IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 1 de 4

Variable aleatoria discreta y su distribución de probabilidad

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una variable aleatoria convierte el resultado de un experimento en un número. Si solo toma valores sueltos (0, 1, 2, …) es discreta, y se describe con una tabla que da la probabilidad de cada valor. En el examen del IB se pide completar tablas con un valor desconocido, calcular probabilidades acumuladas y construir la tabla a partir de un experimento (extracciones, dados, ruedas).

Variable aleatoria discreta

Tiras tres monedas y te interesa cuántas caras salen. El resultado del experimento es una secuencia como «cara, cruz, cara», pero tú solo anotas un número: 2. Ese número, que depende del azar, es una variable aleatoria. Se nombra con una letra mayúscula, como $X$ , y sus valores concretos con minúscula, como $x$ .

El número de alumnos que llegan tarde a una clase, los puntos de un dado o las bolas rojas de una extracción son discretas. La estatura de una persona o el tiempo que tarda un autobús son continuas. En este tema solo se trabajan las discretas.

Distribución de probabilidad

La distribución de probabilidad de $X$ lista cada valor posible junto con su probabilidad $P (X = x)$ . Se escribe como tabla:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$P (X = x)$	$P (X = x_{1})$	$P (X = x_{2})$	$\dots$	$P (X = x_{n})$

La razón es sencilla: los valores de $X$ son sucesos incompatibles entre sí (a la vez no puede salir 2 y 3 caras) y entre todos cubren el espacio muestral completo.

Cómo construir la tabla de un experimento

Cuando intervienen dos dados o dos ruedas, lo más cómodo es una tabla de doble entrada con todos los resultados equiprobables: cada casilla vale $\frac{1}{total de casillas}$ y solo hay que contar cuántas casillas dan cada valor de $X$ .

Probabilidades acumuladas y valores desconocidos

La probabilidad de que $X$ valga como mucho $k$ se calcula sumando las de la tabla hasta $k$ :

$P (X \leq k) = P (X = x_{1}) + P (X = x_{2}) + \dots + P (X = k)$

Con desigualdades estrictas hay que fijarse en qué valores entran: $P (X < 3)$ no incluye el 3, y $P (X \geq 3)$ sí. Cuando es más corto, usa el complementario: $P (X \geq 3) = 1 - P (X \leq 2)$ .

También puedes combinar con la probabilidad condicionada: $P (X \leq 2 ∣ X \geq 1) = \frac{P ( 1 \leq X \leq 2 )}{P ( X \geq 1 )}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tabla con una probabilidad desconocida

La variable aleatoria $X$ es el número de llamadas que recibe una centralita en un minuto. Su distribución de probabilidad es

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 1$	$0, 3$	$k$	$0, 2$

a) Halla el valor de $k$ .

b) Halla $P (X \geq 2)$ .

c) Halla $P (X \leq 2 ∣ X \geq 1)$ .

Solución

a) Las probabilidades suman 1: $0, 1 + 0, 3 + k + 0, 2 = 1 \Rightarrow k = 0, 4$

b) Entran los valores 2 y 3: $P (X \geq 2) = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6$

c) Por la fórmula de la probabilidad condicionada, el numerador es $P (1 \leq X \leq 2) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7$ y el denominador es $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 0, 9$ : $P (X \leq 2 ∣ X \geq 1) = \frac{0 , 7}{0 , 9} = \frac{7}{9}$

Resultado: a) $k = 0, 4$ ; b) $0, 6$ ; c) $\frac{7}{9}$ .

Ejemplo 2 Medio

Tres extracciones sin reemplazamiento

Una caja contiene 6 bolas, 2 rojas y 4 azules. Se extraen 3 bolas al azar, sin reemplazamiento. Sea $X$ el número de bolas rojas obtenidas.

a) Escribe la distribución de probabilidad de $X$ .

b) Halla $P (X \geq 1)$ .

c) Halla $P (X = 1 ∣ X \geq 1)$ .

Solución

a) Hay $(3 6) = 20$ formas equiprobables de elegir 3 bolas. Valores posibles: $0, 1, 2$ .

$X = 0$ : las 3 bolas son azules, $(3 4) = 4$ formas, luego $P (X = 0) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ .
$X = 1$ : una roja y dos azules, $(1 2) (2 4) = 2 \cdot 6 = 12$ formas, luego $P (X = 1) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ .
$X = 2$ : las dos rojas y una azul, $(2 2) (1 4) = 4$ formas, luego $P (X = 2) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ .

$x$	0	1	2
$P (X = x)$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

Comprobación: $\frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = 1$ .

b) Por el complementario: $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ .

c) $P (X = 1 ∣ X \geq 1) = \frac{P ( X = 1 )}{P ( X \geq 1 )} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Resultado: a) $P (X = 0) = \frac{1}{5}$ , $P (X = 1) = \frac{3}{5}$ , $P (X = 2) = \frac{1}{5}$ ; b) $\frac{4}{5}$ ; c) $\frac{3}{4}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Diferencia entre dos dados

Se lanzan dos dados equilibrados de seis caras. Sea $X$ el valor absoluto de la diferencia entre las dos puntuaciones.

a) Construye la distribución de probabilidad de $X$ .

b) Halla $P (X \geq 3)$ .

c) Halla $P (X \geq 3 ∣ X \geq 1)$ .

d) ¿Cuál es el valor más probable de $X$ ?

Solución

a) Hay $36$ resultados equiprobables. $X$ toma los valores $0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Se cuentan las casillas de la tabla de doble entrada:

$X = 0$ : puntuaciones iguales, 6 resultados.
$X = 1$ : parejas como $(1, 2)$ o $(2, 1)$ ; hay 5 pares de valores consecutivos y cada uno se da en dos órdenes, 10 resultados.
$X = 2$ : 4 pares, 8 resultados.
$X = 3$ : 3 pares, 6 resultados.
$X = 4$ : 2 pares, 4 resultados.
$X = 5$ : solo $(1, 6)$ y $(6, 1)$ , 2 resultados.

$x$	0	1	2	3	4	5
$P (X = x)$	$\frac{6}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{8}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{2}{36}$

Comprobación: $6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36$ .

b) $P (X \geq 3) = \frac{6 + 4 + 2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$

c) Con la condición $X \geq 1$ el denominador es $1 - P (X = 0) = \frac{30}{36}$ : $P (X \geq 3 ∣ X \geq 1) = \frac{12/36}{30/36} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$

d) El mayor valor de la tabla es $\frac{10}{36}$ , que corresponde a $X = 1$ .

Resultado: b) $\frac{1}{3}$ ; c) $\frac{2}{5}$ ; d) $X = 1$ .

En el examen: puntúa mostrar el cómputo de casos (o la tabla de doble entrada) y comprobar que la suma es 1. En una condicional, escribe el numerador y el denominador por separado antes de dividir.

Errores típicos

Resumen

Una variable aleatoria asigna un número a cada resultado de un experimento; es discreta si toma valores sueltos.
Su distribución de probabilidad es la tabla de $P (X = x)$ para cada valor $x$ .
Siempre se cumple $\sum P (X = x) = 1$ y $0 \leq P (X = x) \leq 1$ : sirve para hallar un valor desconocido y para comprobar la tabla.
$P (X \leq k)$ suma las probabilidades hasta $k$ ; con desigualdades, fíjate en si el extremo entra o no, y usa el complementario cuando abrevie.
Para construir la tabla: define qué cuenta $X$ , lista sus valores, cuenta casos con árbol, tabla de doble entrada o combinaciones, y comprueba que suma 1.
Con una condición, $P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ se aplica a valores de $X$ igual que a cualquier suceso.

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