IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 3 de 4

La distribución binomial B(n, p)

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La distribución binomial modela el número de éxitos en una serie de pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito: tiros que entran, piezas defectuosas, preguntas acertadas al azar. En el examen hay que reconocer cuándo es binomial, identificar $n$ y $p$ , y calcular $P (X = k)$ con la fórmula (Prueba 1) o con la calculadora (Prueba 2).

Cuándo una variable es binomial

Un lanzador de baloncesto tira 8 tiros libres y se cuenta cuántos encesta. Cada tiro es una prueba con dos resultados: encestar (éxito) o fallar (fracaso). «Éxito» solo significa «lo que estamos contando», no algo bueno: en un control de calidad, el éxito puede ser encontrar una pieza defectuosa.

Las condiciones 3 y 4 son las que más se incumplen. Si sacas fichas de una bolsa sin devolverlas, la composición cambia en cada extracción, $p$ deja de ser constante y las pruebas son dependientes: no es binomial (es el tipo de variable del apartado anterior, que se resuelve con combinaciones). Con devolución sí lo es.

La fórmula de la binomial

La idea es contar. Una ordenación concreta con $k$ éxitos y $n - k$ fracasos (por ejemplo, éxito, éxito, fracaso, …) tiene probabilidad $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ , por la independencia. Hay $(k n)$ formas de decidir en qué pruebas están los $k$ éxitos, y todas valen lo mismo. Se multiplica.

Forma de la distribución

La tabla de $B (n, p)$ se puede dibujar con un diagrama de barras: una barra por cada $k$ con altura $P (X = k)$ . Si $p$ es pequeña, las barras más altas están a la izquierda; si $p$ es grande, a la derecha; con $p = \frac{1}{2}$ es simétrica. Con $p = 0, 3$ y $n = 10$ el máximo está en $k = 3$ , y las probabilidades van cayendo hacia $k = 10$ sin llegar nunca a cero.

Diagrama de barras de la distribución binomial B(10; 0,3): en el eje horizontal k de 0 a 10 y en el vertical P(X = k) hasta 0,3; las barras crecen hasta k = 3 (la más alta, 0,267) y después decrecen, casi nulas a partir de k = 8

La distribución no es simétrica salvo que $p = \frac{1}{2}$ , y como la media es $n p$ (lo verás en el apartado siguiente), el pico está cerca de ese valor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Seises en seis tiradas

Se lanza seis veces un dado equilibrado. Sea $X$ el número de veces que sale un 6.

a) Justifica que $X$ sigue una distribución binomial y escribe sus parámetros.

b) Halla la probabilidad de no obtener ningún 6.

c) Halla la probabilidad de obtener exactamente dos 6.

d) Halla la probabilidad de obtener seis 6.

Solución

a) Hay $n = 6$ pruebas fijas, cada una con dos resultados (sale 6 o no), independientes entre sí y con la misma probabilidad de éxito $p = \frac{1}{6}$ . Por tanto $X \sim B (6, \frac{1}{6})$ .

b) $P (X = 0) = (0 6) (\frac{1}{6})^{0} (\frac{5}{6})^{6} = \frac{15 625}{46 656} \approx 0, 335$

c) $P (X = 2) = (2 6) (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{4} = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{15 552} \approx 0, 201$

d) $P (X = 6) = (6 6) (\frac{1}{6})^{6} = \frac{1}{46 656}$

Resultado: a) $X \sim B (6, \frac{1}{6})$ ; b) $\frac{15625}{46656} \approx 0, 335$ ; c) $\frac{3125}{15552} \approx 0, 201$ ; d) $\frac{1}{46656}$ .

Ejemplo 2 Medio

Tiros libres

Una jugadora de baloncesto encesta el 70 % de sus tiros libres, y cada tiro es independiente de los demás. Lanza 8 tiros libres. Sea $X$ el número de tiros que encesta.

a) Escribe la distribución de $X$ y halla la probabilidad de que enceste exactamente 5.

b) Halla la probabilidad de que enceste los 8.

c) Halla el valor más probable de $X$ y su probabilidad.

Solución

a) Hay $n = 8$ pruebas independientes, con $p = 0, 7$ de éxito en cada una: $X \sim B (8; 0, 7)$ . $P (X = 5) = (5 8) (0, 7)^{5} (0, 3)^{3} = 56 \cdot 0, 16807 \cdot 0, 027 \approx 0, 254$

b) $P (X = 8) = (0, 7)^{8} \approx 0, 0576$

c) Se calculan las probabilidades alrededor de la media esperada (la CPG da toda la tabla en una lista):

$k$	4	5	6	7	8
$P (X = k)$	$0, 136$	$0, 254$	$0, 296$	$0, 198$	$0, 058$

El máximo está en $k = 6$ , con $P (X = 6) = (6 8) (0, 7)^{6} (0, 3)^{2} \approx 0, 296$ .

Resultado: a) $0, 254$ ; b) $0, 0576$ ; c) $X = 6$ , con probabilidad $0, 296$ .

Ejemplo 3 Difícil

Con y sin devolución

Una bolsa contiene 10 bolas, 4 rojas y 6 azules. Se extraen 3 bolas, una a una. Sea $X$ el número de bolas rojas obtenidas.

a) Las bolas se extraen con devolución. Justifica que $X$ es binomial y halla $P (X = 2)$ .

b) Escribe la distribución completa de $X$ en el caso a) y di cuál es su valor más probable.

c) Las bolas se extraen ahora sin devolución. Explica por qué $X$ ya no es binomial y halla $P (X = 2)$ .

Solución

a) Con devolución, cada extracción es independiente y la probabilidad de roja es siempre $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Hay $n = 3$ pruebas, luego $X \sim B (3, \frac{2}{5})$ : $P (X = 2) = (2 3) (\frac{2}{5})^{2} \frac{3}{5} = 3 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{36}{125}$

b) Con la misma fórmula:

$k$	0	1	2	3
$P (X = k)$	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

Suman $\frac{125}{125} = 1$ . El valor más probable es $X = 1$ ( $\frac{54}{125} = 0, 432$ ).

c) Sin devolución, la probabilidad de sacar roja cambia según lo ya extraído (primero $\frac{4}{10}$ , luego $\frac{3}{9}$ o $\frac{4}{9}$ …), así que $p$ no es constante y las pruebas no son independientes: no se cumplen las condiciones de la binomial. Se cuenta con combinaciones: de $(3 10) = 120$ ternas, las que tienen 2 rojas y 1 azul son $(2 4) (1 6) = 36$ : $P (X = 2) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}$

Resultado: a) $\frac{36}{125}$ ; b) valor más probable $X = 1$ ; c) $\frac{3}{10}$ .

En el examen: cuando pidan justificar la binomial, nombra las condiciones que se cumplen (independencia y $p$ constante) en el contexto del problema, no solo «es binomial». Si te dicen «sin reemplazamiento», cambia de método.

Errores típicos

Resumen

$X \sim B (n, p)$ si hay $n$ pruebas fijas, de dos resultados, independientes y con $p$ constante; $X$ toma los valores $0, 1, \dots, n$ .
$P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ (cuadernillo del IB).
Sin devolución (o población pequeña) no hay independencia: no es binomial; se resuelve con combinaciones.
En la Prueba 2, la CPG calcula $P (X = k)$ con la distribución binomial puntual; en la Prueba 1 se hace con la fórmula.
Escribe siempre qué es $X$ , el valor de $n$ y de $p$ y la probabilidad pedida; responde en el contexto.
La forma es asimétrica salvo para $p = \frac{1}{2}$ ; la barra más alta queda cerca de $n p$ .

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