Ejercicios IB del tema 2

Calcule todos los valores reales de $x$ para los que $3^{x^2-1}={\left(\sqrt{3}\right)}^{126}$

Resuelva la ecuación $8^{x-1}=6^{3x}$. Exprese la respuesta en función de $\ln 2$ y $\ln 3$.

Halle el valor exacto de $x$ que satisface la ecuación $\left(3^x\right)\left(4^{2x+1}\right)=6^{x+2}$. Exprese su respuesta en la forma $\frac{\ln a}{\ln b}$, donde $a,b\in \mathbb{Z}$.

Resuelva $2\left(5^{x+1}\right)=1+\frac{3}{5^x}$, expresando la respuesta en la forma $a+{\log }_{5}b,$ con $a,b\in \mathbb{Z}$.

La solución de $2^{2x+3}=2^{x+1}+3$ se puede expresar en la forma $a+{\log }_{2}b$ con $a,b\in \mathbb{Z}$. Calcule el valor de $a$ y el de $b$.

a) Resuelva la ecuación $2\left(4^x\right)+4^{-x}=3$.

b) (i) Resuelva para $x$ la ecuación $a^x=e^{2x+1}$ donde $a>0$, y dando la respuesta en función de $a$.

(ii) ¿Para qué valor de $a$ no existe ninguna solución para la ecuación?

Resolver la ecuación $4^{x-1}=2^x+8$.

Resuelva la ecuación $4^x+2^{x+2}=3$.

Escriba $\ln (x^2-1)-2\ln (x+1)+\ln (x^2+x)$ como un único logaritmo, de la forma más simplificada posible.

Sabiendo que ${\log }_{x}y=4{\log }_{y}x$, halle todas las posibles expresiones de $y$ en función de $x$.

a) Sabiendo que ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\times {\log }_{b}c$, exprese ${\log }_4{x}^3+{\log }_2{x}^2={\log }_{8}128^3$ en función de logaritmos en base 2.

b) Usando lo anterior, o de cualquier otra forma, resuelva la ecuación del apartado (a).

Sabiendo que ${\log }_{10}\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}(p+2q)\right)=\frac{1}{2}\left({\log }_{10}p+{\log }_{10}q\right),p>0,q>0$, halle $p$ en función de $q$.

Encuentre los valores enteros de $m$ y $n$ para los cuales $m-n{\log }_{3}2=10{\log }_{9}6$

a) Sabiendo que ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$, calcule los números reales $k$ y $m$ tales que ${\log }_9{x}^3=k{\log }_{3}x$ y ${\log }_{27}512=m{\log }_{3}8$.

b) Calcule los valores de $x$ para los cuales ${\log }_9{x}^3+{\log }_3{x}^{\frac{1}{2}}={\log }_{27}512$.

Considere $a={\log }_{2}3\times {\log }_{3}4\times {\log }_{4}5\times \cdots \times {\log }_{31}32$. Sabiendo que $a\in \mathbb{Z}$, calcule el valor de $a$.

Resuelva ${\log }_{16}\sqrt[3]{100-x^2}=\frac{1}{2}$.

Resolver $\left|\ln (x+3)\right|=1$, dando las soluciones de forma exacta.

Calcule la solución de ${\log }_{2}x-{\log }_{2}5=2+{\log }_{2}3$

Resuelva la ecuación ${\log }_2(x+3)+{\log }_2(x-3)=4$.

a) Halle la solución de la ecuación $\ln 2^{4x-1}=\ln 8^{x+5}+{\log }_{2}16^{1-2x}$; exprese la respuesta en función de $\ln 2$.

b) Utilizando este valor de $x$, halle el valor de $a$ para el cual ${\log }_{a}x=2$; dé la respuesta con una aproximación de 3 cifras decimales.

Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) ${\log }_2(x-2)={\log }_4\left(x^2-6x+12\right)$

b) $x^{\ln x}=e^{(\ln x{)}^3}$

Resuelva la ecuación $2{\log }_3(x-3)+{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)=2$.

Resolver la ecuación $9{\log }_{5}x=25{\log }_{x}5$, dando sus soluciones en la forma $5^{\frac{p}{q}},p,q\in \mathbb{Z}$.

Resuelva $2(\ln x{)}^2=3\ln x-1$ para la variable $x$. De las respuestas de forma exacta.

Resolver la ecuación $2-{\log }_3(x+7)={\log }_{\frac{1}{3}}2x$.

Resuelva la ecuación ${\log }_3\sqrt{x}=\frac{1}{2{\log }_{2}3}+{\log }_3\left(4x^3\right),x>0$.

Resuelva las ecuaciones $$\{\begin{array}{rl}\ln \frac{x}{y}& =1\\ \ln x^3+\ln y^2& =5\end{array}$$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones $$\{\begin{array}{rl}\ln \frac{y}{x}& =2\\ \ln x^2+\ln y^3& =7\end{array}$$

Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas $$\{\begin{array}{rl}x+2y& =5\\ 4^x& =8^y\end{array}$$

Resuelva el sistema de ecuaciones $$\{\begin{array}{rl}{\log }_{2}6x& =1+2{\log }_{2}y\\ 1+{\log }_{6}x& ={\log }_6(15y-25)\end{array}$$

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. $$\{\begin{array}{rl}{\log }_{x+1}y& =2\\ {\log }_{y+1}x& =\frac{1}{4}\end{array}$$