IB Aplicaciones e Interpretación NM · Estadística descriptiva · Apartado 5 de 5

Varianza y desviación típica

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La desviación típica mide cuánto se separan los datos de su media, y se expresa en las mismas unidades que los datos. Es la medida de dispersión que acompaña a la media: en la Prueba 1 la calculas con una tabla y en la Prueba 2 con la CPG. También tienes que saber qué le pasa a la media y a la desviación si a todos los datos se les suma, se resta o se multiplica un número.

Medir cuánto se alejan los datos de la media

Si restas la media a cada dato, las desviaciones positivas y negativas se compensan: su suma es siempre cero. Para medir la dispersión hay que hacerlas positivas. Por eso se elevan al cuadrado y se promedian.

La varianza va en unidades al cuadrado (si los datos son metros, sale en metros cuadrados). Por eso el número que se compara con los datos y se interpreta es la desviación típica, que está en las mismas unidades.

Cálculo con una tabla

Con datos sueltos agrupados por valor, la tabla tiene una fila por cada valor $x_{i}$ con su frecuencia $f_{i}$ . Añade dos columnas, $f_{i} x_{i}$ y $f_{i} x_{i}^{2}$ , y suma todas las columnas.

Datos agrupados en intervalos

Con intervalos no conoces los valores exactos. Cada intervalo se representa por su marca de clase, y la media y la desviación que salen son estimaciones.

El método de la tabla es el mismo, pero usando las marcas de clase como $x_{i}$ . Escribe «estimación» en la respuesta: el resultado no es el de los datos originales, sino el que sale suponiendo que cada dato del intervalo vale lo mismo que su marca.

Con la CPG

Interpretar la desviación típica

Una desviación típica grande indica datos muy repartidos alrededor de la media. Una pequeña indica datos agrupados cerca de ella. Un número aislado no dice mucho: se interpreta comparándolo con otra desviación típica en la misma unidad, o con la propia media.

Escribe la interpretación como frase en contexto. Por ejemplo: «los tiempos de las llamadas de la mañana son más regulares que los de la tarde, porque su desviación típica es menor». Un número sin frase no suma el punto de interpretación.

Qué pasa si se cambian los datos

Muchas veces los datos se transforman: se suma un bono a cada sueldo, se pasa de euros a dólares o se cambia la escala de las notas. La media y la desviación típica cambian, pero no de la misma manera.

La razón es sencilla. Sumar $b$ desplaza todos los datos la misma distancia: la media se mueve con ellos, pero las distancias entre datos no cambian, así que la dispersión tampoco. Multiplicar por $a$ estira o encoge la escala: cada distancia se multiplica por $a$ , así que la desviación se multiplica por $∣ a ∣$ y la varianza por $a^{2}$ .

Por ejemplo, si a todas las notas de un examen se les suma 1 punto, la media sube 1 punto, pero la desviación típica no cambia.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Goles marcados en veinte partidos

Un equipo ha anotado un número de goles en cada uno de sus 20 partidos de la temporada. La tabla recoge cuántos partidos tienen cada resultado:

Goles $x_{i}$	1	2	3	4	5
Partidos $f_{i}$	2	5	6	4	3

a) Halla la media de goles por partido.

b) Halla la varianza.

c) Halla la desviación típica.

Solución

Completamos la tabla con $f_{i} x_{i}$ y $f_{i} x_{i}^{2}$ :

$x_{i}$	$f_{i}$	$f_{i} x_{i}$	$f_{i} x_{i}^{2}$
1	2	2	2
2	5	10	20
3	6	18	54
4	4	16	64
5	3	15	75
	$n = 20$	$61$	$215$

a) $x ˉ = \frac{61}{20} = 3, 05$ goles.

b) Con la fórmula abreviada: $σ_{x}^{2} = \frac{215}{20} - 3, 0 5^{2} = 10, 75 - 9, 3025 = 1, 4475$

c) $σ_{x} = 1, 4475 \approx 1, 20$ goles.

Ejemplo 2 Medio

Altura de unas plantas, con datos agrupados

En un vivero se ha medido la altura de 20 plantas de la misma especie. Los resultados están agrupados:

Altura (cm)	$[10, 20 [$	$[20, 30 [$	$[30, 40 [$	$[40, 50 [$
Plantas	4	7	6	3

Usa las marcas de clase para estimar:

a) la media;

b) la desviación típica;

c) entre qué dos valores están la media menos una desviación típica y la media más una desviación típica.

Solución

Las marcas de clase son $15$ , $25$ , $35$ y $45$ cm, y $n = 20$ .

a) $\sum f_{i} x_{i} = 4 \cdot 15 + 7 \cdot 25 + 6 \cdot 35 + 3 \cdot 45 = 60 + 175 + 210 + 135 = 580$ , luego $x ˉ = \frac{580}{20} = 29$ cm (estimada).

b) $\sum f_{i} x_{i}^{2} = 4 \cdot 225 + 7 \cdot 625 + 6 \cdot 1225 + 3 \cdot 2025 = 900 + 4375 + 7350 + 6075 = 18700$ . Entonces $σ_{x}^{2} = \frac{18 700}{20} - 2 9^{2} = 935 - 841 = 94$ y la desviación típica estimada es $σ_{x} = 94 \approx 9, 70$ cm.

c) Los valores son $29 - 94 \approx 19, 30$ cm y $29 + 94 \approx 38, 70$ cm. Es decir, entre unos $19, 3$ y $38, 7$ cm.

Ejemplo 3 Difícil

Reescalar las notas de un examen

Las notas de 25 alumnos en un examen sobre 10 tienen media $4, 8$ y desviación típica $1, 2$ . El profesor quiere pasar cada nota original $x$ a una nota nueva $y = a x + b$ , de modo que la nueva media sea $7$ y la nueva desviación típica sea $3$ .

a) Halla $a$ y $b$ , sabiendo que $a > 0$ .

b) Un alumno sacó un $6$ en el examen original. ¿Qué nota tiene en la nueva escala?

c) El rango de las notas originales es $4, 5$ . Halla la nueva varianza y el nuevo rango.

Solución

a) Como $σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ , tenemos $3 = a \cdot 1, 2$ , luego $a = \frac{3}{1 , 2} = 2, 5$ .

Para la media, $y ˉ = a x ˉ + b$ : $7 = 2, 5 \cdot 4, 8 + b = 12 + b$ , luego $b = - 5$ .

Así, la transformación es $y = 2, 5 x - 5$ .

b) $y = 2, 5 \cdot 6 - 5 = 10$ . La nota nueva es un $10$ .

c) La nueva varianza es $a^{2} σ_{x}^{2} = 2, 5^{2} \cdot 1, 2^{2} = 6, 25 \cdot 1, 44 = 9$ , que es coherente con $σ_{y} = 3$ . El nuevo rango es $a \cdot rango = 2, 5 \cdot 4, 5 = 11, 25$ .

En el examen: escribe primero la transformación $y = a x + b$ , calcula $a$ con la desviación y $b$ con la media. Si lo haces al revés, la media te sale bien pero la desviación no.

Errores típicos

Resumen

$σ_{x}^{2} = \frac{\sum f _{i} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n} = \frac{\sum f _{i} x _{i}^{2}}{n} - x ˉ^{2}$ y $σ_{x} = σ_{x}^{2}$ , con $n = \sum f_{i}$ . La desviación típica va en las unidades de los datos.
En datos agrupados, $x_{i}$ es la marca de clase y los resultados son estimaciones.
Con una muestra y si el enunciado lo pide, se usa $s_{x}$ , que divide entre $n - 1$ . Si no, $σ_{x}$ .
Con $y = a x + b$ : $y ˉ = a x ˉ + b$ , $σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ y $σ_{y}^{2} = a^{2} σ_{x}^{2}$ . El $b$ solo cambia la media.
Interpreta la desviación típica comparando, con una frase en contexto.

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