Experimentos compuestos y diagramas de árbol

Experimentos de varias etapas

Mucha probabilidad real no ocurre de golpe, sino por pasos: se saca una carta y luego otra, se elige un proveedor y después se comprueba si la pieza falla, llueve o no llueve y luego el equipo gana o pierde. Cada paso es una etapa. El conjunto de los resultados posibles del experimento completo son las parejas (o ternas…) de resultados de cada etapa.

Para organizar los resultados se dibuja un árbol que se lee de izquierda a derecha:

• De un punto inicial salen tantas ramas como resultados tiene la primera etapa.
• Al final de cada rama sale un nuevo grupo de ramas, con los resultados de la segunda etapa en ese caso.
• Cada camino completo, desde el inicio hasta el extremo derecho, es un resultado del experimento compuesto.

Las probabilidades en las ramas

Esa última comprobación es la más útil del tema: si en un nodo las probabilidades no suman 1, hay un error (o falta una rama). Y también te permite rellenar huecos: si una rama sale de un nodo con una probabilidad conocida, la otra vale $1-$ la conocida.

Probabilidad de un camino completo

La intuición: la fracción $P(A)$ del total pasa por la rama $A$, y de esa fracción solo una parte $P(B\mid A)$ continúa por la rama $B$. Una parte de una parte es un producto.

Las probabilidades de todos los caminos completos suman 1, ya que cubren todos los resultados posibles. Es una segunda comprobación que conviene hacer al terminar el árbol.

Probabilidad de un suceso: sumar caminos

Un suceso suele cumplirse por varios caminos distintos. Como esos caminos no pueden ocurrir a la vez (son incompatibles), sus probabilidades se suman.

Con y sin reemplazamiento

Cuando se extraen objetos de un conjunto (bolas, cartas, bombones, alumnos), todo depende de si lo extraído se devuelve o no.

Si de un grupo de 10 objetos hay 4 de un tipo, la probabilidad de que el primero sea de ese tipo es $\frac{4}{10}$. Con reemplazamiento, la del segundo también es $\frac{4}{10}$. Sin reemplazamiento, es $\frac{3}{9}$ si el primero era de ese tipo (quedan 3 de 9) y $\frac{4}{9}$ si no lo era (quedan 4 de 9). En ambos casos, en cada nodo las ramas siguen sumando 1.

Probabilidad condicionada leída del árbol

Un árbol dice «primero esto, después aquello». Pero a veces se pregunta al revés: ya sabes cómo ha terminado y quieres saber cómo empezó.

La idea es la de un reparto: de todos los casos que terminan en $B$, ¿qué parte pasa por la rama $A$? Esta es la lógica de Bayes: no hace falta aprender otra fórmula, basta con dividir un camino entre la suma de los caminos que cumplen la condición.

Hay un hecho que sorprende al principio. $P(B\mid A)$ es una probabilidad que lees directamente en la rama, pero $P(A\mid B)$ no está en el árbol: hay que calcularla dividiendo. No son iguales, y confundirlas es un error muy frecuente (ver errores típicos).