IB Aplicaciones e Interpretación NM · Estadística descriptiva · Apartado 4 de 5

Cuartiles y diagrama de caja y bigotes

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Los cuartiles parten los datos ordenados en cuatro grupos con la misma cantidad de datos, y el diagrama de caja y bigotes los dibuja junto con los valores extremos. Sirven para resumir una distribución sin que un dato raro la deforme, algo que la media no consigue. En la Prueba 1 los calculas a mano con las posiciones; en la Prueba 2 la CPG te los da, pero tienes que saber leerlos en una gráfica de frecuencias acumuladas.

Rango

Es la medida de dispersión más sencilla, pero solo usa dos datos. Un único valor muy alto o muy bajo lo dispara. Por eso se usan también los cuartiles, que no se dejan arrastrar tanto por los extremos.

Cuartiles y percentiles

Con los datos ordenados de menor a mayor, los cuartiles los reparten en cuatro tramos con más o menos la misma cantidad de datos en cada uno.

Los percentiles son la misma idea con cualquier porcentaje. El percentil de orden $k$ , $P_{k}$ , es el valor que deja por debajo el $k %$ de los datos. Por tanto, $Q_{1} = P_{25}$ , $Q_{2} = P_{50}$ y $Q_{3} = P_{75}$ .

Rango intercuartílico

Resumen de cinco números y diagrama de caja y bigotes

Los cinco números que resumen una distribución son el mínimo, $Q_{1}$ , la mediana, $Q_{3}$ y el máximo. Con ellos se dibuja el diagrama de caja y bigotes.

Diagrama de caja y bigotes de 11 puntuaciones con mínimo 2, Q1 igual a 5, mediana 8, Q3 igual a 11 y máximo 13, sin valores atípicos

La caja contiene el $50 %$ central de los datos y cada bigote cubre, más o menos, un cuarto de los datos. Si la mediana no está en el centro de la caja o un bigote es mucho más largo que el otro, los datos están cargados hacia un lado.

Valores atípicos

Un dato muy alejado del resto no debe estirar el bigote hasta él. Para eso se definen los valores atípicos.

Los límites se calculan desde los cuartiles, no desde la mediana ni desde los extremos.

Cuartiles con la gráfica de frecuencias acumuladas

Con datos agrupados en intervalos no se conocen los datos sueltos, así que los cuartiles se estiman con la gráfica de frecuencias acumuladas. En el eje horizontal se marca el límite superior de cada intervalo, y en el vertical, la frecuencia acumulada. La curva empieza en el punto $(l ı ˊ mite inferior de la primera clase, 0)$ y une los puntos con segmentos rectos.

Gráfica de frecuencias acumuladas de 40 datos con cuartiles estimados Q1 = 14, Q2 = 22 y Q3 = 27 minutos, trazados con líneas discontinuas sobre la poligonal (0, 0), (10, 6), (20, 16), (30, 36) y (40, 40)

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tiempos de espera en un mostrador

En un mostrador se ha anotado cuántos minutos esperó cada uno de los 9 clientes de la mañana. Los datos, sin ordenar, son:

$7, 21, 3, 12, 8, 18, 10, 15, 13$

a) Halla el rango.

b) Calcula $Q_{1}$ , $Q_{2}$ y $Q_{3}$ a mano, con las posiciones.

c) Calcula el rango intercuartílico.

Solución

Primero ordenamos los datos: $3, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18, 21$ . Hay $n = 9$ datos.

a) $rango = 21 - 3 = 18$ minutos.

b) Las posiciones son $\frac{n + 1}{2} = 5$ , $\frac{n + 1}{4} = 2, 5$ y $\frac{3 ( n + 1 )}{4} = 7, 5$ .

$Q_{2}$ ocupa el quinto lugar: $Q_{2} = 12$ .
$Q_{1}$ está a mitad de camino entre el segundo dato (7) y el tercero (8): $Q_{1} = \frac{7 + 8}{2} = 7, 5$ .
$Q_{3}$ está a mitad de camino entre el séptimo dato (15) y el octavo (18): $Q_{3} = \frac{15 + 18}{2} = 16, 5$ .

c) $RIC = Q_{3} - Q_{1} = 16, 5 - 7, 5 = 9$ minutos.

Ejemplo 2 Medio

Puntos en un test y un resultado raro

Un profesor ha corregido un test de 50 puntos a 11 alumnos. Las puntuaciones son:

$41, 15, 22, 19, 14, 16, 23, 15, 21, 18, 20$

a) Halla los cinco números que resumen los datos.

b) Calcula el rango intercuartílico.

c) Halla el límite superior para los valores atípicos e indica cuáles son los atípicos.

d) Indica hasta qué valor llega cada bigote.

Solución

Ordenamos los datos: $14, 15, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 41$ . Hay $n = 11$ datos.

a) Las posiciones son $\frac{n + 1}{4} = 3$ , $\frac{n + 1}{2} = 6$ y $\frac{3 ( n + 1 )}{4} = 9$ . Así, $Q_{1}$ es el tercer dato (15), $Q_{2}$ el sexto (19) y $Q_{3}$ el noveno (22). El mínimo es $14$ y el máximo, $41$ .

Los cinco números son $14, 15, 19, 22, 41$ .

b) $RIC = 22 - 15 = 7$ .

c) Los límites son $Q_{1} - 1, 5 \cdot RIC = 15 - 10, 5 = 4, 5 Q_{3} + 1, 5 \cdot RIC = 22 + 10, 5 = 32, 5$ El dato $41$ supera $32, 5$ , así que es atípico. El $14$ está dentro de los límites, no es atípico.

d) El bigote inferior llega hasta el mínimo, $14$ . El bigote superior no llega a $41$ , porque es atípico: llega hasta $23$ , el mayor dato que no es atípico.

Ejemplo 3 Difícil

Llamadas al servicio de atención

En un servicio de atención al cliente se ha anotado cuánto tardó en atenderse cada una de las $n = 40$ llamadas de una tarde. Los tiempos, en minutos, están agrupados así:

Tiempo (min)	$[0, 10 [$	$[10, 20 [$	$[20, 30 [$	$[30, 40 [$
Llamadas	6	10	20	4

Se dibuja la gráfica de frecuencias acumuladas y se estiman los cuartiles uniendo los puntos con segmentos rectos.

a) Estima $Q_{1}$ , $Q_{2}$ y $Q_{3}$ .

b) Calcula el rango intercuartílico.

c) Estima cuántas llamadas tardaron más de 25 minutos en atenderse.

Solución

Primero se completan las frecuencias acumuladas: $6$ , $6 + 10 = 16$ , $16 + 20 = 36$ y $36 + 4 = 40$ . Los puntos de la gráfica son $(0, 0)$ , $(10, 6)$ , $(20, 16)$ , $(30, 36)$ y $(40, 40)$ .

a) Las posiciones son $\frac{n}{4} = 10$ , $\frac{n}{2} = 20$ y $\frac{3 n}{4} = 30$ .

$Q_{1}$ : la horizontal en $10$ corta el tramo de $(10, 6)$ a $(20, 16)$ . En ese tramo la curva sube $10$ llamadas en $10$ minutos, es decir, una llamada por minuto. Desde $6$ hasta $10$ faltan $4$ llamadas, o sea $4$ minutos: $Q_{1} = 10 + 4 = 14$ minutos.
$Q_{2}$ : la horizontal en $20$ corta el tramo de $(20, 16)$ a $(30, 36)$ . Sube $20$ llamadas en $10$ minutos, dos por minuto. Desde $16$ hasta $20$ faltan $4$ llamadas, o sea $2$ minutos: $Q_{2} = 20 + 2 = 22$ minutos.
$Q_{3}$ : la horizontal en $30$ corta el mismo tramo. Desde $16$ hasta $30$ faltan $14$ llamadas, a dos por minuto son $7$ minutos: $Q_{3} = 20 + 7 = 27$ minutos.

b) $RIC = 27 - 14 = 13$ minutos.

c) En el tramo de $(20, 16)$ a $(30, 36)$ la curva sube dos llamadas por minuto. A los $25$ minutos, la frecuencia acumulada es $16 + 2 \cdot 5 = 26$ . Por tanto, han tardado más de $25$ minutos $40 - 26 = 14$ llamadas.

En el examen: escribe las posiciones $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ y $\frac{3 n}{4}$ que usas y el tramo sobre el que lees. Sin esa marca, el valor leído no se puede comprobar.

Errores típicos

Resumen

Rango $= x_{m a x} - x_{m i n}$ . Los cuartiles $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (mediana) y $Q_{3}$ separan los datos ordenados en cuatro partes: $Q_{1} = P_{25}$ , $Q_{2} = P_{50}$ y $Q_{3} = P_{75}$ .
$RIC = Q_{3} - Q_{1}$ es la anchura de la caja, que contiene el $50 %$ central de los datos.
Cinco números: mínimo, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ y máximo. Con ellos se dibuja el diagrama de caja y bigotes.
Son atípicos los datos fuera de $[Q_{1} - 1, 5 \cdot RIC, Q_{3} + 1, 5 \cdot RIC]$ . Cada bigote llega hasta el dato más extremo que no es atípico.
Con datos agrupados, en la gráfica acumulada se buscan $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ y $\frac{3 n}{4}$ en el eje vertical y se lee el cuartil en el horizontal. Son valores estimados.

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