IB Aplicaciones e Interpretación NM · Álgebra y aritmética básicas · Apartado 3 de 5

Potencias de exponente entero y logaritmos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una potencia abrevia una multiplicación repetida y un logaritmo hace el camino inverso: dice qué exponente hace falta. Aquí aprendes las reglas para manejar potencias con exponente entero y a usar $lo g$ y $ln$ para despejar una incógnita que está en el exponente, algo muy frecuente en problemas de crecimiento, inversiones y desintegración del examen del IB.

Potencias de exponente entero

Para ampliar la idea a exponentes cero y negativos se exige que las reglas de abajo sigan funcionando. Así se obtiene que $x^{0} = 1$ (si $x \neq = 0$ ) y que un exponente negativo significa «dar la vuelta» a la potencia.

Propiedad · Propiedades de las potencias

Para bases $x, y \neq = 0$ y exponentes enteros $m, n$ :

Regla	Fórmula
Exponente cero	$x^{0} = 1$
Producto de la misma base	$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$
Cociente de la misma base	$\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$
Potencia de una potencia	$(x^{m})^{n} = x^{mn}$
Potencia de un producto	$(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$
Potencia de un cociente	$(\frac{x}{y})^{n} = \frac{x ^{n}}{y ^{n}}$
Exponente negativo	$x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$
Fracción con exponente negativo	$(\frac{x}{y})^{- n} = (\frac{y}{x})^{n}$

Por qué son ciertas. Con exponentes positivos, $x^{m} \cdot x^{n}$ junta $m$ factores con otros $n$ factores, y en total hay $m + n$ . Si en el cociente $x^{m} / x^{n}$ se simplifican factores iguales, quedan $m - n$ . Cuando $m = n$ el cociente vale $1$ , y eso obliga a que $x^{0} = 1$ . Y si $m = 0$ , la regla del cociente da $x^{- n} = 1/ x^{n}$ .

Un ejemplo con todas las ideas juntas: $\frac{2 ^{5} \cdot 2 ^{- 2}}{2 ^{4}} = \frac{2 ^{3}}{2 ^{4}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .

Logaritmos

El logaritmo responde a la pregunta inversa a la de una potencia: ¿a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número dado?

Por ejemplo, $lo g_{3} 81 = 4$ porque $3^{4} = 81$ ; $lo g_{5} \frac{1}{25} = - 2$ porque $5^{- 2} = \frac{1}{25}$ ; y $lo g_{9} 9 = 1$ porque $9^{1} = 9$ . De la definición salen estos hechos:

$lo g_{a} 1 = 0$ (porque $a^{0} = 1$ ) y $lo g_{a} a = 1$ .
Solo se pueden calcular logaritmos de números positivos: ninguna potencia de una base positiva da un resultado cero o negativo.
$lo g_{a} (a^{k}) = k$ y $a^{l o g_{a} b} = b$ : elevar a $a$ y tomar $lo g_{a}$ se deshacen mutuamente.

Con las dos definiciones se cumple $lo g (1 0^{k}) = k$ , $ln (e^{k}) = k$ , $1 0^{l o g x} = x$ y $e^{l n x} = x$ para todo $x > 0$ . Por ejemplo, $lo g 1000 = 3$ , $lo g \frac{1}{10} = - 1$ , $ln e^{4} = 4$ y $ln 1 = 0$ .

Ecuaciones con la incógnita en el exponente

Para despejar una incógnita que está en un exponente se aísla primero la potencia y después se aplica la definición de logaritmo.

Por ejemplo, para $4 e^{2 x} = 20$ se divide entre $4$ y queda $e^{2 x} = 5$ . Entonces $2 x = ln 5$ y $x = \frac{ln 5}{2} \approx 0, 805$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Simplificar potencias

Calcula, dando el resultado como entero o como fracción:

a) $5^{- 2}$

b) $\frac{6 ^{9}}{6 ^{7}}$

c) $(2^{3})^{2} \cdot 2^{- 4}$

d) $(\frac{2}{5})^{- 2}$

Solución

a) Un exponente negativo invierte la potencia: $5^{- 2} = \frac{1}{5 ^{2}} = \frac{1}{25}$ .

b) Misma base, así que se restan los exponentes: $6^{9 - 7} = 6^{2} = 36$ .

c) Primero la potencia de una potencia, $(2^{3})^{2} = 2^{6}$ , y después el producto de la misma base: $2^{6} \cdot 2^{- 4} = 2^{6 - 4} = 2^{2} = 4$ .

d) Se invierte la fracción y el exponente pasa a ser positivo: $(\frac{2}{5})^{- 2} = (\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ .

Ejemplo 2 Medio

Calcular y despejar con logaritmos

a) Calcula, sin calculadora, $lo g 10000$ .

b) Calcula, sin calculadora, $lo g \frac{1}{1000}$ .

c) Calcula, sin calculadora, $ln \frac{1}{e}$ .

d) Resuelve $1 0^{x} = 250$ y da $x$ con tres cifras significativas.

Solución

a) $1 0^{4} = 10000$ , luego $lo g 10000 = 4$ .

b) $\frac{1}{1000} = 1 0^{- 3}$ , luego $lo g \frac{1}{1000} = - 3$ .

c) Como $e = e^{1/2}$ , se tiene $\frac{1}{e} = e^{- 1/2}$ y, por tanto, $ln \frac{1}{e} = - \frac{1}{2}$ .

d) Por la definición de logaritmo decimal, $x = lo g 250$ . Con la CPG, $lo g 250 = 2, 39794 \dots$ , que con tres cifras significativas es $x \approx 2, 40$ . Comprobación: $1 0^{2, 4} \approx 251$ , un valor muy cercano a $250$ .

Ejemplo 3 Difícil

Una inversión que crece con el tiempo

Una inversión de 2500 euros se hace en un fondo cuyo valor, en euros, tras $t$ años es $V (t) = 2500 e^{0, 03 t}$

a) Calcula el valor de la inversión a los $10$ años, redondeado al euro más cercano.

b) Halla en cuánto tiempo el valor llegará a $5000$ euros. Da $t$ con tres cifras significativas.

c) ¿Cuál es el primer año completo en el que el valor ya supera los $5000$ euros?

Solución

a) Se sustituye $t = 10$ : $V (10) = 2500 e^{0, 3}$ . Con la CPG, $e^{0, 3} = 1, 34986 \dots$ , así que $V (10) = 3374, 65 \dots \approx 3375$ euros.

b) Se plantea $2500 e^{0, 03 t} = 5000$ .

Se aísla la potencia, dividiendo entre $2500$ : $e^{0, 03 t} = 2$ .
Se aplica la definición de logaritmo neperiano: $0, 03 t = ln 2$ .
Se despeja: $t = \frac{ln 2}{0 , 03} = \frac{0 , 693147 \dots}{0 , 03} = 23, 1049 \dots \approx 23, 1$ años.

c) El valor llega a $5000$ euros a los $23, 1$ años, así que a los $23$ años todavía no lo supera y a los $24$ años sí. Comprobación: $V (23) = 2500 e^{0, 69} \approx 4984$ euros (menos de $5000$ ) y $V (24) = 2500 e^{0, 72} \approx 5136$ euros (más de $5000$ ). El primer año completo es el $24$ .

En el examen: en problemas de contexto se puntúa por separado el planteamiento de la ecuación, el paso con el logaritmo y el resultado con las cifras pedidas. En c) el redondeo de $23, 1$ a $23$ sería un error: la pregunta exige superar los $5000$ euros, así que hay que subir al año siguiente.

Errores típicos

Resumen

Potencia: $x^{n}$ es multiplicar $x$ por sí mismo $n$ veces; $x^{0} = 1$ y $x^{- n} = \frac{1}{x ^{n}}$ .
Con la misma base: $x^{m} x^{n} = x^{m + n}$ , $\frac{x ^{m}}{x ^{n}} = x^{m - n}$ , $(x^{m})^{n} = x^{mn}$ ; además $(x y)^{n} = x^{n} y^{n}$ y $(\frac{x}{y})^{- n} = (\frac{y}{x})^{n}$ .
Logaritmo: $lo g_{a} b = x ⟺ a^{x} = b$ , con $a > 0$ , $a \neq = 1$ y $b > 0$ ; cumple $lo g_{a} 1 = 0$ y $lo g_{a} a = 1$ .
$lo g x$ es el logaritmo en base $10$ y $ln x$ el de base $e \approx 2, 71828$ ; $lo g 1 0^{k} = k$ y $ln e^{k} = k$ .
Para resolver $1 0^{u} = k$ o $e^{u} = k$ se aísla la potencia y se toma $u = lo g k$ o $u = ln k$ (con $k > 0$ ).
En el examen se puede usar la CPG, pero se escribe el planteamiento y se redondea solo al final.

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