Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es la que se puede dejar en la forma $ax+b=0$ con $a\ne 0$. Para resolverla hay que conseguir que $x$ quede sola en un miembro, y la regla de oro es que lo que haces a un lado lo haces al otro: sumar o restar la misma cantidad, multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero. Cada operación produce una ecuación equivalente, con la misma solución.

Por ejemplo, $4(x-2)=2x+6$ se convierte en $4x-8=2x+6$, luego $2x=14$ y $x=7$. Al comprobar: $4\cdot 5=20$ y $2\cdot 7+6=20$. Una ecuación lineal tiene normalmente una única solución. Si al simplificar queda algo falso como $0=3$, no tiene solución, y si queda algo siempre cierto como $0=0$, tiene infinitas.

Inecuaciones lineales

Una inecuación usa $<$, $\le$, $>$ o $\ge$ en lugar del signo igual. Se resuelve con los mismos pasos que una ecuación, con una excepción:

La razón es sencilla: $2<5$ es cierto, pero al multiplicar por $-1$ queda $-2$ y $-5$, y ahora $-2$ es el mayor, por lo que hay que escribir $-2>-5$.

La solución de una inecuación es un conjunto de infinitos valores, y se escribe con intervalos. En la notación del IB, un corchete que mira hacia fuera, como en $]3,\infty [$, deja el extremo fuera del intervalo, y un corchete que mira hacia dentro, como en $[-1,4]$, lo incluye. Con desigualdad estricta ($<$, $>$) el extremo no entra; con $\le$ o $\ge$, sí entra. Infinito nunca lleva corchete cerrado. En la recta numérica, el extremo incluido se marca con un punto relleno y el excluido con un punto vacío.

Por ejemplo, $9-2x\ge 3$ da $-2x\ge -6$ y, al dividir entre $-2$, $x\le 3$: el conjunto solución es $]-\infty ,3]$.

Sistemas de dos ecuaciones lineales

Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas pide un par $(x,y)$ que cumpla las dos ecuaciones a la vez. Geométricamente, cada ecuación es una recta, y la solución es su punto de corte. Hay tres posibilidades:

• Las rectas se cortan en un punto: solución única.
• Las rectas son paralelas: ninguna solución, como en $x+y=3$ junto con $2x+2y=8$.
• Las dos ecuaciones describen la misma recta: infinitas soluciones, como en $x+y=3$ junto con $2x+2y=6$.

Casi todos los sistemas de examen tienen solución única. A mano hay dos métodos.

Con $x+2y=7$ y $3x-y=7$: de la primera, $x=7-2y$. En la segunda, $3(7-2y)-y=7$, es decir, $21-7y=7$, luego $y=2$ y $x=7-4=3$. La solución es $(3,2)$.

Con $2x+3y=12$ y $5x-2y=11$ eliminamos $y$: multiplicamos la primera por $2$ y la segunda por $3$, y queda $4x+6y=24$ y $15x-6y=33$. Al sumar, $19x=57$, de donde $x=3$, y al sustituir en la primera, $6+3y=12$, luego $y=2$. De nuevo $(3,2)$.

La ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática tiene la forma $a{x}^2+bx+c=0$ con $a\ne 0$, y sus soluciones se llaman raíces. Antes de resolverla hay que pasar todo a un miembro y dejar $0$ en el otro.

Si la ecuación es incompleta, se resuelve sin fórmula:

• Si falta el término en $x$ ($a{x}^2+c=0$): despeja $x^2=-\frac{c}{a}$. Hay dos raíces opuestas si $-\frac{c}{a}>0$ y ninguna raíz real si es negativo.
• Si falta el término independiente ($a{x}^2+bx=0$): saca factor común, $x(ax+b)=0$. Un producto vale cero solo si alguno de sus factores vale cero, así que $x=0$ o $x=-\frac{b}{a}$.

Si la ecuación es completa, puedes factorizar (buscando dos números de producto $c$ y suma $b$ cuando $a=1$) o aplicar la fórmula, que sirve siempre.

Por ejemplo, en $2x^2-7x+3=0$ tenemos $a=2$, $b=-7$, $c=3$, y $$x=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm 5}{4}\Rightarrow x=3\text{ o }x=\frac{1}{2}$$

Esto tiene una lectura gráfica: la parábola $y=a{x}^2+bx+c$ corta al eje $x$ en dos puntos, lo toca en uno solo (su vértice) o no lo alcanza, según el signo de $\Delta$. Por ejemplo, $x^2+2x+5=0$ tiene $\Delta =4-20=-16<0$, y por eso no tiene soluciones reales.