IB Aplicaciones e Interpretación NM · Álgebra y aritmética básicas · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 1

114 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Conjuntos y diagramas de Venn

Ejercicio 1 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

Escriba la expresión correspondiente al área sombreada en los siguientes diagramas de Venn: Cuatro diagramas de Venn con U y región rayada. (a) A y B solapados, rayada la intersección A ∩ B. (b) A y B, rayado el exterior de la unión. (c) A y B, rayada la parte de B fuera de A. (d) A, B y C solapados, rayadas las regiones A ∩ C y B ∩ C

Ver solución

Se identifica cada zona rayada.

(a) Solo la zona común de los dos círculos: $A \cap B$ .
(b) Todo lo que queda fuera de los dos círculos: complemento de la unión, $(A \cup B)^{'}$ .
(c) La parte de $B$ que no está en $A$ : $B \cap A^{'}$ .
(d) Se rayan $A \cap C$ y $B \cap C$ , incluida la zona donde se cruzan los tres. Es la unión de las dos intersecciones: $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ , que equivale a $(A \cup B) \cap C$ .

Resultado: (a) $A \cap B$ ; (b) $(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$ ; (c) $A^{'} \cap B$ ; (d) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$ .

Ejercicio 2 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

El siguiente diagrama de Venn muestra los conjuntos $U$ , $A$ , $B$ y $C$ : Diagrama de Venn con U, círculos A y B solapados y un círculo pequeño C dentro de B, en su parte derecha, disjunto de A; nada sombreado Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos de acuerdo a la información ofrecida en el diagrama de Venn.

a) $A \cap C = \emptyset$

b) $C \cup B = C$

c) $C \subset A \cup B$

d) $A \subset C^{'}$

Ver solución

En el diagrama $C$ está dentro de $B$ y no toca a $A$ .

(a) $A \cap C = \emptyset$ : $A$ y $C$ no se solapan, no tienen elementos comunes. Verdadero.
(b) $C \cup B = C$ : como $C \subset B$ , la unión es el conjunto mayor, $B$ , y $B \neq = C$ (hay elementos de $B$ fuera de $C$ ). Falso.
(c) $C \subset A \cup B$ : todo $C$ está en $B$ , y $B$ está en $A \cup B$ . Verdadero.
(d) $A \subset C^{'}$ : $C^{'}$ es todo lo que no está en $C$ ; como $A$ no tiene nada de $C$ , todo $A$ está en $C^{'}$ . Verdadero.

Resultado: (a) Verdadero; (b) Falso; (c) Verdadero; (d) Verdadero.

Ejercicio 3 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

El siguiente diagrama de Venn muestra el número de alumnos de un colegio que estudian ciencias: Física (P), Química (C) y Biología (B). Diagrama de Venn con P, B y C dentro de U: solo P 7; P y B sin C 4; solo B 8; P y C sin B 5; los tres 2; B y C sin P 3; solo C 9; fuera de los tres círculos 6

a) Escriba el número de alumnos que sólo estudian Química.

b) Escriba el número de alumnos que estudian exactamente dos asignaturas de ciencias.

c) Escriba el número de alumnos que no estudian Física.

d) Halle $n [(P \cup B) \cap C]$ .

Ver solución

a) Los que estudian solo Química es la región de $C$ que no toca a $P$ ni a $B$ : $9$ .
b) Exactamente dos asignaturas son las tres zonas de dos conjuntos sin el tercero: $4 + 5 + 3 = 12$ (no se cuentan los 2 del centro, que estudian las tres).
c) No estudian Física: todos los que están fuera de $P$ , es decir, solo $B$ ( $8$ ), $B \cap C$ ( $3$ ), solo $C$ ( $9$ ) y los de fuera ( $6$ ): $8 + 3 + 9 + 6 = 26$ .
d) $(P \cup B) \cap C$ : los de Química que estudian además Física o Biología. Son las regiones de $C$ que tocan a $P$ o a $B$ : $P \cap C$ sin $B$ ( $5$ ), los tres ( $2$ ) y $B \cap C$ sin $P$ ( $3$ ): $5 + 2 + 3 = 10$ .

Resultado: a) $9$ . b) $12$ . c) $26$ . d) $10$ .

Ejercicio 4 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2012

El colegio ofrece a los alumnos clases de música de Piano (P), de Violín (V) y de Flauta (F). El diagrama de Venn muestra el número de alumnos que están aprendiendo a tocar cada tipo de instrumento. Diagrama de Venn con P, V y F dentro de U: solo P 21; P y V sin F 8; solo V 56; P y F sin V 5; los tres 4; V y F sin P 10; solo F 37; fuera de los tres círculos 4

a) Escriba el número total de alumnos que hay en el colegio.

b) Escriba el número de alumnos que

(i) están aprendiendo a tocar el violín únicamente;

(ii) están aprendiendo a tocar el piano, la flauta o ambos;

(iii) no están aprendiendo a tocar la flauta.

c) Explique, con palabras, el significado de la parte del diagrama que representa el conjunto $P \cap F^{'}$ .

Ver solución

a) El total es la suma de todas las regiones, incluidos los de fuera: $21 + 8 + 56 + 5 + 4 + 10 + 37 + 4 = 145$ .
b) (i) Solo violín: $56$ . (ii) Piano, flauta o ambos es $P \cup F$ : todas las regiones dentro de $P$ o de $F$ , es decir $21 + 8 + 5 + 4 + 10 + 37 = 85$ . (iii) No flauta es todo menos $F$ : solo $P$ ( $21$ ), $P \cap V$ ( $8$ ), solo $V$ ( $56$ ) y fuera ( $4$ ): $21 + 8 + 56 + 4 = 89$ .
c) $P \cap F^{'}$ son los que están en $P$ y no en $F$ : los alumnos que aprenden piano pero no flauta (solo piano, o piano y violín). Son $21 + 8 = 29$ alumnos.

Resultado: a) $145$ . b) (i) $56$ ; (ii) $85$ ; (iii) $89$ . c) Alumnos que aprenden piano pero no flauta (29 alumnos).

Ejercicio 5 BásicoIB · P2 TZ0 Noviembre 2006

Dado un conjunto universal $U = {coches}$ , $S = {coches deportivos}$ , $G = {coches deportivos verdes}$ .

a) Dibuje un diagrama de Venn para ilustrar esta información.

b) Sombree el conjunto $S \cap G^{'}$ en su diagrama.

c) Escriba en palabras el significado de $S \cap G^{'}$ .

Ver solución

a) 1. Todo coche deportivo verde es un coche deportivo, así que $G$ está totalmente contenido en $S$ ( $G \subset S$ ). 2. Dibujamos un rectángulo $U$ , dentro un círculo $S$ y, dentro de $S$ , un círculo más pequeño $G$ .

b) 1. $G^{'}$ son los coches que no son deportivos verdes (todo lo que está fuera de $G$ ). 2. $S \cap G^{'}$ es lo que está a la vez en $S$ y fuera de $G$ : sombreamos la parte de $S$ que queda fuera del círculo $G$ (la «corona» entre ambos círculos).

c) Son los coches que son deportivos pero no son verdes, es decir, los deportivos de cualquier otro color.

Diagrama de Venn con U, un círculo S y dentro de él un círculo G (G contenido en S); sombreada la parte de S que queda fuera de G

Resultado: a) b) diagrama de arriba c) Los coches deportivos que no son de color verde

Ejercicio 6 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2001

Un comité $U$ tiene tres subcomités: investigación $R$ , finanzas $F$ y compras $P$ . Ningún miembro pertenece a los subcomités de finanzas y compras. Algunos miembros pertenecen a ambos comités de investigación y compras. Todos los miembros del subcomité de finanzas también pertenecen al subcomité de investigación. Dibuje un diagrama de Venn que muestre la relación entre los conjuntos $U$ , $R$ , $F$ y $P$ .

Ver solución

Se razona cada condición como una relación entre círculos:

«Ningún miembro pertenece a finanzas y compras»: $F \cap P = \emptyset$ , así que los círculos $F$ y $P$ no se tocan.
«Algunos pertenecen a investigación y compras»: $R \cap P \neq = \emptyset$ , así que $R$ y $P$ se solapan parcialmente.
«Todos los de finanzas también están en investigación»: $F \subset R$ , así que $F$ se dibuja completamente dentro de $R$ .
Los tres círculos van dentro del rectángulo $U$ . Como $F$ está dentro de $R$ y $R$ solo toca a $P$ en su zona exterior a $F$ , el círculo $F$ queda dentro de $R$ sin tocar $P$ .

Diagrama de Venn con U, dos círculos grandes P y R que se cortan parcialmente y un círculo pequeño F dentro de R, sin tocar P

Resultado: diagrama de arriba

Ejercicio 7 BásicoIB · P2 TZ0 Noviembre 2001

Se preguntó a 100 estudiantes qué canal de televisión (MTV, CNN o BBC) habían visto la noche anterior. Los resultados se muestran en el diagrama de Venn de abajo.

Diagrama de Venn de MTV, CNN y BBC dentro de U: solo MTV 35, MTV y CNN sin BBC 23, solo CNN 19, MTV y BBC sin CNN 6, los tres 5, CNN y BBC sin MTV 2, solo BBC 3, fuera 7

De la información en el diagrama de Venn, anote el número de estudiantes que vieron

a) tanto MTV como BBC;

b) MTV o BBC;

c) CNN y BBC pero no MTV;

d) MTV o CNN pero no BBC.

Ver solución

Se leen las regiones directamente del diagrama.

a) MTV y BBC: $MTV \cap BBC$ sin CNN ( $6$ ) más las tres ( $5$ ): $6 + 5 = 11$ .

b) MTV o BBC (unión): todas las regiones de ambos círculos: $35 + 23 + 6 + 5 + 2 + 3 = 74$ . (Equivale a $100 - 19 - 7 = 74$ , quitando solo CNN y el exterior.)

c) CNN y BBC pero no MTV: la región de solo esos dos: $2$ .

d) MTV o CNN, pero no BBC: regiones de esos dos círculos fuera de BBC: $35 + 23 + 19 = 77$ .

Resultado: a) Vieron tanto MTV como BBC $= 11$ estudiantes b) Vieron MTV o BBC $= 74$ estudiantes c) Vieron CNN y BBC pero no MTV $= 2$ estudiantes d) Vieron MTV o CNN pero no BBC $= 77$ estudiantes

Ejercicio 8 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2018

Considere los siguientes diagramas de Venn. Tres diagramas de Venn con conjunto universal U. Diagrama 1: círculos A y B solapados, sombreado todo U salvo el círculo A. Diagrama 2: círculo D dentro del círculo C, sombreada la parte de C fuera de D. Diagrama 3: círculos E, F y G solapados, sombreados la intersección de E y F y todo el círculo G

a) Escriba una expresión, utilizando notación de conjuntos, que represente la región sombreada del

(i) Diagrama 1;

(ii) Diagrama 2;

(iii) Diagrama 3.

b) En cada uno de los siguientes diagramas de Venn, sombree la región que representa al conjunto

(i) $(H \cup I)^{'}$ ; Diagrama de Venn con conjunto universal U y dos círculos que se solapan, H a la izquierda e I a la derecha, sin sombrear

(ii) $J \cap K$ . Diagrama de Venn con conjunto universal U, un círculo grande J y un círculo pequeño K completamente dentro de J, sin sombrear

Ver solución

a) Para cada diagrama se identifica qué zona está sombreada y se traduce con las operaciones de conjuntos (complemento $^{'}$ , unión $\cup$ , intersección $\cap$ ).

Diagrama 1: está sombreado todo el universo salvo el círculo $A$ , es decir, lo que no está en $A$ : el complemento $A^{'}$ .
Diagrama 2: $D$ está dentro de $C$ y se sombrea la parte de $C$ que queda fuera de $D$ : elementos que están en $C$ y no están en $D$ , es decir, $C \cap D^{'}$ .
Diagrama 3: se sombrean dos cosas a la vez, la intersección $E \cap F$ y todo el círculo $G$ . «Una cosa o la otra» es una unión: $(E \cap F) \cup G$ .

b) Se razona qué zona hay que colorear.

$(H \cup I)^{'}$ : primero $H \cup I$ es la zona que cubren los dos círculos juntos. Su complemento es todo lo que queda fuera de ambos círculos, dentro del rectángulo $U$ . Se sombrea esa zona exterior y no se sombrea ningún círculo.
$J \cap K$ : es la zona común a $J$ y $K$ . Como $K$ está completamente dentro de $J$ , lo común es todo el círculo pequeño $K$ . Se sombrea el círculo $K$ .

Diagrama de Venn con U, círculos H e I solapados; sombreado todo el exterior de la unión de H e I, los dos círculos en blanco

Resultado: a) (i) $A^{'}$ ; (ii) $C \cap D^{'}$ ; (iii) $G \cup (E \cap F)$ . b) (i) exterior de ambos círculos; (ii) el círculo $K$ .

Ejercicio 9 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

El siguiente diagrama de Venn muestra los conjuntos $A$ , $B$ , $C$ y $U$ . Además, $x$ es un elemento de $U$ . Diagrama de Venn con U, círculos A y B solapados con el elemento x en la intersección, y un óvalo C vacío separado debajo; nada sombreado

a) Indique en la siguiente tabla si los enunciados que aparecen son Verdaderos o Falsos.

Enunciado	Verdadero o Falso
$x \in C$
$x \subset B$
$A \cup B \neq = \emptyset$
$A \cap B \subset C$
$A \cap C = \emptyset$

b) En el diagrama de Venn sombree la región $A \cap (B \cup C)^{'}$ .

Ver solución

a) Hay que distinguir entre pertenecer a un conjunto ( $\in$ , para un elemento), estar contenido en un conjunto ( $\subset$ , para un conjunto) y conjunto vacío.

$x \in C$ : $x$ está en la intersección de $A$ y $B$ , y $C$ es un óvalo separado. Falso.
$x \subset B$ : $x$ es un elemento, no un conjunto, por lo que el símbolo correcto sería $x \in B$ . Escrito con $\subset$ es Falso.
$A \cup B \neq = \emptyset$ : $A \cup B$ contiene al menos a $x$ , así que no es vacío. Verdadero.
$A \cap B \subset C$ : $A \cap B$ contiene a $x$ , que no está en $C$ . Falso.
$A \cap C = \emptyset$ : $C$ está separado de $A$ , no tienen nada en común. Verdadero.

Enunciado	Verdadero o Falso
$x \in C$	Falso
$x \subset B$	Falso
$A \cup B \neq = \emptyset$	Verdadero
$A \cap B \subset C$	Falso
$A \cap C = \emptyset$	Verdadero

b) Se construye la región por partes.

$B \cup C$ es todo lo que está en $B$ o en $C$ .
$(B \cup C)^{'}$ es todo lo que no está en ninguno de ellos.
Se pide $A \cap (B \cup C)^{'}$ : la parte de $A$ que no está en $B$ ni en $C$ . Como $C$ no toca a $A$ , solo hay que quitar a $A$ la parte que comparte con $B$ . Se sombrea la parte de $A$ que queda fuera de $B$ (la «media luna» de $A$ ).

Diagrama de Venn con U, círculos A y B solapados con x en la intersección y óvalo C debajo; sombreada la parte de A que queda fuera de B

Resultado: a) Falso, Falso, Verdadero, Falso, Verdadero. b) La parte de $A$ que no pertenece a $B$ .

Ejercicio 10 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Un grupo de 60 entusiastas del deporte visitó los Juegos Olímpicos de Invierno de PyeongChang 2018 para ver una variedad de eventos deportivos. Los deportes más populares fueron el snowboard ( $S$ ), el patinaje artístico ( $F$ ) y el hockey sobre hielo ( $H$ ). Para este grupo de 60 personas: 4 no vio ninguno de los deportes más populares, $x$ vio los tres deportes más populares, 9 vieron solo snowboard, 11 vieron patinaje artístico solamente, 15 solo vieron hockey sobre hielo, 7 vieron snowboard y patinaje artístico, 13 vieron patinaje artístico y hockey sobre hielo, 11 vieron snowboard y hockey sobre hielo.

a) Complete el diagrama de Venn usando la información dada. Diagrama de Venn con tres conjuntos S, F y H dentro de U; la letra x está en la región central, intersección de S, F y H; las demás regiones están vacías

b) Encuentre el valor de $x$ .

c) Escriba el valor de $n ((F \cup H) \cap S^{'})$ .

Ver solución

a) Se rellena desde el centro hacia fuera, restando lo que ya está contado.

Centro ( $S \cap F \cap H$ ): $x$ .
Solo $S \cap F$ (sin $H$ ): $7 - x$ , porque las 7 personas de $S \cap F$ incluyen las del centro.
Solo $F \cap H$ : $13 - x$ .
Solo $S \cap H$ : $11 - x$ .
Solo $S$ : 9. Solo $F$ : 11. Solo $H$ : 15.
Fuera de los tres: 4.

b) El total de personas es 60, así que la suma de todas las regiones debe ser 60:

$9 + 11 + 15 + (7 - x) + (13 - x) + (11 - x) + x + 4 = 60$

$70 - 2 x = 60 \Rightarrow x = 5.$

Con $x = 5$ las regiones valen: $S \cap F$ solo, 2; $F \cap H$ solo, 8; $S \cap H$ solo, 6; centro, 5.

c) $(F \cup H) \cap S^{'}$ son las personas que vieron patinaje o hockey y no vieron snowboard: solo $F$ (11), solo $H$ (15) y $F \cap H$ sin $S$ (8):

$n = 11 + 15 + 8 = 34.$

Diagrama de Venn con S, F y H dentro de U: solo S 9; solo F 11; solo H 15; S y F sin H 7−x; F y H sin S 13−x; S y H sin F 11−x; los tres x; fuera de los tres círculos 4

Resultado: a) centro $5$ ; $S \cap F$ solo $2$ ; $F \cap H$ solo $8$ ; $S \cap H$ solo $6$ ; solo $S$ $9$ ; solo $F$ $11$ ; solo $H$ $15$ ; fuera $4$ . b) $x = 5$ . c) $34$ .

Ejercicio 11 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

Dune Canyon High School organiza su año escolar en tres trimestres: otoño / caída del otoño ( $F$ ), invierno ( $W$ ) y primavera ( $S$ ). La escuela ofrece una variedad de actividades deportivas durante y fuera del año escolar. Las actividades que ofrece la escuela se resumen en el siguiente diagrama de Venn. Diagrama de Venn con F, W y S dentro de U y deportes en cada región. Solo F: vóleibol, golf. F y W sin S: fútbol. Solo W: hockey sobre hielo, esquí, patinaje sobre hielo. Los tres: gimnasia, natación. F y S sin W: ciclismo. W y S sin F: alpinismo, baloncesto. Solo S: sofbol, bádminton, atletismo, tenis. Fuera: tiro con arco, béisbol, kayak, surf

a) Escriba el número de actividades deportivas que ofrece la escuela durante su año escolar.

b) Determine si la escuela ofrece alpinismo en el trimestre de otoño / caída del otoño.

c) Anote

(i) los elementos del conjunto $F \cap W^{'}$ ;

(ii) $n (W \cap S)$ .

d) Escriba, en función de $F$ , $W$ y $S$ , una expresión para el conjunto que contiene solo tiro con arco, béisbol, kayak y surf.

Ver solución

a) Las actividades que se ofrecen durante el año escolar son las que están dentro de $F$ , $W$ o $S$ (las 4 de fuera no se ofrecen en ningún trimestre). Se suman las regiones: $2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15$ .
b) El alpinismo está en $W \cap S$ , fuera de $F$ . Por tanto no se ofrece en otoño: No.
c) (i) $F \cap W^{'}$ son las actividades de otoño que no están en invierno: vóleibol, golf y ciclismo. (ii) $W \cap S$ contiene gimnasia, natación, alpinismo y baloncesto, así que $n (W \cap S) = 4$ .
d) Tiro con arco, béisbol, kayak y surf no están en ningún trimestre: son lo que queda fuera de la unión de los tres, $(F \cup W \cup S)^{'}$ .

Resultado: a) $15$ . b) No. c) (i) ${$ vóleibol, golf, ciclismo $}$ ; (ii) $4$ . d) $(F \cup W \cup S)^{'}$ .

Ejercicio 12 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2017

En un campamento de verano, todos los niños han de practicar al menos un deporte. Pueden elegir entre fútbol ( $F$ ) y baloncesto ( $B$ ). Hay 15 niños que practican los dos deportes. El número de niños que juegan solo al fútbol es el doble que el número de niños que juegan solo al baloncesto. Sea $x$ el número de niños que juegan solo al fútbol.

a) Escriba una expresión, en función de $x$ , para representar el número de niños que juegan solo al baloncesto.

b) Complete el diagrama de Venn utilizando los datos anteriores. Diagrama de Venn con dos conjuntos F y B dentro de U, sin ningún número escrito En este campamento de verano hay 120 niños.

c) Halle el número de niños que juegan solo al fútbol.

d) Escriba el valor de $n (F)$ .

Ver solución

a) Solo fútbol es el doble que solo baloncesto, y solo fútbol vale $x$ . Entonces solo baloncesto vale $\frac{x}{2}$ .
b) Se rellena el diagrama: $F$ solo: $x$ ; $F \cap B$ : $15$ ; $B$ solo: $\frac{x}{2}$ . Fuera de ambos hay $0$ niños, porque todos practican al menos un deporte.
c) Hay 120 niños en total y todos están en alguna región:

$x + 15 + \frac{x}{2} = 120 \Rightarrow \frac{3 x}{2} = 105 \Rightarrow x = 70.$

d) $F$ incluye los que juegan solo al fútbol y los que juegan a los dos: $n (F) = 70 + 15 = 85$ .

Diagrama de Venn con F y B dentro de U: solo F vale x; F y B vale 15; solo B vale x/2; fuera de ambos círculos 0

Resultado: a) $\frac{x}{2}$ . b) $F$ solo $x$ , intersección $15$ , $B$ solo $\frac{x}{2}$ , fuera $0$ . c) $70$ . d) $85$ .

Ejercicio 13 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

Tuti tiene los siguientes polígonos para clasificar: rectángulo (R), rombo (H), triángulo isósceles (I), pentágono regular (P) y triángulo escaleno (T). En el diagrama de Venn a continuación, el conjunto $A$ consta de los polígonos que tienen al menos un par de lados paralelos, y el conjunto $B$ consta de polígonos que tienen al menos un par de lados iguales. Diagrama de Venn con A y B dentro de U; la letra R está en la intersección de A y B; el resto de regiones está vacío

a) Complete el diagrama de Venn colocando la letra correspondiente a cada polígono en la región apropiada. Por ejemplo, R ya se ha colocado y representa el rectángulo.

b) Indique qué polígonos de la lista de Tuti son elementos de

(i) $A \cap B$ ;

(ii) $(A \cup B)^{'}$ .

Ver solución

Se examina cada polígono con las dos propiedades: al menos un par de lados paralelos ( $A$ ) y al menos un par de lados iguales ( $B$ ).

Rectángulo (R): lados opuestos paralelos e iguales. Está en $A \cap B$ (ya colocado).
Rombo (H): lados opuestos paralelos y los cuatro lados iguales. Está en $A \cap B$ .
Triángulo isósceles (I): ningún par de lados paralelos (un triángulo no tiene lados paralelos), pero tiene dos lados iguales. Está en $B$ fuera de $A$ .
Pentágono regular (P): no tiene lados paralelos, pero sus cinco lados son iguales. Está en $B$ fuera de $A$ .
Triángulo escaleno (T): ni lados paralelos ni lados iguales. Está fuera de $A$ y de $B$ .

b) $A \cap B$ es la zona común: R y H. $(A \cup B)^{'}$ es lo que queda fuera de los dos círculos: T.

Diagrama de Venn con A y B dentro de U: R y H en la intersección de A y B; I y P en la parte de B que no está en A; T fuera de los dos círculos

Resultado: a) $A \cap B$ : R, H; solo $B$ : I, P; solo $A$ : ninguno; fuera: T. b) (i) R, H; (ii) T.

Ejercicio 14 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Se preguntó a un grupo de 33 personas sobre los pasaportes que tienen. 21 tienen pasaporte australiano, 15 tienen pasaporte británico y 3 no tienen ninguno.

a) Encuentre el número de los que tienen pasaportes tanto australianos como británicos. En el diagrama de Venn a continuación, el conjunto $A$ representa a las personas del grupo con pasaportes australianos y $B$ a aquellos con pasaportes británicos. Diagrama de Venn con U y dos círculos A y B que se cortan: p en la parte solo de A, q en A ∩ B, r en la parte solo de B y 3 fuera de los dos círculos

b) Escriba el valor de

(i) $q$ ;

(ii) $p$ y de $r$ .

c) Encuentre $n (A \cup B^{'})$ .

Ver solución

a) Hay $33 - 3 = 30$ personas con al menos un pasaporte. Si se suman los de cada pasaporte, los que tienen los dos se cuentan dos veces: $21 + 15 = 36$ . El exceso es el número de los que tienen ambos: $36 - 30 = 6$ .
b) (i) $q = n (A \cap B) = 6$ . (ii) Solo australiano: $p = 21 - 6 = 15$ . Solo británico: $r = 15 - 6 = 9$ . Comprobación: $15 + 6 + 9 + 3 = 33$ .
c) $A \cup B^{'}$ son los que tienen pasaporte australiano o no tienen británico: todos salvo los que tienen solo el británico. $n (A \cup B^{'}) = 33 - r = 33 - 9 = 24$ (equivalente a $p + q + 3 = 15 + 6 + 3$ ).

Resultado: a) $6$ . b) (i) $q = 6$ ; (ii) $p = 15$ , $r = 9$ . c) $24$ .

Ejercicio 15 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

Un gimnasio tiene 60 miembros. 35 de los socios asisten al curso de aeróbic del club ( $A$ ) y 28 miembros asisten al curso de yoga del club ( $Y$ ). 17 miembros asisten a ambos cursos. Se utiliza un diagrama de Venn para ilustrar esta situación. Diagrama de Venn con U y dos círculos A e Y que se cortan: p en la parte solo de A, q en A ∩ Y y 11 en la parte solo de Y

a) Escriba el valor de $q$ .

b) Encuentre el valor de $p$ .

c) Calcule el número de miembros del gimnasio que no asisten ni al curso de aeróbic ( $A$ ) ni al curso de yoga ( $Y$ ).

d) Sombree, en su diagrama de Venn, $A^{'} \cap Y$ .

Ver solución

a) 1. $q$ es el número de miembros de la intersección $A \cap Y$ , es decir, los que asisten a ambos cursos. 2. Del enunciado: $q = 17$ .

b) 1. Los $35$ socios de aeróbic se reparten entre «solo $A$ » ( $p$ ) y « $A$ e $Y$ » ( $q$ ): $p + q = 35$ . 2. $p = 35 - 17 = 18$ .

c) 1. Socios dentro de algún círculo: $p + q + 11 = 18 + 17 + 11 = 46$ . (Comprobación: yoga $= 17 + 11 = 28$ , correcto.) 2. Los que no asisten a ninguno son los que quedan fuera de los círculos: $60 - 46 = 14$ .

d) $A^{'} \cap Y$ son los que están en $Y$ y no en $A$ : se sombrea la parte de $Y$ que queda fuera de $A$ (la región con el $11$ ).

Diagrama de Venn con U y dos círculos A e Y que se cortan; sombreada solo la parte de Y que no pertenece a A

Resultado: a) $q = 17$ socios b) $p = 18$ socios c) 14 socios d) diagrama de arriba

Ejercicio 16 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2009

(ii) Se realizó una encuesta en una clase de 12 años. Se preguntó a los alumnos qué grupos de pop les gustan de los Rockers (R), los Salseros (S) y los Bluers (B). Los resultados se muestran en el siguiente diagrama. Diagrama de Venn con U y tres círculos R, S y B. Solo R 2; R y S sin B 2x; solo S 0; R y B sin S x; R, S y B 3; S y B sin R 5; solo B 4; fuera de los tres círculos 7

a) Escriba $n (R \cap S \cap B)$ .

b) Encuentre $n (R^{'})$ .

c) Describa qué grupos les gustan a los alumnos del conjunto $S \cap B$ .

d) Utilice la notación de conjuntos para describir el grupo de alumnos a los que les gustan los Rockers y los Bluers pero no les gustan los Salseros. Hay 33 alumnos en la clase.

e) (i) Encuentre $x$ .

(ii) Encuentre el número de alumnos a los que les gustan los Rockers.

Ver solución

a) $R \cap S \cap B$ es la región común a los tres círculos, que contiene $3$ alumnos. Luego $n (R \cap S \cap B) = 3$ .

b) 1. $R^{'}$ son los alumnos que no están en el círculo $R$ . 2. Son las regiones: solo $S$ ( $0$ ), $S$ y $B$ sin $R$ ( $5$ ), solo $B$ ( $4$ ) y fuera de los círculos ( $7$ ). 3. $n (R^{'}) = 0 + 5 + 4 + 7 = 16$ .

c) $S \cap B$ son los alumnos que están a la vez en $S$ y en $B$ : les gustan los Salseros y los Bluers (algunos, además, los Rockers).

d) Rockers y Bluers: $R \cap B$ ; pero no Salseros: $S^{'}$ . Luego $R \cap B \cap S^{'}$ .

e) (i) 1. Sumamos todas las regiones e igualamos al total de $33$ : $2 + 2 x + 0 + x + 3 + 5 + 4 + 7 = 33 \Rightarrow 21 + 3 x = 33.$ 2. $3 x = 12$ , por tanto $x = 4$ .

(ii) 1. A los Rockers pertenecen las cuatro regiones del círculo $R$ : $2 + 2 x + x + 3 = 5 + 3 x$ . 2. Con $x = 4$ : $5 + 12 = 17$ .

Resultado: a) $n (R \cap S \cap B) = 3$ alumnos b) $n (R^{'}) = 16$ alumnos c) Los Bluers y los Salseros d) $R \cap B \cap S^{'}$ e) (i) $x = 4$ alumnos (ii) $n (R) = 17$ alumnos

Ejercicio 17 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2002

Se realizó una encuesta acerca de las actividades que realizan en su tiempo libre 90 estudiantes. 60 estudiantes miran TV ( $T$ ), 60 estudiantes leen ( $R$ ), 70 estudiantes van al cine ( $C$ ). 26 estudiantes miran TV, leen y además van al cine. 20 estudiantes sólo miran TV y van al cine. 18 estudiantes sólo leen y van al cine. 10 estudiantes sólo leen y miran TV.

a) Dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la información dada anteriormente.

b) Calcule cuántos estudiantes

(i) sólo miran TV;

(ii) sólo van al cine.

Ver solución

a) Se empieza por el centro y se va hacia fuera.

$T \cap R \cap C = 26$ .
Regiones de exactamente dos: $T \cap C$ sin $R = 20$ , $R \cap C$ sin $T = 18$ , $R \cap T$ sin $C = 10$ .
Solo $T$ : $60 - 20 - 10 - 26 = 4$ .
Solo $R$ : $60 - 18 - 10 - 26 = 6$ .
Solo $C$ : $70 - 20 - 18 - 26 = 6$ .
Comprobación del exterior: $4 + 6 + 6 + 20 + 18 + 10 + 26 = 90$ , así que fuera de los círculos hay $90 - 90 = 0$ estudiantes.

b) (i) Solo miran TV: $4$ (paso 3).

(ii) Solo van al cine: $6$ (paso 5).

Diagrama de Venn con U y tres círculos R, T y C. Solo R 6; solo T 4; solo C 6; R y T sin C 10; R y C sin T 18; T y C sin R 20; R, T y C 26; fuera de los círculos 0

Resultado: a) diagrama de arriba b) (i) Sólo miran TV $= 4$ (ii) Sólo van al cine $= 6$

Ejercicio 18 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2009

El siguiente diagrama de Venn representa a los alumnos que estudian en un colegio Matemáticas ( $A$ ), Ampliación de Matemáticas ( $B$ ) y Física ( $C$ ). 50 alumnos estudian Matemáticas 38 estudian Física 20 estudian Matemáticas y Física, pero no Ampliación de Matemáticas 10 estudian Ampliación de Matemáticas, pero no Física 12 estudian Ampliación de Matemáticas y Física 6 estudian Física, pero no Matemáticas 3 no estudian ninguna de estas tres asignaturas. Diagrama de Venn con U: círculo grande A, círculo pequeño B dentro de A en su parte izquierda y círculo C a la derecha que corta a A y a B. Escritos: 20 en A ∩ C fuera de B, 6 en C fuera de A y 3 fuera de todos los círculos

a) Copie y complete el diagrama de Venn en su hoja de respuestas.

b) Escriba el número de alumnos que estudian Matemáticas pero no Ampliación de Matemáticas.

c) Escriba el número total de alumnos que hay en el colegio.

d) Escriba $n (B \cup C)$ .

Ver solución

a) El diagrama indica que $B$ está dentro de $A$ (quien estudia Ampliación estudia Matemáticas). Esto se usa para rellenar.

Como $B \subset A$ , « $B$ y $C$ » es la región $A \cap B \cap C$ : $12$ . « $B$ sin $C$ »: $10$ .
$A \cap C$ sin $B$ : $20$ . Solo $C$ (fuera de $A$ ): $6$ . Fuera de los círculos: $3$ .
Solo $A$ (sin $B$ ni $C$ ): al total de $A$ le quitamos las demás regiones de $A$ : $50 - 10 - 12 - 20 = 8$ .
Comprobación con Física: $20 + 12 + 6 = 38$ . Correcto.

b) Matemáticas pero no Ampliación: solo $A$ más $A \cap C$ sin $B$ : $8 + 20 = 28$ .

c) Sumamos todas las regiones: $8 + 10 + 12 + 20 + 6 + 3 = 59$ .

d) $B \cup C$ : regiones de $B$ ( $10 + 12$ ) más las de $C$ que no están en $B$ ( $20 + 6$ ): $10 + 12 + 20 + 6 = 48$ . Equivale a $n (C) + n (B sin C) = 38 + 10 = 48$ .

Diagrama de Venn de A, B y C dentro de U, con B dentro de A: solo A = 8, B sin C = 10, B y C = 12, A y C sin B = 20, solo C = 6, fuera de los círculos = 3

Resultado: a) diagrama de arriba b) 28 alumnos estudian Matemáticas pero no Ampliación de Matemáticas c) Número total de alumnos $= 59$ d) $n (B \cup C) = 38 + 10 = 48$ alumnos

Ejercicio 19 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

Una escuela ofrece tres actividades, baloncesto (B), coro (C) y teatro (D). Todo estudiante debe participar en al menos una actividad.

16 estudiantes juegan baloncesto solamente.
18 estudiantes juegan baloncesto y cantan en el coro, pero no hacen teatro.
34 estudiantes juegan baloncesto y hacen teatro, pero no cantan en el coro.
27 estudiantes están en el coro y hacen teatro, pero no juegan baloncesto.

a) Ingrese la información anterior en el siguiente diagrama de Venn.

Diagrama de Venn de B, C y D dentro de U; la región común a los tres círculos lleva la letra x y las demás regiones están vacías

99 de los estudiantes juegan baloncesto, 88 cantan en el coro y 110 hacen teatro.

b) Calcule el número de estudiantes $x$ que participan en las tres actividades.

c) Calcule el número total de estudiantes en la escuela.

Ver solución

a) Se colocan los datos tal cual: solo $B = 16$ , $B \cap C$ sin $D = 18$ , $B \cap D$ sin $C = 34$ , $C \cap D$ sin $B = 27$ , y la región central es $x$ . «Solo $C$ » y «solo $D$ » se calculan en los apartados siguientes.

b) 1. En $B$ hay cuatro regiones: $16 + 18 + 34 + x = 99$ . 2. $68 + x = 99$ , por tanto $x = 31$ .

c) 1. Solo $C$ : de los $88$ del coro quitamos las demás regiones de $C$ : $88 - 18 - 31 - 27 = 12$ . 2. Solo $D$ : de los $110$ de teatro: $110 - 34 - 31 - 27 = 18$ . 3. Como todo estudiante participa en al menos una actividad, el total es la suma de las siete regiones: $16 + 12 + 18 + 18 + 34 + 27 + 31 = 156$ .

Diagrama de Venn de B, C y D dentro de U: solo B = 16, B y C sin D = 18, B, C y D = x, B y D sin C = 34, C y D sin B = 27; solo C y solo D vacías

Resultado: a) diagrama de arriba b) $x = 31$ estudiantes c) Número total de estudiantes $= 156$ estudiantes

Ejercicio 20 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

En un colegio hay 90 alumnos matriculados en el Programa del Diploma del BI. Deben estudiar al menos una de estas asignaturas: Física, Biología y Química.

50 alumnos estudian Física,
60 alumnos estudian Biología,
55 alumnos estudian Química,
30 alumnos estudian Física y Biología,
10 alumnos estudian Biología y Química pero no Física,
20 alumnos estudian las tres asignaturas.

Si $x$ representa el número de alumnos que estudian Física y Química pero no Biología, entonces $25 - x$ es el número de alumnos que estudian solamente Química.

La siguiente figura muestra parte de esta información y puede emplearse para las operaciones.

Diagrama de Venn de Física, Química y Biología dentro de U con n(U) = 90: Física y Química sin Biología = x, los tres = 20, solo Química = 25 − x, Biología y Química sin Física = 10, solo Biología = 20; solo Física y Física con Biología sin Química vacías

a) Exprese el número de alumnos que estudian Física solamente, en función de $x$ .

b) Halle $x$ .

c) Determine el número de alumnos que estudian al menos dos de estas asignaturas.

Ver solución

a) 1. Los $50$ de Física se reparten en cuatro regiones: solo Física, Física y Biología sin Química, Física y Química sin Biología ( $x$ ) y las tres ( $20$ ). 2. Física y Biología son $30$ en total, y $20$ de ellos estudian además Química. Luego Física y Biología sin Química: $30 - 20 = 10$ . 3. Solo Física $= 50 - 10 - x - 20 = 20 - x$ .

b) 1. Todos estudian al menos una asignatura, así que la suma de las siete regiones es $90$ . Solo Biología $= 60 - 10 - 20 - 10 = 20$ (de acuerdo con la figura). 2. Suma: $(20 - x) + 10 + x + 20 + 20 + 10 + (25 - x) = 90$ . 3. $105 - x = 90$ , por tanto $x = 15$ .

c) Al menos dos asignaturas: las tres regiones de dos asignaturas más la de tres: $10 (F y B) + 15 (F y Q) + 10 (B y Q) + 20 (las tres) = 55$ .

Resultado: a) Estudian sólo Física $= 20 - x$ alumnos b) $x = 15$ alumnos c) Estudian al menos dos de estas asignaturas $= 55$ alumnos

Ejercicio 21 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2005

Los siguientes resultados se obtuvieron de una encuesta sobre los hábitos de lectura de los estudiantes.

60% lee la revista P
50% lee la revista Q
50% lee la revista R
30% lee las revistas P y Q
20% lee revistas Q y R
30% lee revistas P y R
10% lee las tres revistas

a) Represente toda esta información en un diagrama de Venn.

b) ¿Qué porcentaje de estudiantes leen exactamente dos revistas?

c) ¿Qué porcentaje de estudiantes leen al menos dos revistas?

d) ¿Qué porcentaje de estudiantes no lee ninguna de las revistas?

Ver solución

a) Se empieza por el centro. Un porcentaje de « $P$ y $Q$ » incluye la parte que también lee $R$ .

Los tres: $10%$ .
Exactamente dos: $P$ y $Q$ sin $R = 30 - 10 = 20$ ; $Q$ y $R$ sin $P = 20 - 10 = 10$ ; $P$ y $R$ sin $Q = 30 - 10 = 20$ .
Solo $P = 60 - 20 - 20 - 10 = 10$ ; solo $Q = 50 - 20 - 10 - 10 = 10$ ; solo $R = 50 - 10 - 20 - 10 = 10$ .
Suma de los círculos: $10 + 10 + 10 + 20 + 10 + 20 + 10 = 90$ , luego fuera quedan $100 - 90 = 10%$ .

b) Exactamente dos: $20 + 10 + 20 = 50%$ .

c) Al menos dos: exactamente dos más las tres: $50 + 10 = 60%$ .

d) Ninguna: la región exterior, $10%$ .

Diagrama de Venn de P, Q y R dentro de U: solo P 10%, solo Q 10%, solo R 10%, P y Q sin R 20%, P y R sin Q 20%, Q y R sin P 10%, los tres 10%, fuera de los círculos 10%

Resultado: a) diagrama de arriba b) Leen exactamente 2 revistas el 50% c) Leen al menos 2 revistas el 60% d) No leen ninguna el 10%

Ejercicio 22 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2003

Los conjuntos $U$ , $P$ , $R$ y $S$ se definen como sigue:

$U = {todos los cuadril a ˊ teros}$

$P = {todos los paralelogramos}$

$R = {todos los rect a ˊ ngulos}$

$S = {todos los cuadrados}$

a) Trace un diagrama de Venn que muestre las relaciones entre los conjuntos anteriores.

b) Trace un diagrama de Venn aparte para cada uno de los ejemplos que siguen. Indique, usando sombreado, cada uno de los siguientes:

(i) $(P \cup S)^{'}$

(ii) $(R \cup S) \cap P$

Ver solución

Todo cuadrado es un rectángulo (4 ángulos rectos) y, además, tiene los lados opuestos paralelos: $S \subset R$ .
Todo rectángulo es un paralelogramo (lados opuestos paralelos): $R \subset P$ .
Todo paralelogramo es un cuadrilátero: $P \subset U$ .
Por tanto los conjuntos están anidados: $S \subset R \subset P \subset U$ . Se dibuja un rectángulo $U$ y dentro tres círculos concéntricos: el exterior es $P$ , el intermedio $R$ y el interior $S$ .

Rectángulo U con tres círculos concéntricos sin sombrear: P el exterior, R el intermedio y S el interior

Resultado: diagrama con $S \subset R \subset P \subset U$ (círculos concéntricos, $P$ el mayor y $S$ el menor).

(i) $(P \cup S)^{'}$

Como $S \subset P$ , la unión $P \cup S$ es simplemente $P$ .
El complementario $(P \cup S)^{'} = P^{'}$ son los elementos de $U$ que no están en $P$ .
Se dibujan dos círculos concéntricos ( $P$ exterior y $S$ interior) y se sombrea toda la región de $U$ situada fuera del círculo $P$ .

Rectángulo U con dos círculos concéntricos, P exterior y S interior; rayada toda la región exterior a P, el complementario de P unión S

Resultado: se sombrea todo lo que queda fuera de $P$ .

(ii) $(R \cup S) \cap P$

Como $S \subset R$ , se tiene $R \cup S = R$ .
Como $R \subset P$ , la intersección $R \cap P = R$ (la parte común de $R$ y $P$ es todo $R$ ).
Se dibujan dos círculos concéntricos ( $R$ exterior y $S$ interior) y se sombrea todo el interior de $R$ , incluido $S$ . Lo de fuera de $R$ queda sin sombrear.

Rectángulo U con dos círculos concéntricos, R exterior y S interior; rayado todo el interior de R, incluido S; el exterior de R sin sombrear

Resultado: se sombrea todo el interior de $R$ , incluido $S$ .

Ejercicio 23 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2000

(i) Se encuesta a un grupo de 30 niños para averiguar cuál de los tres deportes cricket ( $C$ ), baloncesto ( $B$ ) o voleibol ( $V$ ) juegan. Los resultados son:

3 niños no practican ninguno de estos deportes
2 niños juegan los tres deportes
6 juegan voleibol y baloncesto
3 juegan al cricket y baloncesto
6 juegan al cricket y al voleibol
16 juegan baloncesto
12 juegan voleibol.

a) Dibuje un diagrama de Venn para ilustrar la relación entre los tres deportes jugados.

b) En su diagrama de Venn, indique el número de niños que pertenecen a cada región.

c) ¿Cuántos niños juegan solo al cricket?

Ver solución

Se dibujan tres círculos que se solapan, $C$ , $B$ y $V$ , dentro de un rectángulo (los 30 niños). Se rellena de dentro hacia fuera.
Los tres deportes: $C \cap B \cap V = 2$ .
Exactamente dos deportes (a cada intersección de dos conjuntos se le resta la región central de 2):
- $B \cap V$ sin $C$ : $6 - 2 = 4$ .
- $C \cap B$ sin $V$ : $3 - 2 = 1$ .
- $C \cap V$ sin $B$ : $6 - 2 = 4$ .
Un solo deporte:
- Solo $B$ : $16 - (4 + 1 + 2) = 9$ .
- Solo $V$ : $12 - (4 + 4 + 2) = 2$ .
Fuera de los círculos: 3 niños no practican ninguno, así que entre los círculos hay $30 - 3 = 27$ niños.
Solo cricket: $27 - (9 + 2 + 4 + 1 + 4 + 2) = 27 - 22 = 5$ .

Diagrama de Venn de C, B y V. Solo C: sin rotular (5). C∩B sin V: 1. Solo B: 9. C∩B∩V: 2. C∩V sin B: 4. B∩V sin C: 4. Solo V: 2. Fuera de los círculos: 3

Resultado: a) y b) diagrama con regiones: solo $C$ 5; $C \cap B$ sin $V$ 1; solo $B$ 9; los tres 2; $C \cap V$ sin $B$ 4; $B \cap V$ sin $C$ 4; solo $V$ 2; fuera 3. c) Juegan sólo al cricket $= 5$ niños.

Ejercicio 24 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2019

Considere los siguientes conjuntos: El conjunto universal $U$ consta de todos los números enteros positivos menores de 15; $A$ es el conjunto de todos los números que son múltiplos de 3; $B$ es el conjunto de todos los números pares.

a) Escriba los elementos que pertenecen a $A \cap B$ .

b) Escriba

(i) los elementos que pertenecen a $A \cap B^{'}$ ;

(ii) $n (A \cap B^{'})$ .

Ver solución

Universo: $U = {1, 2, 3, \dots, 14}$ .
Múltiplos de 3: $A = {3, 6, 9, 12}$ . Pares: $B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}$ .

a) $A \cap B$ son los elementos que están en $A$ y en $B$ : múltiplos de 3 que son pares, ${6, 12}$ .

$B^{'}$ son los elementos de $U$ que no son pares, es decir, los impares: $B^{'} = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}$ .
(i) $A \cap B^{'}$ : los elementos de $A$ que son impares, ${3, 9}$ .
(ii) $n (A \cap B^{'})$ es el número de elementos: 2.

Resultado: a) $A \cap B = {6, 12}$ b) i) $A \cap B^{'} = {3, 9}$ ii) $n (A \cap B^{'}) = 2$

Ejercicio 25 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

$U$ es el conjunto de números enteros positivos menores o iguales que 10. $A$ , $B$ y $C$ son subconjuntos de $U$ . $A = {enteros pares}$ $B = {m u ˊ ltiplos de 3}$ $C = {6, 7, 8, 9}$ .

a) Enumere los elementos de $A$ .

b) Enumere los elementos de $B$ .

c) Complete el siguiente diagrama de Venn, incluyendo todos los elementos de $U$ . Diagrama de Venn vacío con el universo U y tres conjuntos A, B y C que se solapan, con región común a los tres

Ver solución

a) Los enteros pares entre 1 y 10: $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ .

b) Los múltiplos de 3 hasta 10: $B = {3, 6, 9}$ .

c) Se rellena el diagrama de dentro hacia fuera, mirando para cada elemento de $U = {1, \dots, 10}$ en qué conjuntos está:

Los tres a la vez ( $A \cap B \cap C$ ): el $6$ está en $A$ , en $B$ y en $C$ .
$A \cap C$ sin $B$ : el $8$ (par, está en $C$ , no es múltiplo de 3).
$B \cap C$ sin $A$ : el $9$ (múltiplo de 3, está en $C$ , es impar).
$A \cap B$ sin $C$ : ninguno (el único común a $A$ y $B$ es el 6, que ya está en $C$ ).
Solo $A$ : $2, 4, 10$ . Solo $B$ : $3$ . Solo $C$ : $7$ .
Fuera de los tres círculos (dentro de $U$ ): los que faltan, $1$ y $5$ .
Comprobación: $3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 10$ elementos, todos los de $U$ .

Diagrama de Venn de A, B y C dentro de U. Solo A: 2, 4, 10. Solo B: 3. Solo C: 7. A∩B∩C: 6. A∩C sin B: 8. B∩C sin A: 9. Fuera de los tres: 1 y 5

Resultado: a) $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ b) $B = {3, 6, 9}$ c) diagrama con: solo $A$ ${2, 4, 10}$ , solo $B$ ${3}$ , solo $C$ ${7}$ , $A \cap B \cap C = {6}$ , $A \cap C$ sin $B$ ${8}$ , $B \cap C$ sin $A$ ${9}$ , fuera ${1, 5}$ .

Ejercicio 26 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2019

Sea $U$ (conjunto universal) el conjunto de todos los números enteros $x$ tales que $1 \leq x < 11$ . $A$ , $B$ y $C$ son subconjuntos de $U$ . $A = {1, 2, 3, 4, 6, 8}$ $B = {2, 3, 5, 7}$ $C = {1, 3, 5, 7, 9}$

a) Escriba $n (B)$ .

b) Complete el siguiente diagrama de Venn utilizando todos los elementos de $U$ . Diagrama de Venn vacío con el universo U y tres conjuntos A, B y C que se solapan, con región común a los tres

c) Escriba un elemento que pertenezca a $(A \cup B)^{'} \cap C$ .

Ver solución

a) $B = {2, 3, 5, 7}$ tiene 4 elementos: $n (B) = 4$ .

b) Universo: $U = {1, 2, \dots, 10}$ . Para cada elemento se mira en qué conjuntos está:

$A \cap B \cap C$ : está en los tres solo el $3$ .
$A \cap B$ sin $C$ : el $2$ .
$A \cap C$ sin $B$ : el $1$ .
$B \cap C$ sin $A$ : el $5$ y el $7$ .
Solo $A$ : $4, 6, 8$ . Solo $B$ : ninguno. Solo $C$ : $9$ .
Fuera de los tres: el $10$ .
Comprobación: $A$ tiene $3 + 1 + 1 + 1 = 6$ elementos, $B$ tiene $1 + 1 + 2 = 4$ y $C$ tiene $1 + 1 + 2 + 1 = 5$ , como en el enunciado.

Diagrama de Venn de A, B y C dentro de U. Solo A: 4, 6, 8. A∩B sin C: 2. A∩B∩C: 3. A∩C sin B: 1. B∩C sin A: 5 y 7. Solo C: 9. Fuera de los tres: 10

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ , así que $(A \cup B)^{'} = {9, 10}$ (lo que queda fuera de $A$ y $B$ ).
Se intersecta con $C = {1, 3, 5, 7, 9}$ : de ${9, 10}$ solo el $9$ está en $C$ .

Resultado: a) $n (B) = 4$ b) diagrama con: solo $A$ ${4, 6, 8}$ , $A \cap B$ sin $C$ ${2}$ , los tres ${3}$ , $A \cap C$ sin $B$ ${1}$ , $B \cap C$ sin $A$ ${5, 7}$ , solo $C$ ${9}$ , fuera ${10}$ c) $9$

Ejercicio 27 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

$B$ y $C$ son subconjuntos de un conjunto universal $U$ , tal que $U = {x ∣ x \in Z, 0 \leq x < 10}$ $B = {n u ˊ meros primos < 10}$ $C = {x ∣ x \in Z, 1 < x \leq 6}$ .

a) Enumere los miembros de los siguientes conjuntos

(i) $B$

(ii) $C \cap B$

(iii) $B \cup C^{'}$

Ver solución

Universo: $U = {0, 1, 2, \dots, 9}$ .

(i) Números primos menores que 10 (el 1 no es primo): $B = {2, 3, 5, 7}$ .

(ii) Primero $C$ : enteros con $1 < x \leq 6$ , es decir $C = {2, 3, 4, 5, 6}$ . $C \cap B$ son los elementos comunes: ${2, 3, 5}$ .

(iii)

$C^{'}$ son los elementos de $U$ que no están en $C$ : $C^{'} = {0, 1, 7, 8, 9}$ .
$B \cup C^{'}$ reúne todos los elementos de ambos conjuntos, sin repetir: ${2, 3, 5, 7} \cup {0, 1, 7, 8, 9} = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}$ .

Resultado: i) $B = {2, 3, 5, 7}$ ii) $C \cap B = {2, 3, 5}$ iii) $B \cup C^{'} = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9}$

Ejercicio 28 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

El conjunto universal $U$ es el conjunto de números enteros del 1 al 20 inclusive. $A$ y $B$ son subconjuntos de $U$ donde: $A$ es el conjunto de números pares entre 7 y 17. $B$ es el conjunto de múltiplos de 3. Enumere los elementos de los siguientes conjuntos:

a) $A$ ,

b) $B$ ,

c) $A \cup B$ ,

d) $A \cap B^{'}$ .

Ver solución

El conjunto universal es $U = {1, 2, \dots, 20}$ .

a) «Pares entre 7 y 17»: los pares mayores que 7 y menores que 17 son 8, 10, 12, 14 y 16.

b) Múltiplos de 3 hasta 20: $3 \cdot 1, 3 \cdot 2, \dots, 3 \cdot 6 = 18$ (el siguiente, 21, se sale de $U$ ).

c) $A \cup B$ reúne los elementos que están en $A$ o en $B$ (o en ambos), sin repetir el 12, que está en los dos: se ordenan todos de menor a mayor.

d) $B^{'}$ son los elementos de $U$ que no son múltiplos de 3. $A \cap B^{'}$ son los elementos de $A$ que no están en $B$ : de ${8, 10, 12, 14, 16}$ se quita el 12 (que sí es múltiplo de 3).

Resultado: a) $A = {8, 10, 12, 14, 16}$ ; b) $B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}$ ; c) $A \cup B = {3, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}$ ; d) $A \cap B^{'} = {8, 10, 14, 16}$ .

Ejercicio 29 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2013

$U = {x ∣ x en un entero, 2 < x < 10}$ . $A$ y $B$ son subconjuntos de $U$ tales que $A = {m u ˊ ltiplos de 3}$ , $B = {factores de 24}$ .

a) Enumere los elementos de

(i) $U$ ;

(ii) $B$ .

b) Escriba los elementos de $U$ en el diagrama de Venn. Diagrama de Venn vacío: rectángulo U con dos elipses que se solapan, A a la izquierda y B a la derecha

c) Escriba $n (A \cap B)$ .

Ver solución

a) (i) $U$ son los enteros $x$ con $2 < x < 10$ (desigualdades estrictas, no entran ni el 2 ni el 10): $U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ .

(ii) Los factores de 24 son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Como $B$ es subconjunto de $U$ , solo cuentan los que están en $U$ : $B = {3, 4, 6, 8}$ .

b) Primero se escribe $A$ (múltiplos de 3 en $U$ ): $A = {3, 6, 9}$ . Después se reparte cada elemento de $U$ en una región:

3 y 6 están en $A$ y en $B$ : van en la zona común $A \cap B$ .
9 está en $A$ pero no en $B$ : solo en $A$ .
4 y 8 están en $B$ pero no en $A$ : solo en $B$ .
5 y 7 no están en ninguno: dentro del rectángulo $U$ pero fuera de las dos elipses.

Diagrama de Venn con A y B: solo en A: 9; en A∩B: 3 y 6; solo en B: 4 y 8; fuera de ambas, dentro de U: 5 y 7

c) $A \cap B = {3, 6}$ tiene 2 elementos.

Resultado: a) i) $U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , ii) $B = {3, 4, 6, 8}$ ; b) diagrama de arriba; c) $n (A \cap B) = 2$ .

Ejercicio 30 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

Los conjuntos $P$ , $Q$ y $U$ se definen como $U = {N u ˊ meros reales}$ , $P = {N u ˊ meros positivos}$ y $Q = {N u ˊ meros racionales}$ . Diagrama de Venn vacío: rectángulo U con dos círculos que se solapan, P a la izquierda y Q a la derecha Anote en la región correcta en el diagrama de Venn los números $\frac{22}{7}, 5 \times 1 0^{- 2}, sen (6 0^{\circ}), 0, 3 - 8, - π$

Ver solución

Cada número se coloca según dos preguntas: ¿es positivo? (pertenece a $P$ ) y ¿es racional? (pertenece a $Q$ ). Todos son reales, así que están dentro de $U$ .

$\frac{22}{7}$ : positivo y es una fracción, luego está en $P \cap Q$ .
$5 \times 1 0^{- 2} = 0, 05 = \frac{5}{100}$ : positivo y racional, en $P \cap Q$ .
$sen 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ : positivo, pero irracional (por la $3$ ): solo en $P$ .
$0$ : no es positivo (no es mayor que 0) pero sí es racional ( $\frac{0}{1}$ ): solo en $Q$ .
$3 - 8 = - 2$ : negativo y entero, luego racional: solo en $Q$ .
$- π$ : negativo e irracional: en $U$ pero fuera de $P$ y de $Q$ .

Diagrama de Venn con P y Q: en P∩Q: 22/7 y 5×10⁻²; solo en P: sen(60°); solo en Q: 0 y ∛−8; fuera de ambos círculos, dentro de U: −π

Resultado: $P \cap Q$ : $\frac{22}{7}$ y $5 \times 1 0^{- 2}$ ; solo $P$ : $sen 6 0^{\circ}$ ; solo $Q$ : $0$ y $3 - 8$ ; fuera de ambos: $- π$ .

Ejercicio 31 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2011

$U$ es el conjunto de todos los números enteros positivos menores o iguales que $12$ . $A$ , $B$ y $C$ son subconjuntos de $U$ . $A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ $B = {n u ˊ meros enteros impares}$ $C = {5, 6, 8}$

a) Escriba el número de elementos en $A \cap C$ .

b) Enumere los elementos de $B$ .

c) Complete el siguiente diagrama de Venn con todos los elementos de $U$ . Diagrama de Venn vacío: rectángulo U con tres círculos que se solapan, A arriba a la izquierda, B arriba a la derecha y C abajo en el centro

Ver solución

$U = {1, 2, \dots, 12}$ .

a) $A \cap C$ son los elementos comunes: $A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ y $C = {5, 6, 8}$ solo comparten el 6. Por tanto $n (A \cap C) = 1$ .

b) Los impares de $U$ son $B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}$ .

c) Se coloca cada elemento de $U$ mirando en qué conjuntos está:

1 y 3: en $A$ y en $B$ , no en $C$ .
2, 4 y 12: solo en $A$ .
5: en $B$ y en $C$ , no en $A$ .
6: en $A$ y en $C$ , no en $B$ (es par).
7, 9 y 11: solo en $B$ .
8: solo en $C$ .
10: no está en ninguno, va fuera de los tres círculos.

La zona $A \cap B \cap C$ queda vacía (ningún elemento está en los tres).

Diagrama de Venn con A, B y C: solo en A: 2, 4, 12; en A∩B fuera de C: 1, 3; solo en B: 7, 9, 11; en A∩C fuera de B: 6; en B∩C fuera de A: 5; solo en C: 8; A∩B∩C vacía; fuera de los tres círculos: 10

Resultado: a) $n (A \cap C) = 1$ ; b) $B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}$ ; c) diagrama de arriba.

Ejercicio 32 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

Considere el conjunto universal $U = {x \in N ∣ 3 < x < 13}$ , y los subconjuntos $A = {m u ˊ ltiplos de 3}$ y $B = {4, 6, 12}$ .

a) Enumere los elementos pertenecientes a los siguientes conjuntos. (i) $A$ (ii) $A \cap B^{'}$

b) Escriba un elemento de $(A \cup B)^{'}$ .

c) Uno de los enunciados de la siguiente tabla es falso. Indique con una X el enunciado que es falso. Dé una respuesta razonada.


$n (A \cup B) = 4$
$15 \in A^{'}$
$A \subset A \cup B$

Ver solución

Primero se escribe el universo: $U = {x \in N ∣ 3 < x < 13} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}$ .

a) (i) Los múltiplos de 3 que están en $U$ son $A = {6, 9, 12}$ (el 3 no entra porque $3 < x$ ).

(ii) $B^{'}$ son los elementos de $U$ que no están en $B = {4, 6, 12}$ . $A \cap B^{'}$ son los de $A$ que no están en $B$ : de ${6, 9, 12}$ se quitan 6 y 12, y queda ${9}$ .

b) $A \cup B = {4, 6, 9, 12}$ . Su complemento son los elementos de $U$ que no están ahí: $(A \cup B)^{'} = {5, 7, 8, 10, 11}$ . Un elemento válido es, por ejemplo, el $5$ .

c) Se comprueba cada enunciado:

$n (A \cup B) = 4$ : $A \cup B = {4, 6, 9, 12}$ tiene 4 elementos. Verdadero.
$15 \in A^{'}$ : $A^{'}$ está formado por elementos de $U$ que no están en $A$ , y $15 \in / U$ (porque $15 > 13$ ). Por tanto $15 \in / A^{'}$ . Falso.
$A \subset A \cup B$ : todo elemento de $A$ está en la unión. Verdadero.


$n (A \cup B) = 4$
$15 \in A^{'}$	X
$A \subset A \cup B$

Resultado: a) (i) $A = {6, 9, 12}$ , (ii) $A \cap B^{'} = {9}$ ; b) $(A \cup B)^{'} = {5, 7, 8, 10, 11}$ (por ejemplo, el 5); c) es falso « $15 \in A^{'}$ », porque 15 no pertenece a $U$ .

Ejercicio 33 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2003

En el diagrama de Venn a continuación, $A$ , $B$ y $C$ son subconjuntos de un conjunto universal $U = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ Diagrama de Venn con B (elipse arriba), A (círculo abajo a la izquierda) y C (círculo abajo a la derecha): fuera de los tres: 2; en A∩B fuera de C: 3; en B∩C fuera de A: 7; en A∩B∩C: 9; solo en A: 8 y 4; en A∩C fuera de B: 1; solo en C: 6; solo en B: ninguno Enumere los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos.

a) $A \cup B$

b) $A \cap B \cap C$

c) $(A^{'} \cap C) \cup B$

Ver solución

Primero leemos del diagrama los elementos de cada conjunto (cada conjunto incluye todas las regiones que están dentro de su curva).

$A$ contiene: solo en $A$ ( $8$ y $4$ ), en $A \cap B$ fuera de $C$ ( $3$ ), en $A \cap B \cap C$ ( $9$ ) y en $A \cap C$ fuera de $B$ ( $1$ ). Así $A = {1, 3, 4, 8, 9}$ .
$B$ contiene: $A \cap B$ fuera de $C$ ( $3$ ), $B \cap C$ fuera de $A$ ( $7$ ) y $A \cap B \cap C$ ( $9$ ). Así $B = {3, 7, 9}$ .
$C$ contiene: $A \cap C$ fuera de $B$ ( $1$ ), $B \cap C$ fuera de $A$ ( $7$ ), $A \cap B \cap C$ ( $9$ ) y solo en $C$ ( $6$ ). Así $C = {1, 6, 7, 9}$ .

a) $A \cup B$ reúne los elementos que están en $A$ , en $B$ o en ambos, sin repetir: ${1, 3, 4, 8, 9} \cup {3, 7, 9} = {1, 3, 4, 7, 8, 9}$ .

b) $A \cap B \cap C$ son los elementos comunes a los tres conjuntos, es decir, la región central: solo está el $9$ .

c) Paso a paso:

$A^{'}$ son los elementos de $U$ que no están en $A$ : $A^{'} = {2, 6, 7}$ .
$A^{'} \cap C$ : elementos de $A^{'}$ que también están en $C = {1, 6, 7, 9}$ , es decir ${6, 7}$ .
Unimos con $B = {3, 7, 9}$ : ${6, 7} \cup {3, 7, 9} = {3, 6, 7, 9}$ .

Resultado: a) $A \cup B = {1, 3, 4, 7, 8, 9}$ ; b) $A \cap B \cap C = {9}$ ; c) $(A^{'} \cap C) \cup B = {3, 6, 7, 9}$

Ejercicio 34 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2008

a) Sombrear $(A \cup B) \cap C^{'}$ en el siguiente diagrama. Diagrama de Venn vacío: rectángulo U con tres círculos en fila, A a la izquierda, B en el centro y C a la derecha; A se solapa con B y B con C, y A y C no se tocan

b) En el siguiente diagrama de Venn, se da el número de elementos en cada región. Encuentre $n ((P \cap Q) \cup R)$ . Diagrama de Venn con círculos P, Q y R en el rectángulo U. Solo P: 2; P∩Q fuera de R: 3; solo Q: 1; P∩R fuera de Q: 4; Q∩R fuera de P: 5; P∩Q∩R: 6; solo R: 9

c) $U$ es el conjunto de números enteros positivos, $Z^{+}$ . $E$ es el conjunto de números pares. $M$ es el conjunto de múltiplos de $3$ . (i) Enumere los primeros seis elementos del conjunto $M$ . (ii) Enumere los primeros seis elementos del conjunto $E^{'} \cap M$ .

Ver solución

a) Razonamos por regiones:

$A \cup B$ es todo lo que está dentro de $A$ o de $B$ : los dos círculos completos.
$C^{'}$ es todo lo que queda fuera de $C$ .
La intersección $(A \cup B) \cap C^{'}$ pide los puntos que están a la vez en $A \cup B$ y fuera de $C$ . Por tanto sombreamos $A$ y $B$ enteros, excepto la parte de $B$ que se solapa con $C$ (la intersección $B \cap C$ queda sin sombrear). El círculo $C$ queda sin sombrear.

Diagrama de Venn con tres círculos en fila A, B y C dentro del rectángulo U; sombreados A y B excepto la parte que está dentro de C (la intersección de B y C queda sin sombrear), y C sin sombrear

b) Contamos los elementos de cada parte:

$P \cap Q$ comprende la región solo $P \cap Q$ ( $3$ ) y la central $P \cap Q \cap R$ ( $6$ ): $n (P \cap Q) = 3 + 6 = 9$ .
$R$ comprende: solo $R$ ( $9$ ), $P \cap R$ fuera de $Q$ ( $4$ ), $Q \cap R$ fuera de $P$ ( $5$ ) y la central ( $6$ ): $n (R) = 9 + 4 + 5 + 6 = 24$ .
En $(P \cap Q) \cup R$ la región central ya está contada dentro de $R$ ; solo añadimos la región $P \cap Q$ fuera de $R$ ( $3$ ):

$n ((P \cap Q) \cup R) = 24 + 3 = 27.$

(i) $M$ son los múltiplos de $3$ en los enteros positivos: $3, 6, 9, 12, 15, 18$ .

(ii) $E^{'}$ es el complementario de los pares, es decir, los impares. $E^{'} \cap M$ son los múltiplos de $3$ que además son impares. De la lista de múltiplos de $3$ ( $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, \dots$ ) nos quedamos con los impares: $3, 9, 15, 21, 27, 33$ .

Resultado: a) ver el diagrama; b) $n ((P \cap Q) \cup R) = 27$ ; c) (i) $M = {3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots}$ ; (ii) $E^{'} \cap M = {3, 9, 15, 21, 27, 33, \dots}$

Ejercicio 35 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

En la ciudad canadiense de Ottawa: El 97% de la población habla inglés, 38% de la población habla francés, El 36% de la población habla inglés y francés.

a) Calcule el porcentaje de la población de Ottawa que habla inglés pero no Francés. La población total de Ottawa es 985000.

b) Calcule el número de personas en Ottawa que hablan inglés y francés.

c) Escriba su respuesta al apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

El 97 % habla inglés, y de ellos el 36 % habla también francés. Los que hablan inglés pero no francés son los que hablan inglés quitando la intersección: $97 % - 36 % = 61 %$

El 36 % de la población habla inglés y francés: $0, 36 \times 985000 = 354600$
Redondeando a 3 cifras significativas: $\approx 355000$ personas.

Pasamos a notación científica: $354600 = 3, 546 \times 1 0^{5} \approx 3, 55 \times 1 0^{5}$ (3 cifras significativas, como en el apartado anterior).

Resultado: a) $61 %$ b) $\approx 355000$ c) $3, 55 \times 1 0^{5}$

Ejercicio 36 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2012

Beartown tiene tres periódicos locales: The Art Journal, The Beartown News, y The Currier. Una encuesta muestra que El 32% de la población de la ciudad lee The Art Journal, 46% leyó The Beartown News, 54% leyó The Currier, El 3% solo lee The Art Journal y The Beartown News, El 8% solo lee The Art Journal y The Currier, El 12% lee solo The Beartown News y The Currier, y El 5% de la población lee los tres periódicos.

a) Dibuje un diagrama de Venn para representar esta información. Etiqueta $A$ el conjunto que representa a los lectores de The Art Journal, $B$ el conjunto que representa a The Beartown News lectores, y $C$ el conjunto que representa a los lectores de The Currier.

b) Encuentre el porcentaje de la población que no lee ninguno de los tres periódicos.

c) Encuentre el porcentaje de la población que lee exactamente un periódico.

d) Encuentre el porcentaje de la población que lee The Art Journal o The Beartown News pero no The Currier. Una estación de radio local afirma que el 83% de la población lee The Beartown News o El Currier.

e) Utilice su diagrama de Venn para decidir si el enunciado es verdadero. Justifique su respuesta. La población de Beartown es de 120.000 habitantes. La estación de radio local afirmó que 34.000 de los ciudadanos de la ciudad leen al menos dos de los periódicos locales.

f) Encuentre el porcentaje de error en esta afirmación.

Ver solución

a) Se rellena el diagrama de dentro hacia fuera: primero la región central (los tres periódicos) y después las regiones de dos conjuntos, que ya nos dan «solo» esos dos. Por último se calcula lo que falta de cada círculo restando.

Región $A \cap B \cap C$ : $5$ .
Regiones de exactamente dos periódicos: $A \cap B$ sin $C$ $= 3$ , $A \cap C$ sin $B$ $= 8$ , $B \cap C$ sin $A$ $= 12$ .
Solo $A$ : al total de $A$ le quitamos todo lo que ya está dentro de $A$ : $32 - 3 - 8 - 5 = 16$ .
Solo $B$ : $46 - 3 - 12 - 5 = 26$ .
Solo $C$ : $54 - 8 - 12 - 5 = 29$ .

b) 1. La población total es el $100%$ . Sumamos todas las regiones de los círculos: $16 + 26 + 29 + 3 + 8 + 12 + 5 = 99$ . 2. Lo que queda fuera de los tres círculos es $100 - 99 = 1$ .

c) Exactamente un periódico = regiones «solo $A$ », «solo $B$ » y «solo $C$ »: $16 + 26 + 29 = 71$ .

d) « $A$ o $B$ pero no $C$ » son las regiones de $A \cup B$ que quedan fuera de $C$ : solo $A$ , solo $B$ y $A \cap B$ sin $C$ . Así: $16 + 26 + 3 = 45$ .

e) 1. Sumamos todas las regiones que están dentro de $B$ o de $C$ (es decir, todo salvo «solo $A$ » y el exterior): $26 + 29 + 3 + 8 + 12 + 5 = 83$ . 2. Se obtiene el $83%$ , que coincide con lo que dice la emisora. Equivalentemente, $100 - 16 - 1 = 83$ . El enunciado es verdadero.

f) 1. Leen al menos dos periódicos las regiones de dos y de tres conjuntos: $3 + 8 + 12 + 5 = 28%$ . 2. Valor exacto: $28%$ de $120000 = 0, 28 \cdot 120000 = 33600$ personas. 3. Valor afirmado: $34000$ . Error porcentual $= \frac{∣ valor aproximado - valor exacto ∣}{valor exacto} \cdot 100 = \frac{∣34 000 - 33 600∣}{33 600} \cdot 100 = \frac{400}{33 600} \cdot 100 \approx 1, 19%$ .

Diagrama de Venn con U y tres círculos A, B y C que se cortan. Porcentajes: solo A 16, solo B 26, solo C 29, A y B sin C 3, A y C sin B 8, B y C sin A 12, A, B y C 5

Resultado: a) diagrama de arriba b) 1% c) 71% d) 45% e) Sí es cierto f) 1,19%

Conjuntos numéricos

Ejercicio 37 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2014

El siguiente diagrama de Venn muestra la relación entre los conjuntos de números $Q$ , $N$ , $Z$ y $R$ .

El número $- 3$ pertenece a los conjuntos $Z$ , $Q$ y $R$ pero no a $N$ , y está situado en la zona adecuada del diagrama de Venn a modo de ejemplo.

Diagrama de Venn de conjuntos numéricos: rectángulo ℝ con ℚ, ℤ y ℕ anidados (rótulos fuera, unidos con línea). El número −3 está en ℤ fuera de ℕ

Escriba cada uno de los siguientes números en el lugar apropiado del diagrama de Venn.

a) $4$

b) $\frac{1}{3}$

c) $π$

d) $0, 38$

e) $5$

f) $- 0, 25$

Ver solución

Los conjuntos están anidados: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Cada número se coloca en el conjunto más pequeño al que pertenece.

$4$ es entero positivo: va en $N$ .
$\frac{1}{3}$ es una fracción, no es entero: va en $Q$ , fuera de $Z$ .
$π$ tiene infinitos decimales sin periodo: es irracional, va en $R$ , fuera de $Q$ .
$0, 38 = \frac{38}{100}$ : decimal exacto, racional, va en $Q$ fuera de $Z$ .
$5$ no es raíz exacta: es irracional, va en $R$ fuera de $Q$ .
$- 0, 25 = - \frac{1}{4}$ : decimal exacto, racional, va en $Q$ fuera de $Z$ .

Diagrama de Venn de ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ. 4 en ℕ; −3 en ℤ fuera de ℕ; −0,25, 0,38 y 1/3 en ℚ fuera de ℤ; π y √5 en ℝ fuera de ℚ

Resultado: $4 \in N$ ; $\frac{1}{3}, 0, 38, - 0, 25 \in Q$ (fuera de $Z$ ); $π, 5 \in R$ (fuera de $Q$ ).

Ejercicio 38 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2018

La siguiente tabla muestra cuatro conjuntos distintos de números: $N$ , $Z$ , $Q$ y $R$ .

Conjunto	Ejemplo de un número perteneciente al conjunto
$N$
$Z$
$Q$
$R$

a) Complete la segunda columna de la tabla dando un ejemplo de un número que pertenezca a cada conjunto. Josh afirma: “Todos los números enteros son números naturales”.

b) Escriba si la afirmación de Josh es correcta. Justifique su respuesta.

Ver solución

a) Se elige un número de cada conjunto (vale cualquiera que cumpla la definición):

$N$ (naturales: $0, 1, 2, \dots$ o $1, 2, 3, \dots$ ): $5$ .
$Z$ (enteros, incluyen los negativos): $- 3$ .
$Q$ (racionales, cociente de enteros): $\frac{3}{5}$ .
$R$ (reales; para dar un ejemplo claro se toma un irracional): $2$ .

b) Para refutar una afirmación basta un contraejemplo. $- 3$ es un número entero, pero no es natural (los naturales no tienen signo negativo). Por tanto la afirmación es falsa; lo correcto es lo contrario: todos los naturales son enteros ( $N \subset Z$ ).

Resultado:

Conjunto	Ejemplo de un número perteneciente al conjunto
$N$	$5$
$Z$	$- 3$
$Q$	$\frac{3}{5}$
$R$	$2$

b) No es correcta, lo correcto sería al revés. Por ejemplo, $- 3$ es entero pero no es natural.

Ejercicio 39 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2016

Considere los números $- 1$ ; $4$ ; $\frac{2}{3}$ ; $2$ ; $0, 35$ y $- 2^{2}$ . Complete la siguiente tabla. En cada casilla, ponga un tic (✓) si el número pertenece a ese conjunto de números. Hemos completado la primera fila a modo de ejemplo.

	$Z$	$Q$	$R$
$- 1$	✓	✓	✓
$4$
$\frac{2}{3}$
$2$
$0, 35$
$- 2^{2}$

Ver solución

Se simplifica cada número y se marcan todos los conjuntos a los que pertenece (recuerda $N \subset Z \subset Q \subset R$ ).

$4$ : natural, y por tanto entero, racional y real.
$\frac{2}{3}$ : fracción no entera, así que es racional y real.
$2$ : raíz no exacta, irracional: solo real.
$0, 35 = \frac{35}{100}$ : decimal exacto, racional y real.
$- 2^{2} = - (2^{2}) = - 4$ (el exponente actúa antes que el signo menos): entero negativo, así que es entero, racional y real, pero no natural.

Resultado:

	$N$	$Z$	$Q$	$R$
$- 1$		✓	✓	✓
$4$	✓	✓	✓	✓
$\frac{2}{3}$			✓	✓
$2$				✓
$0, 35$			✓	✓
$- 2^{2}$		✓	✓	✓

Ejercicio 40 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

Complete la tabla que aparece a continuación, colocando los tics (✓) necesarios para indicar a cuáles de los conjuntos de números $N$ , $Z$ , $Q$ y $R$ pertenece cada uno de estos números. Hemos completado la primera fila a modo de ejemplo.

	$Q$	$R$
$0, 8$	✓	✓
$14$
$sin 3 0^{\circ}$
$4$
$- 3$
$4, 12 \times 1 0^{1}$
$3 \frac{1}{3}$

Ver solución

Para cada número se decide primero cómo es realmente (se simplifica si hace falta) y luego se miran los conjuntos: $N = {0, 1, 2, \dots}$ (o ${1, 2, \dots}$ ), $Z$ enteros, $Q$ fracciones de enteros y $R$ todos los reales.

$14$ : 14 no es un cuadrado perfecto, así que $14$ es irracional (decimales infinitos sin periodo). Solo está en $R$ .
$sin 3 0^{\circ}$ : es un valor exacto conocido, $sin 3 0^{\circ} = 0, 5 = \frac{1}{2}$ . Es una fracción, pero no un entero: está en $Q$ y $R$ .
$4$ : es natural, y por tanto entero, racional y real ( $4 = \frac{4}{1}$ ). Está en los cuatro conjuntos.
$- 3$ : es negativo, así que no es natural. Es entero, racional ( $- \frac{3}{1}$ ) y real.
$4, 12 \times 1 0^{1} = 41, 2 = \frac{412}{10}$ : tiene decimales finitos, luego es racional pero no entero. Está en $Q$ y $R$ .
$3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ : es una fracción que no da un entero (decimal periódico $3, 3$ ). Está en $Q$ y $R$ .

	$N$	$Z$	$Q$	$R$
$14$				✓
$sin 3 0^{\circ}$			✓	✓
$4$	✓	✓	✓	✓
$- 3$		✓	✓	✓
$4, 12 \times 1 0^{1}$			✓	✓
$3 \frac{1}{3}$			✓	✓

Resultado: $14$ : solo $R$ ; $sin 3 0^{\circ}$ , $4, 12 \times 1 0^{1}$ y $3 \frac{1}{3}$ : $Q$ y $R$ ; $4$ : los cuatro conjuntos; $- 3$ : $Z$ , $Q$ y $R$ (tabla de arriba).

Ejercicio 41 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2008

Considere los números $2$ ; $3$ ; $- \frac{2}{3}$ y los conjuntos $N$ , $Z$ , $Q$ y $R$ . Complete la tabla siguiente marcando con un tick la casilla correspondiente si el número es un elemento del conjunto, y con una cruz si no lo es.

		$N$	$Z$	$Q$	$R$
(i)	$2$
(ii)	$3$
(iii)	$- \frac{2}{3}$

Ver solución

Se clasifica cada número y se marca ✓ si pertenece al conjunto y ✗ si no.

$2$ es natural, luego también entero, racional ( $\frac{2}{1}$ ) y real.
$3$ no es un cuadrado perfecto, así que es irracional: solo pertenece a $R$ .
$- \frac{2}{3}$ es negativo (no natural) y no es entero, pero es una fracción de enteros: racional y real.

	$N$	$Z$	$Q$	$R$
$2$	✓	✓	✓	✓
$3$	✗	✗	✗	✓
$- \frac{2}{3}$	✗	✗	✓	✓

Resultado: $2$ : los cuatro conjuntos; $3$ : solo $R$ ; $- \frac{2}{3}$ : $Q$ y $R$ (tabla de arriba).

Ejercicio 42 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2013

Considere los números $3$ , $- 5$ , $7$ , $2^{- 3}$ y $1, 75$ . Complete la tabla que aparece a continuación, colocando los tics (✓) necesarios para indicar a cuáles de los conjuntos de números, $N$ , $Q$ y $R$ , pertenece cada uno de estos números. Se ha completado la primera fila a modo de ejemplo.

	$N$	$Q$	$R$
$3$	✓	✓	✓
$- 5$
$7$
$2^{- 3}$
$1, 75$

Ver solución

Aquí no hay columna de $Z$ , pero hay que seguir razonando con ella: todo entero es racional.

$- 5$ : negativo, no es natural. Es entero y por tanto racional ( $- \frac{5}{1}$ ) y real.
$7$ : 7 no es cuadrado perfecto, es irracional: solo $R$ .
$2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ : es una fracción y no es entero, luego es racional y real, no natural.
$1, 75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$ : decimal finito, racional y real.

	$N$	$Q$	$R$
$3$	✓	✓	✓
$- 5$		✓	✓
$7$			✓
$2^{- 3}$		✓	✓
$1, 75$		✓	✓

Resultado: $- 5$ , $2^{- 3}$ y $1, 75$ : $Q$ y $R$ ; $7$ : solo $R$ (tabla de arriba).

Ejercicio 43 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2002

Considere los números $5$ , $0.5$ , $5$ y $- 5$ . Rellene la tabla a continuación, mostrando a cuál de los conjuntos de números, $N$ , $R$ y $Q$ pertenecen estos números.

	$N$	$R$	$Q$
$5$			✓
$0, 5$	✗
$5$	✗
$- 5$		✓

Ver solución

$5$ es natural, y por tanto real y racional ( $\frac{5}{1}$ ).
$0, 5 = \frac{1}{2}$ : no es natural, es racional y real.
$5$ : 5 no es cuadrado perfecto, es irracional: real, ni racional ni natural.
$- 5$ : es negativo, no es natural, pero es racional ( $- \frac{5}{1}$ ) y real.

	$N$	$R$	$Q$
$5$	✓	✓	✓
$0.5$	✗	✓	✓
$5$	✗	✓	✗
$- 5$	✗	✓	✓

Resultado: $5$ : $N, R, Q$ ; $0, 5$ y $- 5$ : $R$ y $Q$ ; $5$ : solo $R$ (tabla de arriba).

Ejercicio 44 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2008

Considere los números, $3$ , $6$ , $2 \frac{1}{2}$ , $π$ , $- 5$ y los conjuntos $N$ , $Z$ y $Q$ . Completa la siguiente tabla colocando una marca en la casilla correspondiente si el número es un elemento del conjunto.

	$3$	$6$	$2 \frac{1}{2}$	$π$	$- 5$
$N$
$Z$
$Q$

Ver solución

Se clasifica cada número (se marca con X si pertenece al conjunto):

$3$ : irracional, no está en $N$ , $Z$ ni $Q$ .
$6$ : natural, y por tanto también entero y racional.
$2 \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ : fracción no entera, solo está en $Q$ .
$π$ : irracional, en ninguno de los tres.
$- 5$ : entero negativo, está en $Z$ y en $Q$ , no en $N$ .

	$6$	$2 \frac{1}{2}$	$- 5$
$N$	X
$Z$	X		X
$Q$	X	X	X

Resultado: $6 \in N, Z, Q$ ; $- 5 \in Z, Q$ ; $2 \frac{1}{2} \in Q$ ; $3$ y $π$ en ninguno de los tres (tabla de arriba).

Ejercicio 45 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2019

a) Coloque los números $2 π, - 5, 3^{- 1}$ y $2^{\frac{3}{2}}$ en la posición correcta en el diagrama de Venn. Diagrama de Venn de conjuntos numéricos vacío: rectángulo ℝ con círculos concéntricos ℚ, ℤ y ℕ

b) En la tabla, indique cuáles de las dos afirmaciones dadas son verdaderas colocando una marca (✓) en la columna de la derecha.

Afirmación	Verdadera
$Z \subset Q$
$N \subset Q^{'}$
$N \cap Z = N$
$Q \cup R = Z^{'}$

Ver solución

a) Se simplifica cada número y se coloca en el conjunto más pequeño al que pertenece.

$2 π$ : es un múltiplo no nulo de $π$ , luego irracional. Va en $R$ , fuera de $Q$ .
$- 5$ : entero negativo. Va en $Z$ , fuera de $N$ .
$3^{- 1} = \frac{1}{3}$ : fracción que no es entera. Va en $Q$ , fuera de $Z$ .
$2^{3/2} = 2^{3} = 8 = 22$ : la raíz no es exacta, es irracional. Va en $R$ , fuera de $Q$ .

Diagrama de Venn ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ. 3⁻¹ en ℚ fuera de ℤ; −5 en ℤ fuera de ℕ; 2π y 2^(3/2) en ℝ fuera de ℚ; ℕ vacío

b) Se analiza cada afirmación:

$Z \subset Q$ : todo entero se escribe como fracción ( $n = \frac{n}{1}$ ). Verdadera.
$N \subset Q^{'}$ : $Q^{'}$ son los irracionales, y los naturales son racionales. Falsa.
$N \cap Z = N$ : como $N \subset Z$ , lo común es todo $N$ . Verdadera.
$Q \cup R = Z^{'}$ : como $Q \subset R$ , la unión es $R$ , y $Z^{'}$ (los reales que no son enteros) no es $R$ : por ejemplo $- 5 \in R$ pero $- 5 \in / Z^{'}$ . Falsa.

Resultado: a) $3^{- 1} \in Q$ fuera de $Z$ ; $- 5 \in Z$ fuera de $N$ ; $2 π$ y $2^{3/2}$ en $R$ fuera de $Q$ . b) Son verdaderas $Z \subset Q$ y $N \cap Z = N$ .

Afirmación	Verdadera
$Z \subset Q$	✓
$N \subset Q^{'}$
$N \cap Z = N$	✓
$Q \cup R = Z^{'}$

Ejercicio 46 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2004

Sea $U = {- 4; - \frac{2}{3}; 1; π; 13; 26, 7; 69; 1 0^{33}}$ . $A$ es el conjunto de todos los enteros que pertenecen a $U$ . $B$ es el conjunto de todos los números racionales que pertenecen a $U$ .

a) Escriba todos los números primos que pertenecen a $U$ .

b) Escriba todos los elementos de $A$ .

c) Escriba todos los elementos de $B$ .

d) Escriba todos los elementos del conjunto $A \cap B$ .

Ver solución

Elementos de $U$ : $- 4; - \frac{2}{3}; 1; π; 13; 26, 7; 69; 1 0^{33}$ .

a) Un primo es un natural mayor que 1 con solo dos divisores (1 y él mismo).

$1$ no es primo. $13$ sí lo es. $69 = 3 \cdot 23$ no es primo. $1 0^{33}$ es múltiplo de 2 y no es primo. Los negativos y los no enteros no pueden ser primos.
Solo $13$ .

b) $A$ : los enteros de $U$ son $- 4, 1, 13, 69, 1 0^{33}$ (se descartan $- \frac{2}{3}$ , $π$ y $26, 7$ , que no son enteros).

c) $B$ : racionales (se pueden escribir como fracción de enteros). Todos los elementos lo son excepto $π$ , que es irracional. Los enteros son racionales y $26, 7 = \frac{267}{10}$ .

d) Todo entero es racional, luego $A \subset B$ y $A \cap B = A$ .

Resultado: a) Primos de $U = {13}$ b) $A = {- 4; 1; 13; 69; 1 0^{33}}$ c) $B = {- 4; - \frac{2}{3}; 1; 13; 26, 7; 69; 1 0^{33}}$ d) $A \cap B = {- 4; 1; 13; 69; 1 0^{33}}$

Ejercicio 47 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2009

El siguiente diagrama muestra los conjuntos de números $N$ , $Z$ , $Q$ y $R$ . Coloque cada uno de los siguientes números en la zona apropiada del diagrama de Venn. $\frac{1}{4}; - 3; π; cos 12 0^{\circ}; 2, 7 \times 1 0^{3}; 3, 4 \times 1 0^{- 2}$ Diagrama de conjuntos numéricos anidados, vacío: rectángulo ℝ que contiene un círculo grande ℚ, dentro un círculo mediano ℤ y dentro un círculo pequeño ℕ, concéntricos

Ver solución

Los conjuntos están anidados: $N \subset Z \subset Q \subset R$ . Cada número se coloca en el conjunto más pequeño al que pertenece.

$\frac{1}{4}$ : fracción que no es entero, está en $Q$ fuera de $Z$ .
$- 3$ : entero negativo, está en $Z$ fuera de $N$ .
$π$ : irracional, está en $R$ fuera de $Q$ .
$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ : racional no entero, en $Q$ fuera de $Z$ .
$2, 7 \times 1 0^{3} = 2700$ : entero positivo, está en $N$ .
$3, 4 \times 1 0^{- 2} = 0, 034 = \frac{34}{1000}$ : racional no entero, en $Q$ fuera de $Z$ .

Conjuntos anidados ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ dentro de ℝ: en ℕ: 2,7×10³; en ℤ fuera de ℕ: −3; en ℚ fuera de ℤ: cos120°, 1/4 y 3,4×10⁻²; en ℝ fuera de ℚ: π

Resultado: $N$ : $2, 7 \times 1 0^{3}$ ; $Z$ (fuera de $N$ ): $- 3$ ; $Q$ (fuera de $Z$ ): $\frac{1}{4}$ , $cos 12 0^{\circ}$ y $3, 4 \times 1 0^{- 2}$ ; $R$ (fuera de $Q$ ): $π$ .

Ejercicio 48 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2005

a) Suponiendo que $x = 2, 6 \times 1 0^{4}$ e $y = 5, 0 \times 1 0^{- 8}$ , calcule el valor de $w = x \cdot y$ . Exprese la respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , con $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

b) Dos de las siguientes afirmaciones acerca de la naturaleza de $x$ , $y$ y $w$ son incorrectas. Indique cuáles son.

(i) $x \in N$

(ii) $y \in Z$

(iii) $y \in Q$

(iv) $w < y$

(v) $x + y \in R$

(vi) $\frac{1}{w} < x$

Ver solución

Multiplicamos: $w = x \cdot y = (2, 6 \times 1 0^{4}) (5, 0 \times 1 0^{- 8})$ .
Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes: $2, 6 \cdot 5, 0 = 13$ y $1 0^{4} \cdot 1 0^{- 8} = 1 0^{- 4}$ , luego $w = 13 \times 1 0^{- 4}$ .
Para tener $1 \leq a < 10$ : $13 \times 1 0^{- 4} = 1, 3 \times 1 0^{- 3}$ .

b) Valores: $x = 26000$ , $y = 0, 00000005$ , $w = 0, 0013$ .

(i) $26000$ es natural: correcta.
(ii) $y$ no es un entero (es un decimal entre 0 y 1): incorrecta.
(iii) $y$ es decimal exacto, es decir, una fracción: $y \in Q$ , correcta.
(iv) $w < y$ sería $0, 0013 < 0, 00000005$ , y no es cierto: incorrecta.
(v) La suma de dos reales es real: correcta.
(vi) $\frac{1}{w} = \frac{1}{0 , 0013} \approx 769 < 26000 = x$ : correcta.

Resultado: a) $w = 1, 3 \times 1 0^{- 3}$ ; b) son incorrectas (ii) y (iv)

Aproximación, redondeo y notación científica

Ejercicio 49 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2011

El planeta Tierra tarda un año en girar alrededor del Sol. Suponga que un año es 365 días y que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es la circunferencia de un círculo de radio 150000000 km. Órbita circular con el Sol, un punto gris, en el centro y la Tierra, un punto negro, sobre la circunferencia en la parte superior, ligeramente a la izquierda de la vertical

a) Calcule la distancia recorrida por la Tierra en un día.

b) Dé su respuesta al apartado (a) en la forma $a \times 1 0^{k}$ donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

Distancia en un año (una vuelta completa): $2 π \times 150000000 = 9, 42478 \times 1 0^{8}$ km (aprox.).
Dividimos entre los $365$ días del año: $\frac{9 , 42478 \times 1 0 ^{8}}{365} \approx 2582131$ km por día.
Con tres cifras significativas: $\approx 2580000$ km.

b) Escribimos con $1 \leq a < 10$ : $2580000 = 2, 58 \times 1 0^{6}$ km.

Resultado: a) Distancia recorrida en un día $\approx 2580000$ km; b) $2, 58 \times 1 0^{6}$

Ejercicio 50 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2003

Sea $x = 6, 4 \times 1 0^{7}$ e $y = 1, 6 \times 1 0^{8}$ . Halle

a) $\frac{x}{y}$ .

b) $y - 2 x$ , expresando sus respuestas de la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Dividimos los coeficientes y restamos los exponentes: $\frac{x}{y} = \frac{6 , 4 \times 1 0 ^{7}}{1 , 6 \times 1 0 ^{8}} = \frac{6 , 4}{1 , 6} \times 1 0^{7 - 8}$ .
$\frac{6 , 4}{1 , 6} = 4$ , luego $\frac{x}{y} = 4 \times 1 0^{- 1}$ (es $0, 4$ , y $1 \leq 4 < 10$ ).

Calculamos $2 x = 2 \cdot 6, 4 \times 1 0^{7} = 12, 8 \times 1 0^{7} = 1, 28 \times 1 0^{8}$ .
Restamos con el mismo exponente: $y - 2 x = 1, 6 \times 1 0^{8} - 1, 28 \times 1 0^{8} = 0, 32 \times 1 0^{8}$ .
Ajustamos para que $1 \leq a < 10$ : $0, 32 \times 1 0^{8} = 3, 2 \times 1 0^{7}$ .

Resultado: a) $\frac{x}{y} = 4 \times 1 0^{- 1}$ ; b) $y - 2 x = 3, 2 \times 1 0^{7}$

Ejercicio 51 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

Un rectángulo tiene una longitud de $2, 6 \times 1 0^{4}$ y un ancho de $1, 9 \times 1 0^{4}$ . Encuentre cada una de las siguientes, cuestiones dando su respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

a) El área del rectángulo;

b) El perímetro del rectángulo.

Ver solución

Área = largo $\times$ ancho $= (2, 6 \times 1 0^{4}) (1, 9 \times 1 0^{4})$ .
Coeficientes: $2, 6 \cdot 1, 9 = 4, 94$ . Potencias: $1 0^{4} \cdot 1 0^{4} = 1 0^{8}$ .
Área $= 4, 94 \times 1 0^{8}$ , que ya cumple $1 \leq a < 10$ .

Perímetro $= 2 (largo + ancho) = 2 (2, 6 \times 1 0^{4} + 1, 9 \times 1 0^{4})$ .
Sumamos con el mismo exponente: $2, 6 + 1, 9 = 4, 5$ , así que la suma es $4, 5 \times 1 0^{4}$ .
Multiplicamos por 2: $9, 0 \times 1 0^{4}$ (es $90000$ ).

Resultado: a) Área $= 4, 94 \times 1 0^{8}$ ; b) Perímetro $= 9, 0 \times 1 0^{4}$

Ejercicio 52 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2009

Un rectángulo mide 2680 cm de largo y 1970 cm de ancho.

a) Encuentre el perímetro del rectángulo, dando su respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

b) Encuentre el área del rectángulo, dando su respuesta aproximada al millar más cercano de centímetros cuadrados.

Ver solución

Perímetro $= 2 (largo + ancho) = 2 (2680 + 1970) = 2 \cdot 4650 = 9300$ cm.
Escribimos en notación científica: la coma se mueve tres lugares a la izquierda, $9300 = 9, 30 \times 1 0^{3}$ .

Área $= 2680 \cdot 1970 = 5279600 cm^{2}$ .
Al millar más cercano: miramos la cifra de las centenas, que es $6$ (mayor o igual que 5), así que se sube el millar: $5280000 cm^{2}$ .

Resultado: a) Perímetro $= 9, 30 \times 1 0^{3}$ cm; b) Área $= 5280000 cm^{2}$

Ejercicio 53 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2013

$z = \frac{17 x ^{2}}{a - b} .$

a) Encuentre el valor de $z$ cuando $x = 12.5$ , $a = 0.572$ y $b = 0.447$ . Anote el valor completo de la pantalla de su calculadora.

b) Escriba su respuesta al apartado (a) (i) redondeado al 1000 más cercano; (ii) redondeado a tres cifras significativas.

c) Escriba su respuesta al apartado (b) (ii) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$

Ver solución

Sustituimos en la fórmula: $z = \frac{17 \times 12 , 5 ^{2}}{0 , 572 - 0 , 447}$ .
Numerador: $12, 5^{2} = 156, 25$ y $17 \times 156, 25 = 2656, 25$ .
Denominador: $0, 572 - 0, 447 = 0, 125$ .
$z = \frac{2656 , 25}{0 , 125} = 21250$ (es el valor completo de la pantalla).

(i) Redondear al millar más cercano: $21250$ está entre $21000$ y $22000$ , y su cifra de las centenas es $2$ (menor que $5$ ), así que baja a $21000$ .

(ii) A tres cifras significativas: las tres primeras cifras son $2, 1, 2$ y la siguiente es $5$ , así que se redondea hacia arriba: $21300$ .

c) Para escribirlo en la forma $a \times 1 0^{k}$ con $1 \leq a < 10$ , movemos la coma $4$ lugares a la izquierda: $21300 = 2, 13 \times 1 0^{4}$ .

Resultado: a) $z = 21250$ ; b) (i) $z \approx 21000$ ; (ii) $z \approx 21300$ ; c) $z \approx 2, 13 \times 1 0^{4}$

Ejercicio 54 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

Considere $c = 5200$ y $d = 0, 0000037$ .

a) Escriba el valor de $r = c \times d$ .

b) Escriba el valor de $r$ de la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

c) Considere los siguientes enunciados sobre $c$ , $d$ y $r$ . Únicamente tres de estos enunciados son verdaderos. Circule los enunciados verdaderos.


$c \in N$
$d \in Z$
$d \in Q$
$r < d$
$c + d \in R$
$\frac{1}{r} > c$

Ver solución

a) $r = c \times d = 5200 \times 0, 0000037 = 0, 01924$ .

b) Para que $1 \leq a < 10$ movemos la coma dos lugares a la derecha hasta obtener $1, 924$ ; eso equivale a multiplicar por $1 0^{- 2}$ : $r = 1, 924 \times 1 0^{- 2}$ .

c) Comprobamos cada enunciado:

$c \in N$ : $5200$ es un entero positivo. Verdadero.
$d \in Z$ : $d = 0, 0000037$ no es un número entero. Falso.
$d \in Q$ : es un decimal finito, luego se escribe como fracción $\frac{37}{1 0 ^{7}}$ . Verdadero.
$r < d$ : $r = 0, 01924$ y $d = 0, 0000037$ , así que $r > d$ . Falso.
$c + d \in R$ : la suma de dos números reales es real. Verdadero.
$\frac{1}{r} > c$ : $\frac{1}{0 , 01924} \approx 51, 97$ , que es menor que $5200$ . Falso.

Resultado: a) $r = 0, 01924$ ; b) $r = 1, 924 \times 1 0^{- 2}$ ; c) Son verdaderos: $c \in N$ , $d \in Q$ y $c + d \in R$ .

Ejercicio 55 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2012

Ross es una estrella que se encuentra a $82414080000000$ km de la Tierra. Una nave espacial lanzada desde la Tierra, viaja a $48000$ kmh $^{- 1}$ hacia Ross.

a) Calcule el tiempo exacto, en horas, para que la nave espacial llegue a la estrella Ross.

b) Dé su respuesta al apartado (a) en años. (Suponga que 1 año = 365 días).

c) Dé su respuesta al apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

a) Usamos $tiempo = \frac{distancia}{velocidad}$ :

$t = \frac{82414080000000}{48000} = 1716960000 horas .$

Un año de $365$ días tiene $365 \times 24 = 8760$ horas.
Pasamos horas a años dividiendo: $\frac{1716960000}{8760} = 196000$ años.

c) Movemos la coma $5$ lugares a la izquierda: $196000 = 1, 96 \times 1 0^{5}$ .

Resultado: a) $1716960000$ horas; b) $196000$ años; c) $1, 96 \times 1 0^{5}$

Ejercicio 56 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2011

Un satélite viaja alrededor de la Tierra en una órbita circular a $500$ kilómetros por encima de la superficie de la Tierra. El radio de la Tierra se toma como $6400$ kilómetros.

a) Escriba el radio de la órbita del satélite.

b) Calcule la distancia recorrida por el satélite en una órbita de la Tierra. Dé su respuesta aproximada al km más cercano.

c) Escriba su respuesta a (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

a) El radio de la órbita es el radio de la Tierra más la altura del satélite: $r = 6400 + 500 = 6900$ km.

b) La distancia en una órbita es la longitud de la circunferencia, $2 π r$ :

$2 π \times 6900 = 13800 π \approx 43353, 98 \dots$

Aproximando al km más cercano: $43354$ km.

c) Movemos la coma $4$ lugares a la izquierda: $43354 = 4, 3354 \times 1 0^{4}$ km.

Resultado: a) $r = 6900$ km; b) Distancia órbita $\approx 43354$ km; c) $4, 3354 \times 1 0^{4}$

Ejercicio 57 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2019

La forma de la luna se puede modelizar mediante una esfera de 3 474 000 metros de diámetro.

a) Utilice este modelo para calcular la circunferencia de la luna en kilómetros. Escriba el valor completo que aparece en la pantalla de la calculadora.

b) Dé la respuesta que dio en el apartado (a) redondeando a tres cifras significativas.

c) Escriba la respuesta que dio en el apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Pasamos el diámetro a kilómetros: $3474000$ m $= 3474$ km (dividimos entre $1000$ ).
La circunferencia de una esfera (círculo máximo) es $C = π d = π \times 3474$ .
En la calculadora: $C = 10913, 89288 \dots$ km.

b) A tres cifras significativas: las tres primeras son $1, 0, 9$ y la siguiente es $1$ (menor que $5$ ), así que se mantiene el $9$ y completamos con ceros: $10900$ km.

c) Movemos la coma $4$ lugares a la izquierda: $10900 = 1, 09 \times 1 0^{4}$ km.

Resultado: a) $10913, 89288$ km; b) $\approx 10900$ km; c) $\approx 1, 09 \times 1 0^{4}$ km

Ejercicio 58 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2014

El radio promedio de la órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es igual a 150 millones de kilómetros. Órbita circular de la Tierra alrededor del Sol: el Sol es un círculo gris en el centro, una flecha de doble punta marca el radio hasta la circunferencia y la Tierra es un punto negro sobre la circunferencia, arriba a la derecha

a) Escriba este radio, en kilómetros, de la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ . La Tierra da vueltas alrededor del Sol siguiendo una órbita, y tarda un año en completar dicha órbita.

b) Calcule la distancia, en kilómetros, que recorre la Tierra alrededor del Sol en una órbita, suponiendo que la órbita sea una circunferencia. Hoy Anna celebra su 17º cumpleaños.

c) Calcule la distancia total que ha recorrido Anna alrededor del Sol desde que nació.

Ver solución

a) $150$ millones $= 150000000 = 1, 5 \times 1 0^{8}$ km (la coma se mueve $8$ lugares a la izquierda).

b) La órbita es una circunferencia de radio $1, 5 \times 1 0^{8}$ km:

$2 π r = 2 π \times 1, 5 \times 1 0^{8} = 3 π \times 1 0^{8} \approx 9, 42 \times 1 0^{8} km .$

c) Anna ha dado $17$ vueltas completas al Sol (una por año vivido). Multiplicamos:

$17 \times 9, 424778 \times 1 0^{8} \approx 1, 602 \times 1 0^{10} \approx 1, 60 \times 1 0^{10} km .$

Resultado: a) $1, 5 \times 1 0^{8}$ ; b) Distancia de una órbita $= 9, 42 \times 1 0^{8}$ ; c) Distancia recorrida por Anna $= 1, 60 \times 1 0^{10}$

Ejercicio 59 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

El volumen de una esfera es $V = \frac{S ^{3}}{36 π}$ , donde $S$ es su superficie. El área la superficie de la esfera es de $500 cm^{2}$ .

a) Calcule el volumen de la esfera. Dé su respuesta aproximada con dos lugares decimales.

b) Escriba su respuesta a (a) aproximada al número entero más cercano.

c) Escriba su respuesta a (b) en la forma $a \times 1 0^{n}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $n \in Z$ .

Ver solución

Sustituimos $S = 500$ : $V = \frac{50 0 ^{3}}{36 π}$ .
$50 0^{3} = 125000000$ y $36 π \approx 113, 097$ , luego el radicando es $\approx 1105242, 7$ .
Raíz cuadrada con la calculadora: $V \approx 1051, 305 \dots$ , que a dos decimales es $1051, 31$ cm $^{3}$ .

b) Al entero más cercano: la parte decimal $0, 31$ es menor que $0, 5$ , así que $V \approx 1051$ cm $^{3}$ .

c) Movemos la coma $3$ lugares a la izquierda: $1051 = 1, 051 \times 1 0^{3}$ .

Resultado: a) $V = 1051, 31 cm^{3}$ ; b) $V \approx 1051 cm^{3}$ ; c) $V \approx 1, 051 \times 1 0^{3}$

Ejercicio 60 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2010

Considere estos cuatro números que se muestran a continuación. $p = 0, 00314; q = 0, 00314 \times 1 0^{2}; r = \frac{π}{1000}; s = 3, 14 \times 1 0^{- 2}$

a) Uno de estos números está escrito en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ . Escriba dicho número.

b) Escriba el número más pequeño de los cuatro mostrados.

c) Escriba el valor de $q + s$ .

d) Dé la respuesta al apartado (c) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

a) La forma $a \times 1 0^{k}$ exige $1 \leq a < 10$ :

$p = 0, 00314$ no está en esa forma.
$q = 0, 00314 \times 1 0^{2}$ tiene $a = 0, 00314 < 1$ : no vale.
$r = \frac{π}{1000}$ no tiene esa forma.
$s = 3, 14 \times 1 0^{- 2}$ tiene $a = 3, 14$ y $k = - 2$ : sí.

b) Pasamos todos a decimales:

$p = 0, 00314$
$q = 0, 314$
$r = \frac{π}{1000} = 0, 00314159 \dots$
$s = 0, 0314$

El menor es $p = 0, 00314$ (es ligeramente menor que $r$ ).

c) $q + s = 0, 314 + 0, 0314 = 0, 3454$ .

d) Movemos la coma un lugar a la derecha para tener $a = 3, 454$ : $0, 3454 = 3, 454 \times 1 0^{- 1}$ .

Resultado: a) $s = 3, 14 \times 1 0^{- 2}$ ; b) El más pequeño es $p$ ; c) $q + s = 0, 3454$ ; d) $q + s = 3, 454 \times 1 0^{- 1}$

Ejercicio 61 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

Sabiendo que $h = l^{2} - \frac{d ^{2}}{4}$ .

a) Calcule el valor exacto de $h$ cuando $l = 0, 03625$ , y $d = 0, 05$ .

b) Escriba la respuesta del apartado (a) redondeando a tres cifras decimales.

c) Escriba la respuesta del apartado (a) redondeando a tres cifras significativas.

d) Escriba la respuesta del apartado (a) de la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Sustituimos los datos en la fórmula: $h = 0, 0362 5^{2} - \frac{0 , 0 5 ^{2}}{4}$ .
Calculamos cada término: $0, 0362 5^{2} = 0, 0013140625$ y $\frac{0 , 0 5 ^{2}}{4} = \frac{0 , 0025}{4} = 0, 000625$ .
Restamos: $0, 0013140625 - 0, 000625 = 0, 0006890625$ .
Raíz cuadrada: $0, 0006890625 = 0, 02625$ (se comprueba: $0, 0262 5^{2} = 0, 0006890625$ ). Es un valor exacto, con pocos decimales.

b) Tres cifras decimales: miramos la cuarta decimal. En $0, 02625$ las tres primeras decimales son $0, 026$ y la siguiente es $2$ (menor que 5), así que no se sube: $0, 026$ .

c) Tres cifras significativas: la primera cifra significativa es el $2$ (los ceros iniciales no cuentan). Tomamos $2, 6, 2$ y miramos la siguiente, que es $5$ : se redondea hacia arriba, $0, 0263$ .

d) Movemos la coma hasta que quede una sola cifra distinta de cero delante: $0, 02625 = 2, 625 \times 1 0^{- 2}$ (dos lugares a la derecha, exponente $- 2$ ).

Resultado: a) $h = 0, 02625$ ; b) $h \approx 0, 026$ ; c) $h \approx 0, 0263$ ; d) $h = 2, 625 \times 1 0^{- 2}$

Ejercicio 62 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

Sea $x = 7, 94$ .

a) Calcular el valor de $\frac{2 x + 1}{x ^{3}}$ .

b) (i) Dé su respuesta aproximada con tres decimales.

(ii) Escriba su respuesta a (b) (i) como porcentaje.

c) Dé su respuesta al apartado (b) (i) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Numerador: $2 x + 1 = 2 \cdot 7, 94 + 1 = 16, 88$ .
Denominador: $x^{3} = 7, 9 4^{3} = 500, 566184$ .
Cociente (con la calculadora): $\frac{16 , 88}{500 , 566184} = 0, 03372 \dots \approx 0, 0337$ .

(i) Tres decimales: $0, 03372 \dots \to 0, 034$ (la cuarta decimal es $7$ , se sube).
(ii) Para pasar a porcentaje se multiplica por $100$ , usando el valor del apartado (i): $0, 034 \cdot 100 = 3, 4%$ .

c) $0, 034 = 3, 4 \times 1 0^{- 2}$ (la coma se mueve dos lugares a la derecha).

Resultado: a) $0, 0337$ ; b) (i) $0, 034$ ; (ii) $3, 4%$ ; c) $3, 4 \times 1 0^{- 2}$

Ejercicio 63 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

Dada la ecuación $p = r^{2} + 2 q r$ .

a) Calcule el valor exacto de $p$ cuando $q = 3, 6$ y $r = 24$ .

b) Escriba la respuesta aproximada con dos cifras significativas.

c) Exprese la respuesta del apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , con $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Sustituimos: $p = 2 4^{2} + 2 \cdot 3, 6 \cdot 24$ .
Calculamos: $2 4^{2} = 576$ y $2 \cdot 3, 6 \cdot 24 = 172, 8$ .
Sumamos: $p = 576 + 172, 8 = 748, 8$ .

b) Dos cifras significativas: $7$ y $4$ ; la siguiente cifra es $8$ , así que se sube y queda $75$ . Como el número tiene tres cifras enteras, se completa con un cero: $750$ .

c) $750 = 7, 5 \times 1 0^{2}$ (la coma se mueve dos lugares a la izquierda).

Resultado: a) $p = 748, 8$ ; b) $p \approx 750$ ; c) $p \approx 7, 5 \times 1 0^{2}$

Ejercicio 64 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

El peso total de 256 lápices iguales es 4,24 kg. Calcule el peso, en kg, de un lápiz.

a) Dé la respuesta exacta.

b) Exprese la respuesta con tres cifras significativas.

c) Exprese la respuesta del apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , con $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Peso de un lápiz = peso total dividido entre el número de lápices (todos son iguales).
$\frac{4 , 24}{256} = 0, 0165625$ kg, valor exacto (la división termina).

b) Tres cifras significativas: empiezan en el $1$ (los ceros iniciales no cuentan): $1, 6, 5$ ; la siguiente cifra es $6$ , así que se sube el $5$ a $6$ : $0, 0166$ kg.

c) $0, 0166 = 1, 66 \times 1 0^{- 2}$ (la coma se mueve dos lugares a la derecha).

Resultado: a) $0, 0165625$ kg; b) $\approx 0, 0166$ kg; c) $1, 66 \times 1 0^{- 2}$ kg

Ejercicio 65 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2003

Utilizando la fórmula $V = π r^{2} (H - h)$ , y el valor de $π$ dado por la calculadora, halle el valor de $V$ cuando $r = 4, 26$ ; $H = 21, 58$ y $h = 14, 35$ .

a) Escriba el resultado completo que le muestra su calculadora.

b) Exprese la respuesta con dos cifras decimales.

c) Exprese la respuesta con dos cifras significativas.

d) Escriba la respuesta del apartado (c) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Sustituimos: $V = π \cdot 4, 2 6^{2} \cdot (21, 58 - 14, 35)$ .
Calculamos $H - h = 7, 23$ y $4, 2 6^{2} = 18, 1476$ .
Multiplicamos: $18, 1476 \cdot 7, 23 = 131, 207148$ .
Multiplicamos por $π$ (el de la calculadora): $V = 412, 1994123 \dots$

b) Dos decimales: la tercera decimal es $9$ , se sube: $412, 20$ .

c) Dos cifras significativas: $4$ y $1$ ; la siguiente cifra es $2$ , no se sube, y se completa con ceros hasta la posición de las unidades: $410$ .

d) $410 = 4, 10 \times 1 0^{2}$ (la coma se mueve dos lugares a la izquierda).

Resultado: a) $V = 412, 1994123$ ; b) $V \approx 412, 20$ ; c) $V \approx 410$ ; d) $V \approx 4, 10 \times 1 0^{2}$

Ejercicio 66 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2001

La velocidad del sonido en el aire se expresa como $300 m s^{- 1}$ .

a) ¿Cuántos metros viaja el sonido en el aire en una hora?

b) Exprese su respuesta al apartado (a)

(i) aproximada a dos cifras significativas;

(ii) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Una hora son $60 \cdot 60 = 3600$ s.
Distancia = velocidad $\times$ tiempo $= 300 \cdot 3600 = 1080000$ m.

(i) Dos cifras significativas: $1$ y $0$ ; la siguiente es $8$ , se sube: $1100000$ m.
(ii) Partiendo del valor del apartado (a), la coma se mueve seis lugares a la izquierda: $1080000 = 1, 08 \times 1 0^{6}$ m.

Resultado: a) $1080000$ m; b) (i) $1100000$ m; (ii) $1, 08 \times 1 0^{6}$ m

Ejercicio 67 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

El volumen, $V$ , de una semiesfera viene dado por la fórmula $V = \frac{4 S ^{3}}{243 π}$ , donde $S$ es el área total de la superficie. El área total de la superficie de una semiesfera dada es igual a $350 cm^{2}$ .

a) Calcule el volumen en $cm^{3}$ de esta semiesfera. Dé la respuesta redondeando a un lugar decimal.

b) Escriba la respuesta dada en el apartado (a) redondeando al número entero más próximo.

c) Escriba la respuesta dada en el apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

Sustituimos $S = 350$ : $V = \frac{4 \cdot 35 0 ^{3}}{243 π}$ .
Calculamos el numerador: $35 0^{3} = 42875000$ , y por 4 resulta $171500000$ .
Con la calculadora (usando $π$ de la calculadora), el cociente interior es $\approx 224651$ y su raíz cuadrada da $V \approx 473, 97$ .
Un lugar decimal: la segunda decimal es $7$ , se sube, y queda $V \approx 474, 0 cm^{3}$ .

b) Al número entero más próximo: $474 cm^{3}$ .

c) $474 = 4, 74 \times 1 0^{2} cm^{3}$ (la coma se mueve dos lugares a la izquierda).

Resultado: a) $V \approx 474, 0 cm^{3}$ ; b) $V \approx 474 cm^{3}$ ; c) $V = 4, 74 \times 1 0^{2} cm^{3}$

Ejercicio 68 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

La velocidad de la luz es igual a 300 000 kilómetros por segundo. La distancia promedio entre el Sol y la Tierra es igual a 149,6 millones de km.

a) Calcule el tiempo, en minutos, que tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra. Un año luz es la distancia que recorre la luz en un año y es igual a 9 467 280 millones de km. Polaris es una estrella brillante que es visible desde el hemisferio norte. La distancia que hay entre la Tierra y Polaris es igual a 323 años luz.

b) Halle la distancia que hay entre la Tierra y Polaris en millones de km. Dé la respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

Pasamos la distancia a km: $149, 6$ millones de km $= 149, 6 \times 1 0^{6}$ km.
Tiempo $= \frac{distancia}{velocidad}$ , así que en segundos: $t = \frac{149 , 6 \times 1 0 ^{6}}{300 000} \approx 498, 67 s$
Un minuto tiene 60 segundos, así que dividimos entre 60: $t = \frac{498 , 67}{60} \approx 8, 311 min$

La distancia es $323$ años luz y cada año luz son $9467280$ millones de km, así que multiplicamos: $323 \times 9467280 = 3057931440 millones de km$
Para escribirlo en forma $a \times 1 0^{k}$ con $1 \leq a < 10$ , movemos la coma 9 lugares hacia la izquierda: $3057931440 = 3, 05793 \dots \times 1 0^{9}$
Redondeando a 3 cifras significativas: $3, 06 \times 1 0^{9}$ .

Resultado: a) $\approx 8, 31$ minutos b) $\approx 3, 06 \times 1 0^{9}$ millones de km

Ejercicio 69 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2018

El año pasado, una fábrica de golosinas sudamericana vendió $4, 8 \times 1 0^{8}$ caramelos esféricos. Cada caramelo tiene un diámetro de 2,5 cm. La fábrica está elaborando un anuncio donde muestra todos estos caramelos colocados en fila, formando una línea recta. Fila de círculos iguales tangentes entre sí, continuada con puntos suspensivos a ambos lados; bajo cada círculo una flecha de doble punta indica su diámetro: 2,5 cm

a) Halle la longitud, en cm, que tiene esta recta. Dé la respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ . En el anuncio se afirma que la longitud de esta recta es igual a $x$ veces la longitud del río Amazonas. El río Amazonas mide 6400 km de longitud.

b) (i) Escriba la longitud del río Amazonas en cm.

(ii) Halle el valor de $x$ .

Ver solución

La longitud de la fila es el número de caramelos por lo que mide cada uno (están pegados, tangentes): $L = 4, 8 \times 1 0^{8} \times 2, 5 = 12 \times 1 0^{8} cm$
Para que $a$ esté entre 1 y 10, escribimos $12 = 1, 2 \times 10$ : $L = 1, 2 \times 1 0^{9} cm$

(i) Pasamos km a cm: $1 km = 1000 m = 100000 cm = 1 0^{5}$ cm. Entonces: $6400 \times 1 0^{5} = 6, 4 \times 1 0^{3} \times 1 0^{5} = 6, 4 \times 1 0^{8} cm$
(ii) La longitud de la fila es $x$ veces la del Amazonas, así que $x = \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{9}}{6 , 4 \times 1 0 ^{8}} = 1, 875 \approx 1, 88$

Resultado: a) $1, 2 \times 1 0^{9}$ cm b) i) $6, 4 \times 1 0^{8}$ cm ii) $x = 1, 88$

Ejercicio 70 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

La velocidad de la luz es igual a 300 000 kilómetros por segundo. La distancia promedio entre el Sol y la Tierra es igual a 149,6 millones de km.

b) Halle la distancia que hay entre la Tierra y Polaris en millones de km. Dé la respuesta en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

Pasamos la distancia a km: $149, 6$ millones de km $= 149, 6 \times 1 0^{6}$ km.
Tiempo $= \frac{distancia}{velocidad}$ , así que en segundos: $t = \frac{149 , 6 \times 1 0 ^{6}}{300 000} \approx 498, 67 s$
Un minuto tiene 60 segundos, así que dividimos entre 60: $t = \frac{498 , 67}{60} \approx 8, 311 min$

La distancia es $323$ años luz y cada año luz son $9467280$ millones de km, así que multiplicamos: $323 \times 9467280 = 3057931440 millones de km$
Para escribirlo en forma $a \times 1 0^{k}$ con $1 \leq a < 10$ , movemos la coma 9 lugares hacia la izquierda: $3057931440 = 3, 05793 \dots \times 1 0^{9}$
Redondeando a 3 cifras significativas: $3, 06 \times 1 0^{9}$ .

Resultado: a) $\approx 8, 31$ minutos b) $\approx 3, 06 \times 1 0^{9}$ millones de km

Ejercicio 71 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

a) Calcular $\frac{77.2 \times 3 ^{3}}{3 , 60 \times 2 ^{2}}$ .

b) Exprese su respuesta al apartado (a) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

c) Juan estima que el largo de una alfombra es de 12 metros y el ancho de 8 metros. Entonces él estima el área de la alfombra.

(i) Escriba su área estimada de la alfombra. Cuando la alfombra se mide con precisión, se encuentra que tiene un área de 90 metros cuadrados.

(ii) Calcule el porcentaje de error cometido por Juan.

Ver solución

Numerador: $77, 2 \times 3^{3} = 77, 2 \times 27 = 2084, 4$ .
Denominador: $3, 60 \times 2^{2} = 3, 60 \times 4 = 14, 4$ .
Dividimos: $\frac{2084 , 4}{14 , 4} = 144, 75$ .

Movemos la coma dos lugares a la izquierda para que $1 \leq a < 10$ : $144, 75 = 1, 4475 \times 1 0^{2}$

(i) Área estimada $=$ largo $\times$ ancho $= 12 \times 8 = 96 m^{2}$ .
(ii) El valor exacto es $90 m^{2}$ y el estimado es $96 m^{2}$ : $\frac{96 - 90}{90} \times 100 = \frac{6}{90} \times 100 \approx 6, 67 %$

Resultado: a) $144, 75$ b) $1, 4475 \times 1 0^{2}$ c) i) $96 m^{2}$ ii) $6, 67 %$

Ejercicio 72 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Un problema tiene una respuesta exacta de $x = 0, 1265$ .

a) Escriba el valor exacto de $x$ en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

b) Establezca el valor de $x$ aproximado con dos cifras significativas.

c) Calcule el porcentaje de error si el valor de $x$ se aproxima con dos cifras significativas.

Ver solución

Movemos la coma un lugar a la derecha para tener un número entre 1 y 10, lo que obliga a un exponente negativo: $0, 1265 = 1, 265 \times 1 0^{- 1}$

Las dos primeras cifras significativas son 1 y 2 (el cero inicial no cuenta). La siguiente cifra es 6, así que se redondea hacia arriba: $x \approx 0, 13$ .

Valor exacto $0, 1265$ , valor aproximado $0, 13$ : $\frac{0 , 13 - 0 , 1265}{0 , 1265} \times 100 = \frac{0 , 0035}{0 , 1265} \times 100 \approx 2, 77 %$

Resultado: a) $x = 1, 265 \times 1 0^{- 1}$ b) $x \approx 0, 13$ c) $2, 77 %$

Porcentajes de error

Ejercicio 73 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Cada año, el equipo de fútbol Peterson United juega 25 partidos en su estadio local. El propietario de Peterson United afirmó que el año pasado la asistencia media por partido a su estadio local fue 24 500.

a) Basado en la información del propietario, calcule la asistencia total a los juegos en el Estadio del Peterson United el año pasado. La asistencia total real el año pasado fue de 617 700.

b) Calcule el porcentaje de error en la reclamación del propietario.

c) Escriba su respuesta al apartado (b) en la forma $a \times 1 0^{k}$ donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

Asistencia total estimada $=$ partidos $\times$ asistencia media: $25 \times 24500 = 612500$

El valor aproximado (de la afirmación) es $612500$ y el valor exacto es $617700$ .
Porcentaje de error $= \frac{v _{A} - v _{E}}{v _{E}} \times 100$ : $\frac{612 500 - 617 700}{617 700} \times 100 = \frac{5200}{617 700} \times 100 \approx 0, 842 %$

Escribimos $0, 842 = 8, 42 \times 1 0^{- 1}$ (la coma se mueve un lugar a la derecha, así que el exponente es $- 1$ ).

Resultado: a) $612500$ b) $0, 842 %$ c) $8, 42 \times 1 0^{- 1}$

Ejercicio 74 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2008

a) Calcule exactamente $\frac{( 3 \times 2.1 ) ^{3}}{7 \times 1.2}$ .

b) Escriba la respuesta al apartado (a) redondeada a 2 cifras significativas.

c) Calcule el error porcentual cuando la respuesta al apartado a) se escriba aproximada en 2 cifras significativas.

d) Escriba su respuesta al apartado (c) en la forma $a \times 1 0^{k}$ donde $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ .

Ver solución

Calculamos el paréntesis: $3 \times 2, 1 = 6, 3$ , y lo elevamos al cubo: $6, 3^{3} = 250, 047$ .
Calculamos el denominador: $7 \times 1, 2 = 8, 4$ .
Dividimos: $\frac{250 , 047}{8 , 4} = 29, 7675$

$29, 7675$ redondeado a 2 cifras significativas (las dos primeras cifras son 2 y 9, y la siguiente, 7, obliga a subir): $30$ .

El valor exacto es $29, 7675$ y el aproximado es $30$ : $\frac{30 - 29 , 7675}{29 , 7675} \times 100 = \frac{0 , 2325}{29 , 7675} \times 100 \approx 0, 781 %$

$0, 781 = 7, 81 \times 1 0^{- 1}$ .

Resultado: a) $29, 7675$ b) $30$ c) $0, 781 %$ d) $7, 81 \times 1 0^{- 1}$

Ejercicio 75 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

Cinco tuberías rotuladas "6 metros de longitud" fueron entregadas en una obra. El contratista midió cada tubería para comprobar su longitud (en metros), y anotó los siguientes valores: $5, 96; 5, 95; 6, 02; 5, 95; 5, 99.$

a) (i) Halle la media de los valores medidos por el contratista.

(ii) Calcule el porcentaje de error que hay entre la media y la longitud estipulada (y aproximada) de 6 metros.

b) Calcule $3, 8 7^{5} - 8, 7 3^{- 0, 5}$ , y exprese la respuesta

(i) redondeando al número entero más próximo,

(ii) en la forma $a \times 1 0^{k}$ , donde $1 \leq a < 10$ , $k \in Z$ .

Ver solución

(i) La media es la suma de los valores dividida entre cuántos son (5): $x ˉ = \frac{5 , 96 + 5 , 95 + 6 , 02 + 5 , 95 + 5 , 99}{5} = \frac{29 , 87}{5} = 5, 974 \approx 5, 97 m$
(ii) El valor exacto es la media, $5, 974$ m, y el aproximado es $6$ m: $\frac{6 - 5 , 974}{5 , 974} \times 100 = \frac{0 , 026}{5 , 974} \times 100 \approx 0, 435 %$
Observación: si se usa la media ya redondeada, $5, 97$ , el cálculo es $\frac{0 , 03}{5 , 97} \times 100 \approx 0, 503 %$ .

Calculamos con la CPG, respetando la prioridad de operaciones: $3, 8 7^{5} \approx 868, 07$ y $8, 7 3^{- 0, 5} = \frac{1}{8 , 73} \approx 0, 338$ .
La resta vale $868, 07 - 0, 338 \approx 867, 73$ y la raíz es: $3, 8 7^{5} - 8, 7 3^{- 0, 5} \approx 29, 457$
(i) Al entero más próximo: $29$ .
(ii) En forma $a \times 1 0^{k}$ : $29, 457 = 2, 9457 \times 1 0^{1} \approx 2, 95 \times 1 0^{1}$ (3 cifras significativas).

Resultado: a) i) media $= 5, 97$ m ii) $0, 435 %$ (con la media redondeada $5, 97$ : $0, 503 %$ ) b) i) $29$ ii) $2, 95 \times 1 0^{1}$

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas lineales

Ejercicio 76 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

a) Resuelva la desigualdad $3 - 2 (x + 5) > x - 6$ .

b) Represente la solución del apartado (a) en la siguiente recta numérica. Recta numérica vacía con marcas rotuladas −3, −2, −1, 0, 1, 2 y 3

Ver solución

Quitamos el paréntesis: $3 - 2 x - 10 > x - 6$ .
Simplificamos el lado izquierdo: $- 2 x - 7 > x - 6$ .
Pasamos las $x$ a un lado y los números al otro: sumamos $2 x$ y sumamos $6$ a ambos lados: $- 1 > 3 x$ .
Dividimos entre $3$ (positivo, el sentido no cambia): $- \frac{1}{3} > x$ , es decir, $x < - \frac{1}{3}$ .

Situamos $- \frac{1}{3} \approx - 0, 33$ entre $- 1$ y $0$ , más cerca del $0$ .
Como la desigualdad es estricta ( $<$ ), el punto se marca con un círculo abierto.
Los valores válidos son menores que $- \frac{1}{3}$ , así que se dibuja un trazo grueso hacia la izquierda con una flecha.

Recta numérica con marcas −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3: círculo abierto en x = −1/3 y trazo grueso hacia la izquierda con flecha (x < −1/3)

Resultado: a) $x < - \frac{1}{3}$ b) Ver figura.

Ejercicio 77 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2002

Las siguientes figuras muestran inecuaciones en $x$ . Cuatro rectas numéricas: (a) x > −1, círculo abierto en −1 y trazo hacia la derecha con flecha; (b) x ≤ 2, punto cerrado en 2 y trazo hacia la izquierda con flecha; (c) −1 < x ≤ 2, círculo abierto en −1 y punto cerrado en 2 unidos por un trazo; (d) x < −1 o x ≥ 1, dos trazos con flecha, uno desde −1 (abierto) hacia la izquierda y otro desde 1 (cerrado) hacia la derecha Escriba la inecuación representada en cada una de las figuras

Ver solución

Se lee cada recta fijándose en el tipo de punto y en la dirección del trazo: círculo abierto significa $<$ o $>$ (el extremo no entra), punto cerrado significa $\leq$ o $\geq$ (el extremo sí entra).

(a) Círculo abierto en $- 1$ y trazo hacia la derecha: los valores mayores que $- 1$ , sin incluirlo: $x > - 1$ .
(b) Punto cerrado en $2$ y trazo hacia la izquierda: los valores menores o iguales que $2$ : $x \leq 2$ .
(c) Círculo abierto en $- 1$ y punto cerrado en $2$ unidos por un trazo: los valores entre ambos, sin $- 1$ y con $2$ : $- 1 < x \leq 2$ .
(d) Dos trazos separados: uno hacia la izquierda desde $- 1$ (abierto) y otro hacia la derecha desde $1$ (cerrado). Se unen con «o»: $x < - 1$ o $x \geq 1$ .

Resultado: a) $x > - 1$ b) $x \leq 2$ c) $- 1 < x \leq 2$ d) $x < - 1$ o $x \geq 1$

Ejercicio 78 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2001

a) Resuelva la desigualdad $2 x + 3 \leq - 5$ , $x \in R$ .

b) Represente su solución en la siguiente recta numérica. Recta numérica vacía con flecha a la derecha y seis marcas equiespaciadas, sin rótulos

Ver solución

Restamos $3$ a ambos lados: $2 x \leq - 8$ .
Dividimos entre $2$ (positivo, el sentido no cambia): $x \leq - 4$ .

En la recta sin rótulos, elegimos una de las marcas para el $- 4$ y la rotulamos. Como las marcas son de una unidad, a su derecha irían $- 3, - 2, \dots$
Como la desigualdad incluye la igualdad ( $\leq$ ), el punto en $- 4$ se marca cerrado.
Los valores válidos son menores que $- 4$ : trazo grueso hacia la izquierda con una flecha.

Recta numérica con seis marcas; la cuarta está rotulada −4, con punto cerrado y trazo grueso hacia la izquierda con flecha (x ≤ −4)

Resultado: a) $x \leq - 4$ b) Ver figura.

Ejercicio 79 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2004

a) Resuelva la inecuación $3 x - 7 \leq 2$ .

b) Resuelva la inecuación $- x < - 2$ .

c) Las inecuaciones de (a) y (b) describen dos regiones en la recta numérica. Represente en la recta numérica que se da a continuación, la intersección de esas dos regiones. Recta numérica vacía con flecha a la derecha y marcas de unidad rotuladas −2, −1, 1, 2, 3 y 4 (el 0 sin rótulo)

Ver solución

a) Se aísla $x$ como en una ecuación:

Sumamos $7$ a ambos lados: $3 x \leq 9$ .
Dividimos entre $3$ (positivo, el sentido de la desigualdad no cambia): $x \leq 3$ .

Multiplicamos ambos lados por $- 1$ . Al multiplicar o dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte: $x > 2$ .

c) La intersección son los valores que cumplen las dos condiciones a la vez: $x \leq 3$ y $x > 2$ .

Marcamos el $2$ con un círculo abierto (el $2$ no cumple $x > 2$ ).
Marcamos el $3$ con un punto cerrado (el $3$ sí cumple $x \leq 3$ ).
Unimos ambos puntos con un trazo grueso: es la zona común a las dos regiones, $2 < x \leq 3$ .

Recta numérica con trazo grueso entre x = 2 y x = 3: círculo abierto en 2 (no incluido) y punto cerrado en 3 (incluido)

Resultado: a) $x \leq 3$ b) $x > 2$ c) $2 < x \leq 3$

Ecuación cuadrática

Ejercicio 80 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2005

a) Factorice la expresión $x^{2} - 25$ .

b) Factorice la expresión $x^{2} - 3 x - 4$ .

c) Utilizando la respuesta del apartado (b), o de cualquier otro modo, resuelva la ecuación $x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Ver solución

Es una diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , con $a = x$ y $b = 5$ : $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$

Buscamos dos números que multipliquen $- 4$ y sumen $- 3$ : son $- 4$ y $1$ .
Por tanto $x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)$ .

Usamos la factorización del apartado (b): $(x + 1) (x - 4) = 0$ .
Un producto es cero cuando alguno de sus factores lo es: $x + 1 = 0$ o $x - 4 = 0$ .

Resultado: a) $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ b) $x^{2} - 3 x - 4 = (x + 1) (x - 4)$ c) $x = - 1$ , $x = 4$

Ejercicio 81 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

a) Encuentre la solución de la ecuación $x^{2} - 5 x - 24 = 0$ .

b) La ecuación $a x^{2} - 9 x - 30 = 0$ tiene la solución $x = 5$ y $x = - 2$ . Encuentra el valor de $a$ .

Ver solución

Buscamos dos números que multipliquen $- 24$ y sumen $- 5$ : son $- 8$ y $3$ .
Factorizamos: $(x - 8) (x + 3) = 0$ .
Cada factor puede ser cero: $x = 8$ o $x = - 3$ .

(También se puede pedir a la CPG que resuelva la ecuación y da las mismas raíces.)

b) Si $x = 5$ es solución, al sustituirlo la ecuación debe cumplirse.

Sustituimos $x = 5$ : $a \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 - 30 = 0$ .
Simplificamos: $25 a - 45 - 30 = 0 \Rightarrow 25 a = 75$ .
Despejamos: $a = 3$ .
Comprobación con $x = - 2$ : $3 \cdot 4 + 18 - 30 = 0$ . Se cumple.

Resultado: a) $x = - 3$ , $x = 8$ b) $a = 3$

Ejercicio 82 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2001

a) Factorice la expresión $2 x^{2} - 3 x - 5$ .

b) Usando lo anterior, o de otro modo, resuelva la ecuación $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ .

Ver solución

Buscamos dos números que multipliquen $a \cdot c = 2 \cdot (- 5) = - 10$ y sumen $- 3$ : son $- 5$ y $2$ .
Descomponemos el término central: $2 x^{2} - 5 x + 2 x - 5$ .
Sacamos factor común por grupos: $x (2 x - 5) + 1 (2 x - 5)$ .
Sacamos el factor común $(2 x - 5)$ : $(2 x - 5) (x + 1)$ .

Igualamos la expresión factorizada a cero: $(2 x - 5) (x + 1) = 0$ .
Un producto es cero si lo es alguno de sus factores: $2 x - 5 = 0$ o $x + 1 = 0$ .
Despejamos: $x = \frac{5}{2}$ o $x = - 1$ .

Resultado: a) $2 x^{2} - 3 x - 5 = (2 x - 5) (x + 1)$ b) $x = \frac{5}{2} = 2, 5$ , $x = - 1$

Ejercicio 83 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2007

a) Resuelva la siguiente ecuación para $x$ : $3 (2 x + 1) - 2 (3 - x) = 13$ .

b) Factorice la expresión $x^{2} + 2 x - 3$ .

c) Encuentre la solución positiva de la ecuación $x^{2} + 2 x - 6 = 0$ .

Ver solución

Desarrollamos los paréntesis (cuidado con el signo menos que multiplica al segundo): $6 x + 3 - 6 + 2 x = 13$
Agrupamos términos semejantes: $8 x - 3 = 13$ .
Sumamos 3: $8 x = 16$ , y dividimos entre 8: $x = 2$ .

Buscamos dos números que multipliquen $- 3$ y sumen $2$ : son $3$ y $- 1$ .
Por tanto $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)$ .

Aplicamos la fórmula general con $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 6$ : $x = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 6 )}{2} = \frac{- 2 \pm 28}{2} = - 1 \pm 7$
Las dos soluciones son $x \approx 1, 65$ y $x \approx - 3, 65$ (también se obtienen con la CPG). La positiva es $x \approx 1, 65$ .

Resultado: a) $x = 2$ b) $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)$ c) $x = - 1 + 7 \approx 1, 65$

Cambio de divisas

Ejercicio 84 BásicoIB · P1 TZ1 Mayo 2012

Sasha viajó de Estados Unidos a México y convirtió 650 dólares estadounidenses (USD) en Pesos mexicanos (MXN). Su banco ofrecía un tipo de cambio de 1 USD = 12,50 MXN.

a) Encuentre la cantidad de MXN que recibió Sasha. Antes de su regreso a los EE. UU., Sasha volvió a cambiar 2300 MXN por USD. El Banco cobra una comisión del 1%. El tipo de cambio seguía siendo 1 USD = 12,50 MXN.

b) Anote la comisión cobrada por el banco en MXN.

c) Calcule la cantidad de USD que Sasha recibió después de la comisión. Dé su respuesta aproximada al dólar estadounidense más cercano.

Ver solución

Multiplicamos los USD por el tipo de cambio: $650 \times 12, 50 = 8125 MXN$

La comisión es el $1 %$ de $2300$ MXN: $2300 \times 0, 01 = 23 MXN$

Se cambian $2300 - 23 = 2277$ MXN.
Cada USD son $12, 50$ MXN, así que dividimos: $2277 \div 12, 50 = 182, 16 \to 182 USD$

Resultado: a) $8125 MXN$ b) $23 MXN$ c) $182 USD$

Ejercicio 85 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2009

En la siguiente tabla se muestran el tipo de cambio entre la libra esterlina (GBP) y el dólar estadounidense (USD) y el tipo de cambio entre el USD y el Euro (EUR).

1 GBP	2,034 USD
1 USD	0,632 EUR

a) Halle el tipo de cambio entre GBP y EUR en la forma 1 GBP = k EUR, donde k es una constante. Dé la respuesta redondeada a dos cifras decimales. Isabella cambia 400 USD a Euros, y le cobran por ello un 2 % de comisión.

b) Calcule cuántos Euros le dan a Isabella. Dé la respuesta redondeando a dos cifras decimales.

Ver solución

Queremos pasar de GBP a EUR pasando por el USD: $1 GBP = 2, 034 USD$ y cada USD son $0, 632 EUR$ .
$k = 2, 034 \times 0, 632 = 1, 285488$ .
Redondeando a dos decimales: $1 GBP = 1, 29 EUR$ .

Cambio sin comisión: $400 \times 0, 632 = 252, 80 EUR$ .
La comisión del 2 % hace que reciba el 98 % de esa cantidad: $252, 80 \times 0, 98 = 247, 744$ .
Redondeado: $247, 74 EUR$ .

Resultado: a) $1 GBP = 1, 29 EUR$ b) $247, 74 EUR$

Ejercicio 86 BásicoIB · P2 TZ2 Noviembre 2009

La siguiente tabla muestra el tipo de cambio de dólares estadounidenses a euros y dólares estadounidenses a Yen Japonés. Dé todas las respuestas a esta pregunta aproximadas con dos decimales.

1 USD	0.6337 EUROS
1 USD	99.7469 YEN

a) Enrico tiene 475 USD.

(i) ¿A cuántos euros equivale esto? Enrico va a un banco a cambiar sus dólares. El banco cobra una comisión del 3%.

(ii) ¿Cuántos euros recibe Enrico?

b) Encuentre el tipo de cambio de euros a yenes.

Ver solución

(i) Multiplicamos por el tipo USD a EUR: $475 \times 0, 6337 = 301, 0075$ , es decir $301, 01 EUR$ .
(ii) Con una comisión del 3 % recibe el 97 % de esa cantidad: $301, 0075 \times 0, 97 = 291, 977 \dots$ , es decir $291, 98 EUR$ .

Sabemos que $1 USD = 0, 6337 EUR = 99, 7469 YEN$ , así que $0, 6337 EUR = 99, 7469 YEN$ .
Para 1 EUR dividimos entre 0,6337: $99, 7469 \div 0, 6337 = 157, 40 \dots$
Por tanto, $1 EUR = 157, 40 YEN$ .

Resultado: a) i) $301, 01 EUR$ ii) $291, 98 EUR$ b) $1 EUR = 157, 40 YEN$

Ejercicio 87 BásicoIB · P2 TZ0 Noviembre 2007

Robert, que vive en el Reino Unido, viaja a Bélgica. El tipo de cambio es de 1,37 euros por una libra esterlinas (GBP) con una comisión de 3 libras esterlinas, que se restan antes de que el intercambio tenga lugar. Robert le da al banco 120 libras esterlinas.

a) Calcule correctamente con 2 decimales la cantidad de euros que recibe. Compra 1 kilogramo de bombones belgas a 1,35 euros los 100 g.

b) Calcule el costo de sus chocolates en libras esterlinas con 2 decimales.

Ver solución

La comisión se resta antes del cambio: $120 - 3 = 117 GBP$ .
Los cambiamos: $117 \times 1, 37 = 160, 29 EUR$ .

$1 kg = 1000 g = 10$ veces $100 g$ , así que cuesta $10 \times 1, 35 = 13, 50 EUR$ .
Como $1 GBP = 1, 37 EUR$ , dividimos: $13, 50 \div 1, 37 = 9, 854 \dots$
A dos decimales: $9, 85 GBP$ .

Resultado: a) $160, 29 EUR$ b) $9, 85 GBP$

Ejercicio 88 BásicoIB · P1 TZ0 Mayo 2002

El tipo de cambio de dólares estadounidenses (USD) a francos franceses (FFR) viene dado por 1 USD = 7,5 FFR. Dé las respuestas a las siguientes cuestiones aproximadas con dos decimales.

a) Convierta 115 dólares estadounidenses a francos franceses.

b) Roger recibe 600 dólares australianos (AUD) por 2430 FFR. Calcule el valor del dólar estadounidense en dólares australianos.

Ver solución

Con $1 USD = 7, 5 FFR$ , se multiplica: $115 \times 7, 5 = 862, 5$ .
Con dos decimales: $862, 50 FFR$ .

Pasa los francos a dólares estadounidenses, dividiendo entre $7, 5$ : $\frac{2430}{7 , 5} = 324 USD$ .
Esos $324 USD$ equivalen a $600 AUD$ , así que $1 USD = \frac{600}{324} = 1, 8518 \dots AUD$ .
Con dos decimales: $1, 85 AUD$ .

Resultado: a) $862, 50 FFR$ b) $1 USD = 1, 85 AUD$

Ejercicio 89 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2018

Harry viajó desde EE. UU. a México y cambió 700 dólares (USD) a pesos (MXN). El tipo de cambio aplicado fue 1 USD = 18,86 MXN .

a) Calcule cuántos MXN recibió Harry. A la vuelta, Harry tenía aún 2400 MXN y los quiso volver a cambiar a USD. Había que pagar una comisión del 3,5 % por el cambio de divisas.

b) Calcule en MXN, el valor de la comisión que pagó Harry. El tipo de cambio que se aplicó a este cambio de divisas fue 1 USD = 17,24 MXN .

c) Calcule cuántos USD recibió Harry. Dé la respuesta redondeando al número de céntimos más próximo.

Ver solución

Cada dólar se cambia por $18, 86$ pesos, así que multiplicamos: $700 \times 18, 86 = 13202$ MXN.
Redondeando a 3 cifras significativas: aproximadamente $13200$ MXN.

La comisión es el $3, 5 %$ de los $2400$ MXN: $2400 \times \frac{3 , 5}{100} = 84$ MXN.

Descontamos la comisión a los pesos que se cambian: $2400 - 84 = 2316$ MXN.
Para pasar de MXN a USD se divide entre el tipo de cambio: $\frac{2316}{17 , 24} = 134, 338 \dots$
Se redondea a céntimos (2 decimales): $134, 34$ USD.

Resultado: a) $\approx 13200$ MXN b) $84$ MXN c) $134, 34$ USD

Ejercicio 90 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2017

Daniela se va de vacaciones a Sudamérica. Vuela de Estados Unidos a Argentina parando en Perú en camino. En Perú cambia 85 dólares estadounidenses (USD) por nuevo sol peruano (PEN). El tipo de cambio es 1 USD = 3,25 PEN y se cobra una tarifa fija de 5 USD de comisión.

a) Calcule la cantidad de PEN que recibe. Al finalizar las vacaciones de Daniela tiene 370 pesos argentinos (ARS). Ella convierte esto de nuevo a USD en un banco que cobra una comisión del 4% sobre el intercambio. El tipo de cambio es 1 USD = 9.60 ARS.

b) Calcule la cantidad de USD que recibe.

Ver solución

La comisión es fija: $5$ USD. Lo que realmente se cambia es $85 - 5 = 80$ USD.
Multiplicamos por el tipo de cambio: $80 \times 3, 25 = 260$ PEN.

Pasamos de ARS a USD dividiendo entre el tipo de cambio: $\frac{370}{9 , 60} = 38, 5416 \dots$ USD.
El banco cobra el $4 %$ , así que Daniela recibe el $96 %$ : $38, 5416 \dots \times 0, 96 = 37$ USD.

Resultado: a) $260$ PEN b) $37$ USD

Ejercicio 91 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a 2 lugares decimales. José viaja de Buenos Aires a Sydney. Utiliza pesos argentinos, ARS, para comprar en un banco 350 dólares australianos, AUD. El tipo de cambio aplicado es 1 ARS = 0,1559 AUD.

a) Utilice este tipo de cambio para calcular qué cantidad de ARS equivale a 350 AUD. El banco le cobra a José una comisión del 2 %.

b) Calcule la cantidad total de ARS que paga José para obtener esos 350 AUD. José utiliza su tarjeta de crédito para pagar la factura del hotel de Sydney. La factura son 585 AUD. La empresa de la tarjeta de crédito le cobra a José por este pago 4228,38 ARS. El tipo de cambio que utiliza la empresa de la tarjeta de crédito es 1 AUD = $x$ ARS. No se le cobra ninguna comisión.

c) Halle el valor de $x$ .

Ver solución

El tipo de cambio es $1 ARS = 0, 1559 AUD$ . Para pasar de AUD a ARS se divide: $\frac{350}{0 , 1559} = 2245, 028 \dots$
Redondeando a 2 decimales: $2245, 03$ ARS.

José paga esa cantidad más la comisión del $2 %$ , es decir, el $102 %$ : $2245, 03 \times 1, 02 = 2289, 93$ ARS.

El tipo de cambio es lo que se paga por cada AUD: $x = \frac{4228 , 38}{585}$ .
Calculamos: $x = 7, 228$ , que redondeado a 2 decimales es $7, 23$ .

Resultado: a) $2245, 03$ ARS b) $2289, 93$ ARS c) $x = 7, 23$ ARS

Ejercicio 92 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2016

En esta pregunta, dé todas las respuestas correctas al número entero más cercano. Loic viajó de China a Brasil. En el aeropuerto intercambió 3100 yuanes chinos, CNY, a Real Brasileño, BRL, a una tasa de cambio de 1 CNY = 0.3871 BRL. No se cobró comisión.

a) Calcule la cantidad de BRL que recibió. Cuando regresó a China, Loic cambió su BRL restante en un banco. El tipo de cambio en el banco fue de 1 CNY = 0.3756 BRL y se cobró una comisión del 5%. El recibió 285 CNY.

b) (i) Calcule la cantidad de CNY que Loic habría recibido si no se hubiera cargado comisión.

(ii) Calcule el monto de BRL que Loic intercambiado cuando regresó a China.

Ver solución

Sin comisión, multiplicamos por el tipo de cambio: $3100 \times 0, 3871 = 1200, 01$ .
Redondeando al entero: $1200$ BRL.

b) (i)

Los $285$ CNY que recibió son lo que queda después de quitar el $5 %$ de comisión, es decir, el $95 %$ del total.
Sin comisión habría recibido $x$ con $0, 95 x = 285$ , luego $x = \frac{285}{0 , 95} = 300$ CNY.

(ii) 1. Esos $300$ CNY (sin comisión) corresponden a los BRL cambiados. Pasamos de CNY a BRL multiplicando por el tipo de cambio del banco: $300 \times 0, 3756 = 112, 68$ . 2. Redondeando al entero: $113$ BRL.

Resultado: a) $1200$ BRL b) (i) $300$ CNY (ii) $113$ BRL

Ejercicio 93 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos lugares decimales. Javier se va de viaje de negocios a Venezuela y se lleva 5000 dólares estadounidenses (USD). Cuando llega cambia USD 3000 a bolívares venezolanos (VEF). El tipo de cambio aplicado es USD 1 = VEF 6,3021.

a) Calcule la cantidad de VEF que recibe Javier. Durante su estancia en Venezuela, Javier gasta USD 1250 y VEF 12 000. Al volver a casa, Javier cambia los VEF que le han sobrado a USD. El tipo de cambio aplicado es USD 1 = VEF 8,7268.

b) Calcule la cantidad total de USD, que le han sobrado a Javier de los USD 5000 iniciales tras su viaje a Venezuela.

Ver solución

Multiplicamos por el tipo de cambio: $3000 \times 6, 3021 = 18906, 30$ VEF.

USD que no cambió ni gastó: $5000 - 3000 - 1250 = 750$ USD.
VEF que le sobran: $18906, 30 - 12000 = 6906, 30$ VEF.
Pasamos a USD dividiendo entre el tipo de cambio de vuelta: $\frac{6906 , 30}{8 , 7268} = 791, 39$ USD.
Sumamos los dólares: $750 + 791, 39 = 1541, 39$ USD.

Resultado: a) $18906, 30$ VEF b) Le sobran en total $1541, 39$ USD

Ejercicio 94 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2015

Pietro llega a Singapur y, en el aeropuerto, cambia 800 euros (EUR) a Singapur dólares (SGD). Las tasas bancarias cotizadas en el aeropuerto para el intercambio de EUR por SGD se indican en la siguiente tabla. También se indican los tipos de cambio de SGD por libras esterlinas (GBP) y Dólares estadounidenses (USD). No se cobran comisiones por los intercambios.

El banco compra	El banco vende
1 EUR = 1.55 SGD	1 EUR = 1.75 SGD
1 GBP = 1.92 SGD	1 GBP = 2.05 SGD
1 USD = 1.15 SGD	1 USD = 1.28 SGD

a) Calcule el número de SGD que recibe Pietro. Pietro también tiene 100 GBP que desea cambiar a USD para un viaje a Camboya. Para realizar esta transacción, la GBP debe convertirse primero a SGD y luego a USD.

b) Calcule la cantidad de USD que recibe Pietro.

Ver solución

Pietro entrega euros y el banco los compra, así que se usa la columna «El banco compra»: $1 EUR = 1, 55 SGD$ .
Multiplicamos la cantidad por el tipo de cambio: $800 \times 1, 55 = 1240 SGD$

Primero GBP a SGD. Pietro entrega libras, el banco las compra: $1 GBP = 1, 92 SGD$ . $100 \times 1, 92 = 192 SGD$
Después SGD a USD. Pietro entrega SGD y recibe USD, es decir, el banco vende USD: $1 USD = 1, 28 SGD$ . Para saber cuántos USD corresponden a $192$ SGD dividimos: $192 \div 1, 28 = 150 USD$

Resultado: a) $1240$ SGD b) $150$ USD

Ejercicio 95 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2015

Sebastian viaja desde Fiji a Brasil. Cambia 5000 dólares fijianos (FJD) a reales brasileños (BRL), a un tipo de cambio de 1 FJD = 1,1824 BRL.

a) Calcule la cantidad exacta de BRL que recibe Sebastian. Sebastian había estimado que recibiría 6000 BRL.

b) Halle el porcentaje de error que cometió en su estimación. Mientras está en Brasil Sebastian gasta 4000 BRL. En el viaje de vuelta a Fiji vuelve a cambiar los BRL que le han sobrado a FJD, al mismo tipo de cambio: 1 FJD = 1,1824 BRL.

c) Calcule la cantidad de FJD que recibe. Dé la respuesta redondeando a dos lugares decimales.

Ver solución

Multiplicamos los FJD por el tipo de cambio: $5000 \times 1, 1824 = 5912 BRL$

El porcentaje de error se calcula respecto al valor exacto: $error = \frac{∣ valor aproximado - valor exacto ∣}{valor exacto} \times 100$
Sustituimos: $\frac{∣6000 - 5912∣}{5912} \times 100 = \frac{88}{5912} \times 100 \approx 1, 49 %$

Le sobran $5912 - 4000 = 1912$ BRL.
Para pasar de BRL a FJD dividimos entre el tipo de cambio (1 FJD cuesta $1, 1824$ BRL): $1912 \div 1, 1824 \approx 1617, 05 FJD$

Resultado: a) $5912$ BRL b) Porcentaje de error $= 1, 49 %$ c) $1617, 05$ FJD

Ejercicio 96 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2014

En esta pregunta, dé todas las respuestas correctas con dos decimales. Dumisani ha recibido una beca de 5000 dólares estadounidenses (USD) para estudiar en Singapur. Tiene que viajar desde Sudáfrica y debe cambiar USD por su tarifa aérea de 6600 sudafricanos rand (ZAR). El tipo de cambio es 1 USD = 8.2421 ZAR .

a) Calcule la cantidad de USD que Dumisani debe cambiar para pagar su tarifa aérea. A su llegada a Singapur, Dumisani cambia 3000 USD a dólares de Singapur (SGD) para pagar sus cuotas escolares. Se cobra una comisión del 2,8% en el intercambio.

b) Calcule el valor, en USD, de la comisión que debe pagar Dumisani. El tipo de cambio es 1 USD = 1.29903 SGD .

c) Calcule el número de SGD que recibe Dumisani.

Ver solución

Cada USD vale $8, 2421$ ZAR. Para saber cuántos USD equivalen a $6600$ ZAR dividimos: $6600 \div 8, 2421 \approx 800, 77 USD$

La comisión es el $2, 8 %$ de los $3000$ USD: $3000 \times 0, 028 = 84, 00 USD$

La cantidad que se cambia de verdad es lo que queda tras la comisión: $3000 - 84 = 2916$ USD.
Multiplicamos por el tipo de cambio: $2916 \times 1, 29903 \approx 3787, 97 SGD$

Resultado: a) $800, 77$ USD b) $84$ USD c) $3787, 97$ SGD

Ejercicio 97 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2014

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando al número entero más próximo.

a) Fumie se va de vacaciones al Reino Unido. Cambia 100 000 yenes japoneses (JPY) a libras esterlinas (GBP) y no le cobran ninguna comisión. El tipo de cambio entre GBP y JPY es 1 GBP = 129 JPY. Calcule el valor en GBP de los 100 000 JPY.

b) Tras finalizar sus vacaciones en el Reino Unido, a Fumie le han sobrado 239 GBP. Cambia esta cantidad a JPY en un banco que no cobra comisión, y le dan 30 200 JPY.

(i) Halle el tipo de cambio aplicado en esta segunda transacción.

(ii) Determine si, al cambiar de GBP a JPY, el tipo de cambio hallado en el apartado (b)(i) es mejor para Fumie que el tipo de cambio del apartado (a). Justifique su respuesta.

Ver solución

Cada GBP son $129$ JPY, así que para pasar de JPY a GBP dividimos: $100000 \div 129 \approx 775, 19 \to 775 GBP$

b) (i)

El tipo de cambio es lo que se recibe por cada libra: $30200 \div 239 \approx 126, 36 \to 1 GBP = 126 JPY$

b) (ii)

Al cambiar de GBP a JPY, a Fumie le conviene recibir más yenes por cada libra.
En el apartado (a) el banco daba $129$ JPY por GBP y en la segunda operación solo $126$ JPY por GBP. Como $126 < 129$ , el tipo hallado en (b)(i) no es mejor para Fumie.

Resultado: a) $775$ GBP b) (i) $1 GBP = 126$ JPY (ii) No es mejor, porque $126 < 129$

Ejercicio 98 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2014

En esta pregunta, dé todas las respuestas correctas con dos decimales. Albena viaja a Bulgaria en viaje de negocios. Le pagan 3550 levas búlgaras (BGN) al final de su viaje. Convierte todos sus BGN en euros (EUR), en una casa de cambio que vende 1 EUR por 1,95 BGN y cobra una comisión del 3%.

a) Calcule la cantidad que recibe Albena en EUR. En la tienda del aeropuerto, Albena compra chocolates que cuestan 34,50 BGN. Ella usa 20 EUR para pagar los chocolates pero recibe su cambio en BGN. El tipo de cambio de la tienda es 1 EUR = 1,90 BGN.

b) Encuentre cuántos BGN recibe como cambio.

Ver solución

La casa de cambio cobra el $3 %$ , así que Albena solo cambia el $97 %$ de sus BGN: $3550 \times 0, 97 = 3443, 5 BGN$
Cada EUR cuesta $1, 95$ BGN, así que dividimos: $3443, 5 \div 1, 95 \approx 1765, 90 EUR$

Pasamos los $20$ EUR a BGN con el tipo de la tienda: $20 \times 1, 90 = 38 BGN$
El cambio es lo que sobra tras pagar los chocolates: $38 - 34, 50 = 3, 50 BGN$

Resultado: a) $1765, 90$ EUR b) $3, 50$ BGN

Ejercicio 99 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2013

Yoshi se va a pasar un año viajando: primero va a ir de Japón a Italia, y luego a Estados Unidos. Antes de salir de Japón, Yoshi cambia 100000 yenes japoneses (JPY) a euros (EUR). El tipo de cambio es: 1 JPY= 0,006 EUR .

a) Calcule cuánto dinero recibe Yoshi, en EUR. Yoshi se gasta en Italia 426,70 EUR. En un banco estadounidense cambia el dinero que le ha sobrado a dólares estadounidenses (USD), con el siguiente tipo de cambio: 1 USD= 0,673 EUR . El banco le cobra una comisión del 1,5 %.

b) Calcule cuánto dinero recibe Yoshi en USD, una vez que ya ha pagado la comisión. Dé la respuesta redondeando al número entero de USD más cercano.

Ver solución

Multiplicamos los JPY por el tipo de cambio: $100000 \times 0, 006 = 600 EUR$

Dinero que le sobra tras gastar en Italia: $600 - 426, 70 = 173, 30 EUR$
Tras la comisión del $1, 5 %$ cambia el $98, 5 %$ : $173, 30 \times 0, 985 = 170, 7005 EUR$
Cada USD cuesta $0, 673$ EUR, así que dividimos: $170, 7005 \div 0, 673 \approx 253, 64 \to 254 USD$

Resultado: a) $600$ EUR b) $254$ USD

Ejercicio 100 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2012

En esta pregunta, dé todas las respuestas redondeando a dos cifras decimales. Chiara es una turista italiana que está de visita en Suecia. El tipo de cambio de euros (€) a coronas suecas (SEK) es 1€ = 10,275 SEK. Chiara cambia 350 euros a coronas suecas en un banco que cobra una comisión del 2%.

a) Calcule, en SEK, la comisión que le cobran.

b) Escriba cuánto dinero le da el banco a Chiara una vez que ya le ha cobrado la comisión. Chiara vuelve a Italia con 296 SEK. Vuelve a cambiar este dinero a euros en un banco, y recibe 32€. El banco no le cobra ninguna comisión.

c) Calcule cuál es el valor en SEK de 1€.

Ver solución

Pasamos los euros a coronas sin comisión: $350 \times 10, 275 = 3596, 25 SEK$
La comisión es el $2 %$ de esa cantidad: $3596, 25 \times 0, 02 = 71, 925 \to 71, 93 SEK$

El banco le entrega lo que queda tras la comisión: $3596, 25 - 71, 925 = 3524, 325 \to 3524, 33 SEK$

Con $296$ SEK recibe $32$ €, así que $1$ € equivale a: $296 \div 32 = 9, 25 SEK$

Resultado: a) $71, 93 SEK$ b) $3524, 33 SEK$ c) $1€ = 9, 25 SEK$

Ejercicio 101 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2012

Dé todas las respuestas a esta pregunta aproximadas con dos decimales. Isabel viaja de Ginebra a Toronto a través de Amsterdam. Cambia 1240 francos suizos (CHF) a euros (EUR). El tipo de cambio es 1CHF= 0,7681 EUR.

a) Calcule la cantidad de euros que recibe Isabel. Isabel luego cambia 750 EUR a dólares canadienses (CAD) y se le cobra un 3,12% comisión. El tipo de cambio es 1CAD= 0,7470 EUR.

b) Calcule la cantidad de dólares canadienses que recibe.

Ver solución

Multiplicamos los CHF por el tipo de cambio: $1240 \times 0, 7681 = 952, 444 \approx 952, 44 EUR$

La comisión es el $3, 12 %$ de $750$ EUR: $750 \times 0, 0312 = 23, 40 EUR$
Se cambian $750 - 23, 40 = 726, 60$ EUR.
Cada CAD cuesta $0, 7470$ EUR, así que dividimos: $726, 60 \div 0, 7470 \approx 972, 69 CAD$

Resultado: a) $952, 44 EUR$ b) $972, 69 CAD$

Ejercicio 102 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2011

Un fabricante de Inglaterra fabrica 16000 estatuas de jardín. 12% son defectuosos y no se puede vender.

a) Encuentre el número de estatuas que no tienen defectos. El fabricante vende cada estatua no defectuosa por 5,25 libras esterlinas (GBP) a una empresa estadounidense. El tipo de cambio de GBP a dólares estadounidenses (USD) es 1GBP= 1.6407 USD.

b) Calcule la cantidad en USD que pagó la empresa estadounidense por todos las estatuas no defectuosas. Dé su respuesta aproximada con dos decimales. La empresa estadounidense vende una de las estatuas a un cliente australiano por 12 USD. El tipo de cambio de dólares australianos (AUD) a USD es 1 AUD= 0.8739 USD.

c) Calcule la cantidad que el cliente australiano paga, en AUD, por esta estatua. Dé su respuesta aproximada con dos decimales.

Ver solución

El 12 % son defectuosos, así que no tienen defectos el $100% - 12% = 88%$ .
Calculamos el 88 % del total: $16000 \times 0, 88 = 14080$ .

Ingresos en GBP: $14080 \times 5, 25 = 73920 GBP$ .
Para pasar a USD multiplicamos por el tipo de cambio (1 GBP = 1,6407 USD): $73920 \times 1, 6407 = 121280, 544 USD$ .
Redondeamos a dos decimales: $121280, 54 USD$ .

Como $1 AUD = 0, 8739 USD$ , para pasar de USD a AUD hay que dividir entre 0,8739.
$12 \div 0, 8739 = 13, 7317 \dots$ , que redondeado es $13, 73 AUD$ .

Resultado: a) $14080$ estatuas b) $121280, 54 USD$ c) $13, 73 AUD$

Ejercicio 103 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

En esta pregunta, dé todas las respuestas aproximadas con 2 decimales. George viajó de EE. UU. A Europa y cambió 1200 dólares (USD) por Euros (EUR). El tipo de cambio fue 1 USD=0,8154 EUR.

a) Calcule la cantidad de EUR que recibió George. A su regreso, George tenía 160 EUR para volver a cambiar a USD. Se cobró una comisión del 4,5% en el intercambio. El tipo de cambio fue 1 USD= 0,8202 EUR.

b) Calcule el valor, en EUR, de la comisión que pagó George.

c) Calcule la cantidad de dólares que recibió George.

Ver solución

Multiplicamos los dólares por el tipo de cambio: $1200 \times 0, 8154 = 978, 48 EUR$ .

La comisión es el 4,5 % de los 160 EUR que cambia.
$160 \times 0, 045 = 7, 20 EUR$ .

Tras la comisión le quedan para cambiar: $160 - 7, 20 = 152, 80 EUR$ .
Como $1 USD = 0, 8202 EUR$ , para pasar de EUR a USD dividimos: $152, 80 \div 0, 8202 = 186, 296 \dots$
Redondeado: $186, 30 USD$ .

Resultado: a) $978, 48 EUR$ b) Comisión $= 7, 2 EUR$ c) $186, 30 USD$

Ejercicio 104 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2010

Susi viaja de Singapur a Tailandia y cambia 1500 dólares de Singapur (SGD) a baht tailandés (THB). El tipo de cambio es 1 SGD $=$ 21,03464 THB.

a) Calcule el número de baht tailandeses que compra Susi. Dé su respuesta aproximada al baht más cercano. Susi sale de Tailandia y viaja a Indonesia. Tiene 20000 THB y los usa para comprar rupia indonesia (IDR). El tipo de cambio es de 3,28352 THB por 1000 IDR.

b) Calcule el número total de rupias indonesias que recibe Susi, redondeado a las mil rupias más cercanas. Susi quiere encontrar el tipo de cambio aproximado entre dólares de Singapur y Rupia indonesia y utiliza los tipos de cambio del baht tailandés para hacer esto.

c) Calcule el tipo de cambio de Susi entre los dólares de Singapur y la rupia indonesia. Dé su respuesta en la forma 1 SGD compra x IDR, donde x se da correctamente a la rupia más cercana.

Ver solución

Multiplicamos por el tipo de cambio: $1500 \times 21, 03464 = 31551, 96 THB$ .
Al baht más cercano: $31552 THB$ .

El tipo es $3, 28352 THB$ por cada $1000 IDR$ . Por tanto, el número de grupos de 1000 IDR que compra es $20000 \div 3, 28352 = 6091, 02 \dots$
En rupias: $6091, 02 \times 1000 \approx 6091024 IDR$ .
A las mil rupias más cercanas: $6091000 IDR$ .

Pasamos de SGD a THB y de THB a IDR. Primero, $1 THB = \frac{1000}{3 , 28352} = 304, 5512 \dots IDR$ .
Entonces $1 SGD = 21, 03464 THB = 21, 03464 \times 304, 5512 \dots = 6406, 12 \dots IDR$ .
A la rupia más cercana: $6406$ .

Resultado: a) $\approx 31552 THB$ b) $6091000 IDR$ c) $1 SGD = 6406 IDR$

Ejercicio 105 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2008

Jane planea viajar de Amsterdam a Chicago. Ella cambia 1500 Euros (EUR) a dólares estadounidenses (USD) a un tipo de cambio de 1 EUR a 1,33 USD. Dar todas las respuestas en esta pregunta aproximadas con dos decimales.

a) Calcule la cantidad de USD que recibe Jane. Jane gasta 1350 USD y luego decide convertir el resto de nuevo a EUR a razón de 1 EUR a 1,38 USD.

b) Calcule la cantidad de EUR que recibe Jane. Si Jane hubiera esperado hasta regresar a Amsterdam, podría haber cambiado su USD a razón de 1 EUR a 1,36 USD, pero el banco habría cobrado una comisión del 0,8%.

c) Calcule la cantidad de EUR que Jane ganó o perdió cambiando su dinero en Chicago .

Ver solución

$1500 \times 1, 33 = 1995 USD$ .

Le quedan: $1995 - 1350 = 645 USD$ .
Como $1 EUR = 1, 38 USD$ , dividimos: $645 \div 1, 38 = 467, 39 EUR$ .

En Amsterdam: $645 \div 1, 36 = 474, 26 \dots EUR$ .
Con la comisión del 0,8 % recibiría el 99,2 %: $474, 26 \dots \times 0, 992 = 470, 47 EUR$ .
Comparamos con lo que recibió en Chicago: $467, 39 - 470, 47 = - 3, 08$ . Habría tenido 3,08 EUR más esperando, así que perdió esa cantidad.

Resultado: a) $1995 USD$ b) $467, 39 EUR$ c) Jane perdió $3, 08 EUR$ cambiando su dinero en Chicago

Ejercicio 106 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2008

La siguiente tabla muestra algunos tipos de cambio para el yen japonés (JPY).

Moneda	1 JPY
Dolar Canadiense	0.010406
Yuan Chino	0.07127
Euro	0.0072591
Corona Noruega	0.057319

Minbin tiene 1250 yenes japoneses que desea cambiar por yuanes chinos.

a) Calcule cuántos yuanes recibirá. Dé su respuesta al Yuan más cercano. Rupert tiene 855 dólares canadienses que desea cambiar por yenes japoneses.

b) Calcule cuántos yenes recibirá. Dé su respuesta al Yen más cercano.

c) Encuentre cuántas coronas noruegas hay por euro. Dé su respuesta aproximada a 2 lugares decimales.

Ver solución

$1250 \times 0, 07127 = 89, 0875$ .
Al yuan más cercano: $89$ yuanes.

Como $1 JPY = 0, 010406 CAD$ , para pasar de CAD a JPY dividimos: $855 \div 0, 010406 = 82164, 1 \dots$
Al yen más cercano: $82164 JPY$ .

Con 1 JPY: $0, 0072591 EUR = 0, 057319 NOK$ .
Para 1 EUR dividimos: $0, 057319 \div 0, 0072591 = 7, 896 \dots$
A dos decimales: $7, 90$ .

Resultado: a) $89 Yuan$ b) $82164 JPY$ c) $1 EUR = 7, 90$ Coronas Noruegas

Ejercicio 107 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

El tipo de cambio entre rupias de la India (INR) y dólares de Singapur (S$) es el siguiente: 100 INR = S$3,684. Kwai Fan cambia S$500 a rupias.

a) Calcule cuántas rupias de la India le darán, utilizando para ello este tipo de cambio. Dé su respuesta aproximada al valor entero de rupias más cercano. Cuando vuelve a Singapur, Kwai Fan tiene 2500 rupias que le han sobrado del viaje. Quiere cambiar estas rupias a dólares de Singapur. Esta operación tiene una comisión del 3 %, y el tipo de cambio aplicado es 100 INR = S$3,672.

b) Calcule en rupias de la India la comisión que le cobran por realizar este cambio.

c) Calcule en dólares de Singapur la cantidad de dinero que recibe, dando su respuesta redondeada a dos lugares decimales.

Ver solución

$100 INR = 3, 684 S$$ , luego por cada S$ recibe $100 \div 3, 684$ rupias.
$500 \times \frac{100}{3 , 684} = 13572, 2 \dots$
Al entero más cercano: $13572 INR$ .

La comisión es el 3 % de 2500 INR: $2500 \times 0, 03 = 75 INR$ .

Se cambian $2500 - 75 = 2425 INR$ .
Con $100 INR = 3, 672 S$$ : $2425 \times \frac{3 , 672}{100} = 89, 046$ .
A dos decimales: $89, 05 S$$ .

Resultado: a) $13572 INR$ b) Comisión $= 75 INR$ c) $89, 05 S$$

Ejercicio 108 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2006

Sven piensa viajar a Europa. Retira $ 800 (dólares) de su cuenta de ahorros y los convierte a euros. El banco compra los euros a $1: € 0,785 y los vende a $1: € 0,766.

a) Utilice la tasa que corresponda para calcular la cantidad en euros que recibirá Sven.

b) Suponga que el viaje se cancela. ¿Cuánto recibirá Sven si la cantidad en euros de la parte (a) se cambia nuevamente a dólares?

c) ¿Cuánto dinero ha perdido Sven con las dos transacciones? Exprese su respuesta como porcentaje de la cantidad original de $ 800 que tenía Sven.

Ver solución

a) Sven entrega dólares y quiere recibir euros, es decir, el banco le vende euros. La tasa que corresponde es la de venta: $1 $ = 0, 766 €$ .

Multiplica la cantidad en dólares por la tasa: $800 \times 0, 766 = 612, 8 €$ .
Redondeando al euro: $\approx 613 €$ .

b) Ahora Sven entrega euros y recibe dólares, es decir, el banco le compra los euros. La tasa que corresponde es la de compra: $1 $ = 0, 785 €$ .

Como $1 $$ equivale a $0, 785 €$ , para pasar de euros a dólares se divide entre $0, 785$ .
Con la cantidad redondeada del apartado a): $\frac{613}{0 , 785} = 780, 89 \dots \approx 781 $$ .

c) La pérdida es la diferencia entre lo que tenía y lo que recupera.

Pérdida: $800 - 781 = 19 $$ .
Como porcentaje de la cantidad original: $\frac{19}{800} \times 100 = 2, 375% \approx 2, 38%$ .

(Si se arrastran los decimales sin redondear, $612, 8/0, 785 = 780, 64 $$ y el porcentaje sale $\approx 2, 42%$ . La diferencia viene solo del redondeo intermedio a $613$ y $781$ .)

Resultado: a) $\approx 613 EUR$ b) $781 $$ c) $2, 38%$

Ejercicio 109 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2006

Clara visita Gran Bretaña desde los Estados Unidos y cambia 1000 dólares estadounidenses (USD) a libras (GBP). El tipo de cambio es 1 USD = 0,543 GBP. El banco cobra una comisión del 2% por cada transacción.

a) Calcule cuántas libras esterlinas recibe. Luego Clara quiere viajar a Francia. Ella cambia 150 GBP a euros (€) a una tasa de 1 GBP = 1,35 €. El banco cobra comisión y luego le da a Clara 200 €.

b) Encuentre el total de la comisión en GBP.

Ver solución

a) Primero se cambia y luego se descuenta la comisión del 2 %.

Cambio sin comisión: $1000 \times 0, 543 = 543 GBP$ .
Comisión del 2 %: $543 \times 0, 02 = 10, 86 GBP$ .
Lo que recibe: $543 - 10, 86 = 532, 14 GBP$ (equivale a multiplicar por $0, 98$ ), es decir, $\approx 532 GBP$ .

b) La comisión se descubre comparando lo que debería recibir con lo que recibe realmente.

Sin comisión, $150 GBP$ serían: $150 \times 1, 35 = 202, 5 €$ .
Clara recibe $200 €$ , así que la comisión en euros es $202, 5 - 200 = 2, 5 €$ .
Para pasarla a libras se divide entre la tasa ( $1 GBP = 1, 35 €$ ): $\frac{2 , 5}{1 , 35} = 1, 85 \dots GBP$ .

Resultado: a) $532 GBP$ b) Comisión $= 1, 85 GBP$

Ejercicio 110 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2003

Zog, del planeta Marte, desea cambiar unos dólares marcianos (MD) a dólares de los EE.UU. (USD). La tasa de cambio es 1 MD=0,412 USD. El banco cobra de comisión 2 %.

a) ¿Cuántos dólares de los EE.UU. recibirá Zog si paga 3500 MD? Zog se encuentra con Zania, de Venus, cuya moneda es la rupia venusina (VR). Quieren cambiar dinero y evitar los aranceles bancarios. La tasa de cambio es 1MD= 1,63 VR.

b) ¿Cuántos dólares marcianos, redondeados al dólar más próximo, recibirá Zania si le da a Zog 2100 VR?

Ver solución

Cambio sin comisión: $3500 \times 0, 412 = 1442 USD$ .
Comisión del 2 %: $1442 \times 0, 02 = 28, 84 USD$ .
Zog recibe: $1442 - 28, 84 = 1413, 16 USD \approx 1413 USD$ .

b) Zog y Zania cambian directamente entre ellos, sin banco, así que no hay comisión.

Tasa: $1 MD = 1, 63 VR$ . Para pasar de rupias a dólares marcianos se divide entre $1, 63$ .
$\frac{2100}{1 , 63} = 1288, 34 \dots$
Redondeando al dólar más próximo: $1288 MD$ .

Resultado: a) $\approx 1413 USD$ b) $1288 MD$

Ejercicio 111 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2013

Neung regresa a Vietnam después de trabajar en Singapur. Tiene 5000 dólares de Singapur (SGD) y los cambia a dólares estadounidenses (USD) para llevar a casa. El tipo de cambio entre dólares de Singapur (SGD) y dólares estadounidenses (USD) es 1 USD =1,2945 SGD. También hay una comisión del 2,4% en el intercambio.

a) Calcule el monto de la comisión del intercambio en SGD.

b) Calcule la cantidad de dólares estadounidenses (USD) que Neung se lleva a casa. Dé su respuesta redondeada con 2 lugares decimales. En el aeropuerto de Vietnam, Neung cambia 150 USD en dong vietnamita (VND) para pagar su transporte a casa. El tipo de cambio entre dólares estadounidenses (USD) y dong vietnamita (VND) es 1 USD= 19495 VND No hay comisión.

c) Calcule la cantidad de dong vietnamitas que recibe Neung. Dé su respuesta al millar de dong más cercano.

Ver solución

La comisión es el $2, 4 %$ de los $5000$ SGD: $5000 \times 0, 024 = 120 SGD$

Se cambian $5000 - 120 = 4880$ SGD.
Cada USD vale $1, 2945$ SGD, así que dividimos: $4880 \div 1, 2945 \approx 3769, 80 USD$

Multiplicamos los USD por el tipo de cambio: $150 \times 19495 = 2924250 VND$
Al millar más cercano: $2924250 \approx 2924000 VND$

Resultado: a) $120$ SGD b) $3769, 80$ USD c) $2924000$ VND

Préstamos y amortizaciones

Ejercicio 112 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

La tabla muestra la amortización (cuota) mensual que se ha de pagar por cada $10000 que se piden prestados, dependiendo del tipo de interés nominal anual y del plazo del préstamo.

Plazo del préstamo (años)	3 %	5 %	7 %
5	179,69	188,72	198,02
10	96,57	106,07	116,11
15	69,06	79,08	89,89
20	55,46	66,00	77,53
25	47,43	58,46	70,68

(Amortización (cuota) mensual en $, por cada $10000; los porcentajes son el tipo de interés nominal anual.)

Zachary pide un préstamo de $80000, a un tipo de interés nominal anual del 5%. Ha de devolverlo en un plazo de 20 años.

a) Utilizando la tabla, calcule los intereses totales que tendrá que pagar Zachary. Finley pide prestada una cantidad de dinero, a un tipo de interés nominal anual del 7%. Ha de devolverlo en un plazo de 10 años. Su amortización (cuota) mensual no puede ser mayor de $500.

b) Utilizando la tabla, calcule cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada Finley. Dé la respuesta redondeando a la centena de $ más próxima.

Ver solución

Para $10000 la cuota mensual a $5 %$ y $20$ años es $66,00. Un préstamo de $80000 son $8$ veces esa cantidad: $8 \times 66, 00 = 528 $ al mes$
Son $20 \times 12 = 240$ pagos: $528 \times 240 = 126720 $ devueltos en total$
Los intereses son lo devuelto menos lo prestado: $126720 - 80000 = 46720 $$

Para $7 %$ y $10$ años la cuota es $116,11 por cada $10000.
Si pide $x$ miles de bloques de $10000, la cuota es $116, 11 x \leq 500$ , de donde $x \leq \frac{500}{116 , 11} \approx 4, 306$
Cantidad máxima: $4, 306 \times 10000 \approx 43063 $$ .
Redondeado a la centena queda $43100$ , pero esa cantidad daría una cuota de unos $500,4, que supera el límite. Para no pasarse de $500 se toma el valor por defecto: $43000.

Resultado: a) $46720 $$ b) La cantidad máxima que puede pedir es $43000 $$

Ejercicio 113 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2008

La siguiente tabla muestra los pagos mensuales necesarios para pagar un préstamo de $ 1000 con varias tarifas y periodos de tiempo.

Plazo del préstamo (meses)	5 %	5.5 %	6 %	6.5 %
12	87.50	87.92	88.34	88.75
18	59.74	60.21	60.62	61.12
24	45.94	46.38	46.84	47.25
30	37.66	38.11	38.57	39.04
36	32.16	32.62	33.09	33.56
42	28.25	28.72	29.20	29.70
48	25.33	25.81	26.30	26.80

(Tabla de reembolsos mensuales por tasa de interés anual para $1000.)

Sarah obtiene un préstamo personal por $ 24 000 para comprar un automóvil. Ella negocia un préstamo para tres años al 6% de interés anual.

a) Calcule el reembolso mensual exacto que hará.

b) Encuentre el total exacto de los reembolsos que hará. Beryl obtuvo un préstamo de $ 10 000 a 18 meses. El total que pagó por el préstamo fue $ 10 837.80.

c) Encuentre la tasa de interés que se cobra por el préstamo.

Ver solución

La tabla es para préstamos de $1000. En la fila de 36 meses (3 años) y la columna del 6 %, el pago mensual es $33,09 por cada $1000.
Como Sarah pide $24 000, son 24 veces esa cantidad: $24 \times 33, 09 = 794, 16$ .

Hará 36 pagos mensuales: $36 \times 794, 16 = 28589, 76$ .

Los 10 000 son 10 veces 1000, así que dividimos el total pagado entre 10 para saber lo que corresponde a $1000: $10837, 80 \div 10 = 1083, 78$ .
Dividimos entre los 18 meses: $1083, 78 \div 18 = 60, 21$ por mes.
En la fila de 18 meses, 60,21 aparece en la columna del 5,5 %.

Resultado: a) $794, 16 $$ b) $28589, 76 $$ c) Tasa de interés $5, 5%$

Ejercicio 114 MedioIB · P1 TZ0 Mayo 2007

La tabla que aparece a continuación muestra las amortizaciones mensuales para un préstamo de $ 10 000 y para diversas tasas de interés (tipos de interés) nominal anual.

Plazo del préstamo (años)	7%	8%	9%
5	198,0112	202,7634	207,5836
10	116,1085	121,3276	126,6758
15	89,8828	95,5652	101,4267
20	77,5299	83,6440	89,9726
25	70,6779	77,1816	83,9196

(Tabla de las amortizaciones mensuales en $, para un préstamo de $ 10 000, según el tipo de interés anual.)

Para poder comprarse un piso, Leticia pide un préstamo de $ 150 000 a devolver en 20 años y con un tipo de interés del 8 %.

a) Calcule la amortización mensual exacta que le corresponde a Leticia.

b) Halle la cantidad exacta de interés que pagará por el préstamo a lo largo de los 20 años.

Ver solución

En la tabla, para 20 años y 8 %, la amortización mensual por cada $10 000 es $83,6440.
$150 000 son 15 veces $10 000: $15 \times 83, 6440 = 1254, 66$ .

Total pagado en 20 años (20 × 12 = 240 pagos): $240 \times 1254, 66 = 301118, 40$ .
El interés es lo pagado menos lo prestado: $301118, 40 - 150000 = 151118, 40$ .

Resultado: a) Amortización mensual $= 1254, 66 $$ b) Interés que pagará $= 151118, 4 $$

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp