alternativa o la variable oculta. Si $r$ es cercano a $0$ , no escribas «no hay relación» sin añadir «lineal».

Errores típicos

Resumen

Hay correlación cuando los valores de una variable se asocian con los de otra. Se describe por su sentido (positiva, negativa o nula), su fuerza (fuerte, moderada, débil) y su forma (lineal o no).
El coeficiente de Pearson es $r = \frac{s _{x y}}{s _{x} s _{y}}$ y cumple $- 1 \leq r \leq 1$ . Su signo es el de la covarianza; su valor absoluto da la fuerza.
Escala orientativa de $∣ r ∣$ : hasta 0,25 muy débil; hasta 0,5 débil; hasta 0,75 moderada; hasta 1 fuerte.
$r$ mide solo relación lineal: $r = 0$ no excluye una relación curva. Mira siempre el diagrama de dispersión.
Correlación no es causalidad: puede haber una variable oculta, la relación contraria o simple coincidencia.
En el examen, calcula $r$ con la CPG, escríbelo con 3 cifras significativas y descríbelo en el contexto.

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