La probabilidad y sus propiedades: Laplace, complementario y unión

Qué mide la probabilidad

Imagina que repites muchas veces un experimento aleatorio y anotas cuántas veces ocurre un suceso $S$. Esa cantidad es la frecuencia absoluta $f(S)$. Si repites el experimento $N$ veces, la frecuencia relativa es

$$\mathrm{fr}(S)=\frac{f(S)}{N}$$

Cuando $N$ es muy grande, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un valor fijo. Ese valor es la probabilidad $P(S)$. Este comportamiento se conoce como ley de los grandes números. Por eso, en la práctica, una frecuencia relativa obtenida con muchos datos sirve como estimación de la probabilidad.

Las frecuencias relativas cumplen tres cosas evidentes: están entre 0 y 1, la del suceso seguro vale 1 y la de dos sucesos que no pueden darse a la vez es la suma de las dos. Los axiomas de la probabilidad son justo esas tres ideas.

La regla de Laplace

Cuando todos los resultados elementales del espacio muestral son equiprobables (igual de probables), calcular una probabilidad es contar.

Una moneda, un dado o la extracción de una carta de una baraja bien barajada son equiprobables. Una moneda trucada o un dado cargado, no. Antes de usar Laplace, comprueba que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Si el enunciado habla de «al azar», lo son.

Para contar casos favorables y posibles, usa lo que viste en el apartado anterior: listar los resultados, un diagrama de Venn o una tabla de resultados de dos experimentos (por ejemplo, dos dados). En una tabla de resultados, cada casilla es un resultado elemental equiprobable.

Propiedades de la probabilidad

Por qué son ciertas:

• Complementario. $A$ y $A^{\prime }$ no se solapan y entre los dos cubren todo el espacio muestral, así que $P(A)+P(A^{\prime })=P(U)=1$. Es la propiedad más útil: cuando una pregunta dice «al menos uno», casi siempre conviene calcular el contrario.
• Unión. Si sumas $P(A)+P(B)$, la zona común $A\cap B$ queda contada dos veces. Hay que restarla una vez.
• Inclusión. Si $A$ está dentro de $B$, $B$ contiene a $A$ y además otros resultados, que no restan probabilidad.

Las cuatro regiones del diagrama de Venn

Dos sucesos $A$ y $B$ dividen el espacio muestral en cuatro regiones que no se solapan. Sus probabilidades suman 1 y de ahí salen casi todas las relaciones:

De este dibujo salen tres fórmulas muy usadas:

$$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^{\prime })$$

$$P(A\cap B^{\prime })=P(A)-P(A\cap B)$$

$$P(A^{\prime }\cap B^{\prime })=1-P(A\cup B)$$

La primera dice que $A$ se reparte en la parte que comparte con $B$ y la que no. La tercera dice que «ni $A$ ni $B$» es lo contrario de «$A$ o $B$». Del mismo modo, $P(A^{\prime }\cup B^{\prime })=1-P(A\cap B)$.

Tablas de contingencia

Una tabla de contingencia (o de doble entrada) clasifica a la vez los datos según dos criterios y lleva los totales de filas y columnas. Cada casilla interior es una intersección, y los totales marginales dan los sucesos simples. Si eliges un elemento al azar, Laplace se aplica directamente: la probabilidad de un suceso es el número de casos del suceso entre el total general.

Por ejemplo, en esta tabla de 50 clientes de una tienda:

La probabilidad de que un cliente sea menor de 30 años y pague con tarjeta es $\frac{12}{50}$, la casilla interior dividida entre el total general. La de que pague en efectivo es $\frac{24}{50}$, el total de la columna entre el total general. La probabilidad de «menor de 30 años o paga con tarjeta» es $\frac{20}{50}+\frac{26}{50}-\frac{12}{50}=\frac{34}{50}$.