IB Aplicaciones e Interpretación NM · Estadística descriptiva · Apartado 1 de 5

Datos y tablas de frecuencias

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Antes de dibujar o calcular nada hay que ordenar los datos. Una tabla de frecuencias cuenta cuántas veces aparece cada valor, o cada intervalo, y de ella salen los gráficos, la media, la mediana y los cuartiles. En el examen del IB te piden construir la tabla, completar las casillas que faltan y leer en ella recuentos y proporciones. Por eso conviene dominarla antes de seguir.

Población, muestra y tipos de dato

Estudiar a todos los individuos de un grupo, la población, suele ser caro o imposible. Por eso se trabaja con una muestra, una parte de la población, y las conclusiones se extienden al conjunto.

La forma de elegir la muestra decide si es representativa. En una muestra aleatoria cada individuo tiene la misma probabilidad de salir elegido, por ejemplo por sorteo. Si solo se escoge a quien resulta más cómodo de encontrar, la muestra es sesgada y sus conclusiones se desvían de la realidad aunque tenga muchos datos. Una encuesta hecha a la salida de un único supermercado, por ejemplo, no representa a todo un barrio.

Cada cosa que se mide en cada individuo es una variable. Se distinguen tres tipos.

El tipo de variable decide cómo se organizan los datos. Si la variable es cualitativa, o discreta con pocos valores, se usan los valores sueltos. Si es continua, o hay muchísimos valores distintos, se agrupan en intervalos.

Frecuencias

Sea $n$ el número total de datos y $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ los $k$ valores distintos que aparecen.

Hay tres comprobaciones que puedes hacer siempre sobre una tabla.

Las acumuladas responden a preguntas del tipo «¿cuántos tienen como máximo...?» o «¿qué proporción tiene menos de...?». Por ejemplo, $F_{2}$ es el número de datos que valen $x_{2}$ o menos.

Datos agrupados en intervalos

Cuando hay muchos valores distintos, una tabla con valores sueltos sería casi tan larga como la lista de datos. Entonces los datos se reparten en clases: intervalos que cubren todos los datos sin solaparse, de forma que cada dato cae en una sola clase.

La notación $[a, b [$ significa que $a$ entra en la clase y $b$ no. Así, un dato igual a $b$ pasa a la clase siguiente y ningún dato se cuenta dos veces. La última clase puede cerrarse por los dos lados para no dejar fuera el dato mayor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Mascotas por familia

Se pregunta a 16 familias cuántas mascotas tienen. Las respuestas son:

0, 1, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 2, 0, 4, 1, 2, 3, 1

a) Halla la frecuencia absoluta del valor $1$ .

b) Halla la frecuencia absoluta acumulada del valor $2$ .

c) Halla la frecuencia relativa del valor $3$ . Da el resultado como fracción.

Solución

Hay $n = 16$ datos. Contamos las veces que aparece cada valor y completamos la tabla:

$x_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$	$f_{i} / n$
$0$	$3$	$3$	$\frac{3}{16}$
$1$	$6$	$9$	$\frac{6}{16}$
$2$	$4$	$13$	$\frac{4}{16}$
$3$	$2$	$15$	$\frac{2}{16}$
$4$	$1$	$16$	$\frac{1}{16}$

Comprobación: $3 + 6 + 4 + 2 + 1 = 16$ .

a) La frecuencia absoluta de $1$ es $6$ .

b) La acumulada de $2$ es $F_{3} = 13$ : son las familias con $0$ , $1$ o $2$ mascotas, es decir, $3 + 6 + 4$ .

c) La frecuencia relativa de $3$ es $\frac{f}{n} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

Ejemplo 2 Medio

Tiempos de llegada agrupados

Se ha anotado el tiempo, en minutos, que ha tardado cada uno de 20 alumnos en llegar al instituto:

3,4 · 4,1 · 5,8 · 6,2 · 6,9 · 7,5 · 8,3 · 9 · 9,6 · 10,2 · 11,7 · 12,4 · 13,1 · 14,8 · 15,5 · 16,3 · 17,9 · 19,2 · 21,6 · 26,8

Quieres agrupar los datos en 5 clases de la misma amplitud, y la amplitud tiene que ser un número entero.

a) Calcula la amplitud mínima que permite cubrir todos los datos con 5 clases.

b) Empezando en $3$ y con esa amplitud, escribe las clases. ¿Cuántos alumnos hay en la clase $[8, 13 [$ ?

c) Halla la marca de clase de la clase $[13, 18 [$ .

Solución

a) El dato menor es $3, 4$ y el mayor es $26, 8$ , así que el recorrido es $26, 8 - 3, 4 = 23, 4$ Con 5 clases, $\frac{23 , 4}{5} = 4, 68$ . Redondeado hacia arriba, la amplitud es $5$ .

b) Con amplitud $5$ y empezando en $3$ , las clases son $[3, 8 [$ , $[8, 13 [$ , $[13, 18 [$ , $[18, 23 [$ y $[23, 28 [$ . La última llega hasta $28$ , que supera el $26, 8$ , así que cubre todos los datos.

Clase	$f_{i}$	$F_{i}$
$[3, 8 [$	$6$	$6$
$[8, 13 [$	$6$	$12$
$[13, 18 [$	$5$	$17$
$[18, 23 [$	$2$	$19$
$[23, 28 [$	$1$	$20$

En $[8, 13 [$ caen $8, 3$ ; $9$ ; $9, 6$ ; $10, 2$ ; $11, 7$ y $12, 4$ . Son $6$ alumnos. El $13, 1$ ya queda en la clase siguiente.

c) La marca de clase es el punto medio: $\frac{13 + 18}{2} = \frac{31}{2} = 15, 5$

Ejemplo 3 Difícil

Una tabla con huecos

Se ha preguntado a 60 personas cuántos minutos al día dedican a leer la prensa. Los datos están en una tabla de clases de amplitud $10$ en la que faltan algunos valores:

Minutos al día	Frecuencia absoluta
$[0, 10 [$
$[10, 20 [$	frecuencia relativa $0, 3$
$[20, 30 [$
$[30, 40 [$	$9$

Además, la clase $[20, 30 [$ tiene el doble de personas que la clase $[0, 10 [$ .

a) Halla la frecuencia absoluta de las clases $[0, 10 [$ y $[20, 30 [$ .

b) Halla la proporción de personas que leen menos de $30$ minutos. Da el resultado como fracción irreducible.

c) Halla la proporción de personas que leen menos de $20$ minutos. Da el resultado como fracción irreducible.

Solución

La frecuencia de $[10, 20 [$ es $0, 3 \cdot 60 = 18$ . Llamamos $a$ a la frecuencia de $[0, 10 [$ . Entonces la de $[20, 30 [$ es $2 a$ , y como el total es $60$ : $a + 18 + 2 a + 9 = 60 \Rightarrow 3 a = 33 \Rightarrow a = 11$

a) La clase $[0, 10 [$ tiene $11$ personas, y la clase $[20, 30 [$ tiene $2 \cdot 11 = 22$ . Comprobación: $11 + 18 + 22 + 9 = 60$ .

b) Menos de $30$ minutos son las tres primeras clases: $11 + 18 + 22 = 51$ personas. La proporción es $\frac{51}{60} = \frac{17}{20}$

c) Menos de $20$ minutos son las dos primeras clases: $11 + 18 = 29$ personas. La proporción es $\frac{29}{60}$

Errores típicos

Resumen

Una tabla de frecuencias organiza los datos con $f_{i}$ (absoluta), $F_{i}$ (acumulada) y $\frac{f _{i}}{n}$ (relativa). Siempre se cumple $\sum f_{i} = n$ , $F_{k} = n$ y las relativas suman $1$ .
Con muchos valores o con una variable continua, los datos se agrupan en clases $[a, b [$ de la misma amplitud, que no se solapan. La amplitud se redondea hacia arriba.
La marca de clase es el punto medio $\frac{a + b}{2}$ y sirve para hacer cálculos con datos agrupados.
Antes de dar una tabla por buena, comprueba que las frecuencias suman $n$ .

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