IB Análisis y Enfoques NS · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 1 de 3

Progresiones aritméticas: término general, suma y notación sigma

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una progresión aritmética es una lista de números en la que se pasa de cada uno al siguiente sumando siempre la misma cantidad. Con dos fórmulas, la del término general y la de la suma, puedes obtener cualquier término o sumar cientos de ellos sin escribirlos. Es la base del tema y aparece en la Prueba 1 y en la Prueba 2, sola o dentro de problemas de contexto.

Sucesiones y término general

Una sucesión es una lista ordenada de números: un primer término, un segundo, un tercero y así sucesivamente. Se escribe $u_{1}, u_{2}, u_{3}, \dots, u_{n}, \dots$ , donde el subíndice $n \in Z^{+}$ indica la posición.

Hay dos maneras habituales de describir una sucesión:

Con el término general, una fórmula que da $u_{n}$ directamente a partir de $n$ . Por ejemplo, $u_{n} = n^{2} + 1$ da $2, 5, 10, 17, \dots$ y permite calcular $u_{50} = 2501$ sin pasar por los anteriores.
Por recurrencia, una regla que da cada término a partir del anterior, junto con el primer término. Por ejemplo, $u_{1} = 3$ y $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$ dan $3, 5, 9, 17, \dots$ . Para llegar a $u_{50}$ hay que calcular los 49 anteriores.

Una definición por recurrencia siempre necesita su punto de partida, porque la regla sola no dice por dónde empezar.

Notación sigma

Para indicar una suma de términos se usa la letra griega $Σ$ :

Por ejemplo, $\sum_{r = 1}^{4} r^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ y $\sum_{r = 1}^{5} (2 r + 1) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35$ . El límite inferior no tiene por qué ser $1$ : $\sum_{r = 3}^{6} r = 3 + 4 + 5 + 6 = 18$ tiene cuatro sumandos, que son $6 - 3 + 1$ .

Dos reglas se deducen de la propia suma: una constante se puede sacar fuera, $\sum_{r = 1}^{n} c u_{r} = c \sum_{r = 1}^{n} u_{r}$ , y una suma de dos expresiones se puede separar en dos sumas. Además, sumar una constante $n$ veces da $\sum_{r = 1}^{n} c = n c$ .

Progresiones aritméticas

Por ejemplo, $7, 4, 1, - 2, \dots$ es aritmética con $u_{1} = 7$ y $d = - 3$ ; en cambio, $1, 2, 4, 8, \dots$ no lo es, porque $2 - 1 \neq = 4 - 2$ . Para comprobar que una sucesión es aritmética hay que ver que todas las diferencias consecutivas coinciden; con dos no basta.

Término general

Partiendo de $u_{1}$ y sumando $d$ cada vez: $u_{2} = u_{1} + d$ , $u_{3} = u_{1} + 2 d$ , $u_{4} = u_{1} + 3 d$ . Para llegar a $u_{n}$ se han dado $n - 1$ pasos de tamaño $d$ .

Fíjate en que el número de pasos es $n - 1$ y no $n$ : el primer término no ha recibido ninguna suma. Si escribes la fórmula desarrollada, $u_{n} = d n + (u_{1} - d)$ , ves que es una expresión de primer grado en $n$ , con la diferencia $d$ como coeficiente de $n$ . Por eso los puntos $(n, u_{n})$ están alineados.

Si se conocen dos términos cualesquiera, $u_{p}$ y $u_{q}$ , la diferencia entre ellos es $u_{q} - u_{p} = (q - p) d$ , de modo que $d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}$ .

Suma de los primeros términos

Cuando se suman los términos de una progresión se obtiene una serie; en una progresión aritmética, una serie aritmética. La suma de los $n$ primeros términos se denota $S_{n} = \sum_{r = 1}^{n} u_{r}$ .

Existe un truco, atribuido al joven Gauss, para sumar $1 + 2 + \dots + 100$ : se escribe la suma dos veces, la segunda al revés, y se suman columna a columna.

$1100 + 2 + 99 + 3 + 98 + \dots + 99 + \dots + 2 + 100 + 1$

Cada columna suma $101$ y hay $100$ columnas, así que el doble de la suma es $100 \cdot 101$ y la suma vale $5050$ . La misma idea funciona con cualquier progresión aritmética, porque al avanzar un puesto en la primera fila se suma $d$ y en la segunda se resta $d$ : todas las columnas suman lo mismo, $u_{1} + u_{n}$ .

Demostración. Escribimos $S_{n}$ dos veces:

$S_{n} S_{n} = u_{1} + (u_{1} + d) + \dots + (u_{n} - d) + u_{n} = u_{n} + (u_{n} - d) + \dots + (u_{1} + d) + u_{1}$

Al sumar columna a columna, cada columna da $u_{1} + u_{n}$ y hay $n$ columnas, luego $2 S_{n} = n (u_{1} + u_{n})$ . La segunda forma sale de sustituir $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ .

La primera forma tiene una lectura sencilla: la suma es el número de términos por la media del primero y del último. Úsala cuando conozcas $u_{n}$ ; usa la segunda cuando solo conozcas $u_{1}$ y $d$ .

Hallar $u_{1}$ y $d$ a partir de dos datos

Una progresión aritmética queda determinada por $u_{1}$ y $d$ . Si el enunciado da dos datos (dos términos, un término y una suma, la suma y el último término…), cada dato se traduce en una ecuación con $u_{1}$ y $d$ como incógnitas, y se resuelve el sistema.

Si los datos son términos separados por varios puestos, la resta de las dos ecuaciones da $(q - p) d = u_{q} - u_{p}$ directamente.

Cuántos términos hay que sumar para superar una cantidad

En muchos problemas de contexto se pregunta cuántos términos hacen falta para que la suma pase de un valor $K$ . Como $S_{n}$ es una expresión de segundo grado en $n$ , se plantea la desigualdad $S_{n} > K$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Reconocer una progresión y calcular términos

La sucesión $5, 9, 13, 17, \dots$ es una progresión aritmética.

a) Halla la diferencia común $d$ .

b) Escribe el término general $u_{n}$ .

c) Calcula $u_{30}$ .

d) ¿Qué posición ocupa el término $205$ ?

e) Escribe la regla de recurrencia que define la sucesión.

Solución

a) $d = 9 - 5 = 4$ . Se comprueba con otra pareja: $13 - 9 = 4$ .

b) Con $u_{1} = 5$ y $d = 4$ :

$u_{n} = 5 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n + 1$

c) $u_{30} = 4 \cdot 30 + 1 = 121$ .

d) Se busca $n$ con $u_{n} = 205$ : $4 n + 1 = 205$ , luego $n = 51$ . El término $205$ ocupa el puesto $51$ . (En cambio, $100$ no es un término: $4 n + 1 = 100$ da $n = \frac{99}{4}$ , que no es entero.)

e) $u_{1} = 5$ y $u_{n + 1} = u_{n} + 4$ .

Ejemplo 2 Medio

Hallar $u_{1}$ y $d$ desde dos términos y sumar

En una progresión aritmética, $u_{4} = 17$ y $u_{9} = - 3$ .

a) Halla la diferencia común $d$ .

b) Halla el primer término $u_{1}$ .

c) Escribe el término general $u_{n}$ .

d) Calcula la suma de los veinte primeros términos, $S_{20}$ .

Solución

a) Restando $u_{4}$ de $u_{9}$ hay $9 - 4 = 5$ pasos de tamaño $d$ :

$u_{9} - u_{4} = 5 d ⟹ - 3 - 17 = 5 d ⟹ d = - 4$

b) Como $u_{4} = u_{1} + 3 d$ : $17 = u_{1} + 3 (- 4)$ , luego $u_{1} = 29$ . Comprobación con $u_{9} = 29 + 8 (- 4) = - 3$ .

c) $u_{n} = 29 + (n - 1) (- 4) = 33 - 4 n$ .

d) Primero $u_{20} = 33 - 80 = - 47$ . Entonces

$S_{20} = \frac{20}{2} (u_{1} + u_{20}) = 10 (29 - 47) = - 180$

Con la otra forma: $S_{20} = 10 (2 \cdot 29 + 19 \cdot (- 4)) = 10 (58 - 76) = - 180$ .

Ejemplo 3 Difícil

Ahorro semanal: término general, suma y cuándo se supera una meta

Una alumna ahorra para un viaje. La primera semana mete $12$ euros en una hucha y cada semana siguiente mete $5$ euros más que la anterior.

a) Halla una expresión para el ingreso $u_{n}$ de la semana $n$ y calcula el ingreso de la semana $20$ .

b) Expresa el total ahorrado tras $n$ semanas como una suma con notación sigma y halla una fórmula de $S_{n}$ en función de $n$ .

c) Halla el menor número de semanas necesario para tener más de $1000$ euros.

Solución

a) Los ingresos forman una progresión aritmética con $u_{1} = 12$ y $d = 5$ :

$u_{n} = 12 + (n - 1) \cdot 5 = 5 n + 7$

Para la semana $20$ : $u_{20} = 5 \cdot 20 + 7 = 107$ euros.

b) El total tras $n$ semanas es

$S_{n} = r = 1 \sum n (5 r + 7)$

Aplicando la fórmula con $u_{1} = 12$ y $d = 5$ :

$S_{n} = \frac{n}{2} (2 \cdot 12 + (n - 1) \cdot 5) = \frac{n}{2} (5 n + 19) = \frac{5 n ^{2} + 19 n}{2}$

Comprobación con $n = 2$ : la suma real es $12 + 17 = 29$ y la fórmula da $\frac{2 \cdot 29}{2} = 29$ .

c) Se plantea $S_{n} > 1000$ :

$\frac{5 n ^{2} + 19 n}{2} > 1000 ⟺ 5 n^{2} + 19 n - 2000 > 0$

La ecuación $5 n^{2} + 19 n - 2000 = 0$ tiene como raíz positiva $n = \frac{- 19 + 40361}{10} \approx 18, 19$ . La expresión $S_{n}$ es creciente para $n > 0$ , así que hay que pasar de ese valor, y como $n$ es entero se redondea hacia arriba: $n = 19$ .

Comprobación: $S_{18} = \frac{5 \cdot 324 + 19 \cdot 18}{2} = 981 < 1000$ y $S_{19} = \frac{5 \cdot 361 + 19 \cdot 19}{2} = 1083 > 1000$ .

En el examen: se puntúa identificar $u_{1}$ y $d$ , usar bien la fórmula de la suma y plantear la desigualdad. El error habitual en c) es redondear $18, 19$ a $18$ : con $18$ semanas se tienen $981$ euros, todavía menos de $1000$ . En la Prueba 2 la raíz se obtiene con la CPG, pero conviene escribir la desigualdad y comprobar $S_{18}$ y $S_{19}$ .

Errores típicos

Resumen

Una sucesión se describe con el término general $u_{n}$ o por recurrencia ( $u_{n + 1}$ en función de $u_{n}$ , con el primer término). $\sum_{r = 1}^{n} u_{r} = u_{1} + \dots + u_{n}$ .
Progresión aritmética: $u_{n + 1} = u_{n} + d$ , con diferencia común $d$ constante.
Término general: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ , y $d = \frac{u _{q} - u _{p}}{q - p}$ para dos términos cualesquiera.
Suma: $S_{n} = \frac{n}{2} (u_{1} + u_{n}) = \frac{n}{2} (2 u_{1} + (n - 1) d)$ , obtenida sumando la serie con ella misma al revés.
Con dos datos se plantea un sistema para $u_{1}$ y $d$ . Para saber cuántos términos superan una cantidad se resuelve $S_{n} > K$ y se redondea el resultado hacia arriba.
La suma de un tramo de $u_{p}$ a $u_{q}$ es $S_{q} - S_{p - 1}$ , con $q - p + 1$ términos.

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Sucesiones y término general

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Término general

Suma de los primeros términos

Hallar u1​ y d a partir de dos datos

Cuántos términos hay que sumar para superar una cantidad

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Errores típicos

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