Conjuntos, diagramas de Venn y conjuntos numéricos

Qué es un conjunto

Por ejemplo, si $P$ es el conjunto de las vocales de la palabra «examen», entonces $P=\{a,e\}$, $a\in P$, $x\notin P$ y $n(P)=2$. Aunque la «e» aparezca dos veces en la palabra, en el conjunto se escribe una sola vez.

Hay dos maneras de describir un conjunto:

• Por extensión: listando los elementos, $A=\{1,3,5,7\}$.
• Por comprensión: dando la condición que cumplen, $A=\{x\mid x\in \mathbb{Z},x\text{ impar},0<x<8\}$, que se lee «los $x$ tales que $x$ es entero impar y está entre $0$ y $8$».

Dos conjuntos especiales:

• El conjunto vacío, $\varnothing$ (o $\{\}$), no tiene elementos: $n(\varnothing )=0$.
• El conjunto universal, $U$, contiene todos los elementos que se consideran en el problema. Siempre hay que saber cuál es $U$ para poder hablar del complemento.

Relaciones y operaciones entre conjuntos

La «o» de la unión es inclusiva: un elemento que está en los dos conjuntos también está en la unión. Y como $A$ y $A^{\prime }$ no se solapan y juntos llenan $U$, se cumple $A\cup A^{\prime }=U$ y $A\cap A^{\prime }=\varnothing$.

Cómo se calcula con elementos

Con $U=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1,2,3,4\}$ y $B=\{3,4,5\}$:

• $A\cap B=\{3,4\}$ (lo que aparece en las dos listas).
• $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$ (todo lo que aparece en alguna lista, sin repetir).
• $A^{\prime }=\{5,6\}$ y $B^{\prime }=\{1,2,6\}$ (lo que le falta a cada uno para llegar a $U$).

Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn dibuja $U$ como un rectángulo y cada conjunto como una región cerrada (casi siempre un círculo) dentro de él. Con dos conjuntos que se solapan aparecen cuatro regiones:

1. solo en $A$: $A\cap B^{\prime }$;
2. en los dos: $A\cap B$;
3. solo en $B$: $A^{\prime }\cap B$;
4. fuera de ambos: $(A\cup B{)}^{\prime }$.

Con tres conjuntos aparecen ocho regiones (siete dentro de los círculos y una fuera). Para sombrear una operación, se sombrea la región que cumple la condición: la unión es todo lo que está dentro de alguno de los círculos; la intersección, la parte común; el complemento, todo lo del rectángulo que queda fuera del círculo.

Por qué. Al sumar $n(A)+n(B)$, los elementos de la intersección se cuentan dos veces, una en cada conjunto. Restando una vez $n(A\cap B)$ cada elemento queda contado una sola vez. Si los conjuntos son disjuntos, $n(A\cap B)=0$ y el cardinal de la unión es simplemente la suma.

También se cumple, dentro de $U$, que $n(A^{\prime })=n(U)-n(A)$.

Intuición: no estar en $A$ ni en $B$ (fuera de la unión) es lo mismo que no estar en $A$ y no estar en $B$. Y no estar en los dos a la vez (fuera de la intersección) significa fallar en $A$ o fallar en $B$. Al «romper» el paréntesis del complemento, la unión se cambia por intersección y al revés.

Conjuntos numéricos

Los números se han ido ampliando para poder resolver operaciones que antes no tenían respuesta.

Los números irracionales son los reales que no son racionales, es decir, los que no se pueden escribir como fracción de enteros. Se puede designar su conjunto como $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Ejemplos típicos son $\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$ y $\pi$.

Cada conjunto contiene al anterior, y eso se escribe

$${\mathbb{Z}}^{+}\subset \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

(en un diagrama de Venn son círculos metidos unos dentro de otros, con los irracionales en la parte de $\mathbb{R}$ que queda fuera de $\mathbb{Q}$). Por eso un mismo número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez: $-4\in \mathbb{Z}$, y por tanto también $-4\in \mathbb{Q}$ y $-4\in \mathbb{R}$, pero $-4\notin \mathbb{N}$.

Cómo reconocer un racional por su decimal

• Un decimal exacto (como $-2,5$) es racional: $-2,5=-\frac{5}{2}$.
• Un decimal periódico (como $0,\overline{6}=0,666\dots$ o $0,\overline{34}$) es racional: $0,\overline{6}=\frac{2}{3}$.
• Un decimal con infinitas cifras que no se repiten con ningún periodo es irracional.

Para pasar un decimal periódico a fracción se multiplica por una potencia de $10$ que desplace el periodo y se restan las dos expresiones. Con $x=0,\overline{27}$: $100x=27,\overline{27}$, luego $100x-x=27$, es decir, $99x=27$ y $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$.