IB Aplicaciones e Interpretación NM · Regresión y correlación lineal · Apartado 3 de 4

La recta de regresión: ajuste, predicciones e interpretación

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Cuando dos variables tienen una correlación lineal fuerte, la nube de puntos se alinea y podemos resumirla con una recta, la recta de regresión. Con ella se hacen predicciones: dado un valor de $x$ , se estima el valor de $y$ . En el examen del IB casi nunca se calcula a mano: se pide a la calculadora de pantalla gráfica (CPG) los valores de $a$ y $b$ , y lo que se puntúa es usar bien la ecuación, interpretar la pendiente y la ordenada en el origen y saber cuándo una predicción es fiable.

La recta que mejor se ajusta a la nube

Sea $x$ la variable independiente (la que fijamos o conocemos) e $y$ la variable dependiente (la que queremos estimar). Entre todas las rectas posibles hay una que se acerca más al conjunto de puntos en un sentido preciso: aquella para la que, al elevar al cuadrado las distancias verticales de los puntos a la recta y sumarlas, se obtiene el valor más pequeño posible. Es el método de mínimos cuadrados.

Diagrama de dispersión de horas de estudio y puntuación con seis puntos y la recta de regresión y = 6,89x + 41,1; de cada punto sale un segmento vertical discontinuo hasta la recta (el residuo) y el punto medio (x̄, ȳ) = (3,5; 65,2) está sobre la recta

De esta fórmula salen dos hechos útiles:

La recta pasa siempre por el punto medio $(x ˉ, y ˉ)$ . Si dibujas la recta a mano, empieza marcando ese punto.
El signo de $a$ es el de la covarianza, y por tanto el mismo signo que $r$ : si la correlación es positiva la recta sube, y si es negativa baja. De hecho $a = r \frac{s _{y}}{s _{x}}$ .

Obtener la recta con la calculadora

En el examen, los datos se introducen en la CPG, que devuelve $a$ , $b$ y el coeficiente $r$ . Tú no tienes que desarrollar las sumas.

Interpretar la pendiente y la ordenada en el origen

Una ecuación sin interpretación no basta en el IB: casi siempre se pide qué significan $a$ y $b$ en el contexto del problema.

Por ejemplo, si la recta que relaciona los kilómetros recorridos $x$ con el precio $y$ de un taxi (en euros) es $y = 1, 1 x + 3, 5$ , entonces cada kilómetro adicional cuesta, de media, $1, 10$ euros, y $3, 50$ euros es la tarifa estimada para $0$ km (la bajada de bandera). Aquí $b$ tiene sentido; en otros problemas no lo tendrá, como veremos.

Fíjate en que la interpretación habla de estimaciones y de medias: la recta describe una tendencia, no una ley exacta.

Interpolar, extrapolar y fiabilidad

Una predicción se hace dentro o fuera del rango de los datos con los que se construyó la recta.

Diagrama de dispersión con siete puntos entre x = 14 y x = 30 y la recta y = 2,55x − 14,1: dentro de la zona de los datos es interpolación y fuera, donde la recta sigue en trazo discontinuo, es extrapolación poco fiable

La fiabilidad depende de dos condiciones que debes comprobar siempre:

Imagina que el crecimiento de un niño entre los 3 y los 10 años se ajusta muy bien a una recta. Predecir su altura a los 40 años con esa recta daría un valor absurdo: la tendencia deja de ser lineal. Ese es el riesgo de extrapolar, incluso con $r$ cercano a $1$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Horas de estudio y puntuación

Un profesor anota las horas $x$ que estudian seis alumnos antes de una prueba y la puntuación $y$ que obtienen sobre 100.

Horas de estudio, $x$	1	2	3	4	5	6
Puntuación, $y$	48	55	61	70	74	83

a) Halla la ecuación de la recta de regresión de $y$ sobre $x$ , dando $a$ y $b$ con tres cifras significativas.

b) Estima la puntuación de un alumno que estudia 4,5 horas.

c) Interpreta la pendiente: ¿cuántos puntos más se esperan, de media, por cada hora extra de estudio?

Solución

a) Se introducen los datos en la calculadora y se pide la regresión lineal de $y$ sobre $x$ . La calculadora da $a = 6, 8857 \dots$ y $b = 41, 0667 \dots$ , es decir $y = 6, 89 x + 41, 1$ Además $r = 0, 997$ , así que la correlación es positiva y muy fuerte. Observa que la recta pasa por el punto medio $(x ˉ, y ˉ) = (3, 5; 65, 2)$ .

b) Como $4, 5$ está entre $1$ y $6$ , es una interpolación y la estimación es fiable: $y = 6, 8857 \cdot 4, 5 + 41, 0667 = 72, 1$ Se espera una puntuación de unos $72, 1$ puntos.

c) La pendiente es $a = 6, 89$ : por cada hora adicional de estudio se esperan, de media, unos $6, 89$ puntos más.

Ejemplo 2 Medio

Temperatura y venta de helados

Un heladero registra durante siete días la temperatura máxima $T$ (en $^{\circ}$ C) y el número $N$ de helados que vende.

$T$ ( $^{\circ}$ C)	14	16	19	21	24	27	30
$N$	22	27	35	38	47	55	63

a) Halla la ecuación de la recta de regresión de $N$ sobre $T$ , con $a$ y $b$ a tres cifras significativas.

b) Calcula el coeficiente de correlación $r$ (3 cifras significativas) y describe la correlación.

c) Estima cuántos helados se venderán un día con una máxima de 25 $^{\circ}$ C.

d) Calcula la estimación para 10 $^{\circ}$ C y explica por qué no es fiable.

Solución

a) Con la calculadora, regresión lineal de $N$ sobre $T$ : $a = 2, 5531 \dots$ y $b = - 14, 0744 \dots$ , luego $N = 2, 55 T - 14, 1$

b) La calculadora da $r = 0, 999$ . La correlación es positiva y muy fuerte: a mayor temperatura, más helados, y los puntos están casi sobre la recta.

c) Como $25$ está entre $14$ y $30$ , interpolamos: $N = 2, 5531 \cdot 25 - 14, 0744 = 49, 75 \approx 49, 8$ Se esperan unos $50$ helados (el modelo da $49, 8$ ).

d) Para $T = 10$ : $N = 2, 5531 \cdot 10 - 14, 0744 = 11, 5$ Esta estimación no es fiable: aunque $r$ es muy cercano a 1, $10^{\circ}$ C está fuera del rango de los datos ( $14$ a $30^{\circ}$ C), así que es una extrapolación. No sabemos si la relación sigue siendo lineal con tanto frío. De hecho la ordenada en el origen, $b = - 14, 1$ , daría ventas negativas para $T = 0$ , algo imposible.

Ejemplo 3 Difícil

El precio de un coche según su edad

Una tienda de coches de segunda mano anota la edad $x$ (en años) y el precio $y$ (en miles de euros) de seis coches del mismo modelo.

Edad, $x$ (años)	1	2	3	5	6	8
Precio, $y$ (miles de euros)	17,5	15,8	14,1	11,9	10,2	7,6

a) Calcula el coeficiente de correlación $r$ (3 cifras significativas) y describe la correlación.

b) Halla la ecuación de la recta de regresión de $y$ sobre $x$ , con $a$ y $b$ a tres cifras significativas.

c) Estima el precio de un coche de 4 años.

d) Interpreta el valor de $a$ en el contexto del problema y calcula el valor que da la recta para $x = 0$ (3 cifras significativas), explicando qué representa.

e) Un cliente quiere estimar el precio de un coche de 12 años. Calcula la estimación (3 cifras significativas) y valora si es fiable.

Solución

a) La calculadora da $r = - 0, 998$ . La correlación es negativa y muy fuerte: cuanto más viejo es el coche, más barato.

b) La regresión de $y$ sobre $x$ da $a = - 1, 3880 \dots$ y $b = 18, 6335 \dots$ : $y = - 1, 39 x + 18, 6$ Pasa por el punto medio $(x ˉ, y ˉ) = (4, 17; 12, 85)$ .

c) Como $4$ está entre $1$ y $8$ , interpolamos, usando $a$ y $b$ sin redondear: $y = - 1, 3880 \cdot 4 + 18, 6335 = 13, 08 \approx 13, 1$ El precio estimado es de unos $13, 1$ miles de euros, es decir, $13100$ euros. (Con $a$ y $b$ ya redondeados saldría $13, 0$ : por eso conviene no redondear antes del final.)

d) La pendiente $a = - 1, 39$ significa que, por cada año más de antigüedad, el precio baja de media unos $1, 39$ miles de euros, unos $1390$ euros.

Para $x = 0$ la recta da $y = b = 18, 6$ miles de euros: es el precio estimado de un coche nuevo (de $0$ años). Aquí $b$ tiene sentido, aunque $x = 0$ está algo fuera del rango $1$ - $8$ , así que es solo una estimación aproximada.

e) Para $x = 12$ : $y = - 1, 3880 \cdot 12 + 18, 6335 = 1, 98$ La estimación es de $1, 98$ miles de euros. No es fiable: $12$ años queda fuera del rango de los datos ( $1$ a $8$ años), así que es una extrapolación, aunque $∣ r ∣$ sea muy alto. El precio de un coche muy viejo no tiene por qué seguir bajando linealmente.

En el examen: al dar la ecuación escribe las variables del problema ( $y$ = precio en miles de euros, $x$ = edad en años), y en los apartados de interpretación nombra las unidades y la palabra «media» o «estima». Para la fiabilidad se espera que cites las dos cosas: el valor de $r$ y si $x$ está dentro o fuera del rango. Se pierden puntos al usar $a$ y $b$ redondeados en el cálculo si eso cambia la respuesta final.

Errores típicos

Resumen

La recta de regresión de $y$ sobre $x$ , $y = a x + b$ , es la de mínimos cuadrados: $a = \frac{s _{x y}}{s _{x}^{2}}$ y $b = y ˉ - a x ˉ$ . Pasa siempre por $(x ˉ, y ˉ)$ y $a$ tiene el signo de $r$ .
En el examen, $a$ , $b$ y $r$ se obtienen con la CPG (regresión lineal de $y$ sobre $x$ ); se dan a 3 cifras significativas y se usan sin redondear para predecir.
Pendiente $a$ : cambio medio de $y$ por cada unidad de $x$ . Ordenada $b$ : valor estimado para $x = 0$ , con sentido solo si $x = 0$ es razonable.
Interpolar es estimar dentro del rango de los datos; extrapolar, fuera de él.
Una predicción es fiable si $∣ r ∣$ está cerca de $1$ y $x$ está dentro del rango; hay que decirlo con esos dos argumentos.
La recta de $x$ sobre $y$ es otra recta distinta: no se obtiene despejando.

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