IB Análisis y Enfoques NS · Variable aleatoria discreta y distribución binomial · Apartado 4 de 4

Binomial: probabilidades acumuladas, esperanza y hallar n o p

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Con la binomial $X \sim B (n, p)$ la esperanza y la varianza no se calculan sumando: valen $n p$ y $n p (1 - p)$ . Las preguntas típicas del examen piden probabilidades acumuladas ( $P (X \leq k)$ , $P (X \geq k)$ ), «al menos uno» y averiguar $n$ o $p$ a partir de datos. En la Prueba 2 se resuelven con la calculadora de pantalla gráfica, pero hay que saber convertir la frase del enunciado en una desigualdad correcta.

Esperanza y varianza de la binomial

La media es intuitiva: si cada una de las $n$ pruebas tiene probabilidad $p$ de éxito, esperas que $n p$ de ellas lo sean. Por ejemplo, si 200 llamadas tienen un 15 % de probabilidad de ser ventas, esperas $200 \cdot 0, 15 = 30$ ventas. Fíjate en que $E (X)$ puede no ser entera.

La varianza siempre es menor que la media, porque $n p (1 - p) < n p$ . Cuando $p = \frac{1}{2}$ la dispersión es máxima, y cuando $p$ se acerca a 0 o a 1, las barras se concentran.

Probabilidades acumuladas

En la práctica casi nunca se pide un único valor exacto, sino una región: «como máximo 3», «más de 5», «entre 2 y 4». Se traducen a $P (X \leq k)$ y se calculan con la distribución binomial acumulada de la CPG, que da $P (X \leq k)$ .

El error más habitual es el « $- 1$ »: en $P (X \geq 4)$ el complementario es $P (X \leq 3)$ , no $P (X \leq 4)$ . Escribe qué valores entran antes de usar la calculadora.

«Al menos uno» y hallar n

Esta fórmula permite resolver una pregunta que se repite en los exámenes: «¿cuántas pruebas hacen falta como mínimo para que la probabilidad de al menos un éxito supere un valor?». Se plantea $1 - (1 - p)^{n} > c$ y se resuelve:

En la Prueba 1: con logaritmos, $(1 - p)^{n} < 1 - c$ , luego $n > \frac{ln ( 1 - c )}{ln ( 1 - p )}$ (el cambio de sentido ocurre porque $ln (1 - p) < 0$ ).
En la Prueba 2: con una tabla de valores de la función o probando valores en la CPG.

Como $n$ es entero, se redondea siempre hacia arriba el valor obtenido, salvo que ya sea exacto, y siempre se comprueba con el valor del entero.

Hallar $p$ o $n$ a partir de la media y la varianza

Si el enunciado da $E (X)$ y $Var (X)$ , se plantea el sistema $n p = μ$ y $n p (1 - p) = σ^{2}$ . Dividiendo la segunda ecuación entre la primera se obtiene $1 - p = σ^{2} / μ$ , de donde sale $p$ y luego $n = μ / p$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Media, desviación y cola izquierda

Un jugador de un videojuego consigue un objeto raro con probabilidad $0, 2$ en cada partida, de forma independiente. Juega 10 partidas. Sea $X$ el número de objetos raros que consigue.

a) Halla $E (X)$ y $Var (X)$ .

b) Halla la desviación típica $σ$ .

c) Halla la probabilidad de que consiga como máximo un objeto.

d) Halla la probabilidad de que consiga al menos dos objetos.

Solución

Se trata de $X \sim B (10; 0, 2)$ .

a) $E (X) = n p = 10 \cdot 0, 2 = 2 Var (X) = n p (1 - p) = 10 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 1, 6$

b) $σ = 1, 6 \approx 1, 26$

c) «Como máximo uno» es $X \leq 1$ : $P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, 8^{10} + 10 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{9} \approx 0, 1074 + 0, 2684 = 0, 376$

d) «Al menos dos» es el complementario de lo anterior: $P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) \approx 1 - 0, 3758 = 0, 624$

Resultado: a) $E (X) = 2$ , $Var (X) = \frac{8}{5}$ ; b) $σ \approx 1, 26$ ; c) $0, 376$ ; d) $0, 624$ .

Ejemplo 2 Medio

Test de 12 preguntas al azar

Un test tiene 12 preguntas con 4 opciones cada una, y solo una es correcta. Un alumno responde todas al azar. Sea $X$ el número de respuestas correctas.

a) Escribe la distribución de $X$ y halla el número esperado de aciertos.

b) Halla la probabilidad de acertar al menos 4 preguntas.

c) Halla la probabilidad de acertar al menos una.

Solución

a) Cada pregunta es una prueba independiente con $p = \frac{1}{4}$ : $X \sim B (12, \frac{1}{4})$ . $E (X) = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3$

b) «Al menos 4» es $X \geq 4$ , cuyo complementario es $X \leq 3$ . Con la distribución binomial acumulada, $P (X \leq 3) \approx 0, 649$ , y $P (X \geq 4) = 1 - P (X \leq 3) \approx 1 - 0, 649 = 0, 351$

c) $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (\frac{3}{4})^{12} \approx 1 - 0, 0317 = 0, 968$

Resultado: a) $X \sim B (12, \frac{1}{4})$ , $E (X) = 3$ ; b) $0, 351$ ; c) $0, 968$ .

Ejemplo 3 Difícil

Hallar n y p, y un mínimo de pruebas

La variable $X$ sigue una distribución binomial con $E (X) = 12$ y $Var (X) = 7, 2$ .

a) Halla $n$ y $p$ .

b) Halla $P (X = 12)$ y $P (X \leq 12)$ .

c) Con ese valor de $p$ se hacen $m$ pruebas independientes. Halla el menor valor de $m$ para que la probabilidad de obtener al menos un éxito sea mayor que $0, 99$ .

Solución

a) Se plantea $n p = 12$ y $n p (1 - p) = 7, 2$ . Dividiendo la segunda entre la primera: $1 - p = \frac{7 , 2}{12} = 0, 6 \Rightarrow p = 0, 4$ y entonces $n = \frac{12}{0 , 4} = 30$ . Así, $X \sim B (30; 0, 4)$ .

b) Con la CPG (distribución puntual y acumulada): $P (X = 12) \approx 0, 147 P (X \leq 12) \approx 0, 578$ Observa que el valor más probable coincide con la media, $n p = 12$ .

c) Se pide $P (al menos uno) = 1 - 0, 6^{m} > 0, 99$ , es decir, $0, 6^{m} < 0, 01$ . Tomando logaritmos (y cambiando el sentido de la desigualdad al dividir entre $ln 0, 6 < 0$ ): $m > \frac{ln 0 , 01}{ln 0 , 6} \approx 9, 015$ Como $m$ es entero, hay que redondear hacia arriba: $m = 10$ . Comprobación: $0, 6^{9} \approx 0, 01008 > 0, 01$ no basta, y $0, 6^{10} \approx 0, 00605 < 0, 01$ sí.

Resultado: a) $n = 30$ , $p = 0, 4$ ; b) $0, 147$ y $0, 578$ ; c) $m = 10$ .

En el examen: puntúa el planteamiento de las dos ecuaciones en a), indicar la probabilidad pedida en b) y, en c), la desigualdad y la comprobación del entero. Si redondeas $9, 015$ hacia abajo, a $9$ , pierdes el apartado.

Errores típicos

Resumen

Si $X \sim B (n, p)$ : $E (X) = n p$ , $Var (X) = n p (1 - p)$ , $σ = n p (1 - p)$ .
Traduce la frase a $P (X \leq k)$ : «menos de $k$ » es $P (X \leq k - 1)$ ; «al menos $k$ » es $1 - P (X \leq k - 1)$ ; «más de $k$ » es $1 - P (X \leq k)$ .
Al menos un éxito: $P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n}$ .
Con $E (X)$ y $Var (X)$ : $1 - p = Var (X) / E (X)$ , luego $p$ y después $n = E (X) / p$ .
Para hallar el menor $n$ en una desigualdad, resuelve con logaritmos o con tabla en la CPG, redondea hacia arriba y comprueba.
En la Prueba 2 usa la distribución binomial puntual y acumulada de la CPG, y escribe el planteamiento con $n$ , $p$ y la desigualdad.

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp

Binomial: probabilidades acumuladas, esperanza y hallar n o p

Esperanza y varianza de la binomial

Probabilidades acumuladas

«Al menos uno» y hallar n

Hallar p o n a partir de la media y la varianza

Ejemplos resueltos

Errores típicos

Resumen

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Hallar $p$ o $n$ a partir de la media y la varianza