Interés simple y compuesto, crecimiento y depreciación

Interés simple: una progresión aritmética

Cuando se deposita un capital, el banco paga un interés a cambio. El porcentaje anual que se indica en el contrato es el tipo de interés nominal anual, $r\%$. El capital inicial se llama $C_0$.

En el interés simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, de modo que cada año se suma la misma cantidad:

$$\text{intereˊs de cada an˜o}=C_0\cdot \frac{r}{100}$$

Por tanto, los capitales al final de cada año forman una progresión aritmética de diferencia $d=C_0\frac{r}{100}$. Esto enlaza con las progresiones aritméticas: $C_n=C_0+nd$.

Por qué es cierta: cada año se añaden $C_0\frac{r}{100}$, y al cabo de $n$ años se han añadido $n$ veces esa cantidad.

Interés compuesto: una progresión geométrica

En el interés compuesto los intereses de cada periodo se suman al capital y, desde ese momento, también producen intereses. Si el tipo es $r\%$ anual y los intereses se abonan una vez al año, el capital se multiplica cada año por el mismo número:

$$C_1=C_0+C_0\frac{r}{100}=C_0\left(1+\frac{r}{100}\right)$$

Un aumento del $r\%$ equivale a multiplicar por $1+\frac{r}{100}$. En el año siguiente se vuelve a multiplicar por ese número, y así sucesivamente. Es una progresión geométrica de razón $1+\frac{r}{100}$ (véase las progresiones geométricas).

Un detalle sobre la notación: si se usa $u_1$ para el capital tras el primer año, entonces $u_n=C_0(1+\frac{r}{100}{)}^n$ y el capital inicial es $C_0=u_0$. La fórmula $u_n=u_1{r}^{n-1}$ del apartado anterior sigue valiendo, pero aquí es más cómodo contar desde el capital inicial.

Capitalización $k$ veces al año

Muchos contratos abonan los intereses cada mes, cada trimestre o cada semestre. Sea $k$ el número de periodos de capitalización por año: $k=12$ (mensual), $k=4$ (trimestral), $k=2$ (semestral), $k=1$ (anual). El tipo nominal anual se reparte entre los periodos, de modo que en cada uno el capital se multiplica por $1+\frac{r}{100k}$, y en $n$ años hay $kn$ periodos.

Con el mismo tipo nominal, capitalizar más veces al año da más dinero, porque los intereses empiezan a producir intereses antes. Por ejemplo, $1000$ euros al $5\%$ nominal durante $3$ años se convierten en:

Con interés simple, esos mismos $1000$ euros darían solo $1000\left(1+3\cdot \frac{5}{100}\right)=1150$ euros.

Crecimiento y depreciación

La fórmula del interés compuesto no es solo cosa del dinero. Sirve para cualquier magnitud que cambie cada periodo en un porcentaje fijo, es decir, que se multiplique por el mismo número.

Ejemplos de las dos situaciones:

• Una población de $12000$ habitantes que crece un $3\%$ al año tiene $12000\cdot 1,03^n$ habitantes tras $n$ años. Tras $10$ años, $12000\cdot 1,03^{10}\approx 16127$ personas.
• Una máquina que pierde un $10\%$ de su valor cada año se multiplica por $0,9$ anualmente: su valor tras $n$ años es $V_0\cdot 0,9^n$.

Si no te dan el porcentaje, sino dos valores de la progresión, la razón sale del cociente. Si una población pasa de $5000$ a $5405$ en dos años y se supone geométrica, $q^2=\frac{5405}{5000}=1,081$, de modo que $q=1,0397\dots$ y el crecimiento anual es de unos $4\%$. Cuando el enunciado habla de «años», fíjate en si pregunta por el valor tras $n$ años (hay $n$ factores) o por el $n$-ésimo término de la lista (hay $n-1$ factores si empieza en el primer año).

Hallar el tiempo necesario

Una pregunta frecuente es: ¿cuánto tiempo tarda el capital (o la población) en llegar a cierta cantidad? Hay que despejar $n$, que está en el exponente, y para eso se usan los logaritmos (véase los logaritmos).

Redondeo e interpretación del resultado

• Dinero. Los importes se dan con dos decimales (céntimos). Redondea solo al final del cálculo; si redondeas la razón $1+\frac{r}{100k}$ antes de elevar, el error se multiplica. Los intereses son la diferencia entre el capital final y el inicial.
• Personas, objetos. Una población se da como número entero.
• «Años enteros». Si el enunciado pregunta «¿cuántos años enteros hacen falta para superar…?» o «¿a partir de qué año…?», la respuesta es el menor entero que cumple la condición. Si $n>8,53$, la respuesta es $9$ (y también lo sería con $n>8,2$): hay que redondear hacia arriba, porque en $8$ años todavía no se alcanza. Con una depreciación («el valor baja de…») se razona igual: se busca el primer año entero en que la condición ya se cumple.
• Intereses abonados por periodos. Si los intereses se abonan solo al final de cada periodo, el capital no cambia dentro del periodo. Con capitalización trimestral, el capital es el mismo durante los tres meses; por eso, el tiempo en el que realmente se supera una cantidad es un número entero de trimestres, y puede ser mayor que el que da la fórmula con $n$ real.