IB Aplicaciones e Interpretación NM · Probabilidad · Apartado 1 de 4

Sucesos y espacio muestral: unión, intersección y Venn

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Antes de calcular una probabilidad hay que saber qué puede pasar y qué estás contando. Este apartado da el vocabulario: experimento aleatorio, espacio muestral y sucesos, y las operaciones con ellos (unión, intersección, complementario). En el examen del IB lo verás sobre todo como diagramas de Venn y tablas de resultados, y es la base de todo el tema.

Experimento aleatorio y espacio muestral

Un suceso $A$ se verifica cuando el resultado del experimento es uno de los elementos de $A$ . Con un dado de 6 caras, $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ y $n (U) = 6$ . El suceso $A$ : «sale un número primo» es $A = {2, 3, 5}$ , con $n (A) = 3$ . Si sale el 5, $A$ se ha verificado; si sale el 4, no.

Dos sucesos son especiales:

El suceso seguro es $U$ : siempre se verifica.
El suceso imposible es el conjunto vacío, $\emptyset$ : no se verifica nunca. No tiene ningún elemento, así que $n (\emptyset) = 0$ .

Un suceso se llama compuesto si tiene más de un resultado (como $A = {2, 3, 5}$ ) y elemental si tiene uno solo.

Escribir el espacio muestral

Hay que listar los resultados sin olvidar ninguno y sin repetirlos. Para un experimento de una sola etapa basta una lista. Para uno de dos etapas (dos lanzamientos, dos extracciones…) cada resultado es un par ordenado, y lo más seguro es una tabla de resultados (de doble entrada): las filas son los resultados de la primera etapa, las columnas los de la segunda y cada casilla es un resultado de $U$ .

Por ejemplo, se lanzan dos dados de 4 caras (numerados del 1 al 4) y se anota la suma:

Primer dado \ Segundo dado	1	2	3	4
1	2	3	4	5
2	3	4	5	6
3	4	5	6	7
4	5	6	7	8

La tabla tiene $4 \times 4 = 16$ casillas, así que $n (U) = 16$ (cada casilla es un par distinto, como $(1, 4)$ o $(4, 1)$ ). El suceso «la suma es 5» tiene 4 casillas: ${(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}$ .

Operaciones con sucesos

Los sucesos son conjuntos, así que se combinan como los conjuntos. Sean $A$ y $B$ dos sucesos del mismo experimento.

En lenguaje corriente: «o» es unión, «y» es intersección y «no» es complementario. La palabra «o» en matemáticas no excluye el caso en que ocurren los dos.

Cuatro diagramas de Venn de A y B: A ∪ B (los dos círculos sombreados), A ∩ B (solo la zona común), A′ (todo salvo el círculo A) y A ∩ B′ (la parte de A que no está en B)

Con un dado, «sale par» y «sale 5» son incompatibles: no existe un resultado que cumpla las dos cosas. En cambio «sale par» y «sale más de 3» no lo son, porque el 4 y el 6 verifican ambos.

Las leyes de De Morgan

Dos igualdades permiten pasar del complementario de una unión o de una intersección a los complementarios de cada suceso.

Leyes de De Morgan con diagramas de Venn: (A ∪ B)′ es lo que queda fuera de los dos círculos y (A ∩ B)′ es todo salvo la zona común

Diagramas de Venn con cantidades

Cuando el enunciado da cuántos elementos hay en cada conjunto, se rellena el diagrama de Venn con números en cada región. Un diagrama con dos sucesos tiene cuatro regiones: solo $A$ , solo $B$ , ambos y ninguno.

Escribe en cada región el número de elementos, no el total del círculo: un fallo muy frecuente es poner $n (A)$ entero en la parte de «solo $A$ ».

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Fichas numeradas del 1 al 12

Una bolsa contiene 12 fichas numeradas del 1 al 12. Se saca una ficha al azar y se consideran los sucesos $A$ : «el número es múltiplo de 3» y $B$ : «el número es par».

a) Escribe $A \cap B$ .

b) Escribe $A \cup B$ .

c) Escribe $A^{'}$ .

d) Escribe $A \cap B^{'}$ .

Solución

El espacio muestral es $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$ , y los sucesos son $A = {3, 6, 9, 12} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}$

a) $A \cap B$ son los números que están en los dos: $A \cap B = {6, 12}$ .

b) $A \cup B$ reúne los de uno u otro (sin repetir): $A \cup B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}$ .

c) $A^{'}$ son los de $U$ que no están en $A$ : $A^{'} = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}$ .

d) $A \cap B^{'}$ son los múltiplos de 3 que no son pares: $A \cap B^{'} = {3, 9}$ .

Ejemplo 2 Medio

Dos ruletas y una tabla de resultados

Se hacen girar dos ruletas. La primera da un número del 1 al 3 y la segunda, un número del 1 al 4. Cada resultado es un par $(a, b)$ , donde $a$ es el número de la primera y $b$ el de la segunda. Sea $A$ el suceso «la suma $a + b$ es par» y $B$ el suceso «el producto $a \cdot b$ es mayor o igual que 6».

a) Calcula $n (U)$ .

b) Calcula $n (A)$ y $n (B)$ .

c) Escribe $A \cap B$ .

d) Calcula $n (A \cup B)$ y el número de resultados que no están ni en $A$ ni en $B$ .

Solución

Organizamos los 12 resultados en una tabla, con el par $(a, b)$ en cada casilla:

$a$ \ $b$	1	2	3	4
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)

a) La tabla tiene $3 \cdot 4 = 12$ casillas: $n (U) = 12$ .

b) La suma es par cuando $a$ y $b$ tienen la misma paridad: $A = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3)} n (A) = 6$ El producto es al menos 6 en estos pares: $B = {(2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} n (B) = 5$

c) Los pares que están en las dos listas son $(2, 4)$ y $(3, 3)$ : $A \cap B = {(2, 4), (3, 3)}$

d) Contamos sin repetir los comunes: $n (A \cup B) = 6 + 5 - 2 = 9$ . Los que no están en ninguno son $12 - 9 = 3$ (en concreto $(1, 2)$ , $(1, 4)$ y $(2, 1)$ ).

Ejemplo 3 Difícil

Una encuesta con una incógnita en el Venn

En un grupo de 60 personas, 34 leen prensa digital y 28 escuchan podcasts. Hay 10 personas que no hacen ninguna de las dos cosas. Se elige una persona del grupo al azar. Sean $A$ : «lee prensa digital» y $B$ : «escucha podcasts».

a) Halla el número de personas que hacen las dos cosas.

b) Calcula $n (A \cap B^{'})$ .

c) Calcula cuántas personas hacen exactamente una de las dos cosas.

d) Calcula $n (A^{'} \cup B^{'})$ e interpreta el resultado con palabras.

Solución

a) Llamamos $x = n (A \cap B)$ y rellenamos el diagrama de Venn de dentro a fuera:

Solo $A$ : $34 - x$ .
Solo $B$ : $28 - x$ .
Ninguna: $10$ .

La suma de las cuatro regiones es el total del grupo: $(34 - x) + x + (28 - x) + 10 = 60 ⟹ 72 - x = 60 ⟹ x = 12$ Hacen las dos cosas 12 personas.

b) $A \cap B^{'}$ es «solo $A$ »: $n (A \cap B^{'}) = 34 - 12 = 22$ .

c) Solo $A$ son 22 y solo $B$ son $28 - 12 = 16$ . Como son incompatibles entre sí, se suman: $22 + 16 = 38$ .

d) Por De Morgan, $A^{'} \cup B^{'} = (A \cap B)^{'}$ , así que $n (A^{'} \cup B^{'}) = 60 - n (A \cap B) = 60 - 12 = 48$ Son las personas que no hacen las dos cosas a la vez (hacen una sola o ninguna): $22 + 16 + 10 = 48$ , que coincide.

En el examen: puntúa dibujar el diagrama con las cuatro regiones y plantear la ecuación de la suma igual al total. Si pones $n (A) = 34$ entero en la zona de «solo $A$ », el resto del problema sale mal. Escribe también qué suceso representa cada cantidad que calculas.

Errores típicos

Resumen

Un experimento aleatorio tiene resultados conocidos, pero no se sabe cuál saldrá. El espacio muestral $U$ reúne todos los resultados y un suceso es un subconjunto de $U$ ; $n (A)$ cuenta sus elementos.
El suceso seguro es $U$ y el imposible es $\emptyset$ , con $n (\emptyset) = 0$ .
$A \cup B$ es « $A$ o $B$ (o ambos)», $A \cap B$ es « $A$ y $B$ », $A^{'}$ es «no $A$ » y $A \cap B^{'}$ es « $A$ pero no $B$ ».
$A$ y $B$ son incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .
Leyes de De Morgan: $(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$ y $(A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$ .
Con dos etapas se usa una tabla de resultados: $n (U)$ es el producto de las posibilidades de cada etapa y cada resultado es un par ordenado.
En un Venn con números se rellena de dentro a fuera, escribiendo en cada región el número de elementos propios, y la suma de las cuatro regiones es $n (U)$ .

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