IB Análisis y Enfoques NS · Progresiones aritméticas y geométricas · Apartado 2 de 3

Progresiones geométricas y suma infinita

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una progresión geométrica es una lista de números en la que cada uno se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, la razón. Con dos fórmulas, $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ y $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ , resuelves casi todas las preguntas; y si $∣ r ∣ < 1$ , la suma de infinitos términos tiene un valor finito, $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$ . Es un contenido habitual de la Prueba 1 y de la Prueba 2, a menudo combinado con una progresión aritmética.

Razón y término general

En una progresión aritmética se suma siempre lo mismo para pasar de un término al siguiente. En una geométrica se multiplica. Por ejemplo, $5, 10, 20, 40, \dots$ se obtiene multiplicando por $2$ , y $81, 27, 9, 3, \dots$ multiplicando por $\frac{1}{3}$ .

Si $r > 1$ y $u_{1} > 0$ , los términos crecen; si $0 < r < 1$ , se acercan a $0$ ; si $r < 0$ , los signos se alternan. Por eso, para hallar $r$ basta dividir dos términos consecutivos cualesquiera, comprobando después que el cociente se repite.

Para llegar a un término lejano no hace falta calcular todos los anteriores. Partiendo de $u_{1}$ se multiplica por $r$ una vez para llegar a $u_{2}$ , dos veces para llegar a $u_{3}$ , y así sucesivamente: para llegar a $u_{n}$ se multiplica $n - 1$ veces.

La segunda forma es la más cómoda cuando te dan dos términos que no son el primero: de $u_{5}$ a $u_{8}$ hay que multiplicar tres veces por $r$ , es decir, $u_{8} = u_{5} r^{3}$ . Si te dan dos términos, divídelos y obtendrás una potencia de $r$ .

Suma de los $n$ primeros términos

Para sumar $S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ hay un truco que conviene entender, porque explica la fórmula. Escribe la suma y, debajo, la misma suma multiplicada por $r$ :

$S_{n} r S_{n} = u_{1} + u_{1} r + u_{1} r^{2} + \dots + u_{1} r^{n - 1} = u_{1} + u_{1} r + u_{1} r^{2} + \dots + u_{1} r^{n - 1} + u_{1} r^{n}$

Al restar, todos los términos intermedios se cancelan y solo quedan el primero de arriba y el último de abajo:

$r S_{n} - S_{n} = u_{1} r^{n} - u_{1} ⟹ S_{n} (r - 1) = u_{1} (r^{n} - 1)$

Si $r \neq = 1$ se puede dividir por $r - 1$ .

Las dos formas son idénticas. Usa la primera cuando $r > 1$ y la segunda cuando $r < 1$ , para trabajar con números positivos. La fórmula necesita $u_{1}$ , $r$ y $n$ : el número de términos que sumas. Si empiezas a sumar en un término que no es el primero, calcula primero cuál es su valor y úsalo como $u_{1}$ (o resta dos sumas: $u_{k + 1} + \dots + u_{n} = S_{n} - S_{k}$ ).

Hallar $n$ con logaritmos

Cuando la incógnita es el número de términos, aparece en un exponente: por ejemplo, $u_{n} = u_{1} r^{n - 1} = B$ o $S_{n} = B$ . Se despeja la potencia y se toman logaritmos, como en logaritmos y propiedades:

$u_{1} r^{n - 1} = B ⟺ r^{n - 1} = \frac{B}{u _{1}} ⟺ (n - 1) ln r = ln \frac{B}{u _{1}} ⟺ n = 1 + \frac{ln ( B / u _{1} )}{ln r}$

Como $n$ debe ser un entero, hay que fijarse en lo que pide el enunciado.

Si pide cuándo se alcanza exactamente un valor y $n$ no sale entero, ese valor no es un término de la progresión.
Si pide cuándo se supera un valor, redondea hacia arriba al entero siguiente cuando los términos crecen.
Al dividir ambos miembros de una desigualdad por $ln r$ o por $ln \frac{1}{r}$ , mira el signo: si $0 < r < 1$ , entonces $ln r < 0$ y la desigualdad cambia de sentido.

Suma infinita

¿Qué ocurre si se suma sin parar? Mira $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ . Imagina un segmento de longitud $1$ : tomas su mitad, luego la mitad de lo que queda, luego la mitad de lo que queda de nuevo. Después de cada paso, lo que falta para llegar a $1$ es justo el último trozo que has añadido, y ese trozo se hace cada vez más pequeño. La suma se acerca a $1$ sin pasarse nunca.

Eso mismo se ve en la fórmula. Con $r = \frac{1}{2}$ y $u_{1} = \frac{1}{2}$ : $S_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - ( 1/2 ) ^{n}}{1/2} = 1 - (\frac{1}{2})^{n}$ , y la potencia $(\frac{1}{2})^{n}$ se acerca a $0$ al aumentar $n$ .

En general, en $S_{n} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ todo depende de lo que haga $r^{n}$ cuando $n$ crece:

Si $∣ r ∣ < 1$ , $r^{n}$ se hace tan pequeño como se quiera, y se acerca a $0$ .
Si $∣ r ∣ \geq 1$ , $r^{n}$ no se acerca a $0$ (se hace enorme, vale siempre $1$ o alterna entre $1$ y $- 1$ ), y la suma no se estabiliza en ningún número.

Se dice que la serie converge a $\frac{u _{1}}{1 - r}$ cuando $∣ r ∣ < 1$ . Es lo mismo que $- 1 < r < 1$ ; si el enunciado dice que «existe la suma infinita», eso ya te da la condición $- 1 < r < 1$ y puede servir para descartar soluciones.

Decimales periódicos

Un número decimal periódico es la suma infinita de una progresión geométrica de razón $\frac{1}{1 0 ^{k}}$ , donde $k$ es la longitud del período. Se escribe cada trozo del período como un término y se aplica la fórmula.

Por ejemplo, $0, 6 = 0, 6 + 0, 06 + 0, 006 + \dots$ tiene $u_{1} = 0, 6$ y $r = 0, 1$ , luego

$0, 6 = \frac{0 , 6}{1 - 0 , 1} = \frac{0 , 6}{0 , 9} = \frac{2}{3}$

Si el número tiene una parte no periódica, se separa: $0, 16 = 0, 1 + 0, 06 = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}$ .

Una progresión aritmética y otra geométrica

Un tipo de problema frecuente da una progresión aritmética y una geométrica relacionadas (por ejemplo, tres términos de una aritmética que son consecutivos de una geométrica, o dos progresiones con el mismo primer término). La clave es escribir cada término con la fórmula de su progresión, $u_{n} = u_{1} + (n - 1) d$ para la aritmética y $v_{n} = v_{1} r^{n - 1}$ para la geométrica, e igualar lo que el enunciado dice que coincide. Si los tres términos son consecutivos en la geométrica, usa $b^{2} = a c$ . Resuelve el sistema que salga y, antes de seguir, comprueba las soluciones con los datos (por ejemplo, $d \neq = 0$ si el enunciado lo exige).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Razón, término general y suma

En una progresión geométrica, $u_{2} = 12$ y $u_{5} = 96$ .

a) Halla la razón $r$ y el primer término $u_{1}$ .

b) Calcula $u_{10}$ .

c) Calcula la suma de los ocho primeros términos.

d) Halla el menor valor de $n$ para el que $u_{n} > 10000$ .

Solución

a) De $u_{2}$ a $u_{5}$ se multiplica tres veces por $r$ :

$u_{5} = u_{2} r^{3} ⟹ r^{3} = \frac{96}{12} = 8 ⟹ r = 2$

Como $u_{2} = u_{1} r$ , resulta $u_{1} = \frac{12}{2} = 6$ .

b) $u_{10} = 6 \cdot 2^{9} = 6 \cdot 512 = 3072$ .

c) Con $r > 1$ usamos $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ :

$S_{8} = \frac{6 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} = 6 \cdot 255 = 1530$

d) Se plantea $6 \cdot 2^{n - 1} > 10000$ , es decir, $2^{n - 1} > \frac{5000}{3} \approx 1666, 7$ . Tomando logaritmos (con $ln 2 > 0$ ):

$n - 1 > \frac{ln ( 5000/3 )}{ln 2} \approx 10, 70 ⟹ n > 11, 70$

El menor entero es $n = 12$ . Comprobación: $u_{11} = 6 \cdot 2^{10} = 6144 < 10000$ y $u_{12} = 6 \cdot 2^{11} = 12288 > 10000$ .

Ejemplo 2 Medio

Suma infinita y decimales periódicos

a) Escribe $0, 27 = 0, 272727 \dots$ como suma de una progresión geométrica infinita y exprésalo como fracción irreducible.

b) Calcula la suma infinita $12 - 4 + \frac{4}{3} - \frac{4}{9} + \dots$

c) Una progresión geométrica tiene suma infinita igual a $18$ y su segundo término vale $4$ . Halla los posibles valores de la razón $r$ .

Solución

a) El período tiene dos cifras: $0, 27 = 0, 27 + 0, 0027 + 0, 000027 + \dots$ , con $u_{1} = 0, 27$ y $r = 0, 01$ . Como $∣ r ∣ < 1$ :

$S_{\infty} = \frac{0 , 27}{1 - 0 , 01} = \frac{0 , 27}{0 , 99} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

b) Los términos tienen $u_{1} = 12$ y, dividiendo, $r = \frac{- 4}{12} = - \frac{1}{3}$ (se comprueba: $- 4 \cdot (- \frac{1}{3}) = \frac{4}{3}$ ). Como $∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1$ la suma existe:

$S_{\infty} = \frac{12}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{12}{4/3} = 9$

c) El segundo término es $u_{2} = u_{1} r = 4$ , luego $u_{1} = \frac{4}{r}$ . Con $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r} = 18$ :

$\frac{4}{r ( 1 - r )} = 18 ⟹ 9 r (1 - r) = 2 ⟹ 9 r^{2} - 9 r + 2 = 0$

$r = \frac{9 \pm 81 - 72}{18} = \frac{9 \pm 3}{18} ⟹ r = \frac{2}{3} o r = \frac{1}{3}$

Los dos valores cumplen $∣ r ∣ < 1$ , así que ambos sirven. Comprobación: con $r = \frac{1}{3}$ , $u_{1} = 12$ y $S_{\infty} = \frac{12}{2/3} = 18$ ; con $r = \frac{2}{3}$ , $u_{1} = 6$ y $S_{\infty} = \frac{6}{1/3} = 18$ .

Ejemplo 3 Difícil

Tres términos de una aritmética que forman una geométrica

Una progresión aritmética tiene primer término $u_{1} = 3$ y diferencia $d \neq = 0$ . Su segundo, su quinto y su decimocuarto término son, en este orden, tres términos consecutivos de una progresión geométrica.

a) Halla la diferencia $d$ de la progresión aritmética y la razón $r$ de la geométrica.

b) La progresión geométrica tiene como primer término el segundo término de la aritmética, $v_{1} = u_{2}$ , y la razón que has hallado. Calcula el menor número de términos $n$ para que su suma supere $1 0^{6}$ .

c) Calcula la suma de los veinte primeros términos de la progresión aritmética.

Solución

a) 1. Escribir los tres términos con $u_{n} = 3 + (n - 1) d$ :

$u_{2} = 3 + d u_{5} = 3 + 4 d u_{14} = 3 + 13 d$

Imponer la condición geométrica $b^{2} = a c$ para tres términos consecutivos:

$(3 + 4 d)^{2} = (3 + d) (3 + 13 d)$

Desarrollar y simplificar:

$9 + 24 d + 16 d^{2} = 9 + 42 d + 13 d^{2} ⟹ 3 d^{2} - 18 d = 0 ⟹ 3 d (d - 6) = 0$

Descartar $d = 0$ porque el enunciado exige $d \neq = 0$ . Queda $d = 6$ .
Los tres términos son $u_{2} = 9$ , $u_{5} = 27$ , $u_{14} = 81$ , y la razón es $r = \frac{27}{9} = 3$ (también $\frac{81}{27} = 3$ , luego es coherente).

b) La geométrica es $v_{n} = 9 \cdot 3^{n - 1}$ y su suma es

$S_{n} = \frac{9 ( 3 ^{n} - 1 )}{3 - 1} = \frac{9 ( 3 ^{n} - 1 )}{2}$

Se pide $\frac{9 ( 3 ^{n} - 1 )}{2} > 1 0^{6}$ , es decir, $3^{n} > \frac{2 \cdot 1 0 ^{6}}{9} + 1 \approx 222223, 2$ . Con logaritmos ( $ln 3 > 0$ ):

$n > \frac{ln ( 222 223 , 2 )}{ln 3} \approx 11, 21$

El menor entero es $n = 12$ . Comprobación: $S_{11} = 797157 < 1 0^{6}$ y $S_{12} = 2391480 > 1 0^{6}$ .

c) Con $u_{1} = 3$ y $d = 6$ :

$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + 19 \cdot 6) = 10 \cdot 120 = 1200$

En el examen: puntúa plantear $b^{2} = a c$ con los términos bien escritos y rechazar $d = 0$ justificándolo con el enunciado. En b) no basta con dar $11, 21$ : hay que terminar en $n = 12$ y, si te sobra tiempo, comprobar con $S_{11}$ y $S_{12}$ .

Errores típicos

Resumen

Progresión geométrica: $u_{n + 1} = r u_{n}$ , con razón $r = \frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ . Término general: $u_{n} = u_{1} r^{n - 1}$ (también $u_{n} = u_{k} r^{n - k}$ ).
Tres términos consecutivos $a, b, c$ cumplen $b^{2} = a c$ .
Suma de $n$ términos, con $r \neq = 1$ : $S_{n} = \frac{u _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{u _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ ; si $r = 1$ , $S_{n} = n u_{1}$ . La fórmula se obtiene restando $S_{n}$ y $r S_{n}$ .
Para hallar $n$ en $u_{n} = B$ o $S_{n} = B$ : aísla la potencia $r^{\dots}$ , toma logaritmos y baja el exponente. Redondea según lo que pida el enunciado y cuida el signo de $ln r$ en las desigualdades.
Si $∣ r ∣ < 1$ : $S_{\infty} = \frac{u _{1}}{1 - r}$ . Si $∣ r ∣ \geq 1$ , la suma infinita no existe.
Un decimal periódico es una suma infinita con $r = 1 0^{- k}$ ( $k$ cifras de período): $0, 27 = \frac{0 , 27}{0 , 99} = \frac{3}{11}$ .
En problemas mixtos, escribe cada término con su fórmula (aritmética o geométrica), iguala lo que el enunciado dice que coincide y comprueba las soluciones.

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Razón y término general

Suma de los n primeros términos

Hallar n con logaritmos

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Decimales periódicos

Una progresión aritmética y otra geométrica

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