Esperanza, varianza y juegos justos

a) $$E(X)=0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,3+3\cdot 0,2+4\cdot 0,1=0,3+0,6+0,6+0,4=1,9$$

b) Se calcula $E(X^2)$ con los cuadrados de los valores: $$E(X^2)=0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+4\cdot 0,3+9\cdot 0,2+16\cdot 0,1=0,3+1,2+1,8+1,6=4,9$$ $$\mathrm{Var}(X)=4,9-1,9^2=4,9-3,61=1,29$$

c) $$\sigma =\sqrt{1,29}\approx 1,14$$

Resultado: a) $1,9$; b) $1,29$; c) $\sqrt{1,29}\approx 1,14$.

a) Hay dos incógnitas, así que se usan dos ecuaciones. Las probabilidades suman 1: $$a+0,3+b+0,1=1\Rightarrow a+b=0,6$$ Y la esperanza vale $2,4$: $$1\cdot a+2\cdot 0,3+3b+4\cdot 0,1=2,4\Rightarrow a+3b=1,4$$ Restando la primera de la segunda: $2b=0,8$, luego $b=0,4$ y $a=0,2$. Ambas están entre 0 y 1.

b) Con la tabla completa: $$E(X^2)=1\cdot 0,2+4\cdot 0,3+9\cdot 0,4+16\cdot 0,1=0,2+1,2+3,6+1,6=6,6$$ $$\mathrm{Var}(X)=6,6-2,4^2=6,6-5,76=0,84$$

c) Como $E(X)=2,4$, la condición $X>2,4$ equivale a $X\ge 3$: $$P(X\ge 3)=0,4+0,1=0,5$$

Resultado: a) $a=0,2$, $b=0,4$; b) $0,84$; c) $0,5$.

a) Hay $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ parejas equiprobables.

• Dos doradas: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)=1$ pareja, $P=\frac{1}{15}$, y $G=30-6=24$.
• Una dorada: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=8$ parejas, $P=\frac{8}{15}$, y $G=6-6=0$.
• Ninguna dorada: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ parejas, $P=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$, y $G=-6$.

Comprobación: $\frac{6}{15}+\frac{8}{15}+\frac{1}{15}=1$.

b) $$E(G)=(-6)\cdot \frac{6}{15}+0\cdot \frac{8}{15}+24\cdot \frac{1}{15}=\frac{-36+24}{15}=-\frac{4}{5}$$ Es decir, $-0,80$ euros: de media, el jugador pierde 0,80 euros por partida. El juego no es justo y favorece al organizador.

c) Con premio $k$ por una dorada, la ganancia en ese caso es $k-6$: $$E(G)=-6\cdot \frac{6}{15}+(k-6)\cdot \frac{8}{15}+24\cdot \frac{1}{15}=\frac{-36+8k-48+24}{15}=\frac{8k-60}{15}$$ Justo si $E(G)=0$, es decir, $8k=60$ y $k=\frac{15}{2}=7,5$ euros.

d) Lo que gana el jugador lo pierde el organizador, así que el organizador gana de media $0,80$ euros por partida: $$150\cdot 0,80=120\text{ euros}$$

Resultado: b) $E(G)=-\frac{4}{5}$ euros; c) $k=7,5$ euros; d) $120$ euros.

En el examen: define $G$ con claridad (neta o bruta), escribe la tabla y la suma de productos, y termina interpretando el signo de $E(G)$ en el contexto del juego; sin esa frase se pierde el punto de interpretación.