IB Análisis y Enfoques NS · Ecuaciones exponenciales y logaritmos · Apartado 1 de 3

Ecuaciones exponenciales

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en un exponente. En este apartado verás los tres métodos que se resuelven sin logaritmos: igualar las bases, sacar factor común y el cambio de variable $t = a^{x}$ . Son los que se piden en la Prueba 1 (sin calculadora) y la base de los apartados siguientes.

Qué es una ecuación exponencial

No lo son $x^{2} = 9$ ni $x^{3} = 8$ : allí la incógnita está en la base. Aquí, en cambio, la base es fija y lo que buscas es el exponente.

Antes de resolver conviene recordar las propiedades de las potencias, porque casi todo el trabajo consiste en aplicarlas bien. Para $a > 0$ :

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn} a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} a^{1/ n} = n a$

Método 1: igualar las bases

Una potencia de base $a > 0$ , con $a \neq = 1$ , toma cada valor una sola vez: si el exponente cambia, el resultado cambia. Esto permite «quitar» las bases cuando son iguales.

La razón es que $a^{x}$ nunca repite valor. Por ejemplo, $2^{3} = 8$ y $2^{4} = 16$ ; no existe otro exponente que dé $8$ . La condición $a \neq = 1$ es necesaria: $1^{u} = 1^{v}$ se cumple siempre, sea cual sea $u$ o $v$ .

El problema es que la ecuación casi nunca viene con bases iguales. Hay que escribir cada lado como potencia de una misma base, normalmente un número pequeño (2, 3, 5, 10…). Las pistas habituales:

Un número como $32$ , $\frac{1}{8}$ o $2$ es una potencia de $2$ : $2^{5}$ , $2^{- 3}$ , $2^{1/2}$ .
Una fracción $(\frac{1}{4})^{x}$ se pasa a base $2$ con exponente negativo: $(\frac{1}{4})^{x} = 2^{- 2 x}$ .
Una potencia de otra potencia se multiplica: $(9^{x})^{2} = 3^{4 x}$ .

Método 2: sacar factor común

Cuando hay varios términos con exponentes del tipo $x + 1$ , $x + 2$ , $x - 1$ … y la misma base, no se puede igualar bases todavía (hay una suma). Lo que se hace es separar el factor $a^{x}$ con las propiedades del producto:

$2^{x + 3} = 2^{x} \cdot 2^{3} = 8 \cdot 2^{x} 5^{x - 1} = \frac{5 ^{x}}{5}$

Así todos los términos quedan como un número multiplicado por $a^{x}$ , y se saca factor común. Por ejemplo, $2^{x + 1} + 2^{x} = 2 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 3 \cdot 2^{x}$ .

Puedes escribir $t = a^{x}$ desde el principio para trabajar con menos símbolos: la ecuación pasa a ser $c t = d$ y al final deshaces el cambio.

Método 3: cambio de variable $t = a^{x}$

Si la ecuación mezcla $a^{2 x}$ (o $(a^{x})^{2}$ ) con $a^{x}$ y números, no hay forma de sacar factor común, pero sí de verla como una ecuación de segundo grado. Como $a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ , al llamar $t = a^{x}$ queda un polinomio en $t$ .

Esta es la parte que más puntúa y más se olvida: puede que la ecuación en $t$ tenga dos soluciones y solo una dé valores de $x$ .

Si la ecuación tiene $t$ en un denominador (por ejemplo, $2^{- x} = \frac{1}{2 ^{x}} = \frac{1}{t}$ ), multiplica por $t$ para quitarlo; no hay problema, porque $t > 0$ nunca es cero.

Cuando no se pueden igualar las bases

No todas las ecuaciones se arreglan con los métodos anteriores. En $2^{x} = 5$ , el número $5$ no es una potencia entera ni fraccionaria de $2$ , y no hay manera de igualar bases. Existe una solución, un número entre $2$ y $3$ (porque $2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3}$ ), pero para escribirla con exactitud hace falta una herramienta nueva: los logaritmos, que se estudian en el apartado siguiente.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Igualar bases con una fracción

Resuelve $(\frac{1}{4})^{x - 2} = 32$ .

Solución

Base común. $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ y $32 = 2^{5}$ . Las dos cantidades son potencias de $2$ .
Reescribir cada lado como una potencia de $2$ :

$(2^{- 2})^{x - 2} = 2^{5} ⟹ 2^{- 2 (x - 2)} = 2^{5}$

Igualar exponentes:

$- 2 (x - 2) = 5 ⟺ - 2 x + 4 = 5 ⟺ x = - \frac{1}{2}$

Comprobación. Con $x = - \frac{1}{2}$ : $x - 2 = - \frac{5}{2}$ y $(\frac{1}{4})^{- 5/2} = 4^{5/2} = (4)^{5} = 2^{5} = 32$ .

Ejemplo 2 Medio

Factor común y cambio de variable

Resuelve cada ecuación.

a) $3^{x + 2} - 3^{x} = 216$

b) $4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Solución

a) 1. Separar el factor $3^{x}$ . $3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$ , luego

$9 \cdot 3^{x} - 3^{x} = 216 ⟺ 8 \cdot 3^{x} = 216 ⟺ 3^{x} = 27$

Igualar bases. $27 = 3^{3}$ , así que $x = 3$ .
Comprobación. $3^{5} - 3^{3} = 243 - 27 = 216$ .

b) 1. Pasar todo a base $2$ . $4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ . La ecuación es $(2^{x})^{2} - 3 \cdot 2^{x} - 4 = 0$ .

Cambio de variable. Con $t = 2^{x}$ :

$t^{2} - 3 t - 4 = 0 ⟺ (t - 4) (t + 1) = 0 ⟺ t = 4 o t = - 1$

Descartar. Como $2^{x} > 0$ para todo $x$ , la solución $t = - 1$ no sirve: $2^{x} = - 1$ no tiene solución.
Deshacer el cambio. $2^{x} = 4 = 2^{2}$ , luego $x = 2$ .
Comprobación. $4^{2} - 3 \cdot 2^{2} - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$ .

La ecuación de segundo grado tenía dos soluciones, pero la ecuación exponencial solo tiene una.

Ejemplo 3 Difícil

Un parámetro y el número de soluciones

Se considera la ecuación $2^{x} + 2^{3 - x} = k$ , donde $k$ es una constante positiva.

a) Para $k = 9$ , halla todos los valores de $x$ que cumplen la ecuación.

b) Halla el valor de $k$ para el cual la ecuación tiene exactamente una solución.

c) Para ese valor de $k$ , halla la solución.

Solución

Cambio de variable (válido para cualquier $k$ ). Como $2^{3 - x} = \frac{2 ^{3}}{2 ^{x}} = \frac{8}{2 ^{x}}$ , con $t = 2^{x} > 0$ la ecuación es

$t + \frac{8}{t} = k$

Multiplicamos por $t$ , que es distinto de cero, y ordenamos:

$t^{2} - k t + 8 = 0$

a) Con $k = 9$ : $t^{2} - 9 t + 8 = 0 ⟺ (t - 1) (t - 8) = 0$ , así que $t = 1$ o $t = 8$ . Las dos son positivas y valen.

$2^{x} = 1 = 2^{0} \Rightarrow x = 0$ .
$2^{x} = 8 = 2^{3} \Rightarrow x = 3$ .

Comprobación: $2^{0} + 2^{3} = 1 + 8 = 9$ y $2^{3} + 2^{0} = 8 + 1 = 9$ . Soluciones: $x = 0$ y $x = 3$ .

b) Cada $t > 0$ da exactamente un valor de $x$ . La ecuación en $t$ debe tener entonces una sola raíz positiva, es decir, una raíz doble: el discriminante es cero.

$Δ = k^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = k^{2} - 32 = 0 ⟺ k = \pm 42$

Como $k > 0$ , $k = 42$ . (La raíz doble es $t = \frac{k}{2} = 22 > 0$ , así que vale.)

c) Con $k = 42$ : $t = 22 = 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$ . Entonces $2^{x} = 2^{3/2}$ y $x = \frac{3}{2}$ .

Comprobación: $2^{3/2} + 2^{3 - 3/2} = 2^{3/2} + 2^{3/2} = 2 \cdot 22 = 42$ .

En el examen: puntúa el planteamiento $t^{2} - k t + 8 = 0$ , justificar que $t > 0$ y razonar por qué una sola solución exige discriminante cero. No olvides deshacer el cambio en c): $t = 22$ no es el valor de $x$ .

Errores típicos

Resumen

Ecuación exponencial: la incógnita está en el exponente. Para $a > 0$ y $a \neq = 1$ , $a^{u} = a^{v} ⟺ u = v$ .
Igualar bases: escribe los dos lados como potencia de la misma base (por ejemplo $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ ) e iguala los exponentes.
Factor común: con exponentes $x + k$ , usa $a^{x + k} = a^{k} a^{x}$ y deja $c \cdot a^{x} = d$ .
Cambio de variable: $t = a^{x}$ convierte $a^{2 x}$ y $a^{x}$ en una cuadrática en $t$ ; solo valen las soluciones $t > 0$ .
Si no se pueden igualar bases (como $2^{x} = 5$ ), se usan logaritmos: apartado siguiente.

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Ecuaciones exponenciales

Qué es una ecuación exponencial

Método 1: igualar las bases

Método 2: sacar factor común

Método 3: cambio de variable t=ax

Cuando no se pueden igualar las bases

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Errores típicos

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Método 3: cambio de variable $t = a^{x}$