Ejercicios IB del tema 10

a)

1. Los enteros entre $-4$ y $2$, ambos incluidos, son $$A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\},$$ que tiene $7$ elementos, todos igual de probables al elegir al azar.

b)

1. Los enteros negativos de $A$ son $-4,-3,-2,-1$: $4$ casos favorables.
2. $P=\frac{4}{7}\approx 0,571$.

c)

1. El único entero par positivo de $A$ es el $2$ (el $0$ no es positivo).
2. $P=\frac{1}{7}\approx 0,143$.

d)

1. Los enteros impares menores que $-1$ de $A$: solo el $-3$.
2. $P=\frac{1}{7}\approx 0,143$.

Resultado: a) $A=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$; b) $\frac{4}{7}$; c) $\frac{1}{7}$; d) $\frac{1}{7}$

a)

1. Se empieza por el centro: los tres sabores a la vez son $2$ alumnos.
2. En cada intersección de dos conjuntos se resta el centro:
   • $M$ y $P$ sin $K$: $20-2=18$;
   • $M$ y $K$ sin $P$: $14-2=12$;
   • $P$ y $K$ sin $M$: $3-2=1$.
3. En cada región «solo un sabor» se resta del total del conjunto lo que ya está colocado:
   • solo $M$: $35-18-12-2=3$;
   • solo $P$: $37-18-1-2=16$;
   • solo $K$: $26-12-1-2=11$.
4. La región exterior se calcula en el apartado b).

b)

1. Los alumnos a los que les gusta algún sabor son la suma de las siete regiones de los círculos: $$3+18+16+12+2+1+11=63.$$
2. Los demás, hasta los $85$ encuestados, no tienen ningún sabor favorito: $$85-63=22.$$

c)

1. Probabilidad condicionada: $P(K\mid M)=\frac{n(K\cap M)}{n(M)}$.
2. $n(K\cap M)=12+2=14$ y $n(M)=35$: $$P(K\mid M)=\frac{14}{35}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Resultado: a) diagrama completado; b) $22$; c) $\frac{2}{5}=0,4$

a)

(i) 1. Los que reciben clases en español son los de $S$: suma de las cuatro regiones de $S$: $$40+10+28+17=95.$$

(ii) 1. Estudiar Matemáticas en inglés es estar en $M$ y fuera de $S$: $12+20=32$.

(iii) 1. Estudiar Biología y también Matemáticas es estar en $B\cap M$: las regiones $B\cap M\cap S^{\prime }$ ($12$) y $B\cap M\cap S$ ($40$): $$12+40=52.$$

b)

(i) 1. $S\cap (M\cup B)$ son los de $S$ que estudian Matemáticas o Biología: $40+10+28=78$.

(ii) 1. $B\cap M\cap S^{\prime }$ es la región de $B$ y $M$ sin $S$: $12$.

c) El total de alumnos es $160$ (comprobación: $8+12+20+40+10+28+17+25=160$).

(i) 1. Estudian Matemáticas $12+20+40+28=100$ alumnos: $$P(M)=\frac{100}{160}=\frac{5}{8}=0,625.$$

(ii) 1. No estudian ni Biología ni Matemáticas los de «solo $S$» y los de fuera de todos los círculos: $17+25=42$. $$P=\frac{42}{160}=\frac{21}{80}\approx 0,263.$$

(iii) 1. Estudian Biología $8+12+40+10=70$ alumnos; de ellos $40+10=50$ reciben las clases en español. 2. Probabilidad condicionada: $$P(S\mid B)=\frac{50}{70}=\frac{5}{7}\approx 0,714.$$

Resultado: a) (i) $95$; (ii) $32$; (iii) $52$; b) (i) $78$; (ii) $12$; c) (i) $\frac{5}{8}$; (ii) $\frac{21}{80}\approx 0,263$; (iii) $\frac{5}{7}\approx 0,714$

a)

1. El dado de Aleph da $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ y el de Beth, $B=\{2,3,5,7\}$.
2. Los números comunes están en la intersección: $A\cap B=\{2,3,5\}$.
3. Solo en $A$: $1,4,6$. Solo en $B$: $7$. Fuera de los círculos no queda ningún número.

b)

1. $B\cap A^{\prime }$ son los números de $B$ que no están en $A$: solo el $7$. $$n(B\cap A^{\prime })=1.$$

c)

1. Al lanzar los dos dados hay $6\cdot 4=24$ resultados posibles, todos igual de probables.
2. Obtienen el mismo número en $3$ casos: $(2,2)$, $(3,3)$ y $(5,5)$.
3. Entonces $$P(\text{mismo nuˊmero})=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}.$$ Shin tiene razón, porque la probabilidad calculada es $\frac{1}{8}$.

Resultado: a) $A$ solo: $1,4,6$; $A\cap B$: $2,3,5$; $B$ solo: $7$; b) $1$; c) Shin tiene razón ($P=\frac{1}{8}$)

$U=\{1,2,\dots ,21\}$.

a)

1. Los factores (divisores) positivos de $21$ son los números que dividen a $21$: $$A=\{1,3,7,21\}.$$

b)

1. Los múltiplos de $7$ en $U$ son $B=\{7,14,21\}$.
2. i) La unión reúne los elementos de $A$ y de $B$, sin repetir: $$A\cup B=\{1,3,7,14,21\}.$$
3. ii) $C^{\prime }$ son los números pares de $U$. De los elementos de $B$, el único par es $14$: $$C^{\prime }\cap B=\{14\}.$$

c)

1. $C=\{1,3,5,\dots ,21\}$ son los impares. Los elementos de $A$ que están en $B$ y en $C$ son los múltiplos de $7$ que son impares: $A\cap B\cap C=\{7,21\}$.
2. Casos favorables entre casos posibles (los $4$ elementos de $A$): $$P=\frac{n(A\cap B\cap C)}{n(A)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Resultado: a) $\{1,3,7,21\}$; b) i) $\{1,3,7,14,21\}$; ii) $\{14\}$; c) $0,5$

Hay $30$ estudiantes: $12$ niñas y $18$ niños.

a)

1. Entre las niñas, $8$ saben nadar y $4$ de ellas saben también montar en bicicleta. Las que saben nadar pero no montar son $$a=8-4=4.$$
2. Comprobación con las niñas que saben montar: $6$ en total, $4$ que también nadan, luego $6-4=2$ solo montan, como indica el diagrama.
3. Entre los niños, la región «solo bicicleta» toma el valor $b=1$ (un niño sabe montar en bicicleta pero no nadar).

b)

1. Niñas que no saben ninguna de las dos cosas: $12-(4+4+2)=2$.
2. Niños que no saben ninguna: $18-(4+12+1)=1$.
3. En total no saben ninguna de las dos cosas $2+1=3$ estudiantes.

c)

1. Saben nadar los de la elipse $S$: $4+12+4+4=24$ estudiantes (niños: $4+12$; niñas: $4+4$).
2. $P(S)=\frac{24}{30}=0,8$.

d)

1. Probabilidad condicionada: nos restringimos a quienes saben montar en bicicleta. Son $12+4+1+2=19$ estudiantes.
2. De ellos son niñas $4+2=6$: $$P(\text{nin˜a}\mid B)=\frac{6}{19}\approx 0,316.$$

Resultado: a) $a=4$; $b=1$; b) $3$; c) $0,8$; d) $\frac{6}{19}\approx 0,316$

Sea $A$ el suceso «le gusta la mantequilla» y $B$ el suceso «le gusta la jalea». El universo tiene $30$ alumnos.

a)

1. A $6$ alumnos no les gusta ninguna de las dos cosas, luego fuera de los círculos va el $6$.
2. Les gusta al menos una cosa a $30-6=24$ alumnos, es decir, $n(A\cup B)=24$.
3. Para la intersección usamos $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$: $$24=18+10-n(A\cap B)\Rightarrow n(A\cap B)=4.$$
4. Solo mantequilla: $18-4=14$. Solo jalea: $10-4=6$.

b)

1. El número de alumnos a los que les gustan ambas cosas es la región de la intersección: $n(A\cap B)=4$.

c)

1. Es una probabilidad condicionada: $P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}$.
2. Entre los $10$ alumnos que cumplen $B$, $4$ cumplen también $A$: $$P(A\mid B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Resultado: a) diagrama completado (14, 4, 6 y 6 fuera); b) $4$; c) $\frac{2}{5}=0,4$

Sea $P$ «tiene perro», $G$ «tiene gato» y $A$ «tiene ave». Hay $100$ familias.

a)

1. Empezamos por el centro: los tres tipos a la vez, $P\cap G\cap A=4$.
2. Las regiones de dos tipos «pero no el tercero» ya están dadas: $P\cap G$ sin $A$ $=16$; $G\cap A$ sin $P$ $=8$; $P\cap A$ sin $G$ $=3$.
3. Solo perros: $56-16-3-4=33$.
4. Solo gatos: $38-16-8-4=10$.
5. Solo aves: $22-8-3-4=7$.
6. Familias con alguna mascota: $33+10+7+16+8+3+4=81$. Fuera de los círculos: $100-81=19$.

b)

1. Las familias sin mascotas son las de fuera de los círculos: $19$.

c)

1. Exactamente una mascota: solo perro, solo gato o solo ave: $33+10+7=50$ familias.
2. Porcentaje: $\frac{50}{100}\cdot 100=50\%$.

d)

1. Es una probabilidad condicionada: entre las $22$ familias con ave, las que tienen también gato son $8+4=12$. $$P(G\mid A)=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}\approx 0,545.$$

Resultado: a) diagrama de Venn completado; b) $19$ familias; c) $50\%$; d) $\frac{6}{11}\approx 0,545$

Sea $S$ «estudia español» y $F$ «estudia francés». Todos los alumnos estudian al menos un idioma, luego no hay región fuera de los círculos.

a)

1. $n(S)=15$ y $n(F)=12$.
2. Probabilidad condicionada: $P(F\mid S)=\frac{n(S\cap F)}{n(S)}=\frac{7}{15}$. Como $n(S)=15$, resulta $n(S\cap F)=7$.
3. Solo español: $15-7=8$. Solo francés: $12-7=5$.
4. Comprobación: en total hay $8+7+5=20$ alumnos, y $15+12-7=20$.

b)

1. «Estudia únicamente un idioma» agrupa a los que estudian solo español o solo francés: $8+5=13$ alumnos.
2. De ellos, $8$ estudian español: $$P(S\mid \text{solo un idioma})=\frac{8}{13}\approx 0,615.$$

Resultado: a) diagrama de Venn con $8$, $7$ y $5$; b) $\frac{8}{13}\approx 0,615$

Sean $D$ los que tienen cámara digital, $I$ los que tienen ipod y $C$ los que tienen teléfono celular.

a) Rellenamos el diagrama de dentro hacia fuera.

1. Los tres artículos: $1$ estudiante.
2. Dos artículos exactamente: $D\cap I$ sin $C$: $5$; $I\cap C$ sin $D$: $2$; $D\cap C$ sin $I$: $3$.
3. Solo un artículo, restando al total de cada conjunto lo ya colocado:
   • solo $D$: $18-5-3-1=9$;
   • solo $I$: $15-5-2-1=7$;
   • solo $C$: $26-3-2-1=20$.
4. Los que no tienen nada se calculan en el apartado b).

b)

1. Dentro de los círculos hay $9+7+20+5+2+3+1=47$ estudiantes.
2. Los demás no tienen ningún artículo: $50-47=3$ estudiantes.

c)

1. Casos favorables: solo cámara digital, $9$ estudiantes. Casos posibles: $50$. $$P=\frac{9}{50}=0,18.$$

d)

1. Hay $20$ estudiantes que tienen solo teléfono celular.
2. Se eligen dos sin reposición: la segunda elección se hace entre $49$ y quedan $19$ favorables. $$P=\frac{20}{50}\cdot \frac{19}{49}=\frac{38}{245}\approx 0,155.$$

e)

1. Es una probabilidad condicionada: el universo pasa a ser los $15$ que tienen ipod.
2. De ellos, $5+1=6$ tienen también cámara digital: $$P(D\mid I)=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Resultado: a) diagrama de Venn; b) $3$; c) $0,18$; d) $0,155$; e) $0,4$

Sean $B$ los ratones blancos, $M$ los machos y $C$ los de cola corta.

a) Rellenamos de dentro hacia fuera.

1. Las tres características: $5$. Ya está dado $C\cap B$ sin $M$: $3$.
2. $C\cap M$ sin $B$: $11-5=6$.
3. Solo $C$: $18-3-5-6=4$.
4. Los machos que no son blancos ni de cola corta (solo $M$): $7$.
5. $B\cap M$ sin $C$: de los $27$ machos, $27-7-6-5=9$.
6. Solo $B$: $30-3-5-9=13$.
7. Fuera de los círculos: $2$.
8. Comprobación: $4+13+7+3+6+9+5+2=49$.

b)

(i) 1. $M\cap B$ reúne las regiones «$B\cap M$ sin $C$» y «las tres»: $$n(M\cap B)=9+5=14.$$

(ii) 1. $M^{\prime }$ son los no machos: $49-27=22$. 2. A ellos se suman los que están en $C$ y no están en $M^{\prime }$, es decir, $C\cap M$: $6+5=11$. $$n(M^{\prime }\cup C)=22+11=33.$$

c)

1. Hay $18$ ratones de cola corta entre $49$. Se eligen dos sin reposición. $$P=\frac{18}{49}\cdot \frac{17}{48}=\frac{51}{392}\approx 0,130.$$

Resultado: a) diagrama de Venn; b) i) $14$; ii) $33$; c) $0,130$

a)

(i) 1. Todos los miembros asisten al menos a una actividad, así que no hay nadie fuera de los dos círculos. 2. En la intersección $D\cap S$ hay $x$ miembros. Solo teatro: $48-x$. Solo deportes: $44-x$.

(ii) 1. La suma de las tres regiones es el total del club: $$(48-x)+x+(44-x)=60\Rightarrow 92-x=60\Rightarrow x=32.$$

(iii) 1. $D\cap S$ son los que asisten a ambas cosas; su complementario $(D\cap S{)}^{\prime }$ son los que no asisten a ambas: los miembros que asisten solamente a representación teatral o solamente a deportes.

(iv) 1. Solo teatro: $48-32=16$. Solo deportes: $44-32=12$. En total $16+12=28$ miembros. $$P((D\cap S{)}^{\prime })=\frac{28}{60}=\frac{7}{15}\approx 0,467.$$

b)

(i) 1. Las $28$ mujeres incluyen $8$ que asisten a ambas cosas; las demás asisten a una sola: $28-8=20$ mujeres. $$P=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

(ii) 1. En total $32$ miembros asisten a ambas cosas, de los cuales $8$ son mujeres; los hombres son $32-8=24$. $$P=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Resultado: a) (ii) $x=32$; (iii) los que asisten solo a teatro o solo a deportes; (iv) $\frac{7}{15}$; b) (i) $\frac{1}{3}$; (ii) $\frac{2}{5}$

a)

1. Empezamos por el centro: los tres tipos de transporte lo usaron $20$ personas.
2. Cada región de dos conjuntos sin el tercero se obtiene restando $20$ a la intersección dada:
   • avión y tren, sin autobús: $25-20=5$;
   • avión y autobús, sin tren: $32-20=12$;
   • tren y autobús, sin avión: $35-20=15$.
3. Cada región de un solo conjunto se obtiene restando a su total lo que ya hemos colocado:
   • solo avión: $47-5-12-20=10$;
   • solo tren: $68-5-15-20=28$;
   • solo autobús: $122-12-15-20=75$.
4. Fuera de los tres círculos quedan las personas restantes: $180-(10+5+28+20+12+15+75)=180-165=15$.

b) Leemos los valores en el diagrama:

1. Únicamente en autobús: $75$.
2. En avión y autobús, pero no en tren: $12$.
3. Al menos en dos tipos: suma de las regiones de dos y de tres conjuntos: $5+12+15+20=52$.
4. En ninguno: $15$.

c)

1. Un único tipo de transporte: $10+28+75=113$ personas.
2. Casos favorables entre casos posibles: $$P(\text{un uˊnico tipo})=\frac{113}{180}\approx 0,628.$$

d)

1. Es una probabilidad condicionada. La condición («un único tipo») reduce el espacio muestral a $113$ personas, y de ellas $10$ viajaron solo en avión: $$P(\text{avioˊn}\mid \text{un uˊnico tipo})=\frac{P(\text{solo avioˊn})}{P(\text{un uˊnico tipo})}=\frac{10/180}{113/180}=\frac{10}{113}\approx 0,0885.$$

Resultado: b) i) $75$; ii) $12$; iii) $52$; iv) $15$; c) $0,628$; d) $0,0885$

a)

1. Empezamos por el centro: $3$ personas fueron a los tres viajes.
2. Las regiones con solo un viaje son $13$ (barco), $16$ (autocar) y $5$ (helicóptero).
3. Las regiones con dos viajes sin el tercero valen, según el enunciado: autocar y helicóptero sin barco, $x$; barco y helicóptero sin autocar, $2x$; barco y autocar sin helicóptero, $4x$.
4. Fuera de los círculos hay $8$ personas.

b)

1. La suma de todas las regiones es el total del grupo, $66$: $$13+4x+16+3+2x+x+5+8=66.$$
2. Agrupamos: $45+7x=66$.
3. Despejamos: $$7x=21\Rightarrow x=3.$$

c)

1. $B\cap C$ incluye la región «barco y autocar sin helicóptero» y el centro: $$n(B\cap C)=4x+3=4\cdot 3+3=15.$$

d)

(i) 1. Con $x=3$, «como mucho a un viaje» es: solo barco, solo autocar, solo helicóptero o ninguno: $$13+16+5+8=42.$$ 2. Probabilidad: $$P=\frac{42}{66}=\frac{7}{11}\approx 0,636.$$

(ii) 1. Es una probabilidad condicionada. Fueron a barco y helicóptero $2x+3=9$ personas (la región sin autocar más el centro). 2. De ellas, fueron también al autocar las $3$ del centro: $$P(C\mid B\cap H)=\frac{n(B\cap C\cap H)}{n(B\cap H)}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Resultado: b) $x=3$; c) $15$; d) i) $\frac{7}{11}\approx 0,636$; ii) $\frac{1}{3}\approx 0,333$

a)

1. Colocamos los datos tal como los da el enunciado: solo fresa $7$, solo café $6$, solo naranja $10$.
2. Fresa y café sin naranja: $3$; fresa y naranja sin café: $5$; naranja y café sin fresa: $4$.
3. En el centro (los tres sabores) va $x$, aún desconocido.
4. Fuera de los círculos van los clientes que no compraron bombones; sabemos por el apartado b) que son $13$.

b)

1. La suma de todas las regiones es el total de clientes, $50$: $$7+3+6+x+5+4+10+13=50.$$
2. Luego $48+x=50$, es decir, $$x=2.$$

c)

(i) 1. Compraron fresa: $7+3+5+2=17$ clientes. $$P(F)=\frac{17}{50}=0,34.$$

(ii) 1. Compraron naranja: $10+5+4+2=21$ clientes. $$P(O)=\frac{21}{50}=0,42.$$

(iii) 1. Dos sucesos son independientes si $P(F\cap O)=P(F)\cdot P(O)$. 2. Compraron fresa y naranja: $5+2=7$ clientes, luego $P(F\cap O)=\frac{7}{50}=0,14$. 3. Por otro lado, $P(F)\cdot P(O)=0,34\cdot 0,42=0,1428$. 4. Como $0,14\ne 0,1428$, los sucesos no son independientes.

d)

1. Es una probabilidad condicionada. Compraron café: $6+3+4+2=15$ clientes.
2. De ellos compraron también fresa: $3+2=5$. $$P(F\mid C)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Resultado: b) $x=2$; c) i) $0,34$; ii) $0,42$; iii) no son independientes ($0,14\ne 0,1428$); d) $\frac{1}{3}\approx 0,333$

a)

1. Empezamos por el centro: los que vieron los tres son $5$.
2. Vieron leopardos y rinocerontes $7$, y de ellos $5$ ya están en el centro: solo $L\cap R$ (sin $C$) hay $7-5=2$.
3. Vieron $C$ y $L$ pero no $R$: $1$. Solo $L$: $4$. Solo $C$: $3$. Solo $R$: $9$.
4. La región $C\cap R$ sin $L$ queda por determinar (apartado b).

b)

1. Todos los turistas vieron al menos un animal, así que las siete regiones suman $25$.
2. Ya tenemos $4+3+9+1+2+5=24$.
3. Los que vieron guepardos y rinocerontes pero no leopardos son $25-24=1$.

c)

(i) 1. Vieron leopardos los de las regiones de $L$: $4+1+5+2=12$. 2. $P(L)=\frac{12}{25}=0,48$.

(ii) 1. Vieron un solo tipo: $4+3+9=16$. 2. $P=\frac{16}{25}=0,64$.

(iii) 1. Es una probabilidad condicionada: nos restringimos a los $16$ que vieron un solo tipo. 2. Entre ellos, $4$ vieron solo leopardos: $$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}=0,25.$$

d)

1. Probabilidad condicionada: entre los $12$ que vieron leopardos, vieron también guepardos los de $L\cap C$: $1+5=6$.
2. $$P(C\mid L)=\frac{P(C\cap L)}{P(L)}=\frac{6/25}{12/25}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Resultado: b) $1$; c) (i) $0,48$; (ii) $0,64$; (iii) $0,25$; d) $0,5$

Total de alumnos: $100$. En un Venn de tres conjuntos se empieza por el centro y se va hacia fuera.

a)

1. En el centro, $M\cap C\cap E$, hay $10$ alumnos.
2. Los datos «Música y Química», «Música y Economía» y «Química y Economía» incluyen a esos $10$. Las regiones de solo dos materias son: $$M\cap C\cap E^{\prime }=15-10=5,M\cap E\cap C^{\prime }=17-10=7,C\cap E\cap M^{\prime }=12-10=2.$$
3. Los que estudian una sola materia son $11$ (solo Música) y $6$ (solo Química). Los valores de solo Economía y de fuera de los tres círculos se calculan en el apartado c).

b)

1. Estudian Música pero no Economía: solo Música más Música y Química sin Economía. $$11+5=16.$$

c)

(i) 1. En total $22$ estudian Economía; restamos las regiones de Economía que ya conocemos: $$22-10-7-2=3.$$

(ii) 1. Estudian alguna materia: $11+5+10+7+6+2+3=44$ alumnos. 2. No estudian ninguna: $100-44=56$.

d)

(i) 1. Casos favorables entre casos totales: $$P(E)=\frac{22}{100}=0,22.$$

(ii) 1. Es la región $M\cap C\cap E^{\prime }$, con $5$ alumnos: $$P(M\cap C\cap E^{\prime })=\frac{5}{100}=0,05.$$

(iii) 1. Estudian Música o Economía: $11+5+10+7+2+3=38$ alumnos. 2. Los que no estudian ninguna de las dos son los demás: $$P(M^{\prime }\cap E^{\prime })=\frac{100-38}{100}=\frac{62}{100}=0,62.$$

(iv) 1. Es una probabilidad condicionada: $P(M^{\prime }\mid E^{\prime })=\frac{P(M^{\prime }\cap E^{\prime })}{P(E^{\prime })}$. 2. No estudian Economía $100-22=78$ alumnos, y $62$ de ellos tampoco estudian Música: $$P(M^{\prime }\mid E^{\prime })=\frac{62}{78}=\frac{31}{39}\approx 0,795.$$

Resultado: a) diagrama con 11, 6, 5, 7, 2, 10, 3 y 56; b) $16$; c) (i) $3$; (ii) $56$; d) (i) $0,22$; (ii) $0,05$; (iii) $0,62$; (iv) $\frac{31}{39}\approx 0,795$

Total de familias: $40$.

a)

1. En el centro, $C\cap M\cap P$: $4$ familias.
2. Los datos «circo y museo pero no parque» y «circo y parque pero no museo» ya son regiones exactas: $7$ y $3$. Solo parque: $1$.
3. Parque en total son $14$ familias. Las del parque que son también del museo pero no del circo: $$14-4-3-1=6.$$
4. Circo en total son $16$. Solo circo: $$16-4-7-3=2.$$
5. Museo en total son $22$. Solo museo: $$22-4-7-6=5.$$
6. Dentro de algún círculo hay $2+7+5+3+4+6+1=28$ familias, luego fuera quedan $40-28=12$.

b)

1. (i) Solo al circo: $2$ familias.
2. (ii) Al museo y al parque pero no al circo: $6$ familias.
3. (iii) A ninguno de los tres lugares: $12$ familias.

c)

(i) $$P(C)=\frac{16}{40}=0,4.$$

(ii) 1. Dos o más lugares: $7+3+6+4=20$ familias. $$P=\frac{20}{40}=\frac{1}{2}=0,5.$$

(iii) 1. Parque o circo pero no museo: solo circo, solo parque y circo con parque sin museo: $2+1+3=6$ familias. $$P=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}=0,15.$$

(iv) 1. Probabilidad condicionada: de las $16$ familias del circo, $7+4=11$ fueron también al museo. $$P(M\mid C)=\frac{11}{16}\approx 0,688.$$

d)

1. Se eligen dos familias sin reposición; la segunda se elige entre $39$ y quedan $15$ del circo: $$P=\frac{16}{40}\cdot \frac{15}{39}=\frac{2}{13}\approx 0,154.$$

Resultado: a) diagrama con 2, 7, 5, 3, 4, 6, 1 y 12; b) (i) $2$, (ii) $6$, (iii) $12$; c) (i) $0,4$, (ii) $0,5$, (iii) $0,15$, (iv) $\frac{11}{16}\approx 0,688$; d) $\frac{2}{13}\approx 0,154$

Total de mujeres: $120$.

a)

1. En el centro, $E\cap S\cap A$: $7$.
2. Las regiones de una sola zona son $28$ (solo $E$), $22$ (solo $S$) y $16$ (solo $A$).
3. Las regiones de dos zonas sin la tercera son $15$ ($E\cap S$ sin $A$), $x$ ($S\cap A$ sin $E$) y $2x$ ($E\cap A$ sin $S$).
4. Fuera de los tres círculos hay $20$.

b)

1. La suma de todas las regiones es $120$: $$28+22+16+7+15+x+2x+20=120\Rightarrow 108+3x=120\Rightarrow x=4.$$
2. Así, $S\cap A$ sin $E$ vale $4$ y $E\cap A$ sin $S$ vale $8$.

c)

1. $E\cup S$ son las mujeres que estuvieron en Europa o en Sudamérica, y $A^{\prime }$ las que no estuvieron en Asia. Por tanto, son las mujeres que habían estado en Europa o en Sudamérica (o en ambas), pero no en Asia.

d)

1. $(E\cup S\cup A{)}^{\prime }$ es la región de fuera de los tres círculos: $n=20$.

e)

1. Europa en total: $28+15+7+8=58$. $$P(E)=\frac{58}{120}=\frac{29}{60}\approx 0,483.$$

f)

1. Probabilidad condicionada: Asia en total son $16+7+4+8=35$ mujeres, y de ellas han estado en Europa $7+8=15$. $$P(E\mid A)=\frac{15}{35}=\frac{3}{7}\approx 0,429.$$

g)

1. Sudamérica en total: $22+15+7+4=48$ mujeres.
2. Se eligen dos sin reposición: $$P=\frac{48}{120}\cdot \frac{47}{119}=\frac{94}{595}\approx 0,158.$$

Resultado: a) diagrama con 28, 15, 22, $2x=8$, 7, $x=4$, 16 y 20; b) $x=4$; c) las mujeres que habían estado en Europa o Sudamérica pero no en Asia; d) $20$; e) $\frac{29}{60}\approx 0,483$; f) $\frac{3}{7}\approx 0,429$; g) $\frac{94}{595}\approx 0,158$

Sean $S$ saxofón, $C$ clarinete y $D$ batería. Hay $40$ alumnos en total y $25$ están en la banda.

a) Rellenamos las regiones empezando por el centro y yendo hacia fuera.

1. Los tres instrumentos: $3$.
2. Solo $S$ y $C$: $5$.
3. Saben tocar al menos $C$ y $D$: $5$. Esa cifra incluye al centro, luego solo $C$ y $D$ son $5-3=2$.
4. Saben tocar al menos $S$ y $D$: $7$, luego solo $S$ y $D$ son $7-3=4$.
5. Saxofón en total: $16$. Solo $S$ es $16-(5+3+4)=4$.
6. Clarinete en total: $12$. Solo $C$ es $12-(5+3+2)=2$.
7. En la banda hay $25$ alumnos. Solo $D$ es $25-(4+5+2+3+4+2)=25-20=5$.
8. Fuera de la banda quedan $40-25=15$ alumnos.

b) La banda tiene $25$ alumnos y las otras siete regiones suman $4+5+2+3+4+2=20$. Solo batería: $25-20=5$ alumnos.

c) Casos favorables: solo saxofón, $4$. $$P(\text{solo }S)=\frac{4}{40}=0,1.$$

d) Sabe tocar clarinete, batería o ambos: es $C\cup D$. Sumamos las regiones dentro de $C$ o de $D$: $2+5+3+2+4+5=21$. $$P(C\cup D)=\frac{21}{40}=0,525.$$

e) Probabilidad condicionada: el universo es ahora el saxofón, con $16$ alumnos. De ellos tocan también el clarinete $5+3=8$. $$P(C\mid S)=\frac{n(C\cap S)}{n(S)}=\frac{8}{16}=0,5.$$

Resultado: b) $5$; c) $0,1$; d) $0,525$; e) $0,5$

Sean $W$ agua, $C$ café y $F$ zumo de frutas. Hay $100$ niños.

a)

1. Las tres bebidas: $5$ (centro).
2. Solo agua y café: $7$; solo café y zumo: $53$; solo agua y zumo: $18$.
3. Solo agua: $1$; solo café: $6$; solo zumo: $8$.

b)

1. Dentro de los círculos hay $1+7+6+5+18+53+8=98$ niños.
2. Los que no bebieron ninguna de las tres: $100-98=2$ niños.

c)

(i) 1. Bebieron café: solo café, café y agua, las tres y café y zumo: $6+7+5+53=71$. $$P(C)=\frac{71}{100}=0,71.$$

(ii) 1. Agua o zumo pero no café: solo agua, solo zumo, y agua con zumo sin café: $1+8+18=27$. $$P=\frac{27}{100}=0,27.$$

(iii) 1. Es condicionada: el universo son los que bebieron agua, $1+7+5+18=31$. 2. De ellos no bebieron zumo: solo agua y agua con café, $1+7=8$. $$P(F^{\prime }\mid W)=\frac{8}{31}\approx 0,258.$$

d)

1. Hay $5$ niños que bebieron las tres cosas. Se eligen dos niños sin repetición: la segunda elección depende de la primera.
2. $$P=\frac{5}{100}\cdot \frac{4}{99}=\frac{20}{9900}=\frac{1}{495}\approx 0,00202.$$

Resultado: b) $2$; c) i) $0,71$; ii) $0,27$; iii) $\frac{8}{31}\approx 0,258$; d) $\frac{1}{495}\approx 0,00202$

Hay $20$ estudiantes. $S$ es Ciencias, $M$ Matemáticas y $H$ Historia.

a)

(i) 1. Matemáticas lo estudian $10$ estudiantes. Las regiones de $M$ suman $1+2+3+n(A)$, luego $$1+2+3+n(A)=10\Rightarrow n(A)=4.$$ 2. Comprobación con Ciencias: $4+1+2+1=8$, correcto. Con Historia: $1+2+3+3=9$, correcto.

(ii) 1. La región $A$ está dentro de $M$ y fuera de $S$ y de $H$: son los estudiantes que estudian solo Matemáticas.

(iii) 1. Dentro de los círculos hay $4+1+4+2+1+3+3=18$ estudiantes. 2. No estudian ninguna de las tres materias: $20-18=2$.

b) $S^{\prime }\cap H$ son los estudiantes de Historia que no estudian Ciencias: la parte de $H$ fuera de $S$ (la región de solo $H$ y la de $M$ y $H$ sin $S$).

c)

1. $n(S\cup H)$ son los estudiantes que estudian Ciencias o Historia. Una forma: sumar las regiones de $S$ y de $H$ sin repetir, es decir, los $18$ de los círculos menos los que solo estudian Matemáticas: $$n(S\cup H)=18-4=14.$$
2. Otra forma: $n(S\cup H)=n(S)+n(H)-n(S\cap H)=8+9-3=14$, porque $S\cap H$ tiene $2+1=3$ estudiantes.

d)

(i) 1. Estudian las tres materias: $2$ estudiantes de $20$. $$P=\frac{2}{20}=0,1.$$

(ii) 1. Historia o Ciencias: $n(S\cup H)=14$. $$P=\frac{14}{20}=0,7.$$

e) Se eligen dos estudiantes sin repetición.

(i) 1. El capitán estudió los tres temas: $\frac{2}{20}$. 2. Quedan $19$ estudiantes y $2$ no estudian ninguna materia: $\frac{2}{19}$. $$P=\frac{2}{20}\cdot \frac{2}{19}=\frac{4}{380}=\frac{1}{95}\approx 0,0105.$$

(ii) 1. Solo Ciencias son $4$ estudiantes y solo Historia son $3$. 2. Pueden salir en dos órdenes (primero el de Ciencias o primero el de Historia), con la misma probabilidad: $$P=2\cdot \frac{4}{20}\cdot \frac{3}{19}=\frac{24}{380}=\frac{6}{95}\approx 0,0632.$$

(iii) 1. Probabilidad condicionada. Si el capitán estudió Historia y Matemáticas, quedan $19$ estudiantes. 2. Historia la estudian $9$, y uno de ellos es el capitán: quedan $8$ estudiantes de Historia. $$P=\frac{8}{19}\approx 0,421.$$

Resultado: a) i) $4$; ii) solo Matemáticas; iii) $2$; c) $14$; d) i) $0,1$; ii) $0,7$; e) i) $\frac{1}{95}\approx 0,0105$; ii) $\frac{6}{95}\approx 0,0632$; iii) $\frac{8}{19}\approx 0,421$

El conjunto universal es $U=\{1,2,3,\dots ,15\}$, con $15$ elementos.

a)

(i) 1. Números primos menores que $16$: $A=\{2,3,5,7,11,13\}$.

(ii) 1. Los divisores de $36$ menores que $16$ son los que cumplen $36=d\cdot k$: $B=\{1,2,3,4,6,9,12\}$.

(iii) 1. Múltiplos de $4$ menores que $16$: $C=\{4,8,12\}$.

(iv) 1. Ningún elemento de $C$ es primo (son todos pares mayores que $2$), luego no hay nada común a los tres: $$A\cap B\cap C=\varnothing .$$

b)

1. $A\cap B=\{2,3\}$ y $B\cap C=\{4,12\}$ no son vacíos; $A\cap C=\varnothing$. Por tanto, $A$ y $B$ se solapan, $B$ y $C$ se solapan, y $A$ y $C$ no.
2. Reparto de los elementos: solo $A$: $5,7,11,13$; $A\cap B$: $2,3$; solo $B$: $1,6,9$; $B\cap C$: $4,12$; solo $C$: $8$; fuera de los tres círculos: $10,14,15$.

c)

(i) 1. $B\cup C=\{1,2,3,4,6,8,9,12\}$. Los elementos de $A$ que están ahí: $$A\cap (B\cup C)=\{2,3\}.$$

(ii) 1. $A\cap B=\{2,3\}$, luego su complementario son los demás elementos de $U$: $$(A\cap B{)}^{\prime }=\{1,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}.$$

(iii) 1. De $C=\{4,8,12\}$ ninguno está en $A\cap B$, luego todos están en el complementario: $$(A\cap B{)}^{\prime }\cap C=\{4,8,12\}.$$

d) Casos posibles: $n(U)=15$.

(i) 1. Primos: $6$ elementos. $$P=\frac{6}{15}=0,4.$$

(ii) 1. Primos que no son factores de $36$: $A$ menos $A\cap B$, es decir $\{5,7,11,13\}$, $4$ elementos. $$P=\frac{4}{15}\approx 0,267.$$

(iii) 1. Factores de $36$ o múltiplos de $4$ son $B\cup C$ ($8$ elementos). Quitamos los primos $\{2,3\}$: quedan $\{1,4,6,8,9,12\}$, $6$ elementos. $$P=\frac{6}{15}=0,4.$$

(iv) 1. Probabilidad condicionada: el universo son los factores de $36$, $n(B)=7$. De ellos son primos $2$ y $3$. $$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{2}{7}\approx 0,286.$$

Resultado: a) i) $\{2,3,5,7,11,13\}$; ii) $\{1,2,3,4,6,9,12\}$; iii) $\{4,8,12\}$; iv) $\varnothing$; c) i) $\{2,3\}$; ii) $\{1,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$; iii) $\{4,8,12\}$; d) i) $0,4$; ii) $\frac{4}{15}\approx 0,267$; iii) $0,4$; iv) $\frac{2}{7}\approx 0,286$