Ejercicios IB del tema 3

Considere la progresión aritmética $8,26,44,\dots$

a) Halle una expresión para el término $n$-ésimo.

b) Escriba la suma de los $n$ primeros términos, utilizando la notación sigma.

c) Calcule la suma de los 15 primeros términos.

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética es $S_n=3n^2-2n$. Calcule el término $u_n$.

Halle $\sum _{r=1}^{50}\ln \left(2^r\right)$, expresando la respuesta en la forma $a\ln 2$, donde $a\in \mathbb{Q}$.

(i) Exprese la suma de los $n$ primeros números enteros impares positivos utilizando la notación de sumatoria.

(ii) Compruebe que la suma del apartado anterior es igual a $n^2$.

(iii) Deduzca el valor de la diferencia entre la suma de los 47 primeros números impares positivos y la suma de los 14 primeros números impares positivos.

Una sucesión $\{u_n\}$ está dada por $u_0=1$, $u_1=2$, $u_{n+1}=3u_n-2u_{n-1}$ donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) Halle $u_2$, $u_3$, $u_4$.

b) (i) Exprese $u_n$ en función de $n$.

(ii) Verifique que su respuesta a (b)(i) satisface la ecuación $u_{n+1}=3u_n-2u_{n-1}$.

La suma de los $n$ primeros términos de una serie viene dada por $S_n=2n^2-n$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) Halle los tres primeros términos de la serie.

b) Halle una expresión para el término $n$-ésimo de la serie, dando la respuesta en función de $n$.

Halle $\sum _{n=1}^{15}{a}_n^2$, donde $a_n=\ln x^n$.

a) Demuestre mediante inducción matemática que $\sum _{r=1}^n\frac{1}{(2r-1)(2r+1)}=\frac{n}{2n+1}$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

b) A partir de lo anterior, compruebe que la suma de los primeros $(n+1)$ términos de la serie $\frac{1}{3}+\frac{1}{15}+\frac{1}{35}+\frac{1}{63}+\dots$ es $\frac{(n+1)}{(2n+3)}$.

Consideremos la serie aritmética $2,5,8,\dots$

a) Halle una expresión para $S_n$, la suma de los $n$ primeros términos.

b) Halle el valor de $n$ para el cual $S_n=1365$

En una progresión aritmética, el segundo término es $7$ y la suma de los cinco primeros términos es $50$. Halle la diferencia común de esta progresión aritmética.

El segundo término de una progresión aritmética es $7$. La suma de los cuatro primeros términos de la progresión aritmética es $12$. Encuentre el primer término, $a$, y la diferencia común, $d$, de la progresión.

El quinto término de una progresión aritmética es igual a $6$ y la suma de los primeros $12$ términos es $45$. Encuentre el primer término y la diferencia común.

Una progresión aritmética tiene $5$ y $13$ como sus dos primeros términos, respectivamente.

a) Escriba, en función de $n$, una expresión para el término $n$-ésimo, $a_n$.

b) Encuentre el número de términos de la progresión que valgan menos de $400$.

El $n$-ésimo término de una progresión aritmética viene dado por $u_n=15-3n$.

a) Indique el valor del primer término $(u_1)$. [1 punto]

b) Sabiendo que el $n$-ésimo término de esta progresión es $-33$, halle el valor de $n$. [2 puntos]

c) Halle la diferencia común $(d)$. [2 puntos]

En una serie aritmética cuyo enésimo término es $u_n$, se sabe que $u_4=7$ y $u_9=22$. Halle el valor mínimo de $n$ para el cual $u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n>10000$.

Una cuerda de 81 metros se corta en $n$ trozos de longitud creciente, formando estas longitudes una progresión aritmética cuya diferencia común es igual a $d$ metros. Sabiendo que las longitudes del trozo más corto y del más largo son 1,5 metros y 7,5 metros respectivamente, halle los valores de $n$ y $d$.

La media de los diez primeros términos de una progresión aritmética es igual a 6. La media de los veinte primeros términos de la progresión aritmética es igual a 16. Halle el valor del término 15 de la progresión.

La suma de los 16 primeros términos de una progresión aritmética es 212, y el quinto término es 8.

a) Halle el primer término y la diferencia común.

b) Halle el menor valor de $n$ para el cual la suma de los $n$ primeros términos es mayor que 600.

El cuarto término de una progresión aritmética es 34 y el décimo término es 76.

a) Halle el primer término y la diferencia común.

b) La suma de los $n$ primeros términos es mayor que 5000. Halle el menor valor posible de $n$.

Calcule la suma de los términos positivos de la progresión aritmética $85,78,71,\dots$

a) (i) Halle la suma de todos los números enteros comprendidos entre 10 y 200 que son divisibles entre 7.

(ii) Exprese la suma anterior utilizando notación de sumatoria. En una progresión aritmética, el primer término es 1000 y la diferencia común es $-6$. La suma de los $n$ primeros términos de esta progresión es negativa.

b) Halle el menor valor de $n$.

Los cuatro primeros términos de una sucesión aritmética son $2$, $a-b$, $2a+b+7$ y $a-3b$, donde $a$ y $b$ son constantes. Halle $a$ y $b$.

Considere la progresión aritmética $-6,1,8,15,\dots$

Halle el menor número de términos necesarios para que la suma de la serie sea mayor que 10.000.

Calcule la suma de todos los números naturales de tres dígitos no divisibles por $3$.

En una progresión aritmética el primer término es $8$ y la diferencia común es $\frac{1}{4}$. Sabiendo que la suma de los $2n$ primeros términos es igual a la suma de los siguientes $n$ términos, halle $n$.

Considere el conjunto de números $a,2a,3a,\dots ,na$, donde $a$ y $n$ son enteros positivos.

(i) Compruebe que la expresión para la media de este conjunto es $\frac{a(n+1)}{2}$.

(ii) Sea $a=4$. Calcule el mínimo valor de $n$ para el cual la suma de esos números supera a la media en 100.

Halle la suma de todos los múltiplos de $3$ comprendidos entre $100$ y $500$.

Calcule la suma de todos los números enteros entre $200$ y $500$ que son divisibles por $7$.

En una progresión aritmética la suma de los términos $3^{\circ }$ y $8^{\circ }$ es igual a $1$. Sabiendo que la suma de los siete primeros términos es $35$, determine el primer término y la diferencia común.

El tercer término de una progresión aritmética es $1407$ y el décimo término es $1183$.

a) Encuentre el primer término y la diferencia común de la progresión.

b) Calcule el número de términos positivos en la progresión.

Considere el desarrollo de $(1+x{)}^n$ en potencias ascendentes de $x$, donde $n\ge 3$.

a) Escriba los cuatro primeros términos del desarrollo. Los coeficientes de los términos segundo, tercero y cuarto del desarrollo son términos consecutivos de una progresión aritmética.

b) (i) Muestre que $n^3-9n^2+14n=0$.

(ii) A partir de lo anterior, halle el valor de $n$.

La razón entre el quinto término y el duodécimo término de una progresión aritmética es $\frac{6}{13}$. Si cada término de esta progresión es positivo, y el producto del primer término y el tercer término es $32$, encuentre la suma de los primeros $100$ términos de esta progresión.

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión $\{u_n\}$ viene dada por $S_n=3n^2-2n$, donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) Escriba el valor de $u_1$.

b) Halle el valor de $u_6$.

c) Demuestre que $\{u_n\}$ es una progresión aritmética, indicando claramente cuál es la diferencia de la progresión.

Encontrar una expresión para la suma de los primeros $35$ términos de la serie $$\ln x^2+\ln \frac{x^2}{y}+\ln \frac{x^2}{y^2}+\ln \frac{x^2}{y^3}+\dots$$ dando su respuesta en la forma $\ln \frac{x^m}{y^n}$, donde $m,n\in \mathbb{N}$.

En una progresión aritmética, el primer término es $60$ y la diferencia común es $-2,5$.

a) Sabiendo que el término $k$-ésimo de la progresión es cero, halle el valor de $k$. Sea $S_n$ la suma de los $n$ primeros términos de la progresión.

b) Halle el valor máximo de $S_n$.

Considere la progresión aritmética $u_8=S_8=8$. Calcule el valor del primer término, $u_1$, y el valor de la diferencia común, $d$.

Los primeros términos de una progresión aritmética son $\frac{1}{{\log }_{2}x},\frac{1}{{\log }_{8}x},\frac{1}{{\log }_{32}x},\frac{1}{{\log }_{128}x},\dots$

Calcule $x$ si la suma de los $20$ primeros términos de la progresión es igual a $100$.

El término $n$-simo, $u_n$, de una progresión geométrica viene dado por $u_n=3(4{)}^{n+1}$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

a) Calcule la razón común $r$.

b) Calcule $S_n$, la suma de los $n$ primeros términos de la progresión.

Una progresión geométrica tiene como primer término 2 y la razón común es 1,05. Halle el valor del menor de los términos mayores de 500.

La suma de los dos primeros términos de una serie geométrica es igual a 10, mientras que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 30.

a) Compruebe que la razón común $r$ satisface $r^2=2$.

b) Sabiendo que $r=\sqrt{2}$,

(i) Halle el primer término.

(ii) Halle la suma de los diez primeros términos.

Los términos primero y cuarto de una serie geométrica son, respectivamente, $18$ y $-\frac{2}{3}$. Halle:

a) la suma de los $n$ primeros términos de la serie.

b) la suma de los infinitos términos de la serie.

Suponga que $u_1$ es el primer término de una serie geométrica de razón $r$. Demuestre mediante inducción matemática que la suma de los $n$ primeros términos, $S_n$, viene dada por $S_n=\frac{u_1\left(1-r^n\right)}{1-r}$, donde $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Una barra de metal de 1 metro de longitud se corta en 10 piezas, cuyas longitudes forman una progresión geométrica. La pieza más larga tiene una longitud igual a 8 veces la longitud de la pieza más corta. Halle la longitud de la pieza más corta, redondeando al milímetro más cercano.

Considere una progresión geométrica donde el primer término es $4$ y el cuarto término es $-2,916$.

a) Halle la razón común de esta progresión.

b) Halle la suma de los infinitos términos de esta progresión.

Sea una progresión geométrica donde el primer término es $50$ y el cuarto término es $86,4$. Sea $S_n$ la suma de los $n$ primeros términos de la progresión. Halle el valor más pequeño de $n$ para el cual $S_n>33500$.

Si $a_1,a_2,a_3,\dots$ son términos de una progresión geométrica de razón común $r\ne 1$, utilice la inducción matemática para comprobar que $$(a_1-a_2{)}^2+(a_2-a_3{)}^2+(a_3-a_4{)}^2+\dots +(a_n-a_{n+1}{)}^2=\frac{a_1^2(1-r)\left(1-r^{2n}\right)}{1+r}$$

Calcule el valor de $k$ si $\sum _{r=1}^{\infty }k{\left(\frac{1}{3}\right)}^r=7$

a) Halle la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica: $27;-9;3;-1;\dots$

b) Utilice la inducción matemática para demostrar que para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ se cumple $$a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

Cada vez que una pelota bota, alcanza un 95% de la altura lograda en el bote anterior. Inicialmente la pelota se deja caer desde una altura de 4 metros.

a) ¿Qué altura alcanza la pelota después del cuarto bote?

b) ¿Cuántas veces bota la pelota antes de que ya no alcance una altura de 1 metro?

c) ¿Cuál es la distancia total que recorre la pelota?

En una progresión geométrica, el primer término es $a$, la razón común es $r$ y la suma de los infinitos términos es igual a 76. En una segunda progresión geométrica, el primer término es $a$, la razón común es $r^3$ y la suma de los infinitos términos es igual a 36. Halle $r$.

La suma de una serie geométrica infinita es $\frac{27}{2}$, y la suma de los tres primeros términos es 13. Calcule el primer término.

Considere la serie geométrica infinita $1+\left(\frac{2x}{3}\right)+{\left(\frac{2x}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2x}{3}\right)}^3+\dots$

a) ¿Para qué valores de $x$ la serie es convergente?

b) Calcule la suma de la serie si $x=1,2$.

Una sucesión geométrica tiene todos sus términos positivos. La suma de los dos primeros términos es 15 y la suma de los infinitos términos de la sucesión es 27. Halle el valor de:

a) la razón común.

b) el primer término

Una progresión geométrica tiene una razón común negativa. La suma de los dos primeros términos es $6$. La suma infinita es $8$. Calcule la razón común y el primer término.

La suma infinita de una serie geométrica es $32$. La suma de los cuatro primeros términos es $30$ y todos los términos son positivos. Halle la diferencia entre la suma infinita y la suma de los ocho primeros términos.

Una serie geométrica infinita esta dada por $\sum _{k=1}^{\infty }2(4-3x{)}^k$.

a) Calcule los valores de $x$ para los cuales la serie tenga suma finita.

b) Para $x=1,2$, calcule el mínimo número de términos necesarios para que la suma sea mayor que 1,328.

a) Halle el conjunto de valores de $x$ para los cuales la serie $\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{2x}{x+1}\right)}^n$ tiene una suma infinita.

b) A partir de lo anterior, halle dicha suma, en función de $x$.

La suma del segundo y el tercer término de una progresión geométrica es igual a $96$. La suma de los infinitos términos de esta progresión es igual a $500$. Halle los posibles valores de la razón común, $r$.

Una pelota de goma se deja caer desde una altura de $81$ metros. Cada vez que golpea el suelo, rebota a dos tercios de la distancia desde la que ha caído.

a) Encuentre la altura máxima de la pelota entre el quinto rebote y el sexto rebote.

b) Cuál es el total de la distancia recorrida por la pelota desde cuando se deja caer hasta el momento en que golpea el suelo por sexta vez?

c) Supongamos que la pelota continúa botando indefinidamente. Cuál es la distancia total recorrida por la pelota?

La razón común de los términos en una serie geométrica es $2^x$.

a) Indique el conjunto de valores de $x$ para los cuales existe la suma a infinito de la serie.

b) Si el primer término de la serie es $35$, hallar el valor de $x$ para el cual la suma infinita es $40$.

La suma de los primeros $n$ términos de una progresión geométrica viene dada por $$S_n=\sum _{r=1}^n\frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{7}{8}\right)}^r$$

a) Encuentre el primer término de la progresión, $u_1$.

b) Calcule $S_{\infty }$.

c) Calcule el menor valor de $n$ para el que $S_{\infty }-S_n<0,001$.

Un círculo de 2 cm de radio se divide en un número infinito de sectores circulares. Las áreas de estos sectores circulares forman una progresión geométrica, de razón común igual a $k$. El ángulo del primer sector circular es igual a $\theta$ radianes.

a) Compruebe que $\theta =2\pi (1-k)$.

b) El perímetro del tercer sector circular mide la mitad que el perímetro del primer sector circular. Halle el valor de $k$ y de $\theta$.

La suma, $S_n$, de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica, cuyo término $n$-ésimo es $u_n$, viene dada por $S_n=\frac{7^n-a^n}{7^n}$, donde $a>0$.

a) Halle una expresión para $u_n$.

b) Halle el primer término y la razón común de la progresión.

c) Considere la suma de los infinitos términos de la progresión.

(i) Determine los valores de $a$ para los cuales existe la suma de los infinitos términos de la progresión.

(ii) Halle la suma de los infinitos términos, cuando esta suma existe.

La suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética $\{u_n\}$ viene dada por la expresión $S_n=4n^2-2n$. Tres términos de esta progresión, $u_2$, $u_m$ y $u_{32}$, son términos consecutivos de una progresión geométrica. Halle $m$.

a) La suma de los seis primeros términos de una serie aritmética es igual a 81. La suma de los once primeros términos es igual a 231. Halle el primer término y la diferencia común.

b) La suma de los dos primeros términos de una serie geométrica es igual a 1, mientras que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 5. Sabiendo que todos sus términos son positivos, Halle el primer término y la razón común.

c) El término $r$-ésimo de una nueva serie se define como el producto del término $r$-ésimo de la serie aritmética y el término $r$-ésimo de la serie geométrica anteriormente mencionadas. Compruebe que el término $r$-ésimo de esta nueva serie es $(r+1)\cdot 2^{r-1}$.

En una progresión aritmética, el primer término es $a$ y la diferencia común es igual a $d$, $d\ne 0$. Los términos 3º, 4º y 7º de esta progresión aritmética son los tres primeros términos de una progresión geométrica.

a) Compruebe que $a=-\frac{3}{2}d$.

b) Compruebe que el 4º término de la progresión geométrica es el término 16º de la progresión aritmética.

En la progresión aritmética $\{u_n:n\in \mathbb{Z}\}$, el primer término es $u_1=1,6$ y la diferencia común es $d=1,5$. En la progresión geométrica $\{v_n:n\in \mathbb{Z}\}$, el primer término es $v_1=3$ y la razón es $r=1,2$.

a) Halle una expresión para $u_n-v_n$ en función de $n$.

b) Determine el conjunto de valores de $n$ para los cuales $u_n>v_n$.

c) Determine el mayor valor de $u_n-v_n$. Dé la respuesta con una aproximación de cuatro cifras significativas.

Los tres términos $a$, $1$, $b$ están en progresión aritmética. Los tres términos $1$, $a$, $b$ están en progresión geométrica. Halle el valor de $a$ y de $b$, sabiendo que $a\ne b$.

En una progresión geométrica $u_1,u_2,u_3,\dots$ $u_1=27$ y su suma infinita es $\frac{81}{2}$.

a) Encuentre la razón común de la progresión geométrica.

Una progresión aritmética $v_1,v_2,v_3,\dots ,\dots$ es tal que $v_2=u_2$ y $v_4=u_4$.

b) Hallar el mayor valor de $N$ tal que $\sum _{n=1}^N{v}_n>0$.

Una progresión aritmética $u_1,u_2,u_3,\dots$ tiene $u_1=1$ y diferencia común $d\ne 0$.

Sabiendo que $u_2$, $u_3$ y $u_6$ son los primeros tres términos de una progresión geométrica.

a) Calcule el valor de $d$.

Sabiendo que $u_N=-15$

b) Determine el valor de $\sum _{r=1}^N{u}_r$.

Los términos $1^{\text{º}}$, $4^{\text{º}}$ y $8^{\text{º}}$ de una progresión aritmética cuya diferencia común es $d$, $d\ne 0$, son los tres primeros términos de una progresión geométrica cuya razón común es $r$.

Sabiendo que el $1^{\text{er}}$ término de ambas progresiones es $9$, halle

a) el valor de $d$

b) el valor de $r$.

El primero, el segundo y el $n$-ésimo términos de una progresión aritmética son $2$, $6$ y $58$ respectivamente.

a) Calcule el valor de $n$.

b) Para ese valor de $n$, calcule el valor exacto de la suma de los $n$ términos de una progresión geométrica cuyo primer término es $2$ y la razón común es $\frac{1}{2}$.

a) Compruebe que $p=2$ es solución de la ecuación $p^3+p^2-5p-2=0$.

b) Halle los valores de $a$ y de $b$ para los cuales se cumple: $p^3+p^2-5p-2=(p-2)(p^2+ap+b)$.

c) A partir de lo anterior, halle las otras dos raíces de la ecuación $p^3+p^2-5p-2=0$.

d) La diferencia común de una progresión aritmética es igual a $p$. Por otro lado, la razón común de una progresión geométrica es también igual a $p$. El primer término de ambas progresiones es 1.

(i) Escriba, en función de $p$, los cuatro primeros términos de cada progresión.

(ii) Si la suma del tercer y del cuarto término de la progresión aritmética es igual a la suma del tercer y del cuarto término de la geométrica, halle los tres posibles valores de $p$.

(iii) ¿Para qué valor de $p$, de los obtenidos en el apartado (d)(ii), existe la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica?

(iv) Para ese mismo valor de $p$, halle la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética, expresando la respuesta en la forma $a+b\sqrt{c}$, donde $a,b,c\in \mathbb{Z}$.

El séptimo, el tercer y el primer término de una progresión aritmética constituyen los tres primeros términos de una progresión geométrica. En la progresión aritmética, el primer término es $a$ y la diferencia común, no nula, es $d$.

a) Muestre que $d=\frac{a}{2}$. El séptimo término de la progresión aritmética es 3. La suma de los $n$ primeros términos de la progresión aritmética supera a la suma de los $n$ primeros términos de la progresión geométrica por al menos 200.

b) Halle el menos valor de $n$ para el cual sucede esto.

Los tres primeros términos de una progresión geométrica son el primero, el decimoprimero y el decimosexto términos de una progresión aritmética. Todos los términos de la progresión geométrica son diferentes. La suma infinita de la progresión geométrica es $18$.

a) Calcule la razón común de la progresión geométrica.

b) Calcule la diferencia común de la progresión aritmética.

La ecuación cúbica $x^3+p{x}^2+qx+c=0$, tiene por raíces $\alpha$, $\beta$, $\gamma$. Desarrollando $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$, muestre que:

a) (i) $p=-(\alpha +\beta +\gamma )$

(ii) $q=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

(iii) $c=-\alpha \beta \gamma$ Ahora se sabe que $p=-6$ y $q=18$ para los apartados (b) y (c).

b) (i) En el caso en que las tres raíces $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ forman una progresión aritmética, muestre que una de las raíces es $2$.

(ii) A partir de lo anterior, determine el valor de $c$.

c) En otro caso, las tres raíces $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ forman una progresión geométrica. Determine el valor de $c$.

La progresión geométrica $u_1,u_2,u_3,\dots$ tiene razón común $r$.

Considere la progresión $A=\left\{a_n={\log }_2|u_n|:n\in {\mathbb{Z}}^{+}\right\}$.

a) Muestre que $A$ es una progresión aritmética, e indique cuál es la diferencia común, $d$, en función de $r$.

En una progresión geométrica en particular, $u_1=3$ y la suma de los infinitos términos es igual a $4$.

b) Halle el valor de $d$.

Una función polinómica viene dada por $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$.

Las raíces de la ecuación polinómica $f(x)=0$ son términos consecutivos de una progresión geométrica cuya razón común es igual a $\frac{1}{2}$ y cuyo primer término es $2$. Sabiendo que $a_{n-1}=-63$ y $a_n=16$, halle

a) el grado del polinomio;

b) el valor de $a_0$.

Sea $\{u_n\}$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, una sucesión aritmética con primer término igual a $a$ y diferencia común $d$, donde $d\ne 0$. Sea otra sucesión $\{v_n\}$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, definida por $v_n=2^{u_n}$.

a) (i) Demuestre que $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ es una constante.

(ii) Escriba el primer término de la sucesión $\{v_n\}$.

(iii) Escriba una fórmula para $v_n$ en función de $a$, $d$ y $n$. Sea $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos de la sucesión $\{v_n\}$.

b) (i) Escriba $S_n$, en función de $a$, $d$ y $n$.

(ii) Halle los valores de $d$ para los cuales $\sum _{i=1}^{\infty }{v}_i$ existe. Se sabe ahora que $\sum _{i=1}^{\infty }{v}_i$ existe y se denota por $S_{\infty }$.

(iii) Escriba $S_{\infty }$ en función de $a$ y $d$.

(iv) Sabiendo que $S_{\infty }=2^{a+1}$ calcule el valor de $d$. Sea $\{w_n\}$, $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, una sucesión geométrica con primer término igual a $p$ y una razón común $q$, donde $p$ y $q$ son ambos mayores que cero. Sea ahora otra sucesión $\{z_n\}$ que se define por $z_n=\ln w_n$.

c) Calcule $\sum _{i=1}^n{z}_i$, dando su respuesta en la forma $\ln k$ con $k$ en función de $n$, $p$ y $q$.

Considere la serie $\ln x+p\ln x+\frac{1}{3}\ln x+\dots$ donde $x\in \mathbb{R}$, $x>1$ y $p\in \mathbb{R}$, $p\ne 0$.

a) Considere el caso donde la serie es geométrica.

(i) Muestre que $p=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(ii) Sabiendo que $p>0$ y $S_{\infty }=3+\sqrt{3}$, calcule el valor de $x$.

b) Ahora considere el caso donde la serie es aritmética con diferencia común $d$.

(i) Muestre que $p=\frac{2}{3}$.

(ii) Escriba $d$ en la forma $k\ln x$, donde $k\in \mathbb{Q}$.

(iii) La suma de los primeros $n$ términos de la serie es $-3\ln x$. Calcule el valor de $n$.

Se invierte una suma de $100$ dólares.

a) Si el interés se compone anualmente con una tasa de interés anual del $5\%$, halle el valor total $V$ de la inversión después de $20$ años.

b) Si el interés se compone mensualmente con una tasa de interés mensual del $\frac{5}{12}\%$, halle el número mínimo de meses en el cual el valor de la inversión supera a $V$.

En esta pregunta, de todas las respuestas aproximadas con dos cifras decimales. Sam invierte $1700$ dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés nominal anual de $2,74\%$ compuesto semestralmente. Sam no realiza más pagos ni retiros de esta cuenta.

a) Encuentra la cantidad que Sam tendrá en su cuenta después de $10$ años. David también invierte $1700$ dólares en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés nominal del $r\%$, compuesto anualmente. David no realiza más pagos ni retiros de esta cuenta.

b) Encuentre el valor de $r$ requerido para que la cantidad en la cuenta de David después de $10$ años sea igual a la cantidad en la cuenta de Sam.

c) Calcula el interés que ganará David durante los $10$ años.

Se sabe que la cantidad de peces en un lago determinado disminuirá en un $7\%$ cada año, a menos que se agreguen algunos peces nuevos. Al final de cada año, se agregan $250$ peces nuevos al lago. A principios de 2018, hay $2500$ peces en el lago.

a) Muestre que habrá aproximadamente $2645$ peces en el lago a principios de 2020.

b) Encuentre el número aproximado de peces en el lago al inicio de 2042.

Phil pide un préstamo bancario de $150000$ dólares para comprar una casa, a una tasa de interés anual del $3,5\%$. El interés se calcula al final de cada año y se suma al monto pendiente.

a) Encuentre la cantidad que Phil le paga al banco después de $20$ años. De su respuesta al dólar más cercano. Para pagar el préstamo, Phil hace depósitos anuales de $P$ dólares al final de cada año en una cuenta de ahorros, que paga una tasa de interés anual del $2\%$. Él hace su primer depósito al final del primer año después de pedir el préstamo.

b) Muestre que el valor total de los ahorros de Phil después de $20$ años es $\frac{\left(1,02^{20}-1\right)P}{(1,02-1)}$.

c) Sabiendo que el objetivo de Phil es ser dueño de la casa después de $20$ años, calcule el valor de $P$ al dólar más próximo. David visita un banco diferente y consigue un depósito de $Q$ dólares, a un interés anual del $2,8\%$.

d) (i) David desea retirar $5000$ dólares al final de cada año por un período de $n$ años. Muestre que una expresión para el valor mínimo de $Q$ es $\frac{5000}{1,028}+\frac{5000}{1,028^2}+\dots +\frac{5000}{1,028^n}$.

(ii) Usando lo anterior o de cualquier manera, calcule el valor mínimo de $Q$ que le permitiría a David retirar cantidades anuales de $5000$ dólares indefinidamente. Muestre su respuesta al dólar más próximo.

El día que nació, el 1 de enero de 1998, los abuelos de Mary invirtieron $x$ dólares en una cuenta de ahorro. A partir de ese momento, fueron depositando $x$ dólares todos los meses, el primer día del mes. La cuenta ofrecía un tipo de interés fijo del $0,4\%$ mensual. El interés se calculaba el último día de cada mes y se añadía a la cuenta. Sea $A_n$ dólares la cantidad que hay en la cuenta de Mary el último día del mes $n$-ésimo, justo después de que se haya añadido el interés.

a) Halle una expresión para $A_1$ y muestre que $A_2=1,004^{2}x+1,004x$.

b) (i) Escriba una expresión similar para $A_3$ y otra para $A_4$.

(ii) A partir de lo anterior, muestre que la cantidad que había en la cuenta de Mary la víspera del día que cumplió $10$ años viene dada por $251\left(1,004^{120}-1\right)x$.

c) Escriba, en función de $x$, una expresión para $A_n$ en la víspera del día que Mary cumplió $18$ años, donde se muestre claramente el valor de $n$.

d) Los abuelos de Mary querían que en su cuenta hubiera al menos $20000$ dólares la víspera del día que cumpliera $18$ años. Determine el valor mínimo del depósito mensual $x$ dólares que se requiere para conseguir este objetivo. Dé la respuesta aproximando al número entero de dólares más próximo.

e) Inmediatamente después de cumplir $18$ años, Mary decide invertir $15000$ dólares de este dinero en una cuenta del mismo tipo, obteniendo un $0,4\%$ de interés mensual. Todos los años, retira $1000$ dólares el día de su cumpleaños, para comprarse un obsequio. Determine cuánto tiempo transcurrirá antes de que no quede dinero en la cuenta.