IB Aplicaciones e Interpretación NM · Regresión y correlación lineal · Apartado 1 de 4

Distribuciones bidimensionales y diagrama de dispersión

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando de cada individuo mides dos cosas (horas de estudio y nota, temperatura y ventas), obtienes datos por pares $(x, y)$ . Lo primero es dibujarlos en un diagrama de dispersión y resumirlos con unos pocos números: la media y la desviación típica de cada variable, y el punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ . Son la base de todo el tema: la correlación y la recta de regresión se construyen sobre ellos. En el examen del IB casi todo sale de la calculadora de pantalla gráfica (CPG); aquí aprendes qué pedirle y qué significa lo que devuelve.

Datos por pares y diagrama de dispersión

Una variable estadística bidimensional es un conjunto de pares $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ : cada par son las dos medidas de un mismo individuo. Se llama variable independiente (o explicativa) a la que se coloca en el eje horizontal, $x$ , y variable dependiente (o respuesta) a la del eje vertical, $y$ . Por ejemplo, si estudias cómo influyen las horas de estudio $x$ en la nota $y$ , la nota es la que depende.

Lo que se observa en la nube es su tendencia: si los puntos suben de izquierda a derecha, si bajan, si se ordenan cerca de una recta o si están esparcidos sin orden. Eso se estudia en el siguiente apartado; aquí basta con saber dibujarla y calcular sus parámetros.

Diagrama de dispersión de cinco puntos (2, 4), (3, 5), (5, 6), (6, 9) y (9, 11) con tendencia creciente; el punto medio (x̄, ȳ) = (5, 7) está marcado en naranja

Cuando hay muchos individuos con los mismos valores, los datos se dan en una tabla de frecuencias con tres columnas: $x_{i}$ , $y_{i}$ y la frecuencia $f_{i}$ del par $(x_{i}, y_{i})$ , con $\sum f_{i} = N$ el número total de individuos. Si no hay repeticiones, $f_{i} = 1$ en todas las filas y $N = n$ .

Media y desviación típica de cada variable

Cada variable se estudia por separado con las medidas que ya conoces de estadística descriptiva.

En el IB la desviación típica que se usa es la de toda la población, que la CPG muestra como $σ_{x}$ . No la confundas con la muestral $s_{x}$ , que divide entre $N - 1$ en lugar de entre $N$ .

Covarianza

Las medias y las desviaciones miden cada variable por separado. Falta un número que diga cómo se mueven juntas.

Su signo informa de la tendencia:

$s_{x y} > 0$ : cuando $x$ está por encima de su media, $y$ suele estarlo también (la nube sube).
$s_{x y} < 0$ : cuando $x$ está por encima de su media, $y$ suele estar por debajo (la nube baja).
$s_{x y} \approx 0$ : no hay una tendencia lineal clara.

La covarianza depende de las unidades, así que su tamaño no dice si la relación es fuerte o débil. Para eso se usa, en el siguiente apartado, el coeficiente de correlación, que se obtiene dividiendo la covarianza entre $σ_{x} σ_{y}$ .

El punto medio

Este punto será muy importante: la recta de regresión pasará siempre por él. Por eso, si te dan la media de una variable y falta un dato, puedes usar el punto medio para recuperarlo.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Anuncios y ventas

Una tienda anota, en cinco semanas, el número de anuncios publicados ( $x$ ) y las ventas de la semana en cientos de euros ( $y$ ):

Anuncios $x$	2	3	5	6	9
Ventas $y$ (cientos de €)	4	5	6	9	11

a) Halla el punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ .

b) Halla la desviación típica $σ_{x}$ de los anuncios.

c) Halla la desviación típica $σ_{y}$ de las ventas.

d) Calcula la covarianza $s_{x y}$ .

Solución

a) Hay $N = 5$ pares. Las sumas son $\sum x_{i} = 25$ y $\sum y_{i} = 35$ , luego $x ˉ = \frac{25}{5} = 5 y ˉ = \frac{35}{5} = 7$ El punto medio es $(5, 7)$ .

b) Con $\sum x_{i}^{2} = 155$ : $σ_{x} = \frac{155}{5} - 5^{2} = 31 - 25 = 6 = 2, 45$

c) Con $\sum y_{i}^{2} = 279$ : $σ_{y} = \frac{279}{5} - 7^{2} = 55, 8 - 49 = 6, 8 = 2, 61$

d) Con $\sum x_{i} y_{i} = 206$ : $s_{x y} = \frac{206}{5} - 5 \cdot 7 = 41, 2 - 35 = 6, 2$ Es positiva: a más anuncios, más ventas.

Ejemplo 2 Medio

Horas de estudio y nota, con frecuencias

A 10 alumnos se les pregunta cuántas horas estudiaron para un test ( $x$ ) y se anota su nota sobre 10 ( $y$ ). Los resultados se resumen así:

Horas $x$	Nota $y$	Alumnos $f$
1	2	2
2	3	3
3	5	3
4	6	2

a) Calcula $x ˉ$ y $y ˉ$ .

b) Calcula $σ_{x}$ y $σ_{y}$ .

c) Calcula la covarianza e interpreta su signo.

Solución

Se organizan los datos con $N = \sum f = 10$ . Las sumas ponderadas son:

$\sum x_{i} f_{i} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 25$
$\sum x_{i}^{2} f_{i} = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 9 \cdot 3 + 16 \cdot 2 = 73$
$\sum y_{i} f_{i} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 2 = 40$
$\sum y_{i}^{2} f_{i} = 4 \cdot 2 + 9 \cdot 3 + 25 \cdot 3 + 36 \cdot 2 = 182$
$\sum x_{i} y_{i} f_{i} = 1 \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 4 \cdot 6 \cdot 2 = 115$

a) $x ˉ = \frac{25}{10} = 2, 5$ horas y $y ˉ = \frac{40}{10} = 4$ puntos.

b) $σ_{x} = \frac{73}{10} - 2, 5^{2} = 1, 05 = 1, 02 σ_{y} = \frac{182}{10} - 4^{2} = 2, 2 = 1, 48$

c) $s_{x y} = \frac{115}{10} - 2, 5 \cdot 4 = 11, 5 - 10 = 1, 5$ La covarianza es positiva: los alumnos que estudian más horas que la media tienden a sacar más nota que la media.

Ejemplo 3 Difícil

Un dato que falta y un punto nuevo

Una cafetería anota la temperatura máxima del día $x$ (en °C) y las tazas de chocolate caliente vendidas $y$ (en cientos) en cinco días:

$x$ (°C)	1	2	4	5	8
$y$ (cientos)	6	5	4	2	$k$

Se sabe que el punto medio de los datos es $(4; 3, 6)$ .

a) Halla el valor de $k$ .

b) Calcula la covarianza $s_{x y}$ de los cinco días e interpreta su signo.

c) Un sexto día coincide exactamente con el punto medio, es decir, $(4; 3, 6)$ . Indica el nuevo punto medio y calcula la nueva covarianza.

d) Explica por qué la covarianza ha cambiado aunque el punto medio sea el mismo.

Solución

a) El punto medio dice que $y ˉ = 3, 6$ . Con $N = 5$ , la suma de las ventas es $5 \cdot 3, 6 = 18$ : $6 + 5 + 4 + 2 + k = 18 \Rightarrow 17 + k = 18 \Rightarrow k = 1$ (La media de $x$ confirma el dato: $\frac{1 + 2 + 4 + 5 + 8}{5} = 4$ .)

b) Con $k = 1$ los productos son $1 \cdot 6 = 6$ , $2 \cdot 5 = 10$ , $4 \cdot 4 = 16$ , $5 \cdot 2 = 10$ y $8 \cdot 1 = 8$ , de suma $50$ : $s_{x y} = \frac{50}{5} - 4 \cdot 3, 6 = 10 - 14, 4 = - 4, 4$ La covarianza es negativa: cuanto más calor, menos chocolate caliente se vende. Es lo esperable.

c) Al añadir un dato igual a la media, la media no cambia: el punto medio sigue siendo $(4; 3, 6)$ . Ahora $N = 6$ y la suma de productos es $50 + 4 \cdot 3, 6 = 64, 4$ : $s_{x y} = \frac{64 , 4}{6} - 4 \cdot 3, 6 = \frac{64 , 4}{6} - 14, 4 = - \frac{11}{3} = - 3, 67$

d) La suma $\sum (x_{i} - x ˉ) (y_{i} - y ˉ) = - 22$ no cambia, porque el nuevo día aporta una desviación nula en las dos variables ( $0 \cdot 0 = 0$ ). Pero ahora esa suma se reparte entre 6 días en vez de entre 5, así que la media de los productos, $- \frac{22}{6}$ , es menor en valor absoluto que $- \frac{22}{5}$ .

En el examen: cuando se da la media o el punto medio, úsalo para hallar el dato desconocido planteando la ecuación de la media; sin ese planteamiento un valor correcto sin justificar puede perder puntos. Escribe la fórmula de la covarianza con los números sustituidos, y en las interpretaciones relaciona el signo con el contexto (calor y venta), no solo con «es negativa».

Errores típicos

Resumen

Una distribución bidimensional son datos por pares $(x_{i}, y_{i})$ , con frecuencias $f_{i}$ y $N = \sum f_{i}$ . Se dibuja en un diagrama de dispersión con $x$ (independiente) en el eje horizontal e $y$ (dependiente) en el vertical.
$x ˉ = \frac{\sum x _{i} f _{i}}{N}$ y $y ˉ = \frac{\sum y _{i} f _{i}}{N}$ ; $σ_{x} = \frac{\sum x _{i}^{2} f _{i}}{N} - x ˉ^{2}$ , y análogamente $σ_{y}$ . En el IB se usa la desviación típica poblacional $σ$ .
Covarianza: $s_{x y} = \frac{\sum x _{i} y _{i} f _{i}}{N} - x ˉ y ˉ$ . Su signo indica la tendencia (positiva: la nube sube; negativa: baja); su tamaño depende de las unidades.
El punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ es el centro de la nube y por él pasará la recta de regresión.
Con la CPG: dos listas ordenadas por pares (y una de frecuencias si hace falta) y estadísticas de dos variables; comprueba $N$ y no mezcles $σ$ con $s$ .

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