Ejercicios IB del tema 8

a) La mayor frecuencia es $10$, para $x=2$: el número modal de detenciones es $2$.

b)

1. (i) Multiplicamos cada valor por su frecuencia: $0\cdot 6=0$, $1\cdot 3=3$, $2\cdot 10=20$, $3\cdot 1=3$. La suma es $26$.

2. (ii) Media: $\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{26}{20}=1,3$ detenciones.

Resultado: a) $2$; b) i) $\sum fx=26$; ii) $1,3$ detenciones

a)

1. La frecuencia acumulada es la suma de los alumnos hasta esa edad: $$m=137+31=168.$$
2. En la última fila se acumulan todos los alumnos: $$n=194+6=200.$$ Coincide con el total de $200$ alumnos.

b)

1. Tener menos de $20$ años es tener $17$, $18$ o $19$ años. La frecuencia acumulada hasta $19$ años es $137$.

c)

1. El cuartil inferior deja por debajo el $25\%$ de los datos, es decir, está en el lugar $\frac{200}{4}=50$.
2. Hasta los $17$ años hay $3$ alumnos y hasta los $18$ hay $75$, luego el alumno número $50$ tiene $18$ años: $$Q_1=18\text{ an˜os}.$$

Resultado: a) $m=168$ y $n=200$; b) $137$ alumnos; c) $18$ años

a)

1. El valor central de un intervalo es la media de sus extremos: $$\frac{50+60}{2}=55.$$

b)

1. Usamos los valores centrales $45,55,65,75$ como datos, con frecuencias $7,28,35,20$.
2. En la calculadora de pantalla gráfica: una lista con los valores centrales, otra con las frecuencias, y estadísticas de una variable.
3. (i) La media es $$\bar{w}=\frac{45\cdot 7+55\cdot 28+65\cdot 35+75\cdot 20}{90}=\frac{5630}{90}\approx 62,6\text{ kg}.$$
4. (ii) La desviación típica poblacional es ${\sigma }_w\approx 8,86$ kg.

c)

1. Restamos tres desviaciones típicas a la media: $$62,56-3\cdot 8,858=35,98\approx 36,0\text{ kg}.$$

Resultado: a) $55$; b) (i) $62,6$ kg; (ii) $8,86$ kg; c) $36,0$ kg

a)

1. El número de huevos solo puede ser un entero ($1,2,\dots$), luego los datos son discretos.

b)

1. (i) El número de gallinas es la suma de las frecuencias: $$4+7+12+10+14+13=60.$$
2. (ii) La moda es el valor de mayor frecuencia ($14$): $5$ huevos.

c)

1. En la calculadora introducimos los valores $1$ a $6$ en una lista y las frecuencias en otra, y pedimos estadísticas de una variable.
2. (i) La media es $$\bar{x}=\frac{4+14+36+40+70+78}{60}=\frac{242}{60}\approx 4,03\text{ huevos}.$$
3. (ii) La desviación típica poblacional es $\sigma \approx 1,54$ huevos.

Resultado: a) discretos; b) (i) $60$ gallinas; (ii) $5$ huevos; c) (i) $4,03$ huevos; (ii) $1,54$ huevos

a)

1. La mediana es la línea interior de la caja: $180$.

b)

1. $Q_1=100$: el $25\%$ de $160$ estudiantes, es decir $40$, sigue a $100$ personas o menos.
2. Hasta $50$ hay $4$, luego en $50<x\le 100$ hay $40-4=36$ estudiantes.
3. $Q_3=200$: el $75\%$ de $160$, es decir $120$, sigue a $200$ o menos. Hasta $100$ hay $40$ y en $100<x\le 150$ y $150<x\le 200$ hay $34+46=80$, así que hasta $200$ hay $120$. ✓.
4. Los $160$ estudiantes suman: $4+36+34+46+n+16=160\Rightarrow n=24$ en $200<x\le 250$.

c)

1. (i) Valor medio del intervalo $100<x\le 150$: $\frac{100+150}{2}=125$.
2. (ii) Valores medios de los intervalos: $25,75,125,175,225,275$. Con la calculadora (lista de valores medios y lista de frecuencias, estadística de una variable) o a mano: $$\bar{x}=\frac{4\cdot 25+36\cdot 75+34\cdot 125+46\cdot 175+24\cdot 225+16\cdot 275}{160}=\frac{24900}{160}\approx 156.$$

Resultado: a) $180$; b) $36$ y $24$; c) (i) $125$; (ii) $\approx 156$ personas

a)

1. La frecuencia acumulada final es $50$ y la de $4$ bicicletas es $40$, con $2$ hogares de $6$ bicicletas: $40+t+2=50\Rightarrow t=8$.
2. (ii) $w=40+8=48$.

b)

1. «En cada hogar hay al menos 1 bicicleta»: Falso, hay $3$ hogares con $0$ bicicletas.
2. «La mediana es $3$»: con $50$ datos la mediana es la media de los datos $25.º$ y $26.º$. La acumulada llega a $22$ en $2$ bicicletas y a $36$ en $3$, así que ambos valen $3$: Verdadero.
3. «El percentil $25$ es $1$»: corresponde a $Q_1$, el dato $13.º$ (la mediana de los $25$ inferiores). Como la acumulada es $10$ en $1$ bicicleta y $22$ en $2$, el $13.º$ vale $2$: Falso.
4. «Hay $10$ hogares con como mucho $1$ bicicleta»: la frecuencia acumulada en $1$ es $10$: Verdadero.

Resultado: a) $t=8$; $w=48$; b) Falso, Verdadero, Falso, Verdadero

a)

1. Se lee la frecuencia acumulada para $50$ km/h: $10$ automóviles.

b)

1. Cada frecuencia es la diferencia entre acumuladas consecutivas: $0<s\le 50$: $10$; $50<s\le 70$: $30-10=20$; $70<s\le 80$: $64-30=34$; $80<s\le 90$: $76-64=12$; $90<s\le 100$: $80-76=4$.

c)

1. Valor medio de $50<s\le 70$: $\frac{50+70}{2}=60$.

d)

1. Valores medios: $25,60,75,85,95$ con frecuencias $10,20,34,12,4$ ($n=80$). Se introducen en la calculadora y se usa «estadística de una variable».
2. (i) Media: $\bar{s}=\frac{250+1200+2550+1020+380}{80}=\frac{5400}{80}=67,5$ km/h.
3. (ii) Desviación típica (poblacional): ${\sigma }_s\approx 18,6$ km/h.

Resultado: a) $10$; b) $10$, $20$, $34$, $12$, $4$; c) $60$; d) (i) $67,5$ km/h; (ii) $18,6$ km/h

a)

1. La frecuencia de cada intervalo es la diferencia entre las frecuencias acumuladas leídas en el gráfico en sus extremos: $14$ en $20$, $40$ en $40$, $98$ en $60$, $114$ en $80$ y $120$ en $100$.
2. Por tanto:

• $40<x\le 60$: $98-40=58$.
• $60<x\le 80$: $114-98=16$.
• $80<x\le 100$: $120-114=6$.

3. Comprobación: $14+26+58+16+6=120$ estudiantes.

b)

1. El valor medio de $40<x\le 60$ es $\frac{40+60}{2}=50$.

c)

1. Usamos los valores medios $10,30,50,70,90$ con las frecuencias $14,26,58,16,6$: $$\bar{x}=\frac{10\cdot 14+30\cdot 26+50\cdot 58+70\cdot 16+90\cdot 6}{120}=\frac{5480}{120}\approx 45,7.$$

Resultado: a) $58,16$ y $6$ en los intervalos $40<x\le 60$, $60<x\le 80$ y $80<x\le 100$; b) $50$; c) $\bar{x}\approx 45,7$

a) El grupo modal es el de mayor frecuencia: $41$ personas, en $45\le t<60$.

b)

1. Tomamos como valor de cada clase su marca de clase (punto medio): $7,5;22,5;37,5;52,5;67,5;82,5$.
2. Introducimos las marcas de clase en una lista y las frecuencias $21,32,35,41,27,11$ en otra, y pedimos estadísticas de una variable ($n=167$).
3. La calculadora da media $\bar{x}=\frac{7072,5}{167}=42,35\dots \approx 42,4$ minutos y desviación típica $\sigma =21,6$ minutos.

c)

1. Las clases tienen todas la misma amplitud ($15$ minutos), así que la altura de cada barra es la frecuencia.
2. Eje horizontal: «Tiempo en minutos», con los límites $0,15,30,45,60,75,90$. Eje vertical: «Número de personas», de $0$ a $40$. Barras contiguas, sin huecos, con alturas $21,32,35,41,27,11$.

Resultado: a) $45\le t<60$; b) media $42,4$ minutos y desviación típica $21,6$ minutos; c) histograma (figura).

a)

1. Marcas de clase: $25,35,45,55,65$, con frecuencias $5,4,3,2,3$ ($n=17$).
2. Media estimada: $$\bar{x}=\frac{25\cdot 5+35\cdot 4+45\cdot 3+55\cdot 2+65\cdot 3}{17}=\frac{705}{17}=41,47\dots \approx 41,5\text{ an˜os.}$$

b) Las clases tienen todas amplitud $10$ años, así que la altura de cada barra es la frecuencia. Barras contiguas con alturas $5,4,3,2,3$ sobre los límites $20,30,40,50,60,70$.

Resultado: a) $\approx 41,5$ años; b) histograma (figura)

a)

1. Hay $16+28+26+14+10+3+1+0+2=100$ frases.
2. La mediana está entre los datos $50$ y $51$. Frecuencias acumuladas: $16,44,70,\dots$ Los datos $50$ y $51$ caen en la tercera clase.
3. El intervalo de la mediana es $11$–$15$.

b)

1. Marcas de clase: $3,8,13,18,23,28,33,38,43$.
2. Media estimada: $$\bar{x}=\frac{3\cdot 16+8\cdot 28+13\cdot 26+18\cdot 14+23\cdot 10+28\cdot 3+33\cdot 1+38\cdot 0+43\cdot 2}{100}=\frac{1295}{100}=12,95\approx 13.$$

Resultado: a) $11$–$15$; b) $\approx 13$ palabras

a)

1. El peso puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, luego es una variable continua.

b)

1. La categoría modal es la de mayor frecuencia ($45$): la categoría $6$.

c)

1. Usamos los valores centrales $45,55,65,75,85$ con las frecuencias $3,30,45,25,5$.
2. En la calculadora (estadísticas de una variable, desviación típica poblacional): ${\sigma }_w\approx 8,97$ gramos.

d)

1. Los pesos a menos de una desviación típica de la media están en el intervalo $$(64,9-8,97,64,9+8,97)=(55,9;73,9).$$
2. Todos los huevos de la categoría $6$ ($60\le w<70$) están dentro de este intervalo seguro.
3. De las categorías $5$ y $7$ no podemos asegurar ninguno: en el caso más desfavorable, todos sus huevos quedan fuera del intervalo ($50\le w<55,9$ y $73,9<w<80$).
4. El mínimo posible es entonces el número de huevos de la categoría $6$: $45$.

Resultado: a) continua; b) categoría $6$; c) $8,97$ gramos; d) $45$ huevos

a)

1. (i) La clase modal es la de mayor frecuencia. Como $a<52$, es $3\le t<4$ (frecuencia $52$).
2. (ii) Valor central: $\frac{3+4}{2}=3,5$.
3. (iii) El total de alumnos es $35+30+a+52+43=160+a$, y la mediana está en el dato número $\frac{160+a}{2}=80+\frac{a}{2}$. Hasta la clase $1\le t<2$ hay $65$ alumnos (menos que eso) y hasta la clase $2\le t<3$ hay $65+a$. Como $a>35$, se cumple $65+a>80+\frac{a}{2}$ (equivale a $a>30$). La mediana está en $2\le t<3$.

b)

1. Valores centrales: $0,5;1,5;2,5;3,5;4,5$. Media estimada: $$\frac{0,5\cdot 35+1,5\cdot 30+2,5a+3,5\cdot 52+4,5\cdot 43}{160+a}=2,69.$$
2. El numerador es $17,5+45+2,5a+182+193,5=438+2,5a$, luego $$438+2,5a=2,69(160+a)=430,4+2,69a\Rightarrow 7,6=0,19a\Rightarrow a=40.$$
3. Cumple $35<40<52$.

Resultado: a) (i) $3\le t<4$; (ii) $3,5$; (iii) $2\le t<3$; b) $a=40$

a) Sumamos las alturas de las barras: $2+4+7+9+2+3+2+1=30$ familias.

b) La barra más alta es la de $6$ personas ($9$ familias): moda $=6$.

c)

1. Suma de personas: $3\cdot 2+4\cdot 4+5\cdot 7+6\cdot 9+7\cdot 2+8\cdot 3+9\cdot 2+10\cdot 1=6+16+35+54+14+24+18+10=177$.
2. Media: $\frac{177}{30}=5,9\approx 6$ personas por familia.

Resultado: a) $30$ familias; b) $6$; c) $\approx 6$ personas

a)

1. La mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{80}{2}=40$. En el gráfico, esa frecuencia se alcanza en una altura de $\approx 54$ cm.

b)

1. El percentil $75$ corresponde a la frecuencia acumulada $0,75\cdot 80=60$. En el gráfico se alcanza en $\approx 58$ cm.

c)

1. El cuartil inferior corresponde a la frecuencia acumulada $20$, que en el gráfico se alcanza en $\approx 45$ cm.
2. El rango intercuartílico es $$Q_3-Q_1\approx 58-45=13\text{ cm}.$$

d)

1. A $40$ cm le corresponde una frecuencia acumulada de $14$: hay $14$ árboles de $40$ cm o menos.
2. Los árboles de más de $40$ cm son $$80-14=66.$$

Resultado: a) $\approx 54$ cm; b) $\approx 58$ cm; c) $\approx 13$ cm; d) $\approx 66$ árboles

a)

1. (i) La frecuencia acumulada pasa de $34$ a $44$ en ese intervalo: $p=44-34=10$.
2. (ii) La frecuencia acumulada del último intervalo es la anterior más su frecuencia: $q=54+2=56$.

b)

1. Se dibujan los puntos (extremo superior del intervalo; frecuencia acumulada) que faltan: $(60;50)$, $(70;54)$ y $(80;56)$.
2. Se unen con la curva continuando desde $(50;44)$.

c)

1. Se traza la vertical en $h=35$ hasta la curva y se lee la frecuencia acumulada.
2. Entre $(30;20)$ y $(40;34)$ la curva queda algo por debajo de la recta que une los puntos (que daría $27$); se lee $\approx 26$.
3. Trabajan como mucho $35$ horas al mes, aproximadamente, $26$ alumnos.

Resultado: a) $p=10$; $q=56$; b) curva completa hasta $(80;56)$; c) $\approx 26$ alumnos

a)

1. Hay $200$ hojas, así que la mediana corresponde a la frecuencia acumulada $100$.
2. En el gráfico, $100$ corresponde a $9$ cm: mediana $=9$ cm.

b)

1. Se lee la frecuencia acumulada para $8$ cm: $40$ hojas.

c)

1. (i) Si el $10\%$ de las hojas mide más de $k$ cm, el $90\%$ mide $k$ cm o menos: $0,9\cdot 200=180$.
2. Se traza la horizontal en $180$ hasta la curva y se baja al eje: $k\approx 10,5$ cm.
3. (ii) Porcentaje de error: $$\frac{|9,5-10,5|}{10,5}\cdot 100=\frac{1}{10,5}\cdot 100\approx 9,52\%.$$

Resultado: a) $9$ cm; b) $40$ hojas; c) (i) $k\approx 10,5$ cm; (ii) $9,52\%$

a)

1. Cada frecuencia es la altura de su barra: $4,2,7,8$ y $1$.

b)

1. La longitud se mide y puede tomar cualquier valor de un intervalo: es una variable continua.

c)

1. La clase modal es la de mayor frecuencia ($8$): $60\text{cm}<\text{longitud}\le 70\text{cm}$.

d)

1. Total de truchas: $0+4+2+7+8+1=22$.
2. Se devuelven las de $40$ cm o menos: $0+4=4$.
3. Porcentaje: $\frac{4}{22}\cdot 100\approx 18,2\%$.

Resultado: a) frecuencias $0$, $4$, $2$, $7$, $8$, $1$; b) continua; c) $60\text{cm}<\text{longitud}\le 70\text{cm}$; d) $18,2\%$

a)

1. El número total de personas es la suma de las frecuencias: $$3+5+12+14+16+10=60.$$

b)

1. El valor central es la media de los extremos del intervalo $10<t\le 15$: $$\frac{10+15}{2}=12,5.$$

c)

1. Usamos los valores centrales de cada intervalo como representantes: $2,5;7,5;12,5;17,5;22,5;27,5$.
2. La media estimada es $$\bar{x}=\frac{2,5\cdot 3+7,5\cdot 5+12,5\cdot 12+17,5\cdot 14+22,5\cdot 16+27,5\cdot 10}{60}=\frac{1075}{60}\approx 17,9.$$
3. Con la calculadora: estadística de una variable, lista 1 con los valores centrales y lista 2 con las frecuencias; se lee $\bar{x}$.

d)

1. La frecuencia acumulada suma las frecuencias hasta ese valor: $$a=3+5+12+14=34,b=50+10=60.$$

e)

1. (i) Buscamos en el gráfico el tiempo al que la frecuencia acumulada vale $40$: entre $t=20$ ($34$ personas) y $t=25$ ($50$ personas), se alcanza $40$ en $t\approx 22$ minutos.
2. (ii) En $t=8$ la curva está por debajo de la recta que une $(5,3)$ y $(10,8)$, porque es convexa: la frecuencia acumulada vale unas $5$, es decir, unas $5$ personas tardaron menos de $8$ minutos.
3. (iii) En $t=23$ la frecuencia acumulada es de unas $45$. Tardaron más de $23$ minutos $$60-45=15\text{ personas.}$$

Resultado: a) $60$; b) $12,5$; c) $17,9$ minutos; d) $a=34$ y $b=60$; e) (i) $\approx 22$ minutos; (ii) $\approx 5$ personas; (iii) $\approx 15$ personas

a)

1. Los pesos están redondeados al kilogramo, así que cada clase cubre un intervalo continuo de $10$ kg y las barras se dibujan contiguas: $40$–$50$, $50$–$60$, $60$–$70$ y $70$–$80$.
2. La altura de cada barra es la frecuencia: $6,18,14$ y $4$.

b)

1. El valor central de $40$–$49$ es $$\frac{40+49}{2}=44,5\text{ kg.}$$

c)

1. Los valores centrales son $44,5;54,5;64,5;74,5$ y las frecuencias $6,18,14,4$ (total $42$ jugadores).
2. La media estimada es $$\bar{x}=\frac{44,5\cdot 6+54,5\cdot 18+64,5\cdot 14+74,5\cdot 4}{42}=\frac{2449}{42}\approx 58,3\text{ kg.}$$

d)

1. Con la calculadora (estadística de una variable, valores centrales y frecuencias), la desviación típica poblacional es $\sigma \approx 8,44$ kg.

Resultado: b) $44,5$ kg; c) $58,3$ kg; d) $8,44$ kg

a)

1. Cada barra está centrada en la cantidad indicada: valores $150,160,170,180,190$ con frecuencias $8,16,11,7,3$ (total $45$ familias).
2. La media es $$\bar{x}=\frac{150\cdot 8+160\cdot 16+170\cdot 11+180\cdot 7+190\cdot 3}{45}=\frac{7460}{45}\approx 165,8.$$ La familia media gasta unos $165,8$ dólares.

b)

1. El grupo modal es la barra más alta ($16$ familias), la de $160$ dólares.
2. Las cantidades redondeadas a $160$ van de $155$ a $165$, luego la mayor cantidad posible es $165$ dólares.

c)

1. En el grupo modal hay $16$ familias, cada una con un gasto entre $155$ y $165$ dólares.
2. El total está entre $$16\cdot 155=2480\text{y}16\cdot 165=2640.$$
3. De las opciones, $2430 es menor que $2480$, luego no puede ser el total. Las demás ($2495, $2500, $2520, $2600) están dentro del intervalo.

Resultado: a) $\approx 165,8$ $; b) $165$ $; c) (i) $2430

a) La frecuencia acumulada es la anterior más la frecuencia de la clase: $w=18+25=43$.

b)

1. Los puntos se sitúan en el extremo superior de cada clase (la clase $0$–$19$ llega hasta $19,5$): $(19,5;3)$, $(39,5;18)$, $(59,5;43)$, $(79,5;78)$, $(99,5;95)$.
2. Se unen con una curva suave que parte de $(0;0)$. Ejes rotulados: «Coches aparcados por hora» y «Frecuencias acumuladas».

c)

1. Hay $95$ datos, así que la mediana corresponde a la mitad, $\frac{95}{2}=47,5$, en el eje vertical.
2. Leemos en la gráfica: la altura $47,5$ queda entre los puntos $(59,5;43)$ y $(79,5;78)$, algo después de $59,5$, a unos $62$ en el eje horizontal.

Resultado: a) $w=43$; c) mediana $\approx 62$ coches por hora

Del histograma: $4$ horas, $4$ días; $5$ horas, $5$ días; $6$ horas, $9$ días; $7$ horas, $8$ días; $8$ horas, $4$ días. En total, $4+5+9+8+4=30$ días (los de junio).

a) La barra más alta es la de $6$ horas ($9$ días): moda $=6$ horas.

b) $$\bar{x}=\frac{4\cdot 4+5\cdot 5+6\cdot 9+7\cdot 8+8\cdot 4}{30}=\frac{16+25+54+56+32}{30}=\frac{183}{30}=6,1\text{ horas.}$$

Resultado: a) $6$ horas; b) $6,1$ horas

a) En la gráfica, a $5000$ libras le corresponde una frecuencia acumulada de $\approx 20$ personas.

b) La mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{200}{2}=100$. En la gráfica, a la altura $100$ le corresponde un ingreso de $15000$ libras.

c)

1. El $20\%$ más rico es el que queda por encima del $80\%$ de las personas: $0,8\cdot 200=160$.
2. En la gráfica, a la altura $160$ le corresponde un ingreso de $\approx 22500$ libras, el más bajo de ese grupo.

Resultado: a) $\approx 20$ personas; b) $\approx 15000$ libras; c) $\approx 22500$ libras

a)

1. Los tiempos están redondeados al minuto, así que la clase $11$–$15$ llega hasta $15,5$, la $16$–$20$ hasta $20,5$, etc.
2. Acumulamos las frecuencias:

b) Se dibujan los puntos (extremo superior, frecuencia acumulada) y se unen con una curva suave. Escala: $2$ cm por cada $5$ minutos en el eje horizontal y $1$ cm por cada $10$ estudiantes en el vertical.

c)

1. (i) En la gráfica, a $17,5$ minutos le corresponde una frecuencia acumulada de $\approx 12$: terminaron en menos de $17,5$ minutos $\approx 12$ estudiantes.
2. (ii) Los $\frac{3}{4}$ de los estudiantes son $75$. En la gráfica, a la altura $75$ le corresponde un tiempo de $\approx 31$ minutos.

Resultado: a) $0,7,20,45,73,93,100$; c) i) $\approx 12$ estudiantes; ii) $\approx 31$ minutos

a)

1. La mediana corresponde a la mitad de los alumnos: $\frac{3200}{2}=1600$. En el gráfico, la frecuencia acumulada $1600$ se alcanza en la nota $60$.
2. (i) Mediana $=60$.
3. (ii) El cuartil inferior corresponde a $\frac{3200}{4}=800$ y el superior a $\frac{3\cdot 3200}{4}=2400$. Leyendo en la curva: $Q_1\approx 50$ y $Q_3\approx 70$.
4. El rango intercuartil es $$Q_3-Q_1\approx 70-50=20.$$

b)

1. Sacaron la máxima calificación $350$ alumnos, luego los demás son $3200-350=2850$.
2. Buscamos la nota donde la frecuencia acumulada vale $2850$. En la curva se alcanza en una nota de $\approx 76$.

c)

1. (i) La clase modal es la de mayor frecuencia ($1400$): $60<x\le 80$.
2. (ii) Su valor central es $\frac{60+80}{2}=70$.

d)

1. Usamos los valores centrales $10,30,50,70,90$ con las frecuencias de la tabla.
2. (i) La media es $$\bar{x}=\frac{10\cdot 150+30\cdot 350+50\cdot 1100+70\cdot 1400+90\cdot 200}{3200}=\frac{183000}{3200}\approx 57,2.$$
3. (ii) Con la calculadora (estadísticas de una variable, desviación típica poblacional): ${\sigma }_x\approx 18,496$.

e)

1. La nota límite es una desviación típica por debajo de la media: $$57,19-18,50\approx 38,7.$$
2. En el gráfico de frecuencias acumuladas, a la nota $38,7$ le corresponde una frecuencia acumulada de $\approx 450$.
3. Por tanto, unos $450$ alumnos sacaron una nota inferior.

Resultado: a) (i) $60$; (ii) $\approx 20$; b) $\approx 76$; c) (i) $60<x\le 80$; (ii) $70$; d) (i) $57,2$; (ii) $18,496$; e) $\approx 450$ alumnos

a)

1. Valor central del intervalo $10\le t<15$: $\frac{10+15}{2}=12,5$ minutos.

b)

1. (i) Frecuencias de las barras: $10,8,5,10$ y $k$. Total de clientes: $10+8+5+10+k=33+k$.
2. (ii) Valores centrales: $2,5;7,5;12,5;17,5;22,5$. La media estimada es $12$: $$\frac{2,5\cdot 10+7,5\cdot 8+12,5\cdot 5+17,5\cdot 10+22,5k}{33+k}=12.$$
3. El numerador es $25+60+62,5+175+22,5k=322,5+22,5k$, luego $$322,5+22,5k=12(33+k)=396+12k\Rightarrow 10,5k=73,5\Rightarrow k=7.$$

c)

1. Falta la barra de $20\le t<25$, cuya altura es la frecuencia $k=7$ (todas las barras tienen anchura $5$).

Resultado: a) $12,5$ minutos; b) (i) $33+k$ clientes; (ii) $k=7$; c) barra de $20$ a $25$ minutos de altura $7$

a)

1. (i) $c=53+44=97$.
2. (ii) Los puntos de la curva se sitúan en el extremo superior de cada clase: $(0,50;0)$, $(0,70;16)$, $(0,90;53)$, $(1,10;97)$, $(1,30;120)$, $(1,50;130)$. Se unen y se rotulan los ejes («Peso (kg)» y «Frecuencias acumuladas»), con $1$ cm por cada $0,1$ kg y $1$ cm por cada $10$ pescados.

3. (iii) Hay $130$ pescados, así que la mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{130}{2}=65$. En la gráfica, a la altura $65$ se lee un peso de $0,95$ kg. Se comprueba.

b)

1. (i) El percentil $90$ deja por debajo el $90\%$ de los pescados: $0,9\cdot 130=117$. Por encima quedan $130-117=13$ pescados, que son los que compra el zoo.
2. (ii) El cuartil inferior corresponde al $25\%$: $0,25\cdot 130=32,5$. En la gráfica, la altura $32,5$ corresponde a un peso de $\approx 0,79$ kg, el peso máximo de los pescados que compra la empresa.

c)

1. (i) El $10\%$ de la mediana es $0,1\cdot 0,95=0,095$ kg. Mínimo: $0,95-0,095=0,855$ kg. Máximo: $0,95+0,095=1,045$ kg.
2. (ii) En la gráfica: a $0,855$ kg corresponde una frecuencia acumulada de $\approx 45$, y a $1,045$ kg, de $\approx 85$.
3. El restaurante compra $85-45\approx 40$ pescados.

Resultado: a) i) $c=97$; iii) comprobado; b) i) $13$ pescados; ii) $\approx 0,79$ kg; c) i) entre $0,855$ kg y $1,045$ kg; ii) $\approx 40$ pescados

a)

1. Hay $200$ alumnos (el último punto de la gráfica es $(60;200)$).
2. (i) La mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{200}{2}=100$. En la gráfica, a la altura $100$ le corresponde el tiempo $25$ minutos.
3. (ii) El cuartil inferior corresponde a la altura $50$ y el superior a la $150$. En la gráfica se leen $Q_1\approx 18$ minutos y $Q_3\approx 33$ minutos.
4. Rango intercuartil: $Q_3-Q_1\approx 33-18=15$ minutos.

b)

1. En cada clase, el número de alumnos es la diferencia entre las frecuencias acumuladas de sus extremos.
2. Clase $15<x\le 20$: la gráfica pasa de $40$ en $x=15$ a $60$ en $x=20$, luego $p=60-40=20$.
3. Clase $35<x\le 50$: la gráfica pasa de $160$ en $x=35$ a $190$ en $x=50$, luego $q=190-160=30$.
4. Comprobación: $20+20+20+40+60+30+10=200$.

c)

1. Marcas de clase: $2,5;10;17,5;22,5;30;42,5;55$, con frecuencias $20,20,20,40,60,30,10$.
2. Media estimada: $$\bar{x}=\frac{20\cdot 2,5+20\cdot 10+20\cdot 17,5+40\cdot 22,5+60\cdot 30+30\cdot 42,5+10\cdot 55}{200}=\frac{5125}{200}=25,625.$$

Resultado: a) i) $25$ minutos; ii) $\approx 15$ minutos; b) $p=20$ y $q=30$; c) $\approx 25,6$ minutos

a) La clase de mayor frecuencia ($74$) es $170\le h<180$.

b)

1. Marcas de clase: $145,155,165,175,185,195,205$, con frecuencias $2,28,63,74,20,11,2$ ($n=200$).
2. Con la calculadora (estadísticas de una variable): media $\bar{x}=\frac{34230}{200}=171,15\approx 171$ cm y desviación típica $\sigma =11,08\dots \approx 11,1$ cm.

c) La mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{200}{2}=100$. En la gráfica se lee $\approx 171$ cm.

d)

1. El cuartil inferior corresponde a la frecuencia acumulada $50$. En la gráfica se lee $Q_1\approx 164,5$ cm.
2. Rango intercuartil: $177,3-164,5\approx 12,8$ cm.

e)

1. En la gráfica, a $165$ cm le corresponde una frecuencia acumulada de $\approx 52$ estudiantes.
2. Porcentaje: $\frac{52}{200}=0,26$, es decir, $\approx 26\%$.

Resultado: a) $170\le h<180$; b) media $\approx 171$ cm y desviación típica $\approx 11,1$ cm; c) $\approx 171$ cm; d) $\approx 12,8$ cm; e) $\approx 26\%$

a) La frecuencia acumulada suma, a la anterior, la frecuencia de la clase: $$s=9+8=17,t=84+6=90.$$

b)

1. Con $1$ cm por cada $10$ puntos y $1$ cm por cada $10$ candidatos, se dibujan los puntos (puntuación, frecuencia acumulada): $(9,5;2)$, $(19,5;9)$, $(29,5;17)$, $(39,5;30)$, $(49,5;54)$, $(59,5;84)$, $(69,5;90)$, $(79,5;95)$, $(89,5;98)$, $(100;100)$.
2. Se unen con segmentos o con una curva suave.

c) Hay $100$ candidatos.

1. (i) Mediana: frecuencia acumulada $50$. Se lee $\approx 48$.
2. (ii) Cuartil inferior: frecuencia acumulada $25$. Se lee $\approx 36$.
3. (iii) Si aprueba el $40\%$, suspende el $60\%$: frecuencia acumulada $60$. Se lee $\approx 52$, la nota de aprobado.

Resultado: a) $s=17$ y $t=90$; c) i) $\approx 48$; ii) $\approx 36$; iii) $\approx 52$ puntos

a) El número de errores solo toma valores enteros ($0,1,2,3,4$) que se cuentan: los datos son discretos.

b)

1. Hay $28+24+20+17+11=100$ páginas.
2. Media ponderada por las frecuencias: $$\bar{x}=\frac{0\cdot 28+1\cdot 24+2\cdot 20+3\cdot 17+4\cdot 11}{100}=\frac{159}{100}=1,59\text{ errores por paˊgina.}$$

c)

1. Con $100$ datos, la mediana es la media de los datos $50$ y $51$.
2. Frecuencias acumuladas: $28$ (hasta $0$ errores) y $52$ (hasta $1$ error). Los datos $50$ y $51$ valen ambos $1$.
3. La mediana es $1$.

d) La moda es el valor de mayor frecuencia ($28$ páginas): $0$ errores.

Resultado: a) discretos; b) $1,59$ errores por página; c) $1$; d) $0$