IB Análisis y Enfoques NS · Ecuaciones exponenciales y logaritmos · Apartado 2 de 3

Logaritmos: definición, propiedades y cambio de base

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un logaritmo es el exponente que hay que poner a una base para obtener un número. Con él se resuelven ecuaciones como $3^{x} = 20$ , donde no se pueden igualar las bases. En este apartado aprendes la definición, las propiedades que convierten productos en sumas y potencias en productos, el cambio de base y cómo expresar un logaritmo en función de otros; es la herramienta de varias preguntas de la Prueba 1 y de la Prueba 2.

Definición de logaritmo

Sabes que $2^{3} = 8$ . La pregunta inversa es: si conozco la base $2$ y el resultado $8$ , ¿cuál es el exponente? Ese número, $3$ , es el logaritmo en base $2$ de $8$ .

Las dos condiciones tienen una razón:

La base debe ser positiva y distinta de $1$ : si $a = 1$ , todas las potencias valen $1$ y no se llegaría a ningún otro número.
El argumento debe ser positivo: una base positiva elevada a cualquier exponente real da siempre un número positivo, así que no existe $lo g_{a} 0$ ni el logaritmo de un número negativo.

Calcular un logaritmo es, entonces, pensar en una potencia. Ejemplos: $lo g_{3} 81 = 4$ porque $3^{4} = 81$ ; $lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3$ porque $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ ; $lo g_{16} 4 = \frac{1}{2}$ porque $1 6^{1/2} = 4$ .

Dos bases son tan frecuentes que tienen nombre y símbolo propios:

Así, $lo g 1000 = 3$ porque $1 0^{3} = 1000$ , y $ln e^{5} = 5$ porque $e^{5} = e^{5}$ . La calculadora da $lo g x$ y $ln x$ directamente; el número $e$ aparecerá de forma natural cuando estudies las funciones exponencial y logarítmica y el cálculo.

Consecuencias directas de la definición

Leer la definición «de ida y vuelta» da tres resultados que se usan constantemente:

La tercera dice que elevar $a$ al exponente que es el logaritmo en base $a$ de $x$ devuelve $x$ : potenciar y tomar logaritmo son operaciones inversas. Por ejemplo, $7^{l o g_{7} 5} = 5$ y $lo g_{10} 1 0^{- 4} = - 4$ . Esta propiedad también sirve para eliminar un logaritmo o una exponencial en una ecuación.

Propiedades de los logaritmos

Las potencias convierten sumas de exponentes en productos: $a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ . Como un logaritmo es un exponente, esa regla se traduce directamente.

Por qué son ciertas. Llama $p = lo g_{a} x$ y $q = lo g_{a} y$ , es decir, $x = a^{p}$ e $y = a^{q}$ .

Producto: $x y = a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}$ , luego $lo g_{a} (x y) = p + q$ .
Cociente: $\frac{x}{y} = \frac{a ^{p}}{a ^{q}} = a^{p - q}$ , luego $lo g_{a} \frac{x}{y} = p - q$ .
Potencia: $x^{m} = (a^{p})^{m} = a^{p m}$ , luego $lo g_{a} (x^{m}) = m p$ .

Con la propiedad de la potencia se tratan también las raíces, porque $n x = x^{1/ n}$ : por ejemplo, $lo g_{a} x = \frac{1}{2} lo g_{a} x$ .

Dos precauciones imprescindibles:

No existe una regla para $lo g_{a} (x + y)$ ni para $lo g_{a} (x - y)$ . Tampoco $\frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} y}$ se simplifica en $lo g_{a} (x - y)$ .
Las propiedades valen solo si todos los argumentos son positivos. Por ejemplo, $lo g (x^{2}) = 2 lo g x$ solo es cierto para $x > 0$ ; si $x$ puede ser negativo, lo correcto es $lo g (x^{2}) = 2 lo g ∣ x ∣$ .

Un ejemplo corto: $lo g_{5} 50 - lo g_{5} 2 = lo g_{5} \frac{50}{2} = lo g_{5} 25 = 2$ . Y al revés: $2 lo g 5 + lo g 4 = lo g 25 + lo g 4 = lo g 100 = 2$ .

Cambio de base

La calculadora solo tiene teclas para $lo g$ y $ln$ . Para calcular un logaritmo en otra base se usa una fórmula que lo reescribe en una base que sí conozcamos.

Demostración breve. Sea $m = lo g_{a} x$ , es decir, $a^{m} = x$ . Tomando $lo g_{b}$ en los dos lados y usando la propiedad de la potencia, $m lo g_{b} a = lo g_{b} x$ . Al despejar $m$ sale la fórmula.

Por ejemplo, $lo g_{4} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 4} = \frac{5}{2}$ , o bien, con la base $10$ , $lo g_{4} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 4} \approx 1, 40$ . Un caso particular muy útil se obtiene con $x = b$ :

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$

Resolver $a^{x} = b$ con logaritmos

Si no se pueden igualar las bases (como en $3^{x} = 20$ , porque $20$ no es una potencia entera de $3$ ), se toma logaritmo en los dos miembros. Gracias a la propiedad de la potencia, el exponente «baja» y la incógnita queda libre.

Con una sola exponencial, $a^{x} = b$ da $x = \frac{ln b}{ln a} = lo g_{a} b$ : es la propia definición. Si la incógnita aparece en el exponente de ambos lados (por ejemplo, $2^{x} = 3^{x - 1}$ ), se baja el exponente en los dos y se agrupan los términos en $x$ antes de despejar.

En el IB se pide a menudo la solución exacta («dé la respuesta en la forma $\frac{l n a}{l n b}$ ») o redondeada a tres cifras significativas. Si piden exacta, no la sustituyas por un decimal.

Expresar un logaritmo en función de otros

Un tipo de pregunta frecuente da el valor (o un nombre) de algunos logaritmos y pide expresar otro en función de ellos. El procedimiento es descomponer el argumento y aplicar las propiedades.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Calcular logaritmos a partir de la definición

Calcula, sin calculadora:

a) $lo g_{3} 81$

b) $lo g_{2} \frac{1}{32}$

c) $lo g_{8} 4$

d) $ln 3 e$

e) Halla $x$ si $lo g_{x} 49 = 2$ , con $x > 0$ y $x \neq = 1$ .

Solución

Se plantea cada logaritmo como la pregunta «¿a qué exponente elevo la base?».

a) $3^{4} = 81$ , luego $lo g_{3} 81 = 4$ .

b) $\frac{1}{32} = 2^{- 5}$ , luego $lo g_{2} \frac{1}{32} = - 5$ .

c) Se escribe $8 = 2^{3}$ y $4 = 2^{2}$ . Se busca $y$ con $8^{y} = 4$ , es decir, $2^{3 y} = 2^{2}$ , luego $3 y = 2$ y $lo g_{8} 4 = \frac{2}{3}$ .

d) $3 e = e^{1/3}$ , luego $ln 3 e = \frac{1}{3}$ .

e) Por la definición, $lo g_{x} 49 = 2 ⟺ x^{2} = 49$ , es decir, $x = \pm 7$ . La base debe ser positiva, así que $x = 7$ .

Ejemplo 2 Medio

Un logaritmo en función de $lo g 2$ y $lo g 3$

Sean $p = lo g 2$ y $q = lo g 3$ (logaritmos decimales). Expresa en función de $p$ y de $q$ :

a) $lo g 72$

b) $lo g 5$

c) $lo g_{12} 18$

Solución

a) Se factoriza $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ y se aplican producto y potencia:

$lo g 72 = lo g 2^{3} + lo g 3^{2} = 3 lo g 2 + 2 lo g 3 = 3 p + 2 q$

b) El número $5$ no se puede formar con $2$ y $3$ , pero $5 = \frac{10}{2}$ y $lo g 10 = 1$ :

$lo g 5 = lo g 10 - lo g 2 = 1 - p$

c) Cambio de base a base $10$ :

$lo g_{12} 18 = \frac{lo g 18}{lo g 12}$

Se factorizan: $18 = 2 \cdot 3^{2}$ y $12 = 2^{2} \cdot 3$ . Entonces $lo g 18 = p + 2 q$ y $lo g 12 = 2 p + q$ , y

$lo g_{12} 18 = \frac{p + 2 q}{2 p + q}$

Comprobación numérica con $p \approx 0, 3010$ y $q \approx 0, 4771$ : $lo g 72 \approx 1, 857$ y $3 p + 2 q \approx 1, 857$ .

Ejemplo 3 Difícil

Exponenciales con incógnita en ambos lados y duplicar un capital

a) Resuelve $3^{2 x - 1} = 5^{x + 2}$ . Da la solución exacta en función de $ln 3$ y $ln 5$ .

b) Da el valor de $x$ aproximado a tres cifras significativas.

c) Un capital se invierte con un interés compuesto anual del $4, 5 %$ , de modo que al cabo de $n$ años se multiplica por $1, 04 5^{n}$ . Halla el menor número entero de años $n$ para que el capital supere el doble del inicial.

Solución

a) 1. Tomar logaritmo neperiano en los dos miembros (ambos son positivos):

$ln 3^{2 x - 1} = ln 5^{x + 2}$

Bajar los exponentes:

$(2 x - 1) ln 3 = (x + 2) ln 5$

Agrupar los términos en $x$ y despejar:

$2 x ln 3 - x ln 5 = 2 ln 5 + ln 3 ⟹ x (2 ln 3 - ln 5) = 2 ln 5 + ln 3$

$x = \frac{2 ln 5 + ln 3}{2 ln 3 - ln 5}$

Forma compacta (opcional). Como $2 ln 5 + ln 3 = ln 75$ y $2 ln 3 - ln 5 = ln \frac{9}{5}$ , la solución también se escribe $x = \frac{ln 75}{ln \frac{9}{5}}$ . Ambas formas son exactas.

b) Con la calculadora, $x \approx 7, 345 \dots$ , es decir, $x \approx 7, 35$ .

Comprobación: con $x = 7, 345 \dots$ , $3^{2 x - 1} \approx 3, 405 \cdot 1 0^{6}$ y $5^{x + 2} \approx 3, 405 \cdot 1 0^{6}$ .

c) Se plantea $1, 04 5^{n} > 2$ . Tomando logaritmos (ambos miembros positivos) y como $ln 1, 045 > 0$ :

$n ln 1, 045 > ln 2 ⟺ n > \frac{ln 2}{ln 1 , 045} \approx 15, 75$

El menor entero que cumple la desigualdad es $n = 16$ . Comprobación: $1, 04 5^{15} \approx 1, 935 < 2$ y $1, 04 5^{16} \approx 2, 022 > 2$ .

En el examen: puntúa tomar logaritmos, bajar bien los exponentes y agrupar los términos en $x$ ; el error habitual es no usar paréntesis en $(2 x - 1) ln 3$ . En c) hay que redondear hacia arriba al entero siguiente, no al más cercano ( $15, 75$ pide $16$ años y no $15$ ).

Errores típicos

Resumen

$lo g_{a} x = y ⟺ a^{y} = x$ , con $a > 0$ , $a \neq = 1$ y $x > 0$ . $lo g x$ es base $10$ y $ln x$ es base $e$ .
$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$ , $a^{l o g_{a} x} = x$ y $lo g_{a} a^{n} = n$ .
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ , $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ y $lo g_{a} x^{m} = m lo g_{a} x$ . No hay regla para $lo g_{a} (x \pm y)$ .
Cambio de base: $lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$ ; en particular $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ .
Para resolver $a^{f (x)} = b$ se toma logaritmo y se baja el exponente: $x$ sale como cociente de logaritmos (exacto) y se aproxima con la calculadora si se pide.
Para expresar un logaritmo en función de otros se factoriza el argumento y se aplican producto, cociente y potencia.

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