IB Aplicaciones e Interpretación NM · Álgebra y aritmética básicas · Apartado 2 de 5

Aproximación, notación científica y porcentaje de error

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

En el examen del IB casi todos los resultados numéricos hay que darlos con una precisión concreta, y muchos problemas piden comparar un valor aproximado con el exacto. En este apartado aprendes a redondear (a lugares decimales y a cifras significativas), a escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica y a medir cuánto se equivoca una estimación con el porcentaje de error.

Redondear: decimales y cifras significativas

Redondear es sustituir un número por otro más corto que se le parezca, con una precisión fijada de antemano. Hay dos formas de fijar esa precisión.

Lugares decimales (l. d.): cuántas cifras quedan a la derecha de la coma. Redondear a 2 l. d. es quedarse con los centésimos.
Cifras significativas (c. s.): cuántas cifras útiles queremos, contando desde la primera que no es cero, sin importar dónde esté la coma.

Redondear a la decena, a la centena o al millar sigue el mismo método, contando hacia la izquierda de la coma: $4736$ a la centena es $4700$ , y $4750$ a la centena es $4800$ .

Por ejemplo, $6205$ tiene 4 c. s.; $0, 0068$ tiene 2 c. s. (los tres primeros ceros no cuentan); $0, 5400$ tiene 4 c. s. (los dos ceros finales indican que esa precisión se midió) y $12, 0$ tiene 3 c. s.

Para redondear a $n$ cifras significativas se cuentan $n$ cifras desde la primera no nula y se aplica el método anterior con la cifra $(n + 1)$ -ésima. Los ceros que aparecen al redondear la parte entera son relleno, no cifras significativas: $48317$ a 2 c. s. es $48000$ .

Límites de un valor redondeado

Una medida redondeada no es un número exacto: es un representante de todo un intervalo de valores. Si una medida se ha redondeado a un cierto lugar, el valor real puede estar hasta media unidad de ese lugar por debajo o por encima. El extremo inferior del intervalo es el límite inferior y el superior es el límite superior.

Por ejemplo, una longitud dada como $7, 4$ m (redondeada a décimas, así que media unidad son $0, 05$ m) cumple $7, 35 \leq L < 7, 45$ . Una masa de $250$ g redondeada a la unidad cumple $249, 5 \leq m < 250, 5$ .

Estimar

Estimar es calcular a ojo un valor lo bastante próximo al verdadero, redondeando antes los datos para que las cuentas sean sencillas. En el IB, cuando se pide una estimación, se redondea cada dato a 1 cifra significativa y con esos valores se hace el cálculo.

Notación científica

La notación científica (o forma estándar) permite escribir cantidades enormes o diminutas sin una fila de ceros.

Para pasar a notación científica se desplaza la coma hasta dejar una sola cifra distinta de cero a su izquierda, y el exponente cuenta cuántos lugares se ha movido: a la izquierda, exponente positivo; a la derecha, negativo. Así, $93000000 = 9, 3 \times 1 0^{7}$ y $0, 00072 = 7, 2 \times 1 0^{- 4}$ .

Atención: $25 \times 1 0^{3}$ o $0, 4 \times 1 0^{6}$ valen lo que valen, pero no están en notación científica, porque $a$ no está entre $1$ y $10$ .

Error y porcentaje de error

Cuando se aproxima una cantidad, interesa saber cuánto nos hemos desviado.

El valor absoluto hace que $ε$ sea siempre positivo: nos dice cuánto se falla, no en qué sentido. El denominador es siempre el valor exacto, nunca la aproximación, porque el error se mide en relación con la cantidad real.

Intuición: un error de 2 unidades es enorme si el valor exacto es 10 (un $20 %$ ) y casi invisible si el valor exacto es 5 000 (un $0, 04 %$ ). El porcentaje de error recoge esa diferencia.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Redondear a distintas precisiones

Redondea el número $5287, 046$ de tres formas:

a) a 3 cifras significativas;

b) a 2 lugares decimales;

c) a la centena más cercana.

d) Redondea $0, 004052$ a 2 cifras significativas.

Solución

a) Las tres primeras cifras son $5, 2, 8$ y la siguiente es $7 \geq 5$ , así que $528$ pasa a $529$ . Las cifras que faltan de la parte entera se sustituyen por ceros: $5290$ .

b) Los dos primeros decimales son $0, 4$ y la cifra siguiente es $6 \geq 5$ , así que $0, 04$ pasa a $0, 05$ : $5287, 05$ .

c) La centena es la cifra $2$ (de $52 \dots$ ) y la cifra siguiente es $8 \geq 5$ , así que $52$ centenas pasan a $53$ : $5300$ .

d) Los ceros iniciales no son significativos. La primera cifra significativa es $4$ , la segunda es $0$ y la siguiente es $5 \geq 5$ , así que $0, 0040$ pasa a $0, 0041$ .

Ejemplo 2 Medio

Operaciones en notación científica

Sean $m = 3, 6 \times 1 0^{6}$ y $n = 4, 5 \times 1 0^{- 2}$ . Calcula, con el resultado en notación científica:

a) $m \cdot n$

b) $\frac{m}{n}$

c) $m^{2}$

Después escribe cada resultado como número entero.

Solución

a) Se multiplican los números y se suman los exponentes:

$m \cdot n = (3, 6 \cdot 4, 5) \times 1 0^{6 + (- 2)} = 16, 2 \times 1 0^{4}$

Como $16, 2$ no está entre $1$ y $10$ , se desplaza la coma una posición y se suma $1$ al exponente: $m \cdot n = 1, 62 \times 1 0^{5} = 162000$ .

b) Se dividen los números y se restan los exponentes:

$\frac{m}{n} = \frac{3 , 6}{4 , 5} \times 1 0^{6 - (- 2)} = 0, 8 \times 1 0^{8}$

Ahora el número $0, 8$ es menor que $1$ : se desplaza la coma una posición a la derecha y se resta $1$ al exponente. $\frac{m}{n} = 8 \times 1 0^{7} = 80000000$ .

c) Se eleva al cuadrado el número y se duplica el exponente:

$m^{2} = 3, 6^{2} \times 1 0^{12} = 12, 96 \times 1 0^{12} = 1, 296 \times 1 0^{13}$

Es decir, $12960000000000$ .

Ejemplo 3 Difícil

Estimar y medir el error

Una sala rectangular mide $4, 8$ m de largo, $6, 3$ m de ancho y $2, 6$ m de alto.

a) Calcula su volumen exacto y dalo con 3 cifras significativas.

b) Para estimar el volumen, Marta redondea cada dimensión a 1 cifra significativa y multiplica. ¿Qué volumen estima?

c) Calcula con 3 cifras significativas el porcentaje de error que comete Marta al estimar.

d) Pablo calcula el volumen con las medidas exactas y redondea solo el resultado a 1 cifra significativa. ¿Qué porcentaje de error tiene su valor? Compáralo con el de Marta.

Solución

a) $V = 4, 8 \cdot 6, 3 \cdot 2, 6 = 30, 24 \cdot 2, 6 = 78, 624 m^{3}$ . A 3 c. s.: $78, 6 m^{3}$ .

b) Cada dato a 1 c. s.: $4, 8 \to 5$ , $6, 3 \to 6$ y $2, 6 \to 3$ . La estimación es $5 \cdot 6 \cdot 3 = 90 m^{3}$ .

c) El valor exacto es $v_{E} = 78, 624$ (sin redondear) y el aproximado $v_{A} = 90$ :

$ε = \frac{90 - 78 , 624}{78 , 624} \times 100 % = \frac{11 , 376}{78 , 624} \times 100 % \approx 14, 47 %$

A 3 c. s.: $ε \approx 14, 5 %$ .

d) Redondeado a 1 c. s., $78, 624$ pasa a $80$ . Entonces

$ε = \frac{80 - 78 , 624}{78 , 624} \times 100 % = \frac{1 , 376}{78 , 624} \times 100 % \approx 1, 75 %$

Pablo comete un error unas ocho veces menor. Esto es lo que ocurre cuando se redondea al principio y no al final: los redondeos de las tres medidas se acumulan en el producto.

En el examen: usa siempre el valor exacto sin redondear en el denominador y en la resta. Si el enunciado dice «estima», redondea los datos a 1 c. s. antes de operar; si no lo dice, redondea solo al final. Escribe la fórmula antes de sustituir: suele puntuarse.

Errores típicos

Resumen

Redondeo: si la cifra siguiente es menor que 5, la cifra conservada no cambia; si es 5 o mayor, aumenta en 1. Se puede redondear a lugares decimales o a cifras significativas.
Cifras significativas: cuentan las cifras no nulas, los ceros intermedios y los ceros finales tras la coma; no cuentan los ceros iniciales.
Sin indicación en el enunciado, el IB espera la respuesta exacta o con 3 c. s.; redondea solo el resultado final.
Un valor redondeado admite media unidad del último lugar por arriba y por abajo (límites inferior y superior). Estimar es operar con datos a 1 c. s.
Notación científica: $a \times 1 0^{k}$ con $1 \leq a < 10$ y $k \in Z$ . Tras operar, renormaliza el resultado.
Porcentaje de error: $ε = \frac{v _{A} - v _{E}}{v _{E}} \times 100 %$ , con el valor exacto en el denominador.
En la CPG, la letra E de la pantalla no se copia: se escribe $\times 1 0^{k}$ .

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