IB Análisis y Enfoques NS · Ecuaciones exponenciales y logaritmos · Apartado 3 de 3

Ecuaciones logarítmicas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece dentro de un logaritmo. Se resuelve juntando todo en un solo logaritmo por lado y «quitándolo», y siempre se termina comprobando que los argumentos son positivos, porque el proceso puede introducir soluciones que no valen. En el examen del IB es uno de los pasos que más puntos se pierden por olvido.

Qué es una ecuación logarítmica y cuándo tiene sentido

Una ecuación logarítmica contiene la incógnita en el argumento de uno o más logaritmos (o en la base). Un logaritmo solo existe cuando su argumento es estrictamente positivo: $lo g_{a} N$ requiere $N > 0$ (y la base $a > 0$ , $a \neq = 1$ ). Por eso, antes de resolver, conviene anotar las condiciones que debe cumplir $x$ . Por ejemplo, en $lo g (x + 2) + lo g (x - 1) = 1$ hace falta $x + 2 > 0$ y $x - 1 > 0$ , es decir, $x > 1$ .

Aquí usamos sin repetirlas las propiedades de logaritmos y sus propiedades: producto, cociente, potencia y cambio de base. Recuerda que en el IB $lo g x$ significa $lo g_{10} x$ y $ln x$ significa $lo g_{e} x$ .

Agrupar en un solo logaritmo

Hay dos formas de «quitar» el logaritmo, y ambas salen de que la función logarítmica es inyectiva (valores distintos del argumento dan logaritmos distintos).

La primera dice que dos logaritmos de la misma base solo pueden ser iguales si sus argumentos lo son. La segunda es la definición de logaritmo leída al revés: $lo g_{a} M = k ⟺ a^{k} = M$ . Se usa cuando uno de los lados es un número.

El paso 5 no es opcional. Al juntar logaritmos con las propiedades, la ecuación nueva puede tener más soluciones que la original: $lo g (x + 1) + lo g (x - 3)$ solo existe para $x > 3$ , mientras que $lo g ((x + 1) (x - 3))$ también existe cuando ambos factores son negativos, es decir, para $x < - 1$ .

Cambio de variable

Hay ecuaciones donde el logaritmo aparece elevado al cuadrado y también sin elevar. Se resuelven como una cuadrática en el propio logaritmo.

Logaritmos de bases distintas

Si en la ecuación hay logaritmos de bases diferentes, no se pueden juntar con las propiedades. Antes hay que pasar todos a una misma base con la fórmula del cambio de base:

$lo g_{b} N = \frac{lo g _{a} N}{lo g _{a} b}$

Conviene elegir como base nueva la que haga más sencillos los cálculos, normalmente la menor o la que sea potencia de las demás. Por ejemplo, $lo g_{4} N = \frac{lo g _{2} N}{lo g _{2} 4} = \frac{lo g _{2} N}{2}$ y $lo g_{1/2} N = - lo g_{2} N$ .

Sistemas con exponenciales y logaritmos

En un sistema, cada ecuación se prepara por separado hasta llegar a una relación sencilla entre $x$ e $y$ .

Una ecuación exponencial se convierte, igualando bases, en una ecuación entre exponentes (normalmente lineal).
Una ecuación logarítmica se agrupa en un logaritmo y se convierte en una relación entre argumentos (una igualdad o un producto).

Después se resuelve el sistema que queda (por sustitución casi siempre) y se comprueban las soluciones en las ecuaciones originales, porque los argumentos de los logaritmos deben ser positivos para $x$ y para $y$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Aplicar la definición y juntar dos logaritmos

Resuelve las ecuaciones.

a) $lo g_{5} (2 x - 1) = 2$

b) $lo g x + lo g (x - 3) = 1$

Solución

a) 1. Condición: $2 x - 1 > 0$ , es decir, $x > \frac{1}{2}$ .

Definición: $2 x - 1 = 5^{2} = 25$ , de donde $2 x = 26$ y $x = 13$ .
Comprobación: $13 > \frac{1}{2}$ y $lo g_{5} (25) = 2$ . Es válida.

b) 1. Condiciones: $x > 0$ y $x - 3 > 0$ , luego $x > 3$ .

Un solo logaritmo. El número $1$ es $lo g 10$ (base $10$ ). Con la propiedad del producto:

$lo g (x (x - 3)) = lo g 10 ⟹ x (x - 3) = 10$

Resolver: $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ , es decir, $(x - 5) (x + 2) = 0$ , con $x = 5$ o $x = - 2$ .
Comprobación: $x = 5$ cumple $x > 3$ y $lo g 5 + lo g 2 = lo g 10 = 1$ . Pero $x = - 2$ no cumple $x > 3$ : $lo g (- 2)$ no existe. Se descarta.

La única solución es $x = 5$ .

Ejemplo 2 Medio

Cambio de variable y bases distintas

Resuelve las ecuaciones.

a) $(ln x)^{2} - ln (x^{3}) = - 2$

b) $lo g_{3} x = lo g_{9} (3 x + 10)$

Solución

a) 1. Condición: $x > 0$ .

Preparar. $ln (x^{3}) = 3 ln x$ . La ecuación queda $(ln x)^{2} - 3 ln x + 2 = 0$ .
Cambio de variable: $t = ln x$ da $t^{2} - 3 t + 2 = 0$ , es decir, $(t - 1) (t - 2) = 0$ , con $t = 1$ o $t = 2$ .
Deshacer el cambio: $ln x = 1 \Rightarrow x = e$ y $ln x = 2 \Rightarrow x = e^{2}$ . Ambas son positivas: las dos valen.

b) 1. Condiciones: $x > 0$ y $3 x + 10 > 0$ . Basta $x > 0$ .

Misma base. Pasamos el logaritmo de base $9$ a base $3$ :

$lo g_{9} (3 x + 10) = \frac{lo g _{3} ( 3 x + 10 )}{lo g _{3} 9} = \frac{lo g _{3} ( 3 x + 10 )}{2}$

Ecuación: $lo g_{3} x = \frac{lo g _{3} ( 3 x + 10 )}{2}$ , luego $2 lo g_{3} x = lo g_{3} (3 x + 10)$ , es decir, $lo g_{3} x^{2} = lo g_{3} (3 x + 10)$ .
Igualar argumentos: $x^{2} = 3 x + 10$ , es decir, $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ , con $x = 5$ o $x = - 2$ .
Comprobación: $x = - 2$ no cumple $x > 0$ y se descarta. Para $x = 5$ : $lo g_{3} 5$ y $lo g_{9} 25 = \frac{lo g _{3} 25}{2} = lo g_{3} 5$ . Vale.

Ejemplo 3 Difícil

Sistema con una exponencial y dos logaritmos de bases distintas

Resuelve el sistema

${9^{x} lo g_{2} x + 2 lo g_{4} y = 3^{y + 1} = 1 + lo g_{2} 3$

e indica el par $(x, y)$ que es solución.

Solución

Condiciones. Por los logaritmos de la segunda ecuación: $x > 0$ e $y > 0$ .
Primera ecuación (iguala bases). $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ , así que $3^{2 x} = 3^{y + 1}$ y por tanto

$2 x = y + 1 ⟹ y = 2 x - 1$

Segunda ecuación (misma base). $2 lo g_{4} y = 2 \cdot \frac{lo g _{2} y}{lo g _{2} 4} = lo g_{2} y$ . Además, $1 = lo g_{2} 2$ . La ecuación pasa a ser

$lo g_{2} x + lo g_{2} y = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 3 ⟹ lo g_{2} (x y) = lo g_{2} 6 ⟹ x y = 6$

Sustitución. Con $y = 2 x - 1$ : $x (2 x - 1) = 6$ , es decir, $2 x^{2} - x - 6 = 0$ . Las soluciones son $x = 2$ y $x = - \frac{3}{2}$ .
Hallar $y$ : para $x = 2$ , $y = 3$ ; para $x = - \frac{3}{2}$ , $y = - 4$ .
Comprobación. El par $(- \frac{3}{2}, - 4)$ cumple $x y = 6$ y la primera ecuación, pero $x$ e $y$ son negativos: $lo g_{2} x$ y $lo g_{4} y$ no existen. Se descarta. Con $(2, 3)$ : $9^{2} = 81 = 3^{4}$ y $lo g_{2} 2 + 2 lo g_{4} 3 = 1 + lo g_{2} 3$ . Vale.

La solución es $(x, y) = (2, 3)$ .

En el examen: puntúa cada transformación (bases iguales en la exponencial, cambio de base en el logaritmo, producto $x y = 6$ ) y la ecuación de segundo grado. Si dejas el par $(- \frac{3}{2}, - 4)$ sin descartar, pierdes el último punto: razona que los argumentos deben ser positivos.

Errores típicos

Resumen

Una ecuación logarítmica tiene la incógnita en el argumento de un logaritmo. Antes de resolver, escribe las condiciones: todos los argumentos deben ser mayores que $0$ .
Para quitar el logaritmo: si $lo g_{a} M = lo g_{a} N$ , entonces $M = N$ ; si $lo g_{a} M = k$ , entonces $M = a^{k}$ .
Agrupa con las propiedades hasta tener un solo logaritmo por lado; un número suelto se escribe como logaritmo ( $1 = lo g_{a} a$ ).
Si la ecuación tiene $(lo g x)^{2}$ y $lo g x$ , el cambio $t = lo g_{a} x$ da una cuadrática; después se deshace con $x = a^{t}$ .
Con bases distintas, pasa todo a una misma base con $lo g_{b} N = \frac{lo g _{a} N}{lo g _{a} b}$ .
Sistemas: la exponencial se resuelve igualando bases y la logarítmica agrupando; resuelve el sistema resultante.
Siempre comprueba las soluciones en la ecuación original y descarta las que dejan un argumento negativo o cero.

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