IB Aplicaciones e Interpretación NM · Probabilidad · Apartado 3 de 4

Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

A veces sabes algo antes de calcular una probabilidad: «ya sé que el alumno es de segundo», «ya sé que el cliente pagó con tarjeta». Esa información cambia la probabilidad, y la probabilidad condicionada mide cómo. Si la información no cambia nada, los sucesos son independientes. En el examen del IB aparece con tablas de contingencia, diagramas de Venn y datos sueltos como $P (A)$ , $P (B)$ y $P (A \cup B)$ .

Probabilidad condicionada

Imagina que hay 100 usuarios de una biblioteca y quieres la probabilidad de que uno elegido al azar tenga carnet de socio. Si antes te dicen que es menor de edad, ya no eliges entre los 100: eliges solo entre los menores. La información reduce el espacio muestral, y eso es todo lo que hace la probabilidad condicionada.

La fórmula tiene sentido: del conjunto $B$ , que ahora es todo tu universo, solo cuentan los casos que además están en $A$ , es decir, $A \cap B$ . Dividir entre $P (B)$ vuelve a dejar el universo con probabilidad 1.

Fíjate en que $P (A ∣ B)$ y $P (B ∣ A)$ son números distintos: cambia el denominador.

Regla del producto

Si despejas $P (A \cap B)$ en la definición, obtienes una forma muy útil para calcular la probabilidad de que ocurran las dos cosas.

Condicionada con una tabla de contingencia

Una tabla de contingencia (o de doble entrada) reparte a los individuos según dos características a la vez. Con ella no hace falta la fórmula: basta con quedarte solo con la fila o la columna de la condición y dividir.

Con la fórmula obtienes lo mismo: el número de individuos de $A \cap B$ entre el total de la tabla es $P (A \cap B)$ , y el total de $B$ entre el total de la tabla es $P (B)$ ; al dividir, el total de la tabla se cancela.

Sucesos independientes

Dos sucesos son independientes cuando saber que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad del otro.

La comprobación más cómoda en el examen es la última: calcula $P (A \cap B)$ por un lado y $P (A) \cdot P (B)$ por otro, y compáralos. Si son iguales, independientes; si no, dependientes. Escribe siempre ambos valores.

Una consecuencia útil: si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^{'}$ , $A^{'}$ y $B$ , y $A^{'}$ y $B^{'}$ . Así que, por ejemplo, $P (A \cap B^{'}) = P (A) \cdot P (B^{'})$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Abonados en un tren

En un vagón viajan 120 personas. La tabla las clasifica por edad y por si llevan abono de transporte.

	Con abono	Sin abono	Total
Jóvenes	28	12	40
Adultos	32	48	80
Total	60	60	120

Se elige una persona al azar del vagón.

a) Sabiendo que es joven, calcula la probabilidad de que lleve abono.

b) Sabiendo que lleva abono, calcula la probabilidad de que sea joven.

c) Sabiendo que no lleva abono, calcula la probabilidad de que sea adulta.

Solución

a) La condición es «joven», así que el universo son las 40 personas de la primera fila. De ellas, 28 llevan abono: $P (abono ∣ joven) = \frac{28}{40} = \frac{7}{10}$

b) Ahora la condición es «con abono», es decir, la primera columna, con 60 personas. De ellas, 28 son jóvenes: $P (joven ∣ abono) = \frac{28}{60} = \frac{7}{15}$

c) La condición es «sin abono»: 60 personas, de las que 48 son adultas: $P (adulta ∣ sin abono) = \frac{48}{60} = \frac{4}{5}$

Observa que los apartados a) y b) dan resultados distintos: el numerador es el mismo (28), pero el denominador cambia con la condición.

Ejemplo 2 Medio

Dos sucesos con datos sueltos

En un barrio se elige un hogar al azar. Sea $A$ el suceso «tiene perro» y $B$ el suceso «tiene gato». Se sabe que $P (A) = \frac{3}{8} P (B) = \frac{1}{2} P (A \cup B) = \frac{5}{8}$

a) Calcula la probabilidad de que el hogar tenga perro y gato.

b) Sabiendo que el hogar tiene gato, calcula la probabilidad de que tenga perro.

c) Sabiendo que el hogar tiene perro, calcula la probabilidad de que tenga gato.

d) ¿Son $A$ y $B$ independientes?

Solución

a) Se usa $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ y se despeja: $\frac{5}{8} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - P (A \cap B) \Rightarrow P (A \cap B) = \frac{7}{8} - \frac{5}{8} = \frac{1}{4}$

b) Se divide entre la probabilidad de la condición, que es $B$ : $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}$

c) Ahora la condición es $A$ : $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )} = \frac{1/4}{3/8} = \frac{2}{3}$

d) Se comparan $P (A \cap B)$ y $P (A) \cdot P (B)$ : $P (A) \cdot P (B) = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{16} \neq = \frac{1}{4} = P (A \cap B)$ No coinciden, luego $A$ y $B$ no son independientes. Es coherente con los apartados anteriores: $P (A ∣ B) = \frac{1}{2} \neq = \frac{3}{8} = P (A)$ . Tener gato hace más probable que haya perro.

Ejemplo 3 Difícil

Independientes, no incompatibles

En una cafetería, un cliente elegido al azar pide postre (suceso $A$ ) y pide café (suceso $B$ ). Se sabe que $P (A) = \frac{3}{10}$ , que $P (A \cup B) = \frac{13}{20}$ y que $A$ y $B$ son independientes.

a) Calcula $P (B)$ .

b) Calcula $P (A \cap B)$ .

c) Calcula la probabilidad de que un cliente pida café sabiendo que no ha pedido postre.

d) ¿Son $A$ y $B$ incompatibles?

Solución

a) Por ser independientes, $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Se sustituye en la fórmula de la unión, con $P (B) = b$ : $\frac{13}{20} = \frac{3}{10} + b - \frac{3}{10} b$ $\frac{13}{20} - \frac{6}{20} = \frac{7}{10} b \Rightarrow \frac{7}{20} = \frac{7}{10} b \Rightarrow b = \frac{1}{2}$

b) $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$ .

c) Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A^{'}$ y $B$ . Por tanto, saber que no ha pedido postre no cambia la probabilidad del café: $P (B ∣ A^{'}) = P (B) = \frac{1}{2}$ Se puede comprobar con la definición: $P (A^{'} \cap B) = P (B) - P (A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{3}{20} = \frac{7}{20}$ y $P (A^{'}) = \frac{7}{10}$ , luego $\frac{7/20}{7/10} = \frac{1}{2}$ .

d) Como $P (A \cap B) = \frac{3}{20} \neq = 0$ , los sucesos no son incompatibles: hay clientes que piden postre y café a la vez.

En el examen: puntúa escribir $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ como consecuencia de la independencia y sustituirlo en la fórmula de la unión; sin ese paso no se llega al valor de $P (B)$ . En el apartado d) no basta decir «son independientes, luego no son incompatibles»: usa el valor de $P (A \cap B)$ para justificarlo.

Errores típicos

Resumen

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ : la probabilidad de $A$ cuando el universo se reduce a $B$ .
Regla del producto: $P (A \cap B) = P (A ∣ B) \cdot P (B) = P (B ∣ A) \cdot P (A)$ .
En una tabla de contingencia, el denominador es el total de la fila o columna de la condición.
$A$ y $B$ son independientes si $P (A ∣ B) = P (A)$ , o si $P (B ∣ A) = P (B)$ , o si $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . En caso contrario son dependientes.
Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son $A$ y $B^{'}$ , $A^{'}$ y $B$ , y $A^{'}$ y $B^{'}$ .
Incompatibles ( $P (A \cap B) = 0$ ) no es lo mismo que independientes: con probabilidades positivas, nunca son ambas cosas a la vez.
En el examen escribe $P (A \cap B)$ y $P (A) \cdot P (B)$ para justificar la independencia.

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