IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Cierre del tema

Ejercicios IB del tema 15

60 ejercicios con solución · Por Álvaro López

Ejercicios de exámenes del IB agrupados por tipo y, dentro de cada tipo, de menos a más difícil. Intenta cada uno antes de abrir la solución.

Nivel

Prueba

Soluciones

Distribución de probabilidad de una variable discreta

Ejercicio 1 BásicoIB · P1 TZ2 Mayo 2008

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por $P (X = x) = c x (5 - x)$ , $x = 1; 2; 3; 4$

a) Halle el valor de $c$ .

b) Halle $E (X)$ .

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Resultado: a) $c = \frac{1}{20}$ ; b) $E (X) = 2, 5$

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a) La suma de las probabilidades es 1: $c [1 \cdot 4 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1] = c (4 + 6 + 6 + 4) = 20 c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{20} .$

b) Las probabilidades son $\frac{4}{20}, \frac{6}{20}, \frac{6}{20}, \frac{4}{20}$ para $x = 1, 2, 3, 4$ . $E (X) = \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 3 \cdot 6 + 4 \cdot 4}{20} = \frac{50}{20} = 2, 5.$

Resultado: a) $c = \frac{1}{20}$ ; b) $E (X) = 2, 5$

Ejercicio 2 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2016

Las caras de un dado de seis caras equilibrado están numeradas 1, 2, 2, 4, 4, 6. Sea $X$ la variable aleatoria discreta que modeliza la puntuación que se obtiene cuando se tira el dado.

a) Complete la siguiente tabla de la distribución de probabilidad de $X$ .

$x$
$P (X = x)$

b) Halle el valor esperado de $X$ .

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Resultado: a) $P (X = 1) = \frac{1}{6}$ , $P (X = 2) = \frac{2}{6}$ , $P (X = 4) = \frac{2}{6}$ , $P (X = 6) = \frac{1}{6}$ ; b) $E (X) = \frac{19}{6}$

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a) Las seis caras son 1, 2, 2, 4, 4, 6, todas con probabilidad $\frac{1}{6}$ .

$x$	1	2	4	6
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$

b) $E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 4 \cdot \frac{2}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 4 + 8 + 6}{6} = \frac{19}{6} \approx 3, 17.$

Resultado: a) $P (X = 1) = \frac{1}{6}$ , $P (X = 2) = \frac{2}{6}$ , $P (X = 4) = \frac{2}{6}$ , $P (X = 6) = \frac{1}{6}$ ; b) $E (X) = \frac{19}{6}$

Ejercicio 3 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2005

La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ .

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{5}$	$a$	$b$	$\frac{1}{4}$

a) Sabiendo que $E (X) = 1, 55$ , halle el valor de $a$ y de $b$ .

b) Calcule $Var (X)$ .

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Resultado: a) $a = 0, 3$ ; $b = 0, 25$ ; b) $Var (X) = 1, 1475 \approx 1, 15$

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a) La suma de las probabilidades vale 1: $\frac{1}{5} + a + b + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow a + b = \frac{11}{20} = 0, 55.$ La esperanza es $E (X) = 0 \cdot \frac{1}{5} + 1 \cdot a + 2 \cdot b + 3 \cdot \frac{1}{4} = 1, 55$ , es decir, $a + 2 b = 0, 8$ .

Restando las dos ecuaciones: $b = 0, 8 - 0, 55 = 0, 25$ y entonces $a = 0, 55 - 0, 25 = 0, 3$ .

b) $E (X^{2}) = 0^{2} \cdot \frac{1}{5} + 1^{2} \cdot 0, 3 + 2^{2} \cdot 0, 25 + 3^{2} \cdot \frac{1}{4} = 0, 3 + 1 + 2, 25 = 3, 55$ .

$Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 3, 55 - 1, 5 5^{2} = 1, 1475 \approx 1, 15.$

Resultado: a) $a = 0, 3$ ; $b = 0, 25$ ; b) $Var (X) = 1, 1475 \approx 1, 15$

Ejercicio 4 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2018

La variable aleatoria discreta $X$ tiene la siguiente distribución de probabilidad, donde $p$ es una constante:

$x$	0	1	2	3	4
$P (X = x)$	$p$	$0, 5 - p$	$0, 25$	$0, 125$	$p^{3}$

a) Halle el valor de $p$ .

b) i) Halle $μ$ , el valor esperado de $X$ .

(ii) Halle $P (X > μ)$ .

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Resultado: a) $p = 0, 5$ ; b) i) $μ = 1, 375$ ; ii) $P (X > μ) = 0, 5$

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a) La suma de probabilidades vale 1: $p + (0, 5 - p) + 0, 25 + 0, 125 + p^{3} = 1 \Rightarrow 0, 875 + p^{3} = 1 \Rightarrow p^{3} = 0, 125 \Rightarrow p = 0, 5.$

La tabla queda: $P (X = 0) = 0, 5$ , $P (X = 1) = 0$ , $P (X = 2) = 0, 25$ , $P (X = 3) = 0, 125$ , $P (X = 4) = 0, 125$ .

b) (i) $μ = 0 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0, 25 + 3 \cdot 0, 125 + 4 \cdot 0, 125 = 0, 5 + 0, 375 + 0, 5 = 1, 375$ .

(ii) $P (X > 1, 375) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 25 + 0, 125 + 0, 125 = 0, 5$ .

Resultado: a) $p = 0, 5$ ; b) i) $μ = 1, 375$ ; ii) $P (X > μ) = 0, 5$

Ejercicio 5 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2018

Se lanzan dos dados tetraédricos no sesgados (cuatro lados) con caras etiquetadas 1, 2, 3, 4 y se observan las puntuaciones registradas. Sea $T$ la variable aleatoria el máximo de estas dos puntuaciones. La distribución de probabilidad de $T$ se da en la siguiente tabla.

$t$	1	2	3	4
$P (T = t)$	$\frac{1}{16}$	$a$	$b$	$\frac{7}{16}$

a) Calcule el valor de $a$ y el valor de $b$ .

b) Calcule el valor esperado de $T$ .

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Resultado: a) $a = \frac{3}{16}$ , $b = \frac{5}{16}$ ; b) $E (T) = \frac{25}{8}$

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a) Hay $4 \cdot 4 = 16$ resultados equiprobables. El máximo vale 2 en $(1, 2), (2, 1), (2, 2)$ : $a = \frac{3}{16}$ . Como las probabilidades suman 1: $\frac{1}{16} + \frac{3}{16} + b + \frac{7}{16} = 1 \Rightarrow b = \frac{5}{16} .$ (Comprobación: el máximo vale 3 en $(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)$ , es decir, 5 casos.)

b) $E (T) = 1 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{3}{16} + 3 \cdot \frac{5}{16} + 4 \cdot \frac{7}{16} = \frac{1 + 6 + 15 + 28}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8} .$

Resultado: a) $a = \frac{3}{16}$ , $b = \frac{5}{16}$ ; b) $E (T) = \frac{25}{8}$

Ejercicio 6 MedioIB · P1 Mayo 2000

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta $X$ viene dada por $P (X = x) = k (\frac{2}{3})^{x}, x = 0, 1, 2, \dots$

Calcule el valor de $k$ .

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Resultado: $k = \frac{1}{3}$

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La suma de todas las probabilidades debe valer 1. Es una serie geométrica de primer término $k$ y razón $r = \frac{2}{3}$ (con $∣ r ∣ < 1$ ): $x = 0 \sum \infty k (\frac{2}{3})^{x} = \frac{k}{1 - \frac{2}{3}} = 3 k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{3} .$

Resultado: $k = \frac{1}{3}$

Ejercicio 7 MedioIB · P1 Mayo 1998

La variable aleatoria discreta $X$ tiene la siguiente distribución de probabilidad.

$x$	0	1	2	3	4
$P (X = x)$	$\frac{1}{8}$	$3 k$	$\frac{1}{6} k$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6} k$

a) Calcule el valor exacto de $k$ .

b) Calcule $P (0 < X < 4)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{3}{16}$ ; b) $P (0 < X < 4) = \frac{27}{32}$

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a) La suma de probabilidades es 1: $\frac{1}{8} + 3 k + \frac{k}{6} + \frac{1}{4} + \frac{k}{6} = 1 \Rightarrow \frac{10 k}{3} = \frac{5}{8} \Rightarrow k = \frac{3}{16} .$ (Se usa $3 k + \frac{k}{6} + \frac{k}{6} = \frac{10 k}{3}$ y $1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$ .)

b) $P (0 < X < 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 3 k + \frac{k}{6} + \frac{1}{4} = \frac{9}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{4} = \frac{18 + 1 + 8}{32} = \frac{27}{32} .$

Resultado: a) $k = \frac{3}{16}$ ; b) $P (0 < X < 4) = \frac{27}{32}$

Ejercicio 8 MedioIB · P1 Noviembre 1998

La variable aleatoria discreta $X$ tiene la distribución de probabilidad que se muestra en la tabla siguiente.

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$k$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$3 k$

a) Calcule el valor de $k$ .

b) Calcule $E (X)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{1}{8}$ ; b) $E (X) = \frac{15}{8}$

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a) La suma de las probabilidades es 1: $k + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 3 k = 1 \Rightarrow 4 k = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{1}{8} .$

b) $E (X) = \sum x P (X = x)$ : $E (X) = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{15}{8} .$

Resultado: a) $k = \frac{1}{8}$ ; b) $E (X) = \frac{15}{8}$

Ejercicio 9 MedioIB · P1 Mayo 2000

En un juego un jugador lanza un dado tetraédrico (cuatro caras) sesgado. La probabilidad de cada puntuación posible se muestra a continuación.

Puntuación	1	2	3	4
Probabilidad	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$	$x$

Calcule la probabilidad de una puntuación total de seis después de dos rondas.

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Resultado: $\frac{1}{4}$ (con $x = \frac{3}{10}$ )

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Las probabilidades suman 1: $x = 1 - (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{1}{10}) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} .$
Para sumar 6 en dos rondas, las parejas posibles son $(2, 4)$ , $(4, 2)$ y $(3, 3)$ (con $(1, 5)$ y $(5, 1)$ imposibles, pues solo hay puntuaciones del 1 al 4): $P = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{10} + (\frac{1}{10})^{2} = \frac{12}{50} + \frac{1}{100} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} .$

Resultado: $\frac{1}{4}$ (con $x = \frac{3}{10}$ )

Ejercicio 10 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2004

La variable aleatoria discreta $X$ tiene la siguiente distribución de probabilidad: $P (X = x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k}{x}, 0, x = 1, 2, 3, 4 en los dem a ˊ s casos$

Calcule

a) el valor de la constante $k$ .

b) $E (X)$ .

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Resultado: a) $k = \frac{12}{25}$ ; b) $E (X) = \frac{48}{25}$

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a) Las probabilidades suman 1: $k (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = k \cdot \frac{25}{12} = 1 \Rightarrow k = \frac{12}{25} .$

b) $E (X) = \sum x \cdot \frac{k}{x} = k + k + k + k = 4 k = \frac{48}{25}$ .

Resultado: a) $k = \frac{12}{25}$ ; b) $E (X) = \frac{48}{25}$

Ejercicio 11 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2014

En un paquete de siete transistores, hay tres que son defectuosos. Se eligen al azar tres transistores del paquete, sin reposición. La variable aleatoria discreta $X$ representa el número de transistores defectuosos que se han elegido.

(i) Halle $P (X = 2)$ .

(ii) Copie y complete la siguiente tabla.

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$

(iii) Determine $E (X)$ .

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Resultado: i) $\frac{12}{35}$ ; ii) $\frac{4}{35}, \frac{18}{35}, \frac{12}{35}, \frac{1}{35}$ ; iii) $E (X) = \frac{9}{7}$

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Hay 7 transistores: 3 defectuosos y 4 buenos. Se eligen 3 sin reposición: $(3 7) = 35$ casos.

(i) Dos defectuosos y uno bueno: $P (X = 2) = \frac{( 2 3 ) ( 1 4 )}{35} = \frac{12}{35} .$

(ii) $P (X = 0) = \frac{( 3 4 )}{35} = \frac{4}{35}, P (X = 1) = \frac{( 1 3 ) ( 2 4 )}{35} = \frac{18}{35}, P (X = 3) = \frac{( 3 3 )}{35} = \frac{1}{35} .$

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

(iii) $E (X) = \frac{0 \cdot 4 + 1 \cdot 18 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 1}{35} = \frac{45}{35} = \frac{9}{7} .$

Resultado: i) $\frac{12}{35}$ ; ii) $\frac{4}{35}, \frac{18}{35}, \frac{12}{35}, \frac{1}{35}$ ; iii) $E (X) = \frac{9}{7}$

Ejercicio 12 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2022

Una variable aleatoria discreta, $X$ , tiene la siguiente distribución de probabilidad:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 41$	$k - 0, 28$	$0, 46$	$0, 29 - 2 k^{2}$

a) Muestre que $2 k^{2} - k + 0, 12 = 0$ .

b) Calcule el valor de $k$ , dando una razón para su respuesta.

c) Usando lo anterior, calcule $E (X)$ .

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Resultado: a) demostrado; b) $k = 0, 3$ ; c) $E (X) = 1, 27$

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a) La suma de las probabilidades es 1: $0, 41 + (k - 0, 28) + 0, 46 + (0, 29 - 2 k^{2}) = 1 \Rightarrow 0, 88 + k - 2 k^{2} = 1 \Rightarrow 2 k^{2} - k + 0, 12 = 0.$

b) Con la CPG o con la fórmula: $k = \frac{1 \pm 1 - 0 , 96}{4} = \frac{1 \pm 0 , 2}{4} \Rightarrow k = 0, 3 o k = 0, 2.$ Si $k = 0, 2$ , entonces $P (X = 1) = k - 0, 28 = - 0, 08 < 0$ , imposible para una probabilidad. Por tanto $k = 0, 3$ .

c) Con $k = 0, 3$ : $P (X = 1) = 0, 02$ y $P (X = 3) = 0, 29 - 2 (0, 09) = 0, 11$ . $E (X) = 0 \cdot 0, 41 + 1 \cdot 0, 02 + 2 \cdot 0, 46 + 3 \cdot 0, 11 = 0, 02 + 0, 92 + 0, 33 = 1, 27.$

Resultado: a) demostrado; b) $k = 0, 3$ ; c) $E (X) = 1, 27$

Ejercicio 13 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2010

Tim tira simultáneamente dos dados equilibrados e idénticos. Cada dado tiene seis caras. En dos caras está el número 1, en dos caras está el número 2 y en dos caras está el número 3. La puntuación de Tim es la suma de los dos números obtenidos con los dados.

a) (i) Calcule la probabilidad de que la puntuación que obtiene Tim sea igual a 6.

(ii) Calcule la probabilidad de que la puntuación que obtiene Tim sea por lo menos 3.

Tim juega con su amigo Hill, quien tiene también los dos dados, numerados de la misma manera. La puntuación de Hill es la suma de los dos números obtenidos con sus dados.

b) (i) Calcule la probabilidad de que Tim y Hill obtengan ambos una puntuación igual a 6.

(ii) Calcule la probabilidad de que Tim y Hill obtengan la misma puntuación.

c) Sea $X$ el número más alto de los obtenidos con los cuatro dados.

(i) Compruebe que $P (X \leq 2) = \frac{16}{81}$ .

(ii) Complete la siguiente tabla de distribución de probabilidad.

$X$	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{81}$

(iii) Calcule $E (X)$ y $E (X^{2})$ y, a partir de lo anterior, halle $Var (X)$ .

d) Sabiendo que $X = 3$ , halle la probabilidad de que la suma de los números en los cuatro dados sea igual a 8.

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Resultado: a) (i) $\frac{1}{9}$ ; (ii) $\frac{8}{9}$ ; b) (i) $\frac{1}{81}$ ; (ii) $\frac{19}{81}$ ; c) $P (X = 2) = \frac{15}{81}$ , $P (X = 3) = \frac{65}{81}$ , $E (X) = \frac{226}{81} \approx 2, 79$ , $E (X^{2}) = \frac{646}{81} \approx 7, 98$ , $Var (X) = \frac{1250}{6561} \approx 0, 191$ ; d) $\frac{18}{65}$

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Cada dado da 1, 2 o 3, cada uno con probabilidad $\frac{1}{3}$ (dos caras de seis).

a) La puntuación de Tim es la suma de dos dados. Las probabilidades de cada suma son:

$t$	2	3	4	5	6
$P (T = t)$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{3}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

(i) $P (T = 6) = P (3, 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ .

(ii) $P (T \geq 3) = 1 - P (T = 2) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ .

b) (i) Los dados de Hill son independientes de los de Tim: $P (T = 6, H = 6) = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{81}$ .

(ii) Misma puntuación: $\sum_{t} P (T = t)^{2} = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 2 ^{2} + 1 ^{2}}{81} = \frac{19}{81}$ .

c) (i) $X \leq 2$ significa que los cuatro dados dan 1 o 2, cada uno con probabilidad $\frac{2}{3}$ : $P (X \leq 2) = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81} .$

(ii) $P (X = 1) = (\frac{1}{3})^{4} = \frac{1}{81}$ . Entonces $P (X = 2) = P (X \leq 2) - P (X = 1) = \frac{16}{81} - \frac{1}{81} = \frac{15}{81}$ y $P (X = 3) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ .

$X$	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{81}$	$\frac{15}{81}$	$\frac{65}{81}$

(iii) $E (X) = \frac{1 + 2 \cdot 15 + 3 \cdot 65}{81} = \frac{226}{81} \approx 2, 79$ y $E (X^{2}) = \frac{1 + 4 \cdot 15 + 9 \cdot 65}{81} = \frac{646}{81} \approx 7, 98$ .

$Var (X) = \frac{646}{81} - (\frac{226}{81})^{2} = \frac{52326 - 51076}{6561} = \frac{1250}{6561} \approx 0, 191.$

d) Los cuatro valores (1, 2 o 3) son igual de probables en cada dado, así que hay $3^{4} = 81$ combinaciones equiprobables. Los casos con $X = 3$ son $81 - 16 = 65$ . Entre ellos, los que suman 8 y contienen al menos un 3 son las ordenaciones de ${3, 3, 1, 1}$ (6) y de ${3, 2, 2, 1}$ (12), es decir, 18 casos. (La combinación ${2, 2, 2, 2}$ también suma 8, pero no tiene ningún 3.) $P (suma = 8 ∣ X = 3) = \frac{18/81}{65/81} = \frac{18}{65} .$

Ejercicio 14 DifícilIB · P1 TZ2 Mayo 2012

Considere las siguientes funciones: $f (x) = \frac{2 x ^{2} + 3}{75}$ , $x \geq 0$ \qquad $g (x) = \frac{∣3 x - 4∣}{10}$ , $x \in R$ .

a) Indique el recorrido de $f$ y el de $g$ .

b) Halle una expresión para la función compuesta $(f \circ g) (x)$ , de la forma $\frac{a x ^{2} + b x + c}{3750}$ , donde $a, b, c \in Z$ .

c) i) Halle una expresión para la función inversa $f^{- 1} (x)$ .

(ii) Indique el dominio y el recorrido de $f^{- 1}$ .

Ahora el dominio de $f$ y el de $g$ quedan restringidos a ${0, 1, 2, 3, 4}$ .

d) Considerando los valores de $f$ y de $g$ en este dominio, determine cuál de las dos funciones $f$ y $g$ podrían utilizarse para hallar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta $X$ . Explique claramente las razones por las cuales ha dado esa respuesta.

e) Utilizando esta distribución de probabilidad, calcule la media de $X$ .

Ver resultado

Resultado: a) $R_{f} = [\frac{1}{25}, + \infty [$ , $R_{g} = [0, + \infty [$ ; b) $(f \circ g) (x) = \frac{9 x ^{2} - 24 x + 166}{3750}$ ; c) i) $f^{- 1} (x) = \frac{75 x - 3}{2}$ , ii) $D_{f^{- 1}} = [\frac{1}{25}, + \infty [$ , $R_{f^{- 1}} = [0, + \infty [$ ; d) $f$ (suma 1; la de $g$ es 2); e) $E (X) = \frac{46}{15} \approx 3, 07$

Ver proceso y resultado

a) Para $x \geq 0$ : $x^{2} \geq 0$ , luego $f (x) \geq \frac{3}{75} = \frac{1}{25}$ y $f$ crece sin límite: $R_{f} = [\frac{1}{25}, + \infty [$ . El valor absoluto es siempre $\geq 0$ y $3 x - 4$ toma cualquier valor real: $R_{g} = [0, + \infty [$ .

b) $(f \circ g) (x) = f (\frac{∣3 x - 4∣}{10}) = \frac{2 \cdot \frac{( 3 x - 4 ) ^{2}}{100} + 3}{75} = \frac{2 ( 9 x ^{2} - 24 x + 16 ) + 300}{7500} = \frac{9 x ^{2} - 24 x + 166}{3750} .$

c) i) Sea $y = \frac{2 x ^{2} + 3}{75}$ . Despejando, $x^{2} = \frac{75 y - 3}{2}$ y, como $x \geq 0$ , $x = \frac{75 y - 3}{2}$ . Luego $f^{- 1} (x) = \frac{75 x - 3}{2} .$

(ii) El dominio de $f^{- 1}$ es el recorrido de $f$ y su recorrido es el dominio de $f$ : $D_{f^{- 1}} = [\frac{1}{25}, + \infty [$ y $R_{f^{- 1}} = [0, + \infty [$ .

d) Con el dominio ${0, 1, 2, 3, 4}$ :

$x$	0	1	2	3	4
$f (x)$	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{11}{75}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{7}{15}$
$g (x)$	$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{5}{10}$	$\frac{8}{10}$

Una distribución de probabilidad exige valores entre 0 y 1 cuya suma sea 1. $\sum f (x) = \frac{3 + 5 + 11 + 21 + 35}{75} = 1$ , mientras que $\sum g (x) = 2 \neq = 1$ . Por tanto solo puede usarse $f$ .

e) $E (X) = \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 5 + 2 \cdot 11 + 3 \cdot 21 + 4 \cdot 35}{75} = \frac{230}{75} = \frac{46}{15} \approx 3, 07.$

Ejercicio 15 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2016

Una tienda de bombones anuncia obsequios gratuitos para aquellos clientes que reúnan tres cupones. Los cupones se introducen al azar en el $10 %$ de las chocolatinas que se venden en esa tienda. Kati compra algunas de estas chocolatinas y las va abriendo de una en una para ver si contienen un cupón. Sea $P (X = n)$ la probabilidad de que Kati consiga su tercer cupón en la $n$ -ésima chocolatina que abre. (Se supone que la probabilidad de que una chocolatina dada contenga un cupón sigue siendo del $10 %$ durante toda la pregunta.)

a) Muestre que $P (X = 3) = 0, 001$ y $P (X = 4) = 0, 0027$ .

Se sabe que $P (X = n) = \frac{n ^{2} + an + b}{2000} \times 0, 9^{n - 3} para n \geq 3, n \in N .$

b) Halle el valor de las constantes $a$ y $b$ .

c) Deduzca que $\frac{P ( X = n )}{P ( X = n - 1 )} = \frac{0 , 9 ( n - 1 )}{n - 3} para n > 3.$

d) (i) A partir de lo anterior, muestre que $X$ tiene dos modas, $m_{1}$ y $m_{2}$ .

(ii) Indique los valores de $m_{1}$ y $m_{2}$ .

La madre de Kati va a la tienda y compra $x$ chocolatinas. Se las lleva a casa para que Kati las abra.

e) Determine el valor mínimo de $x$ tal que la probabilidad de que Kati reciba al menos un obsequio gratuito sea mayor que $0, 5$ .

Ver resultado

Resultado: a) $P (X = 3) = 0, 001$ , $P (X = 4) = 0, 0027$ ; b) $a = - 3$ , $b = 2$ ; d) ii) $m_{1} = 20$ , $m_{2} = 21$ ; e) $x = 27$

Ver proceso y resultado

Kati abre chocolatinas; cada una tiene cupón con probabilidad $0, 1$ . $X = n$ significa que el tercer cupón aparece justo en la $n$ -ésima.

a) Para $n = 3$ : las tres tienen cupón: $0, 1^{3} = 0, 001$ . Para $n = 4$ : la cuarta tiene cupón y entre las tres primeras hay exactamente dos: $P (X = 4) = (2 3) 0, 1^{2} \cdot 0, 9 \cdot 0, 1 = 3 \cdot 0, 1^{3} \cdot 0, 9 = 0, 0027.$

b) Se usa la fórmula dada.

$n = 3$ : $\frac{9 + 3 a + b}{2000} \cdot 0, 9^{0} = 0, 001 \Rightarrow 3 a + b = - 7$ .
$n = 4$ : $\frac{16 + 4 a + b}{2000} \cdot 0, 9 = 0, 0027 \Rightarrow 16 + 4 a + b = 6 \Rightarrow 4 a + b = - 10$ .

Restando: $a = - 3$ y $b = 2$ . (Así $n^{2} - 3 n + 2 = (n - 1) (n - 2)$ .)

c) Con $a = - 3$ , $b = 2$ : $P (X = n) = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 )}{2000} 0, 9^{n - 3}$ . Para $n > 3$ : $\frac{P ( X = n )}{P ( X = n - 1 )} = \frac{( n - 1 ) ( n - 2 ) 0 , 9 ^{n - 3}}{( n - 2 ) ( n - 3 ) 0 , 9 ^{n - 4}} = \frac{0 , 9 ( n - 1 )}{n - 3} .$

d) (i) El cociente vale 1 cuando $0, 9 (n - 1) = n - 3$ , es decir, $0, 1 n = 2, 1$ , $n = 21$ . Además el cociente es mayor que 1 si $n < 21$ y menor que 1 si $n > 21$ . Por tanto $P (X = n)$ crece hasta $n = 20$ , $P (X = 21) = P (X = 20)$ y luego decrece: hay dos modas.

(ii) $m_{1} = 20$ y $m_{2} = 21$ .

e) La madre compra $x$ chocolatinas. Hay obsequio si aparecen al menos 3 cupones. Sea $C \sim B (x; 0, 1)$ el número de cupones: se necesita $P (C \geq 3) > 0, 5$ . Con la CPG (distribución binomial, probabilidad acumulada):

$x$	26	27
$P (C \geq 3)$	$0, 4895$	$0, 5154$

El valor mínimo es $x = 27$ .

Resultado: a) $P (X = 3) = 0, 001$ , $P (X = 4) = 0, 0027$ ; b) $a = - 3$ , $b = 2$ ; d) ii) $m_{1} = 20$ , $m_{2} = 21$ ; e) $x = 27$

Ejercicio 16 DifícilIB · P2 Mayo 2001

En un juego, la probabilidad de que un jugador marque con un disparo es $\frac{1}{4}$ . Sea $X$ el número de disparos que el jugador necesita para anotar, incluyendo los disparos de puntuaciones anteriores. (Puede suponer que cada disparo es independiente de los anteriores.)

a) Calcule $P (X = 3)$ .

b) Calcule la probabilidad de que el jugador tenga al menos tres fallos antes de anotar dos veces.

c) Pruebe que el valor esperado de $X$ es $4$ .

(Puede usar el resultado $(1 - x)^{- 2} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 4 x^{3} + \dots$ )

Ver resultado

Resultado: a) $\frac{9}{64}$ ; b) $\frac{189}{256}$ ; c) $E (X) = 4$

Ver proceso y resultado

$X$ es el número de disparos hasta el primer acierto: $P (X = x) = (\frac{3}{4})^{x - 1} \frac{1}{4}$ .

a) Dos fallos y un acierto: $P (X = 3) = (\frac{3}{4})^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{64} .$

b) «Al menos tres fallos antes de anotar dos veces» es el complementario de «anotar dos veces en 4 disparos o menos», es decir, de tener al menos 2 aciertos en 4 disparos. Sea $Y \sim B (4; \frac{1}{4})$ : $P (Y \geq 2) = 1 - (\frac{3}{4})^{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} (\frac{3}{4})^{3} = 1 - \frac{81}{256} - \frac{108}{256} = \frac{67}{256} .$ Por tanto la probabilidad pedida es $1 - \frac{67}{256} = \frac{189}{256} .$

c) Con $q = \frac{3}{4}$ : $E (X) = x = 1 \sum \infty x q^{x - 1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} (1 + 2 q + 3 q^{2} + 4 q^{3} + \dots) = \frac{1}{4} (1 - q)^{- 2} .$ Como $1 - q = \frac{1}{4}$ , queda $E (X) = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$ .

Resultado: a) $\frac{9}{64}$ ; b) $\frac{189}{256}$ ; c) $E (X) = 4$

Ejercicio 17 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2021

Se lanza un dado A de cuatro caras sesgadas. Sea $X$ la puntuación obtenida cuando se tira el dado A. La distribución de probabilidad para $X$ se muestra en la siguiente tabla.

$x$	1	2	3	4
$P (X = x)$	$p$	$p$	$p$	$\frac{1}{2} p$

a) Calcule el valor de $p$ .

b) Usando lo anterior calcule el valor de $E (X)$ .

Un segundo dado, $B$ , con cuatro caras sesgadas se lanza. Sea $Y$ la puntuación obtenida cuando se tira el dado $B$ . La distribución de probabilidad para $Y$ se muestra en la siguiente tabla.

$y$	1	2	3	4
$P (Y = y)$	$q$	$q$	$q$	$r$

c) (i) Escriba el rango de los posibles valores de $r$ .

(ii) Usando lo anterior, calcule el rango de los posibles valores de $q$ .

d) Usando lo anterior, calcule el rango de los posibles valores de $E (Y)$ .

Agnes y Bárbara juegan a un juego usando estos dados. Agnes tira el dado A una vez y Bárbara tira el dado B una vez. La probabilidad de que la puntuación de Agnes sea menor que la de Bárbara es $\frac{1}{2}$ .

e) Calcule el valor de $E (Y)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $p = \frac{2}{7}$ ; b) $E (X) = \frac{16}{7}$ ; c) i) $0 \leq r \leq 1$ ; ii) $0 \leq q \leq \frac{1}{3}$ ; d) $2 \leq E (Y) \leq 4$ ; e) $E (Y) = \frac{11}{4}$

Ver proceso y resultado

a) $p + p + p + \frac{1}{2} p = 1 \Rightarrow \frac{7}{2} p = 1 \Rightarrow p = \frac{2}{7}$ .

b) $E (X) = (1 + 2 + 3) p + 4 \cdot \frac{1}{2} p = 6 p + 2 p = 8 p = \frac{16}{7} .$

c) (i) $r$ es una probabilidad: $0 \leq r \leq 1$ .

(ii) $3 q + r = 1$ , luego $q = \frac{1 - r}{3}$ . Con $0 \leq r \leq 1$ : $0 \leq q \leq \frac{1}{3}$ .

d) $E (Y) = (1 + 2 + 3) q + 4 r = 6 q + 4 r = 2 (1 - r) + 4 r = 2 + 2 r .$ Con $0 \leq r \leq 1$ : $2 \leq E (Y) \leq 4$ .

e) Agnes saca menos que Bárbara: $P (X < Y) = P (Y = 2) P (X = 1) + P (Y = 3) P (X \leq 2) + P (Y = 4) P (X \leq 3) = q \cdot \frac{2}{7} + q \cdot \frac{4}{7} + r \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{7} (q + r) .$ Igualando a $\frac{1}{2}$ : $q + r = \frac{7}{12}$ . Junto con $3 q + r = 1$ : restando, $2 q = \frac{5}{12}$ , luego $q = \frac{5}{24}$ y $r = \frac{7}{12} - \frac{5}{24} = \frac{3}{8}$ . Entonces $E (Y) = 2 + 2 r = 2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4} .$

Resultado: a) $p = \frac{2}{7}$ ; b) $E (X) = \frac{16}{7}$ ; c) i) $0 \leq r \leq 1$ ; ii) $0 \leq q \leq \frac{1}{3}$ ; d) $2 \leq E (Y) \leq 4$ ; e) $E (Y) = \frac{11}{4}$

Ejercicio 18 DifícilIB · P1 TZ2 Mayo 2022

Se tira un dado no equilibrado de cuatro caras, rotuladas 1, 2, 3 y 4, y se va anotando el resultado. Sea $X$ el resultado que se obtiene al tirar el dado. En la siguiente tabla se muestra la distribución de probabilidad de $X$ , donde $p$ y $q$ son constantes.

$x$	1	2	3	4
$P (X = x)$	$p$	$0, 3$	$q$	$0, 1$

Para esta distribución de probabilidad, se sabe que $E (X) = 2$ .

a) Muestre que $p = 0, 4$ y $q = 0, 2$ .

b) Halle $P (X > 2)$ .

Nicky decide jugar a un juego con este dado de cuatro caras. En este juego está permitido tirar el dado cinco veces como máximo. La puntuación se calcula sumando los resultados de todas las tiradas. Nicky gana el juego si obtiene una puntuación de al menos diez.

Después de tirar el dado tres veces, la puntuación de Nicky es igual a cuatro.

c) Suponiendo que las tiradas del dado son independientes unas de otras, halle la probabilidad de que Nicky gane el juego.

David tiene dos pares de dados equilibrados de cuatro caras: un par amarillo y un par rojo. Los dos dados amarillos tienen las caras rotuladas así: 1, 2, 3 y 4. Sea $S$ la suma que se obtiene al tirar los dos dados amarillos. A continuación, se muestra la distribución de probabilidad de $S$ .

$s$	2	3	4	5	6	7	8
$P (S = s)$	$\frac{1}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{4}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{2}{16}$	$\frac{1}{16}$

El primer dado rojo tiene las caras rotuladas así: 1, 2, 2 y 3. El segundo dado rojo tiene las caras rotuladas así: 1, $a$ , $a$ y $b$ , donde $a < b$ y $a, b \in Z^{+}$ . La distribución de probabilidad de la suma que se obtiene al tirar el par rojo es igual a la distribución de la suma que se obtiene al tirar el par amarillo.

d) Determine el valor de $b$ .

e) Halle el valor de $a$ , aportando pruebas que respalden su respuesta.

Ver resultado

Resultado: a) $p = \frac{2}{5}$ , $q = \frac{1}{5}$ ; b) $P (X > 2) = \frac{3}{10}$ ; c) $\frac{3}{20}$ ; d) $b = 5$ ; e) $a = 3$

Ver proceso y resultado

a) La suma de las probabilidades es 1: $p + 0, 3 + q + 0, 1 = 1 \Rightarrow p + q = 0, 6$ . La media es 2: $p + 2 (0, 3) + 3 q + 4 (0, 1) = 2 \Rightarrow p + 3 q = 1$ . Restando: $2 q = 0, 4$ , luego $q = 0, 2$ y $p = 0, 4$ .

b) $P (X > 2) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3$ .

c) Con 3 tiradas hechas, la puntuación es 4 y faltan 2 tiradas, que deben sumar al menos 6. Las parejas posibles son $(2, 4)$ , $(4, 2)$ , $(3, 3)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ y $(4, 4)$ : $P = 2 (0, 3) (0, 1) + (0, 2)^{2} + 2 (0, 2) (0, 1) + (0, 1)^{2} = 0, 06 + 0, 04 + 0, 04 + 0, 01 = 0, 15.$

d) La suma máxima del par amarillo es 8, con probabilidad $\frac{1}{16}$ . En el par rojo la suma máxima es $3 + b$ , así que $3 + b = 8$ y $b = 5$ .

e) Los dados rojos son ${1, 2, 2, 3}$ y ${1, a, a, 5}$ con $1 < a < 5$ o $a = 1$ .

$P (S = 2) = \frac{1}{16}$ : la suma 2 sale solo con $1 + 1$ , con probabilidad $\frac{1}{4} \cdot P (sacar 1 en el 2.º dado) = \frac{1}{16}$ , luego en el 2.º dado hay un solo 1 y por tanto $a \neq = 1$ .
$P (S = 3) = \frac{2}{16}$ : ya aparece $2 + 1$ con probabilidad $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} = \frac{2}{16}$ ; si fuera $a = 2$ saldría también $1 + 2$ y la probabilidad sería mayor. Luego $a \neq = 2$ .
$P (S = 4) = \frac{3}{16}$ : $3 + 1$ aporta $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$ ; faltan $\frac{2}{16}$ , que solo pueden venir de $1 + a$ con $a = 3$ : $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{16}$ . (Con $a = 4$ no se completa.)

Comprobación con $a = 3$ , $b = 5$ : las sumas $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ tienen probabilidades $\frac{1}{16}, \frac{2}{16}, \frac{3}{16}, \frac{4}{16}, \frac{3}{16}, \frac{2}{16}, \frac{1}{16}$ , las mismas que las del par amarillo. Por tanto $a = 3$ .

Resultado: a) $p = \frac{2}{5}$ , $q = \frac{1}{5}$ ; b) $P (X > 2) = \frac{3}{10}$ ; c) $\frac{3}{20}$ ; d) $b = 5$ ; e) $a = 3$

Esperanza, varianza y juegos

Ejercicio 19 BásicoIB · P1 TZ0 Noviembre 2004

Se tira un dado, perfectamente equilibrado, cuyos seis lados presentan los números 1, 1, 2, 3, 4, 5. Halle la media y la varianza de la puntuación.

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Resultado: media $= \frac{8}{3}$ ; varianza $= \frac{20}{9}$

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Valores $1, 1, 2, 3, 4, 5$ , cada cara con probabilidad $\frac{1}{6}$ (el 1 aparece dos veces).

Media: $E (X) = \frac{1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} .$

Varianza: $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ con $E (X^{2}) = \frac{1 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3},$ $Var (X) = \frac{28}{3} - \frac{64}{9} = \frac{84 - 64}{9} = \frac{20}{9} .$

Resultado: media $= \frac{8}{3}$ ; varianza $= \frac{20}{9}$

Ejercicio 20 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2010

Una variable aleatoria discreta $X$ tiene una distribución de probabilidad dada en la siguiente tabla.

$X$	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
$P (X = x)$	0,15	0,21	$p$	$q$	0,13	0,07

a) Si $E (X) = 2, 61$ , determine el valor de $p$ y de $q$ .

b) Calcule $Var (X)$ , con una aproximación de tres cifras significativas.

Ver resultado

Resultado: a) $p = 0, 29$ ; $q = 0, 15$ ; b) $Var (X) \approx 2, 10$

Ver proceso y resultado

a) La suma de las probabilidades vale 1: $0, 15 + 0, 21 + p + q + 0, 13 + 0, 07 = 1$ , luego $p + q = 0, 44$ .

La esperanza es $E (X) = \sum x P (X = x)$ : $0, 5 \cdot 0, 15 + 1, 5 \cdot 0, 21 + 2, 5 p + 3, 5 q + 4, 5 \cdot 0, 13 + 5, 5 \cdot 0, 07 = 2, 61.$ Los términos conocidos suman $0, 075 + 0, 315 + 0, 585 + 0, 385 = 1, 36$ , así que $2, 5 p + 3, 5 q = 1, 25$ .

Sustituyendo $q = 0, 44 - p$ : $2, 5 p + 1, 54 - 3, 5 p = 1, 25$ , de donde $p = 0, 29$ y $q = 0, 15$ .

b) $E (X^{2}) = 0, 25 \cdot 0, 15 + 2, 25 \cdot 0, 21 + 6, 25 \cdot 0, 29 + 12, 25 \cdot 0, 15 + 20, 25 \cdot 0, 13 + 30, 25 \cdot 0, 07 = 8, 91$ .

$Var (X) = 8, 91 - 2, 6 1^{2} = 2, 0979 \approx 2, 10.$

Resultado: a) $p = 0, 29$ ; $q = 0, 15$ ; b) $Var (X) \approx 2, 10$

Ejercicio 21 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2008

John le quita la etiqueta a tres latas de sopa de tomate y a dos latas de sopa de pollo para participar en un sorteo, y guarda las latas. En ese momento, se da cuenta de que las latas son idénticas, por lo que no es posible distinguir las latas de sopa de tomate de las de sopa de pollo. Unas semanas más tarde, decide almorzar sopa de pollo. Abre las latas al azar, hasta abrir una lata de pollo. Sea $Y$ el número de latas que abre. Halle:

a) los posibles valores de $Y$ .

b) la probabilidad de cada uno de estos valores de $Y$ .

c) el valor esperado de $Y$ .

Ver resultado

Resultado: a) $y = 1, 2, 3, 4$ ; b) $P (Y = 1) = \frac{2}{5}$ , $P (Y = 2) = \frac{3}{10}$ , $P (Y = 3) = \frac{1}{5}$ , $P (Y = 4) = \frac{1}{10}$ ; c) $E (Y) = 2$

Ver proceso y resultado

Hay 5 latas: 3 de tomate (T) y 2 de pollo (P). Se abren al azar, sin reposición, hasta que sale una de pollo.

a) Lo más pronto, la primera lata es de pollo ( $Y = 1$ ). Lo más tarde, salen las 3 de tomate antes que la primera de pollo ( $Y = 4$ ). Por tanto $Y = 1, 2, 3, 4$ .

b) Se multiplican las probabilidades de cada secuencia:

$P (Y = 1) = \frac{2}{5}$ .
$P (Y = 2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ .
$P (Y = 3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$ .
$P (Y = 4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{10}$ .

La suma es $\frac{4 + 3 + 2 + 1}{10} = 1$ .

c) $E (Y) = 1 \cdot \frac{4}{10} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{2}{10} + 4 \cdot \frac{1}{10} = \frac{4 + 6 + 6 + 4}{10} = 2.$

Resultado: a) $y = 1, 2, 3, 4$ ; b) $P (Y = 1) = \frac{2}{5}$ , $P (Y = 2) = \frac{3}{10}$ , $P (Y = 3) = \frac{1}{5}$ , $P (Y = 4) = \frac{1}{10}$ ; c) $E (Y) = 2$

Ejercicio 22 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2016

Una variable aleatoria $X$ tiene la distribución de probabilidad que se muestra en la siguiente tabla.

$x$	0,5	1,5	2,5	3,5	4,5	5,5
$P (X = x)$	0,12	0,18	0,20	0,28	0,14	0,08

a) Determine el valor de $E (X^{2})$ .

b) Halle el valor de $Var (X)$ .

Ver resultado

Resultado: a) $E (X^{2}) = 10, 37$ ; b) $Var (X) \approx 2, 08$

Ver proceso y resultado

a) $E (X^{2}) = \sum x^{2} P (X = x)$ : $0, 25 \cdot 0, 12 + 2, 25 \cdot 0, 18 + 6, 25 \cdot 0, 20 + 12, 25 \cdot 0, 28 + 20, 25 \cdot 0, 14 + 30, 25 \cdot 0, 08$ $= 0, 03 + 0, 405 + 1, 25 + 3, 43 + 2, 835 + 2, 42 = 10, 37.$

b) Primero $E (X) = 0, 06 + 0, 27 + 0, 5 + 0, 98 + 0, 63 + 0, 44 = 2, 88$ . Entonces $Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 10, 37 - 2, 8 8^{2} = 10, 37 - 8, 2944 = 2, 0756 \approx 2, 08.$

Resultado: a) $E (X^{2}) = 10, 37$ ; b) $Var (X) \approx 2, 08$

Ejercicio 23 MedioIB · P1 Mayo 1998

Cuando se tira un dado sesgado, los números del 1 al 6 aparecen de acuerdo con la siguiente distribución de probabilidad.

Número en la cara superior del dado	1	2	3	4	5	6
Probabilidad	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

Si $X$ es la variable aleatoria que toma los valores 1 a 6 según la tabla anterior, encuentre los valores exactos de $E (X)$ y $Var (X)$ .

Ver resultado

Resultado: $E (X) = \frac{10}{3}$ ; $Var (X) = \frac{26}{9}$

Ver proceso y resultado

$E (X) = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 1 \cdot 6}{9} = \frac{2 + 2 + 6 + 4 + 10 + 6}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} .$

$E (X^{2}) = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 + 2 \cdot 9 + 1 \cdot 16 + 2 \cdot 25 + 1 \cdot 36}{9} = \frac{2 + 4 + 18 + 16 + 50 + 36}{9} = \frac{126}{9} = 14.$

$Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 14 - \frac{100}{9} = \frac{26}{9} .$

Resultado: $E (X) = \frac{10}{3}$ ; $Var (X) = \frac{26}{9}$

Ejercicio 24 MedioIB · P1 Mayo 1999

Un dado sesgado con cuatro caras se utiliza en un juego. Un jugador paga 10 contadores para tirar el dado. La siguiente tabla muestra las posibles puntuaciones en el dado, la probabilidad de cada puntuación y el número de contadores que el jugador recibe a cambio de cada puntuación.

Puntuación	1	2	3	4
Probabilidad	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$
Número de contadores que el jugador recibe	4	5	15	$n$

Encuentre el valor de $n$ para que el jugador obtenga un retorno esperado de 9 contadores por tirada.

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Resultado: $n = 30$

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El retorno esperado es el número medio de contadores que se reciben: $E = 4 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{5} + 15 \cdot \frac{1}{5} + n \cdot \frac{1}{10} = 2 + 1 + 3 + \frac{n}{10} = 6 + \frac{n}{10} .$ Igualando a 9: $6 + \frac{n}{10} = 9 \Rightarrow n = 30.$

Resultado: $n = 30$

Ejercicio 25 MedioIB · P1 TZ0 Noviembre 2013

La variable aleatoria discreta $X$ tiene la siguiente distribución de probabilidad:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$a$

a) Halle el valor de $a$ .

b) Halle $E (X)$ .

c) Halle $Var (X)$ .

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Resultado: a) $a = \frac{1}{30}$ ; b) $E (X) = \frac{6}{5}$ ; c) $Var (X) = \frac{14}{25}$

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a) $\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} + a = 1$ , es decir, $\frac{5 + 15 + 9}{30} + a = 1$ , de modo que $a = \frac{1}{30}$ .

b) $E (X) = 0 + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{6}{5} .$

c) $E (X^{2}) = \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{3}{10} + 9 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{6}{5} + \frac{3}{10} = 2$ , luego $Var (X) = 2 - (\frac{6}{5})^{2} = 2 - \frac{36}{25} = \frac{14}{25} .$

Resultado: a) $a = \frac{1}{30}$ ; b) $E (X) = \frac{6}{5}$ ; c) $Var (X) = \frac{14}{25}$

Ejercicio 26 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2005

En un juego un jugador paga una cuota de entrada de $ $n$ . Entonces elige un número de entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 y lanza tres dados estándar. Si el número que eligió aparece en los tres dados, gana tres veces su cuota de entrada. Si el número aparece en exactamente dos de los dados, gana dos veces su cuota de entrada. Si el número aparece en exactamente uno de los dados, gana su cuota de entrada. Si el número no aparece en ninguno de los dados, no gana nada.

a) Copie y complete la tabla de probabilidad que aparece debajo.

Ganancia ($)	$- n$	$n$	$2 n$	$3 n$
Probabilidad		$\frac{75}{216}$

b) Compruebe que la ganancia esperada es $ $(- \frac{17 n}{216})$ .

c) ¿Cuál debería ser la cuota de entrada para que la pérdida del jugador en cada juego fuera de 34 centavos?

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Resultado: a) $\frac{125}{216}$ , $\frac{75}{216}$ , $\frac{15}{216}$ , $\frac{1}{216}$ ; b) $- \frac{17 n}{216}$ ; c) $n = 4, 32$ $

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Sea $G$ la ganancia. Probabilidades de que el número elegido salga en $k$ de los tres dados: $(\frac{1}{6})^{k} (\frac{5}{6})^{3 - k} (k 3)$ .

a) - Ninguno ( $- n$ ): $(\frac{5}{6})^{3} = \frac{125}{216}$ .

Uno ( $n$ ): $3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{2} = \frac{75}{216}$ (dato).
Dos ( $2 n$ ): $3 \cdot (\frac{1}{6})^{2} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$ .
Tres ( $3 n$ ): $(\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{216}$ .

Ganancia ($)	$- n$	$n$	$2 n$	$3 n$
Probabilidad	$\frac{125}{216}$	$\frac{75}{216}$	$\frac{15}{216}$	$\frac{1}{216}$

b) $E (G) = \frac{- 125 n + 75 n + 30 n + 3 n}{216} = \frac{- 17 n}{216} .$

c) La pérdida es 34 centavos, es decir, $0, 34$ dólares: $\frac{17 n}{216} = 0, 34 \Rightarrow n = \frac{0 , 34 \cdot 216}{17} = 4, 32.$

Resultado: a) $\frac{125}{216}$ , $\frac{75}{216}$ , $\frac{15}{216}$ , $\frac{1}{216}$ ; b) $- \frac{17 n}{216}$ ; c) $n = 4, 32$ $

Distribución binomial: probabilidades

Ejercicio 27 BásicoIB · P2 TZ2 Mayo 2014

Seis clientes hacen cola en un supermercado. Cada cliente puede elegir si paga en efectivo o con tarjeta de crédito. Suponga que el que un cliente pague o no con tarjeta de crédito es independiente del método de pago elegido por otros clientes. Se sabe que el $60 %$ de los clientes eligen pagar con tarjeta de crédito. Halle la probabilidad de que:

(i) los tres primeros clientes paguen con tarjeta de crédito y los siguientes tres paguen en efectivo.

(ii) de los seis clientes, exactamente tres paguen con tarjeta de crédito.

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Resultado: i) $0, 0138$ ; ii) $0, 276$

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Sea $T$ el número de clientes que pagan con tarjeta entre los 6: $T \sim B (6; 0, 6)$ .

(i) Es una secuencia concreta (TTT EEE), con independencia entre clientes: $0, 6^{3} \cdot 0, 4^{3} = 0, 013824 \approx 0, 0138.$

(ii) Exactamente tres con tarjeta, en cualquier orden: hay $(3 6) = 20$ secuencias, cada una con probabilidad $0, 6^{3} \cdot 0, 4^{3}$ : $P (T = 3) = (3 6) 0, 6^{3} 0, 4^{3} = 0, 27648 \approx 0, 276.$

Resultado: i) $0, 0138$ ; ii) $0, 276$

Ejercicio 28 BásicoIB · P1 Mayo 1997

Si el 30% de los estudiantes de un colegio no se gradúan, calcule la probabilidad de que de 6 estudiantes universitarios seleccionados al azar, exactamente 4 de ellos se gradúen.

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Resultado: $P (X = 4) \approx 0, 324$

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Si el 30 % no se gradúa, el 70 % sí se gradúa. Sea $X$ el número de graduados entre 6: $X \sim B (6; 0, 7)$ . $P (X = 4) = (4 6) 0, 7^{4} 0, 3^{2} = 15 \cdot 0, 2401 \cdot 0, 09 = 0, 324135 \approx 0, 324.$

Resultado: $P (X = 4) \approx 0, 324$

Ejercicio 29 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2010

Una moneda no equilibrada está trucada, de tal modo que la probabilidad de que salga cara es $\frac{4}{7}$ . Se lanza al aire 6 veces, y $X$ representa el número de veces que sale cara. Halle el valor de la razón $\frac{P ( X = 3 )}{P ( X = 2 )} .$

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Resultado: $\frac{P ( X = 3 )}{P ( X = 2 )} = \frac{16}{9}$

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$X \sim B (6, \frac{4}{7})$ , así que $P (X = k) = (k 6) (\frac{4}{7})^{k} (\frac{3}{7})^{6 - k}$ .

$\frac{P ( X = 3 )}{P ( X = 2 )} = \frac{( 3 6 ) ( \frac{4}{7} ) ^{3} ( \frac{3}{7} ) ^{3}}{( 2 6 ) ( \frac{4}{7} ) ^{2} ( \frac{3}{7} ) ^{4}} = \frac{20}{15} \cdot \frac{4/7}{3/7} = \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{9} .$

Resultado: $\frac{P ( X = 3 )}{P ( X = 2 )} = \frac{16}{9}$

Ejercicio 30 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2008

A lo largo de un periodo de un mes, Ava y Sven juegan un total de $n$ partidos de tenis. La probabilidad de que Ava gane un partido es igual a $0, 4$ . El resultado de cada partido jugado es independiente de cualquier otro partido jugado. Sea $X$ el número de partidos que ha ganado Ava a lo largo de un periodo de un mes.

a) Halle una expresión para $P (X = 2)$ en función de $n$ .

b) Si la probabilidad de que Ava gane dos partidos es igual a $0, 121$ redondeando a tres cifras decimales, halle el valor de $n$ .

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Resultado: a) $P (X = 2) = (2 n) 0, 4^{2} 0, 6^{n - 2}$ ; b) $n = 10$

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a) $X \sim B (n; 0, 4)$ , luego $P (X = 2) = (2 n) 0, 4^{2} 0, 6^{n - 2} .$

b) Hay que resolver $(2 n) 0, 4^{2} 0, 6^{n - 2} = 0, 121$ . Con la CPG (distribución binomial, probabilidad puntual) se prueban valores de $n$ :

$n$	8	9	10	11
$P (X = 2)$	$0, 209$	$0, 161$	$0, 121$	$0, 089$

Solo $n = 10$ da $0, 121$ (más precisamente $0, 12093$ ).

Resultado: a) $P (X = 2) = (2 n) 0, 4^{2} 0, 6^{n - 2}$ ; b) $n = 10$

Ejercicio 31 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2016

Una moneda no equilibrada se lanza al aire cinco veces. En cada lanzamiento la probabilidad de que salga cara es igual a $p$ . Sea $X$ el número de veces que sale cara.

a) Halle, en función de $p$ , una expresión para $P (X = 4)$ .

b) i) Determine el valor de $p$ para el cual $P (X = 4)$ alcanza un valor máximo.

(ii) Para este valor de $p$ , determine el número esperado de veces que sale cara.

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Resultado: a) $P (X = 4) = 5 p^{4} (1 - p)$ ; b) i) $p = \frac{4}{5}$ ; ii) $E (X) = 4$

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a) $X \sim B (5, p)$ : $P (X = 4) = (4 5) p^{4} (1 - p) = 5 p^{4} (1 - p) .$

b) (i) Sea $f (p) = 5 p^{4} - 5 p^{5}$ . Se deriva: $f^{'} (p) = 20 p^{3} - 25 p^{4} = 5 p^{3} (4 - 5 p)$ . $f^{'} (p) = 0$ con $0 < p < 1$ da $p = \frac{4}{5}$ . Para $p < \frac{4}{5}$ se cumple $f^{'} > 0$ y para $p > \frac{4}{5}$ , $f^{'} < 0$ , así que es un máximo.

(ii) Con $p = \frac{4}{5}$ : $E (X) = 5 \cdot \frac{4}{5} = 4$ .

Resultado: a) $P (X = 4) = 5 p^{4} (1 - p)$ ; b) i) $p = \frac{4}{5}$ ; ii) $E (X) = 4$

Ejercicio 32 MedioIB · P1 Mayo 2002

Cuando Juan arroja una piedra contra un blanco, la probabilidad de que acierte en el blanco es de $0, 4$ . Juan arroja una piedra 6 veces.

a) Halle la probabilidad de que acierte en el blanco exactamente 4 veces.

b) Halle la probabilidad de que acierte por primera vez en el blanco la tercera vez que arroja una piedra.

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Resultado: a) $0, 138$ ; b) $0, 144$

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a) Sea $X \sim B (6; 0, 4)$ : $P (X = 4) = (4 6) 0, 4^{4} 0, 6^{2} = 15 \cdot 0, 0256 \cdot 0, 36 \approx 0, 138.$

b) Dos fallos y luego un acierto: $P = 0, 6 \cdot 0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 144.$

Resultado: a) $0, 138$ ; b) $0, 144$

Ejercicio 33 MedioIB · P2 TZ1 Mayo 2015

Se va a crear un mosaico seleccionando al azar 1000 pequeños azulejos, cada uno de los cuales es negro o blanco. La probabilidad de que un mosaico sea blanco es $0, 1$ . Sea la variable aleatoria $W$ el número de azulejos blancos.

a) Calcule la distribución de $W$ , incluyendo los valores de cualquier parámetro.

b) Anote la media de $W$ .

c) Halle $P (W > 89)$ .

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Resultado: a) $W \sim B (1000; 0, 1)$ , $P (W = x) = (x 1000) 0, 1^{x} 0, 9^{1000 - x}$ ; b) $E (W) = 100$ ; c) $P (W > 89) = 0, 867$

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a) Cada azulejo es blanco con probabilidad $0, 1$ , de forma independiente, y hay $n = 1000$ azulejos: $W \sim B (1000; 0, 1), P (W = x) = (x 1000) 0, 1^{x} 0, 9^{1000 - x}, x = 0, 1, \dots, 1000.$

b) $E (W) = n p = 1000 \cdot 0, 1 = 100$ .

c) Con la CPG (distribución binomial): $P (W > 89) = 1 - P (W \leq 89) \approx 0, 867.$

Resultado: a) $W \sim B (1000; 0, 1)$ , $P (W = x) = (x 1000) 0, 1^{x} 0, 9^{1000 - x}$ ; b) $E (W) = 100$ ; c) $P (W > 89) = 0, 867$

Ejercicio 34 MedioIB · P1 Noviembre 2003

En un canal de televisión emiten las noticias a la misma hora todos los días. La probabilidad de que Alicia vea las noticias un día determinado es $0, 4$ ; calcule la probabilidad de que en cinco días consecutivos, vea las noticias tres días como máximo.

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Resultado: $P (X \leq 3) = 0, 913$

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Sea $X \sim B (5; 0, 4)$ el número de días que ve las noticias. «Tres días como máximo» es el complementario de «cuatro o cinco días»: $P (X \leq 3) = 1 - P (X = 4) - P (X = 5) = 1 - 5 \cdot 0, 4^{4} \cdot 0, 6 - 0, 4^{5} .$ $= 1 - 0, 0768 - 0, 01024 = 0, 91296 \approx 0, 913.$

Resultado: $P (X \leq 3) = 0, 913$

Ejercicio 35 MedioIB · P1 Mayo 2003

Cuando un muchacho juega a un juego de feria, la probabilidad de que gane un premio es de $0, 25$ . Juega al juego 10 veces. Sea $X$ el número total de premios que gana. Suponiendo que los juegos son independientes, halle

a) $E (X)$ .

b) $P (X \leq 2)$ .

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Resultado: a) $E (X) = 2, 5$ ; b) $P (X \leq 2) = 0, 526$

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$X \sim B (10; 0, 25)$ .

a) $E (X) = n p = 10 \cdot 0, 25 = 2, 5$ .

b) $P (X \leq 2) = P (0) + P (1) + P (2)$ : $0, 7 5^{10} + 10 \cdot 0, 25 \cdot 0, 7 5^{9} + 45 \cdot 0, 2 5^{2} \cdot 0, 7 5^{8} \approx 0, 0563 + 0, 1877 + 0, 2816 \approx 0, 526.$

Resultado: a) $E (X) = 2, 5$ ; b) $P (X \leq 2) = 0, 526$

Ejercicio 36 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2004

Marian dispara diez flechas en un blanco. Cada flecha tiene probabilidad $0, 4$ de golpear el objetivo, independientemente de todas las demás flechas. Sea $X$ el número de estas flechas que golpean al objetivo.

a) Halle la media y la desviación típica de $X$ .

b) Calcule $P (X \geq 2)$ .

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Resultado: a) media $= 4$ , $σ = 2, 4 \approx 1, 55$ ; b) $P (X \geq 2) = 0, 954$

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$X \sim B (10; 0, 4)$ .

a) Media: $n p = 4$ . Varianza: $n pq = 10 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6 = 2, 4$ , luego la desviación típica es $2, 4 \approx 1, 55$ .

b) Por el complementario: $P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - 0, 6^{10} - 10 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6^{9} \approx 1 - 0, 00605 - 0, 0403 \approx 0, 954.$

Resultado: a) media $= 4$ , $σ = 2, 4 \approx 1, 55$ ; b) $P (X \geq 2) = 0, 954$

Ejercicio 37 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2005

En un examen de 20 preguntas de opción múltiple cada pregunta tiene cuatro respuestas posibles, sólo una de las cuales es correcta. Robert anota al azar la respuesta a cada pregunta.

a) Encuentre su número esperado de respuestas correctas.

b) Encuentre la probabilidad de que Robert obtenga este número esperado de respuestas correctas.

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Resultado: a) $5$ ; b) $P (X = 5) = 0, 202$

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$X \sim B (20; \frac{1}{4})$ es el número de respuestas correctas.

a) $E (X) = n p = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5$ .

b) $P (X = 5) = (5 20) (\frac{1}{4})^{5} (\frac{3}{4})^{15} = 15504 \cdot \frac{3 ^{15}}{4 ^{20}} \approx 0, 202.$

Resultado: a) $5$ ; b) $P (X = 5) = 0, 202$

Ejercicio 38 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2006

Una bolsa contiene un gran número de cintas de colores. Una cuarta parte de las cintas son amarillas, y el resto son azules. Se extraen al azar diez cintas de la bolsa.

a) Halle el número esperado de cintas amarillas extraídas.

b) Halle la probabilidad de que exactamente seis de estas cintas sean amarillas.

c) Halle la probabilidad de que al menos dos de estas cintas sean amarillas.

d) Halle el número más probable de cintas amarillas extraídas.

e) ¿Qué suposición ha hecho respecto de la probabilidad de extraer una cinta amarilla?

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Resultado: a) $2, 5$ ; b) $0, 0162$ ; c) $0, 756$ ; d) $2$ ; e) probabilidad constante $\frac{1}{4}$ en cada extracción (extracciones independientes)

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Como hay un gran número de cintas, $X \sim B (10; \frac{1}{4})$ .

a) $E (X) = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2, 5$ .

b) Con la CPG (distribución binomial): $P (X = 6) = (6 10) (\frac{1}{4})^{6} (\frac{3}{4})^{4} \approx 0, 0162.$

c) $P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) = 1 - 0, 0563 - 0, 1877 \approx 0, 756.$

d) Se busca el valor de $x$ con mayor probabilidad (con la CPG): $P (0) = 0, 0563$ , $P (1) = 0, 188$ , $P (2) = 0, 282$ , $P (3) = 0, 250$ , $P (4) = 0, 146$ , y a partir de ahí decrece. El más probable es $x = 2$ .

e) Se supone que la probabilidad de extraer una cinta amarilla es siempre $\frac{1}{4}$ y que las extracciones son independientes. Esto es razonable porque la bolsa tiene muchas cintas y al sacar diez la proporción de amarillas apenas cambia.

Resultado: a) $2, 5$ ; b) $0, 0162$ ; c) $0, 756$ ; d) $2$ ; e) probabilidad constante $\frac{1}{4}$ en cada extracción (extracciones independientes)

Ejercicio 39 MedioIB · P1 TZ2 Mayo 2007

Un examen de biología consta de siete preguntas de opción múltiple. Cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Para aprobar el examen hace falta responder exactamente al menos cuatro preguntas. Juan no sabe las respuestas, por lo tanto, para cada pregunta elige una respuesta al azar.

a) Halle la probabilidad de que Juan responda exactamente cuatro preguntas en forma correcta.

b) Halle la probabilidad de que Juan apruebe el examen de biología.

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Resultado: a) $0, 0287$ ; b) $0, 0333$

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Sea $X \sim B (7; \frac{1}{5})$ el número de respuestas correctas al azar. Aprobar es acertar al menos cuatro.

a) $P (X = 4) = (4 7) (\frac{1}{5})^{4} (\frac{4}{5})^{3} = 35 \cdot \frac{64}{78125} = \frac{448}{15625} \approx 0, 0287.$

b) $P (X \geq 4) = P (4) + P (5) + P (6) + P (7) .$ Con $P (5) = 21 \cdot \frac{16}{78125}$ , $P (6) = 7 \cdot \frac{4}{78125}$ y $P (7) = \frac{1}{78125}$ : $P (X \geq 4) = \frac{2240 + 336 + 28 + 1}{78125} = \frac{2605}{78125} = \frac{521}{15625} \approx 0, 0333.$

Resultado: a) $0, 0287$ ; b) $0, 0333$

Ejercicio 40 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2011

La probabilidad de que el tren de las 08:00 llegue con retraso un día laborable (de lunes a viernes) es igual a $\frac{1}{10}$ . Suponiendo que los retrasos suceden de manera independiente unos de otros,

a) halle la probabilidad de que, a lo largo de un periodo de cinco días laborables, el tren de las 08:00 llegue con retraso exactamente dos veces.

b) halle el número mínimo de días laborables para el cual la probabilidad de que el tren de las 08:00 llegue con retraso al menos en una ocasión es superior al $90 %$ .

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Resultado: a) $0, 0729$ ; b) $n = 22$ días

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a) $X \sim B (5; 0, 1)$ : $P (X = 2) = (2 5) 0, 1^{2} 0, 9^{3} = 10 \cdot 0, 01 \cdot 0, 729 = 0, 0729.$

b) Con $n$ días, $P (al menos un retraso) = 1 - 0, 9^{n} > 0, 9$ , es decir $0, 9^{n} < 0, 1$ . Con la CPG (o tomando logaritmos): $n > \frac{ln 0 , 1}{ln 0 , 9} \approx 21, 85.$ Comprobación: $0, 9^{21} \approx 0, 109 > 0, 1$ y $0, 9^{22} \approx 0, 098 < 0, 1$ . El mínimo es $n = 22$ .

Resultado: a) $0, 0729$ ; b) $n = 22$ días

Ejercicio 41 MedioIB · P2 TZ0 Mayo 2006

Andrew dispara 20 flechas a un blanco. Tiene una probabilidad de dar en el blanco de $0, 3$ . Todos los disparos son independientes entre sí. Sea $X$ el número de flechas que dan en el blanco.

a) Halle la media y la desviación típica de $X$ .

b) Halle

(i) $P (X = 5)$ .

(ii) $P (4 \leq X \leq 8)$ .

Bill también dispara flechas a un blanco, con una probabilidad de dar en el blanco de $0, 3$ . Todos los disparos son independientes.

c) Calcule la probabilidad de que Bill dé en el blanco por primera vez en su tercer disparo.

d) Calcule el número mínimo de disparos necesarios para que la probabilidad de que al menos un disparo dé en el blanco sea superior a $0, 99$ .

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Resultado: a) media $= 6$ , $σ \approx 2, 05$ ; b) i) $0, 179$ ; ii) $0, 780$ ; c) $0, 147$ ; d) $n = 13$

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$X \sim B (20; 0, 3)$ .

a) Media: $n p = 6$ . Desviación típica: $n pq = 20 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 = 4, 2 \approx 2, 05$ .

b) Con la CPG (distribución binomial):

(i) $P (X = 5) = (5 20) 0, 3^{5} 0, 7^{15} \approx 0, 179$ .

(ii) $P (4 \leq X \leq 8) = P (X \leq 8) - P (X \leq 3) \approx 0, 780$ .

c) Dos fallos y un acierto: $0, 7 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 147$ .

d) Con $n$ disparos, $P (al menos un acierto) = 1 - 0, 7^{n} > 0, 99$ , es decir $0, 7^{n} < 0, 01$ . Con la CPG: $0, 7^{12} \approx 0, 0138 > 0, 01$ y $0, 7^{13} \approx 0, 0097 < 0, 01$ . El mínimo es $n = 13$ disparos.

Resultado: a) media $= 6$ , $σ \approx 2, 05$ ; b) i) $0, 179$ ; ii) $0, 780$ ; c) $0, 147$ ; d) $n = 13$

Ejercicio 42 MedioIB · P2 TZ0 Noviembre 2021

En una fábrica se hacen lámparas. Se sabe que la probabilidad de que una lámpara sea defectuosa es $0, 05$ . Se elige una muestra aleatoria de 30 lámparas.

a) Encuentre la probabilidad de que haya al menos una lámpara defectuosa en la muestra.

b) Sabiendo que hay al menos una lámpara defectuosa en la muestra, encuentre la probabilidad de que haya como máximo dos lámparas defectuosas.

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Resultado: a) $0, 785$ ; b) $0, 761$

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$X \sim B (30; 0, 05)$ es el número de lámparas defectuosas.

a) $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - 0, 9 5^{30} \approx 0, 785.$

b) Probabilidad condicionada: $P (X \leq 2 ∣ X \geq 1) = \frac{P ( X = 1 ) + P ( X = 2 )}{P ( X \geq 1 )} .$ Con la CPG (distribución binomial): $P (X = 1) \approx 0, 3389$ y $P (X = 2) \approx 0, 2586$ , luego $P = \frac{0 , 3389 + 0 , 2586}{0 , 7854} \approx 0, 761.$

Resultado: a) $0, 785$ ; b) $0, 761$

Ejercicio 43 DifícilIB · P1 Mayo 1996

¿Cuántas veces debe arrojarse un par de dados para que haya la mayor probabilidad de obtener un doble, es decir, el mismo número en ambos dados?

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Resultado: 5 o 6 lanzamientos (ambos dan la máxima probabilidad, $\approx 0, 402$ )

Ver proceso y resultado

Se interpreta como: ¿cuántas veces $n$ hay que lanzar el par de dados para que sea máxima la probabilidad de obtener exactamente un doble?

En un lanzamiento, $P (doble) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ . Sea $X$ el número de dobles en $n$ lanzamientos: $X \sim B (n, \frac{1}{6})$ y $P_{n} = P (X = 1) = n \cdot \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{n - 1} .$

Se compara cada valor con el siguiente: $\frac{P _{n + 1}}{P _{n}} = \frac{n + 1}{n} \cdot \frac{5}{6} .$ Este cociente es mayor que 1 si $n < 5$ , igual a 1 si $n = 5$ y menor que 1 si $n > 5$ . Así $P_{n}$ crece hasta $n = 5$ , $P_{5} = P_{6}$ y después decrece.

Comprobación: $P_{5} = 5 \cdot \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{4} = \frac{3125}{7776} \approx 0, 402 = P_{6}$ , mayor que $P_{4} \approx 0, 386$ y que $P_{7} \approx 0, 391$ .

Resultado: 5 o 6 lanzamientos (ambos dan la máxima probabilidad, $\approx 0, 402$ )

Ejercicio 44 DifícilIB · P2 Noviembre 1996

(i) Un experimento particular tiene dos posibles resultados: se produce un éxito con probabilidad $p$ , $(0 < p < 1)$ , y un fallo que se produce con probabilidad $1 - p$ . Los resultados de las actuaciones sucesivas de este experimento son independientes.

a) Encuentre el valor de $p$ si la probabilidad de obtener exactamente dos éxitos en seis experimentos es tres veces mayor que la probabilidad de obtener exactamente tres éxitos en seis experimentos.

b) En otro experimento similar, se encontró que el valor de $p$ era $\frac{1}{5}$ . Encuentre el menor número de veces que se debe realizar el experimento para que la probabilidad de obtener al menos un éxito sea mayor que $0, 99$ .

(ii) El seis por ciento ( $6 %$ ) de las bombillas eléctricas producidas en una fábrica dada son defectuosas. El fabricante elige 200 bombillas de una producción de un día.

a) Si $X$ representa el número de bombillas defectuosas encontradas en la muestra, encuentre la media y la desviación estándar de $X$ .

b) Determine la probabilidad de que se encuentren 20 o más bombillas defectuosas en la muestra de 200 bombillas.

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Resultado: i) a) $p = \frac{1}{5}$ ; b) $n = 21$ ; ii) a) $E (X) = 12$ , $σ \approx 3, 36$ ; b) $P (X \geq 20) \approx 0, 0179$

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(i) a) Sea $X \sim B (6, p)$ . La condición es $P (X = 2) = 3 P (X = 3)$ : $(2 6) p^{2} (1 - p)^{4} = 3 (3 6) p^{3} (1 - p)^{3} \Rightarrow 15 (1 - p) = 60 p \Rightarrow 1 - p = 4 p \Rightarrow p = \frac{1}{5} .$

b) Con $p = \frac{1}{5}$ y $n$ repeticiones, $P (al menos un e ˊ xito) = 1 - 0, 8^{n} > 0, 99$ , es decir, $0, 8^{n} < 0, 01$ : $n > \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 8} \approx 20, 6.$ Comprobación: $1 - 0, 8^{20} = 0, 9885 < 0, 99$ y $1 - 0, 8^{21} = 0, 9908 > 0, 99$ . El menor valor es $n = 21$ .

(ii) a) $X \sim B (200; 0, 06)$ : $E (X) = 200 \cdot 0, 06 = 12$ y $σ = 200 \cdot 0, 06 \cdot 0, 94 = 11, 28 \approx 3, 36$ .

b) $P (X \geq 20) = 1 - P (X \leq 19)$ . Con la CPG (distribución binomial, probabilidad acumulada): $P (X \leq 19) \approx 0, 9821$ , luego $P (X \geq 20) \approx 0, 0179 \approx 0, 018$ .

Resultado: i) a) $p = \frac{1}{5}$ ; b) $n = 21$ ; ii) a) $E (X) = 12$ , $σ \approx 3, 36$ ; b) $P (X \geq 20) \approx 0, 0179$

Ejercicio 45 DifícilIB · P1 TZ0 Noviembre 2017

Chloe y Selena juegan a un juego donde cada una tiene cuatro cartas que muestran las letras mayúsculas A, B, C y D. Chloe pone sus cartas boca arriba sobre la mesa en orden A, B, C y D como se muestra en el siguiente diagrama.

Dos filas de cuatro cartas alineadas: la fila de Chloe, con las cartas boca arriba A, B, C y D de izquierda a derecha, y debajo la fila de Selena, con cuatro cartas iguales boca abajo (rayadas)

Selena baraja sus cartas y las deja boca abajo sobre la mesa. Luego gira una a una para ver si su carta coincide con la carta de Chloe directamente arriba.

Chloe gana si no hay coincidencias; de lo contrario, Selena gana.

a) Muestre que la probabilidad de que Chloe gane el juego es $\frac{3}{8}$ .

Chloe y Selena repiten su juego para que jueguen un total de 50 veces. Supongamos que $X$ es la variable aleatoria discreta que representa el número de veces que Chloe gana.

b) Determine

(i) la media de $X$ ;

(ii) la varianza de $X$ .

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Resultado: a) $\frac{3}{8}$ ; b) i) $E (X) = \frac{75}{4}$ ; ii) $Var (X) = \frac{375}{32}$

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a) Las cartas de Selena pueden ordenarse de $4! = 24$ maneras igual de probables. Chloe gana cuando ninguna carta coincide con la de arriba (ordenaciones sin puntos fijos). Por inclusión-exclusión: $4! - (1 4) 3! + (2 4) 2! - (3 4) 1! + (4 4) 0! = 24 - 24 + 12 - 4 + 1 = 9.$ Luego $P (Chloe gana) = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ .

b) $X \sim B (50, \frac{3}{8})$ .

(i) $E (X) = 50 \cdot \frac{3}{8} = \frac{75}{4} = 18, 75$ .

(ii) $Var (X) = 50 \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{750}{64} = \frac{375}{32} \approx 11, 7$ .

Resultado: a) $\frac{3}{8}$ ; b) i) $E (X) = \frac{75}{4}$ ; ii) $Var (X) = \frac{375}{32}$

Ejercicio 46 DifícilIB · P1 Mayo 2001

$X$ es una variable aleatoria binomial donde el número de ensayos es 5 y la probabilidad de éxito en cada ensayo es $p$ . Calcule los valores de $p$ si $P (X = 4) = 0, 12$ .

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Resultado: $p \approx 0, 459$ o $p \approx 0, 973$

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Para $X \sim B (5, p)$ : $P (X = 4) = 5 p^{4} (1 - p)$ . Hay que resolver $5 p^{4} (1 - p) = 0, 12, 0 < p < 1.$ Con la CPG se representa $y = 5 x^{4} (1 - x)$ y la recta $y = 0, 12$ y se buscan las intersecciones (la curva sube hasta $x = 0, 8$ y baja después, así que hay dos): $p \approx 0, 459 o p \approx 0, 973.$

Resultado: $p \approx 0, 459$ o $p \approx 0, 973$

Ejercicio 47 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2016

Seis bolas numeradas 1, 2, 2, 3, 3, 3 se colocan en una bolsa. Las bolas se toman una a una de la bolsa al azar y el número se anota. A lo largo de la pregunta una bola es siempre reemplazada antes de tomar la bola siguiente.

a) Se toma una sola bola de la bolsa. Sea $X$ el valor mostrado en la bola. Calcule $E (X)$ .

b) Se sacan tres bolas de la bolsa. Encuentre la probabilidad de que

(i) la suma de los tres números es 5;

(ii) la mediana de los tres números es 1.

c) Se sacan diez bolas de la bolsa. Encuentre la probabilidad de que menos de cuatro de las bolas sean con el número 2.

d) Encuentre el menor número de bolas que se deben sacar de la bolsa para que la probabilidad de sacar al menos una bola numerada 2 sea mayor de $0, 95$ .

e) Otra bolsa contiene también bolas numeradas 1, 2 ó 3. Se toman ocho bolas de esta bolsa al azar. Se calcula que el número esperado de bolas numeradas 1 es $4, 8$ , y la varianza del número de bolas numeradas 2 es $1, 5$ . Calcule el menor número posible de bolas numeradas 3 en esta bolsa.

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Resultado: a) $E (X) = \frac{7}{3}$ ; b) i) $\frac{7}{72}$ ; ii) $\frac{2}{27}$ ; c) $0, 559$ ; d) $n = 8$ ; e) $3$ bolas

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Probabilidades de cada número: $P (1) = \frac{1}{6}$ , $P (2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $P (3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

a) $E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 + 4 + 9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ .

b) (i) Suma 5 con tres números de ${1, 2, 3}$ : las combinaciones son ${1, 1, 3}$ y ${1, 2, 2}$ .

${1, 1, 3}$ : $3 \cdot (\frac{1}{6})^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{72}$ .
${1, 2, 2}$ : $3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{3})^{2} = \frac{3}{54} = \frac{4}{72}$ .

$P = \frac{3}{72} + \frac{4}{72} = \frac{7}{72} .$

(ii) La mediana de tres números es 1 si al menos dos de ellos son 1. Con $Z$ = número de unos en tres extracciones, $Z \sim B (3, \frac{1}{6})$ : $P (Z \geq 2) = 3 (\frac{1}{6})^{2} \frac{5}{6} + (\frac{1}{6})^{3} = \frac{15}{216} + \frac{1}{216} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} .$

c) Sea $W$ el número de bolas con un 2 en diez extracciones: $W \sim B (10, \frac{1}{3})$ . Con la CPG (distribución binomial, probabilidad acumulada): $P (W < 4) = P (W \leq 3) \approx 0, 559.$

d) Con $n$ extracciones: $P (al menos un 2) = 1 - (\frac{2}{3})^{n} > 0, 95$ . Con la CPG se compara:

$n$	7	8
$1 - (\frac{2}{3})^{n}$	$0, 941$	$0, 961$

El menor valor es $n = 8$ .

e) Sean $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ las proporciones de bolas 1, 2 y 3 en la segunda bolsa; se toman 8 bolas.

Esperanza de unos: $8 p_{1} = 4, 8 \Rightarrow p_{1} = 0, 6$ .
Varianza de doses: $8 p_{2} (1 - p_{2}) = 1, 5 \Rightarrow p_{2} (1 - p_{2}) = 0, 1875 \Rightarrow p_{2} = 0, 25$ o $p_{2} = 0, 75$ . Como $p_{1} + p_{2} \leq 1$ y $p_{1} = 0, 6$ , solo vale $p_{2} = 0, 25$ .
Entonces $p_{3} = 1 - 0, 6 - 0, 25 = 0, 15$ .

Las proporciones $0, 6; 0, 25; 0, 15$ son $\frac{12}{20}, \frac{5}{20}, \frac{3}{20}$ . El número total de bolas debe ser múltiplo de 20, y el menor es 20, con $3$ bolas numeradas 3.

Resultado: a) $E (X) = \frac{7}{3}$ ; b) i) $\frac{7}{72}$ ; ii) $\frac{2}{27}$ ; c) $0, 559$ ; d) $n = 8$ ; e) $3$ bolas

Ejercicio 48 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2014

a) Calcule el término en $x^{5}$ en el desarrollo de $(3 x + A) (2 x + B)^{6}$ .

Mina y Norbert tienen cada uno un dado cúbico justo con las caras etiquetadas 1, 2, 3, 4, 5 y 6; ellos lanzan para decidir si van a comer una galleta. Mina lo lanza sólo una vez y come una galleta si saca cuatro, cinco o seis. Norbert lanza su dado seis veces y cada vez come una galleta si saca un cinco o un seis.

b) Calcule la probabilidad de que se consuman cinco galletas.

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Resultado: a) $720 B^{2} + 192 A B$ ; b) $\frac{4}{81} \approx 0, 0494$

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a) El término en $x^{5}$ sale de dos productos:

$3 x$ por el término en $x^{4}$ de $(2 x + B)^{6}$ : $(4 6) (2 x)^{4} B^{2} = 15 \cdot 16 B^{2} x^{4} = 240 B^{2} x^{4}$ , que da $720 B^{2} x^{5}$ .
$A$ por el término en $x^{5}$ : $(5 6) (2 x)^{5} B = 6 \cdot 32 B x^{5} = 192 B x^{5}$ , que da $192 A B x^{5}$ .

El término es $(720 B^{2} + 192 A B) x^{5}$ .

b) Mina come una galleta con probabilidad $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ (0 o 1 galleta). Norbert come con probabilidad $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ en cada lanzamiento: $N \sim B (6; \frac{1}{3})$ . Hay cinco galletas si:

Mina come y Norbert come 4, o
Mina no come y Norbert come 5.

Con la CPG (distribución binomial): $P (N = 4) = 15 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{4}{9} = \frac{60}{729}, P (N = 5) = 6 \cdot \frac{1}{243} \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{729} .$ $P = \frac{1}{2} \cdot \frac{60}{729} + \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{729} = \frac{36}{729} = \frac{4}{81} \approx 0, 0494.$

Resultado: a) $720 B^{2} + 192 A B$ ; b) $\frac{4}{81} \approx 0, 0494$

Ejercicio 49 DifícilIB · P1 TZ1 Mayo 2013

El sábado, Alfred y Beatrice juegan 6 juegos diferentes entre ellos. En cada juego, uno de los dos gana. La probabilidad de que Alfred gane cualquiera de estos juegos es de $\frac{2}{3}$ .

a) Muestre que la probabilidad de que Alfred gane exactamente 4 de los juegos es de $\frac{80}{243}$ .

b) (i) Explique por qué el número total de resultados posibles para los resultados de los 6 juegos es 64.

(ii) Al desarrollar $(1 + x)^{6}$ y elegir un valor adecuado para $x$ , pruebe que $64 = (0 6) + (1 6) + (2 6) + (3 6) + (4 6) + (5 6) + (6 6) .$

(iii) Indique el significado de esta igualdad en el contexto de los 6 partidos jugados.

c) Al día siguiente, Alfred y Beatrice vuelven a jugar los 6 juegos. Supongamos que la probabilidad de que Alfred gane cualquiera de estos juegos es todavía $\frac{2}{3}$ .

(i) Encuentre una expresión para la probabilidad de que Alfred gane 4 juegos en el primer día y 2 en el segundo día. Dé su respuesta en la forma $(r 6)^{2} (\frac{2}{3})^{s} (\frac{1}{3})^{t}$ , donde hay que buscar los valores de $r$ , $s$ y $t$ .

(ii) Utilizando su respuesta en (c)(i) y 6 expresiones similares, calcule la probabilidad de que Alfred gane un total de 6 partidos durante los dos días como suma de 7 probabilidades.

(iii) Usando lo anterior demuestre que $(6 12) = (0 6)^{2} + (1 6)^{2} + (2 6)^{2} + (3 6)^{2} + (4 6)^{2} + (5 6)^{2} + (6 6)^{2} .$

d) Alfred y Beatrice juegan $n$ juegos. Sea $A$ el número de juegos que Alfred gana. El valor esperado de $A$ puede escribirse como $E (A) = r = 0 \sum n r (r n) \frac{a ^{r}}{b ^{n}} .$

(i) Encuentre los valores de $a$ y $b$ .

(ii) Al derivar el desarrollo de $(1 + x)^{n}$ , pruebe que el número esperado de juegos ganados por Alfred es $\frac{2 n}{3}$ .

Ver resultado

Resultado: a) $\frac{80}{243}$ ; b) (i) $2^{6} = 64$ resultados; (iii) $(k 6)$ cuenta los resultados con exactamente $k$ victorias de Alfred; c) (i) $r = 2$ , $s = 6$ , $t = 6$ ; (ii) $\frac{19712}{177147}$ ; (iii) demostrado; d) (i) $a = 2$ , $b = 3$ ; (ii) $E (A) = \frac{2 n}{3}$

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a) $A \sim B (6; \frac{2}{3})$ : $P (A = 4) = (4 6) (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = 15 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243} .$

b) (i) Cada juego tiene 2 resultados posibles (gana Alfred o gana Beatrice), así que los 6 juegos tienen $2^{6} = 64$ resultados posibles.

(ii) Con $x = 1$ en el desarrollo binomial $(1 + x)^{6} = (0 6) + (1 6) x + \dots + (6 6) x^{6}$ se obtiene $2^{6} = 64 = (0 6) + (1 6) + (2 6) + (3 6) + (4 6) + (5 6) + (6 6)$ .

(iii) El término $(k 6)$ es el número de resultados en los que Alfred gana exactamente $k$ de los 6 juegos; la suma de todos ellos da el total de resultados posibles, 64.

c) (i) Alfred gana 4 el primer día y 2 el segundo, de forma independiente: $(4 6) (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} \cdot (2 6) (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{4} = (2 6)^{2} (\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6},$ usando $(4 6) = (2 6)$ . Es decir, $r = 2$ , $s = 6$ , $t = 6$ .

(ii) Las demás formas de sumar 6 victorias son $(k, 6 - k)$ para $k = 0, \dots, 6$ , cada una con probabilidad $(k 6) (6 - k 6) (\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6} = (k 6)^{2} (\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6}$ . Sumando las 7: $P = [(0 6)^{2} + (1 6)^{2} + \dots + (6 6)^{2}] (\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6} .$ Calculando, la suma entre corchetes es $1 + 36 + 225 + 400 + 225 + 36 + 1 = 924$ y $P = 924 \cdot \frac{64}{531441} = \frac{19712}{177147} .$

(iii) En los dos días Alfred juega 12 juegos, cada uno con probabilidad $\frac{2}{3}$ , y el número de victorias es $B (12; \frac{2}{3})$ . Entonces $P (6 victorias) = (6 12) (\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6} .$ Igualando con el resultado de (ii) y dividiendo entre $(\frac{2}{3})^{6} (\frac{1}{3})^{6}$ : $(6 12) = (0 6)^{2} + (1 6)^{2} + (2 6)^{2} + (3 6)^{2} + (4 6)^{2} + (5 6)^{2} + (6 6)^{2} .$

d) (i) $P (A = r) = (r n) (\frac{2}{3})^{r} (\frac{1}{3})^{n - r} = (r n) \frac{2 ^{r}}{3 ^{n}}$ , luego $a = 2$ y $b = 3$ .

(ii) Derivando $(1 + x)^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (r n) x^{r}$ : $n (1 + x)^{n - 1} = r = 1 \sum n r (r n) x^{r - 1} .$ Multiplicando por $x$ y tomando $x = 2$ : $2 n \cdot 3^{n - 1} = r = 0 \sum n r (r n) 2^{r} .$ Dividiendo entre $3^{n}$ : $E (A) = r = 0 \sum n r (r n) \frac{2 ^{r}}{3 ^{n}} = \frac{2 n \cdot 3 ^{n - 1}}{3 ^{n}} = \frac{2 n}{3} .$

Binomial: esperanza, varianza y hallar n o p

Ejercicio 50 BásicoIB · P1 Noviembre 2001

Una moneda está trucada con probabilidad de obtener cara igual a $\frac{2}{3}$ . La moneda se lanza 1800 veces. Sea $X$ el número de caras obtenidas. Calcule

a) la media de $X$ ;

b) la desviación estándar de $X$ .

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Resultado: a) $E (X) = 1200$ ; b) $σ = 20$

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$X \sim B (1800, \frac{2}{3})$ .

a) $E (X) = n p = 1800 \cdot \frac{2}{3} = 1200$ .

b) $Var (X) = n p (1 - p) = 1800 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = 400$ , luego $σ = 400 = 20$ .

Resultado: a) $E (X) = 1200$ ; b) $σ = 20$

Ejercicio 51 MedioIB · P2 TZ2 Mayo 2013

Sea la variable aleatoria $X \sim B (n, p)$ , de media igual a 4 y varianza igual a 3.

(i) Determine $n$ y $p$ .

(ii) Halle la probabilidad de que en un mismo experimento el resultado sea 1 o 3.

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Resultado: i) $n = 16$ , $p = \frac{1}{4}$ ; ii) $P (X = 1) + P (X = 3) \approx 0, 261$

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(i) Para $X \sim B (n, p)$ : media $n p = 4$ y varianza $n p (1 - p) = 3$ . Dividiendo, $1 - p = \frac{3}{4} \Rightarrow p = \frac{1}{4}, n = \frac{4}{p} = 16.$

(ii) Con $X \sim B (16, \frac{1}{4})$ , «el resultado es 1 o 3» significa $P (X = 1) + P (X = 3)$ : $P (X = 1) = (1 16) \frac{1}{4} (\frac{3}{4})^{15} \approx 0, 0535, P (X = 3) = (3 16) (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4})^{13} \approx 0, 2079.$ $P (X = 1) + P (X = 3) \approx 0, 261.$

Resultado: i) $n = 16$ , $p = \frac{1}{4}$ ; ii) $P (X = 1) + P (X = 3) \approx 0, 261$

Ejercicio 52 MedioIB · P1 TZ1 Mayo 2007

En un experimento, un ensayo se repite $n$ veces. Los ensayos son independientes y la probabilidad $p$ de éxito en cada ensayo es constante. Sea $X$ el número de éxitos en los $n$ ensayos. La media de $X$ es $0, 4$ y la desviación típica es de $0, 6$ .

a) Calcule $p$ .

b) Calcule $n$ .

Ver resultado

Resultado: a) $p = \frac{1}{10}$ ; b) $n = 4$

Ver proceso y resultado

Para una binomial, $E (X) = n p = 0, 4$ y $σ^{2} = n pq = 0, 6^{2} = 0, 36$ .

a) Dividiendo: $q = \frac{n pq}{n p} = \frac{0 , 36}{0 , 4} = 0, 9$ , luego $p = 1 - q = 0, 1$ .

b) De $n p = 0, 4$ con $p = 0, 1$ : $n = \frac{0 , 4}{0 , 1} = 4$ .

Resultado: a) $p = \frac{1}{10}$ ; b) $n = 4$

Ejercicio 53 DifícilIB · P2 TZ2 Mayo 2018

La variable aleatoria $X$ sigue una distribución binomial de parámetro $n$ y $p$ . Se sabe que $E (X) = 3, 5$ .

a) Halle el menor valor posible de $n$ .

Se sabe además que $P (X \leq 1) = 0, 09478$ con una aproximación de 4 cifras significativas.

b) Determine el valor de $n$ y el valor de $p$ .

Ver resultado

Resultado: a) $n = 4$ ; b) $n = 12$ , $p = \frac{7}{24} \approx 0, 292$

Ver proceso y resultado

a) Para una binomial, $E (X) = n p = 3, 5$ , luego $p = \frac{3 , 5}{n}$ . Como $p \leq 1$ , se necesita $n \geq 3, 5$ . El menor entero es $n = 4$ (con $p = 0, 875$ ).

b) Se prueban valores de $n$ con $p = \frac{3 , 5}{n}$ y se calcula $P (X \leq 1)$ con la CPG (distribución binomial, probabilidad acumulada):

$n$	10	11	12	13
$P (X \leq 1)$	$0, 0860$	$0, 0908$	$0, 09478$	$0, 0981$

La probabilidad crece con $n$ y coincide con $0, 09478$ para $n = 12$ , con $p = \frac{3 , 5}{12} = \frac{7}{24} \approx 0, 292$ .

Resultado: a) $n = 4$ ; b) $n = 12$ , $p = \frac{7}{24} \approx 0, 292$

Problemas combinados de contexto

Ejercicio 54 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2019

Un café sirve sándwiches y pasteles. Cada cliente elegirá una de las tres siguientes opciones: comprar sólo un sándwich, comprar sólo un pastel o comprar tanto un sándwich como un pastel. La probabilidad de que un cliente compre un sándwich es de $0, 72$ y la probabilidad de que un cliente compre un pastel es $0, 45$ .

a) Determinar la probabilidad de que un cliente elegido al azar compre

(i) un sándwich y un pastel;

(ii) sólo un sándwich.

En un día normal 200 clientes vienen al café.

b) Encuentre

(i) el número esperado de pasteles vendidos en un día normal;

(ii) la probabilidad de que se vendan más de 100 pasteles en un día normal.

Se sabe que el $46 %$ de los clientes que acuden a la cafetería son hombres, y que el $80 %$ de estos hombres compran un sándwich.

c) (i) Un cliente es seleccionado al azar. Encuentre la probabilidad de que el cliente sea varón y compre un sándwich.

(ii) Una clienta es seleccionada al azar. Encuentre la probabilidad de que compre un sándwich.

Ver resultado

Resultado: a) i) $0, 17$ ; ii) $0, 55$ ; b) i) $90$ ; ii) $0, 0681$ ; c) i) $0, 368$ ; ii) $0, 652$

Ver proceso y resultado

Todos los clientes compran al menos una cosa, luego $P (S \cup C) = 1$ (S = sándwich, C = pastel).

a) (i) $P (S \cup C) = P (S) + P (C) - P (S \cap C)$ , es decir, $1 = 0, 72 + 0, 45 - P (S \cap C)$ . Así $P (S \cap C) = 0, 17.$

(ii) Solo sándwich: $P (S) - P (S \cap C) = 0, 72 - 0, 17 = 0, 55$ .

b) Sea $Y$ el número de pasteles vendidos entre 200 clientes: $Y \sim B (200; 0, 45)$ .

(i) $E (Y) = 200 \cdot 0, 45 = 90$ .

(ii) $P (Y > 100) = P (Y \geq 101)$ . Con la CPG (distribución binomial, probabilidad acumulada) $P (Y \leq 100) \approx 0, 9319$ , luego $P (Y > 100) \approx 0, 0681.$

c) (i) $P (var o ˊ n y s a ˊ ndwich) = 0, 46 \cdot 0, 8 = 0, 368$ .

(ii) Mujeres: $1 - 0, 46 = 0, 54$ . Compran sándwich en total $0, 72$ , de los cuales $0, 368$ son varones, luego $0, 72 - 0, 368 = 0, 352$ son mujeres. $P (S ∣ mujer) = \frac{0 , 352}{0 , 54} \approx 0, 652.$

Resultado: a) i) $0, 17$ ; ii) $0, 55$ ; b) i) $90$ ; ii) $0, 0681$ ; c) i) $0, 368$ ; ii) $0, 652$

Ejercicio 55 DifícilIB · P2 TZ1 Mayo 2018

A cada uno de los $25$ estudiantes en una clase se les pregunta cuántas mascotas tienen. Dos estudiantes tienen tres mascotas y ningún estudiante tiene más de tres mascotas. La media y la desviación típica de la cantidad de mascotas que son propiedad de los estudiantes en la clase son $\frac{18}{25}$ y $\frac{24}{25}$ respectivamente. Encuentre el número de estudiantes en la clase que no tienen una mascota.

Ver resultado

Resultado: $14$ estudiantes sin mascota

Ver proceso y resultado

Sean $n_{0}, n_{1}, n_{2}$ los estudiantes con 0, 1 y 2 mascotas; hay $n_{3} = 2$ con 3 mascotas.

Total: $n_{0} + n_{1} + n_{2} + 2 = 25$ .
Media: $\frac{n _{1} + 2 n _{2} + 3 \cdot 2}{25} = \frac{18}{25}$ , es decir, $n_{1} + 2 n_{2} = 12$ .
Desviación típica: $Var = (\frac{24}{25})^{2} = \frac{576}{625}$ y $E (X^{2}) = Var + μ^{2} = \frac{576 + 324}{625} = \frac{36}{25}$ . Entonces $\frac{n _{1} + 4 n _{2} + 9 \cdot 2}{25} = \frac{36}{25}$ , es decir, $n_{1} + 4 n_{2} = 18$ .

Restando las dos últimas ecuaciones: $2 n_{2} = 6$ , luego $n_{2} = 3$ y $n_{1} = 6$ .

Entonces $n_{0} = 25 - 6 - 3 - 2 = 14$ .

Resultado: $14$ estudiantes sin mascota

Ejercicio 56 DifícilIB · P1 Mayo 1998

Un alumno viaja a la escuela en autobús, tren o taxi. Tira un dado de seis lados para decidir qué método de transporte usar. Si obtiene un 1, 2 o 3 en el dado, viaja en autobús y la probabilidad de llegar tarde a la escuela es del $10 %$ . Si obtiene un 4 o 5 en el dado, viaja en tren y la probabilidad de llegar tarde es del $5 %$ . Si obtiene un 6, viaja en taxi y la probabilidad de llegar tarde es del $2 %$ . El coste de cada método de transporte para un viaje a la escuela es: autobús $0,50; tren $1,80; y taxi $9,00. Esta información se muestra en la tabla a continuación.

Número del dado	Método de transporte	Probabilidad de llegar tarde	Coste
1, 2 o 3	Autobús	$10 %$	$0,50
4 o 5	Tren	$5 %$	$1,80
6	Taxi	$2 %$	$9,00

a) Calcule la probabilidad de que el estudiante llegue tarde a la escuela en un día elegido al azar.

b) En un día elegido al azar, se sabe que el estudiante llegó tarde a la escuela. Encuentre la probabilidad de que haya viajado a la escuela en autobús ese día.

c) En un año, el alumno realiza 180 viajes a la escuela. Encuentre el coste total esperado de estos 180 viajes.

Ver resultado

Resultado: a) $0, 07$ ; b) $\frac{5}{7} \approx 0, 714$ ; c) 423 $

Ver proceso y resultado

Probabilidades del medio de transporte: autobús $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , tren $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , taxi $\frac{1}{6}$ .

a) Por la ley de la probabilidad total: $P (tarde) = \frac{1}{2} \cdot 0, 10 + \frac{1}{3} \cdot 0, 05 + \frac{1}{6} \cdot 0, 02 = 0, 05 + 0, 016 + 0, 003 = 0, 07.$

b) Por el teorema de Bayes: $P (autob u ˊ s ∣ tarde) = \frac{\frac{1}{2} \cdot 0 , 10}{0 , 07} = \frac{0 , 05}{0 , 07} = \frac{5}{7} \approx 0, 714.$

c) Coste esperado de un viaje: $\frac{1}{2} \cdot 0, 50 + \frac{1}{3} \cdot 1, 80 + \frac{1}{6} \cdot 9, 00 = 0, 25 + 0, 60 + 1, 50 = 2, 35 $.$ En 180 viajes: $180 \cdot 2, 35 = 423 $$ .

Resultado: a) $0, 07$ ; b) $\frac{5}{7} \approx 0, 714$ ; c) 423 $

Ejercicio 57 DifícilIB · P2 Noviembre 1998

(i) Un paquete de doce bombillas contiene tres bombillas defectuosas. Dos bombillas se seleccionan al azar del paquete.

a) Demuestre que la probabilidad de que ninguna de estas bombillas sea defectuosa es $\frac{6}{11}$ .

b) Calcule la probabilidad de que exactamente una de las dos primeras bombillas seleccionadas sea defectuosa.

El paquete es aceptado o rechazado de acuerdo con el siguiente proceso. Si ninguna de las dos primeras bombillas seleccionadas es defectuosa, se acepta el paquete. Si las dos primeras bombillas seleccionadas son defectuosas, el paquete se rechaza. Si exactamente una de las dos primeras bombillas seleccionadas es defectuosa, se selecciona una tercera bombilla del paquete. Si se encuentra que esta bombilla es defectuosa, el paquete es rechazado; de lo contrario, se acepta el paquete.

c) Sabiendo que exactamente una de las dos primeras bombillas seleccionadas es defectuosa, calcule la probabilidad de que la tercera bombilla seleccionada no sea defectuosa.

d) Calcule la probabilidad de que el paquete sea finalmente aceptado.

e) Si el paquete es finalmente aceptado, calcule la probabilidad de que una de las dos primeras bombillas seleccionadas era defectuosa.

(ii) Una distribución de probabilidad discreta está definida por $P (X = x) = k x$ , donde $x = 1, 2, 3, \dots, n$ y $k$ es una constante.

a) Muestre que $k = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ .

b) Usando el resultado $\sum_{r = 1}^{n} r^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ , calcule la media de la distribución en función de $n$ .

Ver resultado

Resultado: i) a) $\frac{6}{11}$ ; b) $\frac{9}{22}$ ; c) $\frac{4}{5}$ ; d) $\frac{48}{55}$ ; e) $\frac{3}{8}$ ; ii) a) $k = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ ; b) $E (X) = \frac{2 n + 1}{3}$

Ver proceso y resultado

(i) Hay 12 bombillas: 3 defectuosas y 9 buenas.

a) Sin reposición, las dos son buenas: $\frac{9}{12} \cdot \frac{8}{11} = \frac{72}{132} = \frac{6}{11} .$

b) Exactamente una defectuosa: (defectuosa, buena) o (buena, defectuosa): $2 \cdot \frac{3}{12} \cdot \frac{9}{11} = \frac{54}{132} = \frac{9}{22} .$

c) Si exactamente una de las dos primeras es defectuosa, quedan 10 bombillas, de las cuales 2 son defectuosas y 8 buenas: $P (tercera buena) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} .$

d) Se acepta el paquete si las dos primeras son buenas, o si exactamente una es defectuosa y la tercera es buena: $P = \frac{6}{11} + \frac{9}{22} \cdot \frac{4}{5} = \frac{30}{55} + \frac{18}{55} = \frac{48}{55} .$

e) Probabilidad condicionada: aceptado y una de las dos primeras defectuosa, dividido entre aceptado: $P = \frac{\frac{9}{22} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{48}{55}} = \frac{18/55}{48/55} = \frac{3}{8} .$

(ii) a) La suma de las probabilidades vale 1: $x = 1 \sum n k x = k \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = 1 \Rightarrow k = \frac{2}{n ( n + 1 )} .$

b) La media es $E (X) = x = 1 \sum n x \cdot k x = k x = 1 \sum n x^{2} = \frac{2}{n ( n + 1 )} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{2 n + 1}{3} .$

Resultado: i) a) $\frac{6}{11}$ ; b) $\frac{9}{22}$ ; c) $\frac{4}{5}$ ; d) $\frac{48}{55}$ ; e) $\frac{3}{8}$ ; ii) a) $k = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ ; b) $E (X) = \frac{2 n + 1}{3}$

Ejercicio 58 DifícilIB · P2 Noviembre 2001

Dos mujeres, Ann y Bridget, juegan a un juego que consiste en lanzar por turnos un dado no trucado de seis caras. La primera mujer en sacar un seis gana el juego. Ann es la primera en lanzar.

a) Calcule la probabilidad de que

(i) Bridget gane en su primer lanzamiento.

(ii) Ann gane en su segundo lanzamiento.

(iii) Ann gane en su $n$ -ésimo lanzamiento.

b) Sea $p$ la probabilidad de que Ann gane el juego. Muestre que $p = \frac{1}{6} + \frac{25}{36} p$ .

c) Calcule la probabilidad de que Bridget gane el juego.

d) Suponga que el juego se juega seis veces. Calcule la probabilidad de que Ann gane más juegos que Bridget.

Ver resultado

Resultado: a) i) $\frac{5}{36}$ ; ii) $\frac{25}{216}$ ; iii) $(\frac{5}{6})^{2 n - 2} \cdot \frac{1}{6}$ ; c) $\frac{5}{11}$ ; d) $0, 432$

Ver proceso y resultado

a) Cada lanzamiento da seis con probabilidad $\frac{1}{6}$ y no la da con $\frac{5}{6}$ .

(i) Ann falla y Bridget saca seis: $\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} .$

(ii) Ann falla, Bridget falla, Ann saca seis: $(\frac{5}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216} .$

(iii) Antes de su $n$ -ésimo lanzamiento hay $n - 1$ lanzamientos fallidos de Ann y $n - 1$ de Bridget: $(\frac{5}{6})^{2 n - 2} \cdot \frac{1}{6} .$

b) Ann gana si saca seis en su primer lanzamiento, o si ambas fallan y vuelve a empezar el juego en las mismas condiciones: $p = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot p = \frac{1}{6} + \frac{25}{36} p .$

c) Despejando: $p (1 - \frac{25}{36}) = \frac{1}{6} \Rightarrow \frac{11}{36} p = \frac{1}{6} \Rightarrow p = \frac{6}{11}$ . Como el juego siempre termina, Bridget gana con probabilidad $1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11} .$

d) En cada juego gana Ann con probabilidad $\frac{6}{11}$ y Bridget con $\frac{5}{11}$ . Sea $Y \sim B (6; \frac{6}{11})$ el número de juegos que gana Ann; gana más juegos que Bridget si $Y \geq 4$ : $P (Y \geq 4) = k = 4 \sum 6 (k 6) (\frac{6}{11})^{k} (\frac{5}{11})^{6 - k} = \frac{765936}{1771561} \approx 0, 432.$

Resultado: a) i) $\frac{5}{36}$ ; ii) $\frac{25}{216}$ ; iii) $(\frac{5}{6})^{2 n - 2} \cdot \frac{1}{6}$ ; c) $\frac{5}{11}$ ; d) $0, 432$

Ejercicio 59 DifícilIB · P2 TZ0 Noviembre 2009

En cada ronda de dos juegos diferentes, Ying lanza al aire tres monedas equilibradas y Mario lanza dos monedas equilibradas.

a) El primer juego consta de una ronda. Si Ying saca más caras que Mario, ella recibe $5 de Mario. Si Mario saca más caras que Ying, él recibe $10 de Ying. Si sacan el mismo número de caras, entonces Mario recibe $2 de Ying. Determine las ganancias esperadas de Ying.

b) Ahora juegan al segundo juego, en el que el ganador será aquel jugador que saque mayor número de caras en una ronda. Si obtienen el mismo número de caras, vuelven a jugar otra ronda hasta que haya un ganador. Calcule la probabilidad de que Ying gane el juego.

Ver resultado

Resultado: a) ganancia esperada de Ying $= 0$ $; b) $\frac{8}{11}$

Ver proceso y resultado

Número de caras: Ying (3 monedas) $Y \sim B (3; \frac{1}{2})$ , Mario (2 monedas) $M \sim B (2; \frac{1}{2})$ . Hay $8 \cdot 4 = 32$ resultados igual de probables.

a) Contando las parejas $(Y, M)$ : $Y > M$ en 16, $M > Y$ en 6 y empate en 10. Por tanto $P (Y > M) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}, P (M > Y) = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}, P (empate) = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} .$ Ganancia esperada de Ying: $5 \cdot \frac{1}{2} - 10 \cdot \frac{3}{16} - 2 \cdot \frac{5}{16} = \frac{40}{16} - \frac{30}{16} - \frac{10}{16} = 0.$

b) Las rondas con empate se repiten, así que la probabilidad de que gane Ying es la de ganar una ronda dado que hay ganador: $P = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{3}{16}} = \frac{8/16}{11/16} = \frac{8}{11} .$

Resultado: a) ganancia esperada de Ying $= 0$ $; b) $\frac{8}{11}$

Ejercicio 60 DifícilIB · P1 TZ0 Noviembre 2011

Una diana consta de tres círculos concéntricos de radios 1 m, 3 m y 5 m respectivamente tal y como se muestra en la figura.

Diana circular con tres zonas concéntricas: un círculo central blanco A de radio 1 m, un anillo gris claro B de radio exterior 3 m y un anillo gris oscuro C de radio exterior 5 m

Nina lanza una flecha a la diana. La probabilidad de que la flecha se clave dentro de la diana es igual a $\frac{1}{2}$ . Si la flecha se clava dentro de la diana, lo hace en un punto aleatorio de la misma. Cuando un jugador lanza, se le da diez puntos si clava la flecha en la región A, seis puntos si la clava en la región B, y tres puntos si la clava en la región C. Halle el número esperado de puntos que consigue Nina cada vez que lanza una flecha a la diana.

Ver resultado

Resultado: número esperado de puntos $= \frac{53}{25} = 2, 12$

Ver proceso y resultado

Áreas de las regiones: A: $π \cdot 1^{2} = π$ ; B: $π (3^{2} - 1^{2}) = 8 π$ ; C: $π (5^{2} - 3^{2}) = 16 π$ ; total $25 π$ .

Si la flecha se clava dentro, cae en un punto aleatorio, luego $P (A) = \frac{1}{25} \cdot \frac{1}{2}, P (B) = \frac{8}{25} \cdot \frac{1}{2}, P (C) = \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{2},$ y si no se clava dentro (probabilidad $\frac{1}{2}$ ) no hay puntos. Por tanto: $E = 10 \cdot \frac{1}{50} + 6 \cdot \frac{8}{50} + 3 \cdot \frac{16}{50} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{10 + 48 + 48}{50} = \frac{106}{50} = \frac{53}{25} .$

Resultado: número esperado de puntos $= \frac{53}{25} = 2, 12$

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