Ejercicios IB del tema 6

1. Desarrollamos: $iz+2i=1-2z$.
2. Agrupamos los términos con $z$: $iz+2z=1-2i$, es decir, $z(2+i)=1-2i$.
3. Despejamos: $z=\frac{1-2i}{2+i}$.
4. Multiplicamos por el conjugado del denominador: $z=\frac{(1-2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i-4i+2i^2}{5}=\frac{-5i}{5}=-i$.
5. Comprobación: $i(-i+2)=1+2i$ y $1-2(-i)=1+2i$.

Resultado: $z=0-i$

1. Racionalizamos $\frac{i}{i-\sqrt{3}}$ multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, $-i-\sqrt{3}$ (es decir, $-\sqrt{3}-i$).
2. Denominador: $(-\sqrt{3}+i)(-\sqrt{3}-i)=3+1=4$.
3. Numerador: $i(-\sqrt{3}-i)=-\sqrt{3}i-i^2=1-\sqrt{3}i$.
4. Entonces $\frac{i}{i-\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}i}{4}$.
5. Sumamos $1$: $z=1+\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i=\frac{5}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$.

Resultado: $a=\frac{5}{4}$, $b=-\frac{\sqrt{3}}{4}$

1. Multiplicamos por $z+2$ (con $z\ne -2$): $z=(2-i)(z+2)$.
2. Desarrollamos: $z=(2-i)z+4-2i$.
3. Pasamos los términos con $z$ a un lado: $z-(2-i)z=4-2i$, es decir, $(-1+i)z=4-2i$.
4. Despejamos y multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $-1-i$: $$z=\frac{4-2i}{-1+i}=\frac{(4-2i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}=\frac{-4-4i+2i+2i^2}{2}=\frac{-6-2i}{2}=-3-i.$$
5. Comprobación: $z+2=-1-i$ y $(2-i)(-1-i)=-2-2i+i+i^2=-3-i=z$.

Resultado: $z=-3-i$

1. Con $z=x+iy$: $|z|+z=\sqrt{x^2+y^2}+x+iy=6-2i$.
2. Igualando partes imaginarias: $y=-2$.
3. Igualando partes reales: $\sqrt{x^2+4}+x=6$, es decir, $\sqrt{x^2+4}=6-x$.
4. Elevamos al cuadrado (hay que exigir $6-x\ge 0$): $x^2+4=36-12x+x^2$, luego $12x=32$ y $x=\frac{8}{3}$.
5. Comprobación: $6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}>0$ y $\sqrt{\frac{64}{9}+4}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}$. Es válida.

Resultado: $x=\frac{8}{3}$, $y=-2$

a) 1. Producto: $$z_1{z}_2=(2+i\sqrt{3})(1-i)=2-2i+i\sqrt{3}-i^2\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-2)i.$$ 2. Cociente: multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $1+i$: $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(2+i\sqrt{3})(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{2+\sqrt{3}}{2}i.$$

b) 1. El módulo de un producto es el producto de los módulos: $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$. 2. $|z_1|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$ y $|z_2|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. 3. Por tanto, $|z_1{z}_2|=\sqrt{7}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{14}$.

Resultado: a) $z_1{z}_2=(2+\sqrt{3})+(\sqrt{3}-2)i$, $\frac{z_1}{z_2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\frac{2+\sqrt{3}}{2}i$; b) $|z_1{z}_2|=\sqrt{14}$

1. Producto: $zw=(-1+3i)(3+i)=-3-i+9i+3i^2$.
2. Con $i^2=-1$: $zw=-3-3+8i=-6+8i$.
3. Cociente: multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de $w$, $3-i$: $$\frac{z}{w}=\frac{(-1+3i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{-3+i+9i-3i^2}{9+1}.$$
4. Numerador: $-3+3+10i=10i$. Entonces $\frac{z}{w}=\frac{10i}{10}=i$.

Resultado: $zw=-6+8i$, $\frac{z}{w}=0+1i$

1. Despejamos $z$ dividiendo entre $1-i$: $$z=\frac{1-3i}{1-i}.$$
2. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $1+i$: $$z=\frac{(1-3i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i-3i-3i^2}{1+1}=\frac{4-2i}{2}.$$
3. Simplificamos: $z=2-i$. Igualando partes real e imaginaria con $z=x+iy$: $x=2$, $y=-1$.

Resultado: $x=2$, $y=-1$

1. Sea $z=x+iy$. Como $|z|=2\sqrt{5}$, se cumple $z{z}^{\ast }=|z{|}^2=20$, y por tanto $\frac{1}{z}=\frac{z^{\ast }}{20}$ y $\frac{1}{z^{\ast }}=\frac{z}{20}$.
2. Sustituimos en la ecuación: $$\frac{25z^{\ast }}{20}-\frac{15z}{20}=1-8i\Rightarrow 5z^{\ast }-3z=4-32i.$$
3. Con $z=x+iy$: $5(x-iy)-3(x+iy)=2x-8iy$. Luego $2x-8iy=4-32i$.
4. Igualamos partes real e imaginaria: $2x=4\Rightarrow x=2$ y $-8y=-32\Rightarrow y=4$.
5. Comprobación del módulo: $|z|=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

Resultado: $z=2+4i$

a) 1. Con $m,n\in \mathbb{R}$, igualamos partes real e imaginaria en $(4-5i)m+4n=16+15i$, es decir, $(4m+4n)-5mi=16+15i$. 2. Parte imaginaria: $-5m=15$, luego $m=-3$. 3. Parte real: $4m+4n=16$, luego $-12+4n=16$ y $n=7$.

b) 1. Sea $m=p+qi$ y $n=p-qi$ (conjugados), con $p,q\in \mathbb{R}$. 2. Calculamos $(4-5i)(p+qi)=4p+4qi-5pi+5q=(4p+5q)+(4q-5p)i$ y $4n=4p-4qi$. 3. Sumando: $(8p+5q)+(-5p)i=16+15i$. 4. Parte imaginaria: $-5p=15$, luego $p=-3$. 5. Parte real: $8p+5q=16$, luego $-24+5q=16$ y $q=8$.

Resultado: a) $m=-3$, $n=7$ b) $m=-3+8i$, $n=-3-8i$

a) 1. Desarrollamos: $(x+iy{)}^2=x^2-y^2+2xyi$. 2. Igualamos con $-5+12i$. 3. Parte real: $x^2-y^2=-5$. 4. Parte imaginaria: $2xy=12$, es decir, $xy=6$.

b) 1. De $xy=6$, $y=\frac{6}{x}$. Sustituimos en $x^2-y^2=-5$: $$x^2-\frac{36}{x^2}=-5\Rightarrow x^4+5x^2-36=0.$$ 2. Factorizamos: $(x^2+9)(x^2-4)=0$. Como $x$ es real, $x^2=4$ y $x=\pm 2$. 3. Si $x=2$, $y=3$. Si $x=-2$, $y=-3$. 4. Las raíces cuadradas son $2+3i$ y $-2-3i$.

c) 1. Sea $z=x+iy$. Entonces $z^{\ast }=x-iy$ y ${\left(z^{\ast }\right)}^2=x^2-y^2-2xyi$. 2. Por otro lado, $z^2=x^2-y^2+2xyi$, y su conjugado es ${\left(z^2\right)}^{\ast }=x^2-y^2-2xyi$. 3. Los dos resultados coinciden.

d) 1. Si $w^2=-5+12i$, conjugando y usando el apartado c): ${\left(w^{\ast }\right)}^2={\left(w^2\right)}^{\ast }=-5-12i$. 2. Luego las raíces cuadradas de $-5-12i$ son los conjugados de las de $-5+12i$.

Resultado: b) $2+3i$ y $-2-3i$ d) $2-3i$ y $-2+3i$

Queda demostrado.

a) 1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $a+i$: $$z=\frac{(a+i{)}^2}{(a-i)(a+i)}=\frac{a^2-1+2ai}{a^2+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}+i\frac{2a}{a^2+1}.$$

(i) 1. $z$ es real si $\mathrm{Im}z=0$: $\frac{2a}{a^2+1}=0$. 2. Como $a^2+1\ne 0$, $a=0$.

(ii) 1. $z$ es imaginario puro si $\mathrm{Re}z=0$: $\frac{a^2-1}{a^2+1}=0$. 2. Entonces $a^2=1$, es decir, $a=\pm 1$. (En estos casos $\mathrm{Im}z=\pm 1\ne 0$.)

b) 1. El módulo de un cociente es el cociente de los módulos: $|z|=\frac{|a+i|}{|a-i|}$. 2. $|a+i|=\sqrt{a^2+1}=|a-i|$. 3. Por tanto $|z|=1$ para todo $a$.

Resultado: a) i) $a=0$ ii) $a=-1$ o $a=1$ b) $|z|=1$

Queda demostrado.

a) 1. Sumamos las fracciones: $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{u+v}{uv}$. 2. Calculamos $u+v=5+5i$ y $uv=(2+3i)(3+2i)=6+4i+9i+6i^2=13i$. 3. Entonces $\frac{10}{w}=\frac{5+5i}{13i}$, luego $w=\frac{130i}{5+5i}=\frac{26i}{1+i}$. 4. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador: $w=\frac{26i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{26i+26}{2}=13+13i$.

b) 1. El conjugado es $w^{\ast }=13-13i$. 2. Su módulo es $|w^{\ast }|=\sqrt{13^2+13^2}=13\sqrt{2}$. 3. Está en el cuarto cuadrante con parte real igual a la parte imaginaria en valor absoluto, así que $\arg w^{\ast }=-\frac{\pi }{4}$. 4. Por tanto $w^{\ast }=13\sqrt{2}{e}^{-i\pi /4}$.

Resultado: a) $w=13+13i$ b) $w^{\ast }=13-13i=13\sqrt{2}{e}^{-i\pi /4}$

1. Escribimos $z=x+iy$ con $x,y\in \mathbb{R}$. La condición es $|z+16|=4|z+1|$.
2. Elevamos al cuadrado ambos miembros: $(x+16{)}^2+y^2=16\left[(x+1{)}^2+y^2\right]$.
3. Desarrollamos: $x^2+32x+256+y^2=16x^2+32x+16+16y^2$.
4. Simplificamos: $240=15x^2+15y^2$, es decir, $x^2+y^2=16$.
5. Como $|z{|}^2=x^2+y^2=16$, se tiene $|z|=4$ (el módulo es positivo).

Resultado: $|z|=4$

1. Desarrollamos el producto, usando $i^2=-1$: $$(a+i)(2-bi)=2a-abi+2i-b{i}^2=(2a+b)+(2-ab)i.$$
2. Igualamos con $7-i$ las partes real e imaginaria: $2a+b=7$ y $2-ab=-1$, es decir, $ab=3$.
3. De la primera, $b=7-2a$. Sustituimos en la segunda: $a(7-2a)=3$, o sea $2a^2-7a+3=0$.
4. Resolvemos: $a=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm 5}{4}$, así que $a=3$ o $a=\frac{1}{2}$.
5. Como $a\in \mathbb{Z}$, $a=3$ y entonces $b=7-6=1$. Comprobación: $ab=3$.

Resultado: $a=3$, $b=1$

1. Eliminamos $z_1$. Multiplicamos la segunda ecuación por $2$: $2z_1+2i{z}_2=8+8i$.
2. Restamos esta ecuación de la primera: $(3-2i)z_2=7-(8+8i)=-1-8i$.
3. Despejamos y multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $3+2i$: $$z_2=\frac{-1-8i}{3-2i}=\frac{(-1-8i)(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}=\frac{-3-2i-24i-16i^2}{13}=\frac{13-26i}{13}=1-2i.$$
4. De la segunda ecuación, $z_1=4+4i-i{z}_2=4+4i-i(1-2i)=4+4i-i-2=2+3i$.
5. Comprobación en la primera: $2(2+3i)+3(1-2i)=4+6i+3-6i=7$.

Resultado: $z_1=2+3i$, $z_2=1-2i$

1. Simplificamos el primer cociente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: $$\frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-3i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i.$$
2. Hacemos lo mismo con el segundo cociente ($u$ es real, así que el conjugado de $u+i$ es $u-i$): $$\frac{6+8i}{u+i}=\frac{(6+8i)(u-i)}{u^2+1}=\frac{(6u+8)+(8u-6)i}{u^2+1}.$$
3. Separamos la parte real y la imaginaria de $z$: $$\mathrm{Re}z=\frac{1}{2}-\frac{6u+8}{u^2+1},\mathrm{Im}z=-\frac{3}{2}-\frac{8u-6}{u^2+1}.$$
4. Imponemos $\mathrm{Re}z=\mathrm{Im}z$: $$\frac{1}{2}-\frac{6u+8}{u^2+1}=-\frac{3}{2}-\frac{8u-6}{u^2+1}⟹2=\frac{(6u+8)-(8u-6)}{u^2+1}=\frac{14-2u}{u^2+1}.$$
5. Quitamos el denominador ($u^2+1\ne 0$): $2u^2+2=14-2u$, es decir, $u^2+u-6=0$.
6. Factorizamos: $(u-2)(u+3)=0$.

Resultado: $u=2$ o $u=-3$

a) 1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador, $(a-c)-i(b-d)$: $$\frac{z+w}{z-w}=\frac{[(a+c)+i(b+d)][(a-c)-i(b-d)]}{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}.$$ 2. Parte real del numerador (parte real por parte real más parte imaginaria por parte imaginaria): $$(a+c)(a-c)+(b+d)(b-d)=a^2-c^2+b^2-d^2.$$ 3. Por tanto, $$\mathrm{Re}\frac{z+w}{z-w}=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}.$$ El denominador no es cero porque $z\ne w$.

b) 1. Si $|z|=|w|$, entonces $a^2+b^2=c^2+d^2$. 2. El numerador del apartado a) es $0$ y el denominador es distinto de $0$.

Resultado: a) $\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}$; b) $0$

1. Escribimos los vértices como vectores: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3)-(-1+4i)=-2-4i$.
2. El recorrido $A\to B\to C\to D$ es en sentido contrario a las agujas del reloj (A arriba, B a la izquierda, C abajo, D a la derecha). Por tanto $\overrightarrow{BC}$ se obtiene girando $\overrightarrow{AB}$ un ángulo de $90^{\circ }$ en sentido positivo, que equivale a multiplicar por $i$: $$\overrightarrow{BC}=i(-2-4i)=4-2i.$$
3. $C=B+\overrightarrow{BC}=-3+(4-2i)=1-2i$.
4. En un cuadrado $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, así que $D=A+\overrightarrow{BC}=(-1+4i)+(4-2i)=3+2i$.
5. Comprobación: $C$ queda debajo del eje real y ligeramente a la derecha del eje imaginario, y $D$ a la derecha y por encima del eje real, como en el diagrama.

Resultado: $C=1-2i$, $D=3+2i$

a) 1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de $w$, que es $k-7i$: $$\frac{z}{w}=\frac{(3+ik)(k-7i)}{(k+7i)(k-7i)}=\frac{(3+ik)(k-7i)}{k^2+49}.$$ 2. Numerador: $3k-21i+i{k}^2-7i^{2}k=3k+7k+i(k^2-21)=10k+i(k^2-21)$. 3. Por tanto $$\frac{z}{w}=\frac{10k}{k^2+49}+i\frac{k^2-21}{k^2+49}.$$

b) 1. $\frac{z}{w}$ es real cuando su parte imaginaria vale $0$: $\frac{k^2-21}{k^2+49}=0$. 2. El denominador nunca se anula, así que $k^2-21=0$, y $k=\pm \sqrt{21}$.

Resultado: a) $\frac{z}{w}=\frac{10k}{k^2+49}+i\frac{k^2-21}{k^2+49}$ b) $k=\pm \sqrt{21}$

1. Desarrollamos el cuadrado: $(a+bi{)}^2=a^2-b^2+2abi$.
2. Igualamos partes real e imaginaria con $-5+12i$: $$a^2-b^2=-5,2ab=12\Rightarrow b=\frac{6}{a}.$$
3. Sustituimos $b$ en la primera ecuación: $a^2-\frac{36}{a^2}=-5$, es decir, $a^4+5a^2-36=0$.
4. Es una ecuación de segundo grado en $a^2$: $(a^2-4)(a^2+9)=0$. Como $a$ es real, $a^2+9\ne 0$ y por tanto $a^2=4$, $a=\pm 2$.
5. Con $b=\frac{6}{a}$: si $a=2$, $b=3$; si $a=-2$, $b=-3$.

Resultado: $(a,b)=(2,3)$ y $(a,b)=(-2,-3)$

1. Sean $A=4+3i$, es decir $A(4,3)$, y $B=2-i$, es decir $B(2,-1)$. La condición $|z-A|=|z-B|$ dice que $P$ está a la misma distancia de $A$ que de $B$: el lugar es la mediatriz del segmento $[AB]$.
2. Lo comprobamos con coordenadas: $(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=(x-2{)}^2+(y+1{)}^2$. Desarrollando, $-8x-6y+25=-4x+2y+5$, es decir, $x+2y=5$.
3. Es una recta. Pasa por el punto medio de $AB$, que es $(3,1)$, y es perpendicular a $AB$ (la pendiente de $AB$ es $2$ y la de la recta es $-\frac{1}{2}$).
4. Para dibujarla en el diagrama basta marcar dos puntos de la recta que caigan dentro de los ejes, por ejemplo $(1,2)$ y $(5,0)$ (también pasa por $(3,1)$), y unirlos.

Resultado: el lugar es la recta $x+2y=5$, es decir, $y=-\frac{x}{2}+\frac{5}{2}$ (la mediatriz de $A(4,3)$ y $B(2,-1)$)

1. Simplificamos la fracción multiplicando por el conjugado del denominador: $$\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{2}=1+i.$$
2. Entonces $\sqrt{z}=1+i+1-4i=2-3i$.
3. Elevamos al cuadrado ambos lados: $$z=(2-3i{)}^2=4-12i+9i^2=-5-12i.$$

Resultado: $z=-5-12i$

1. Racionalizamos cada fracción: $z_1=\frac{a(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{a}{2}(1-i)$ y $z_2=\frac{b(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\frac{b}{5}(1+2i)$.
2. Sumamos: $z_1+z_2=\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{5}\right)+\left(-\frac{a}{2}+\frac{2b}{5}\right)i=3$.
3. Igualamos partes real e imaginaria: $\frac{a}{2}+\frac{b}{5}=3$ y $-\frac{a}{2}+\frac{2b}{5}=0$.
4. De la segunda, $a=\frac{4b}{5}$. En la primera: $\frac{2b}{5}+\frac{b}{5}=3$, es decir, $\frac{3b}{5}=3$ y $b=5$.
5. Entonces $a=\frac{4\cdot 5}{5}=4$.

Resultado: $a=4$, $b=5$

1. Desarrollamos ambos miembros: $2p+2qi=(q-2)+(2-p)i$.
2. Dos números complejos son iguales si lo son sus partes real e imaginaria: $2p=q-2$ y $2q=2-p$.
3. De la primera, $q=2p+2$. Sustituimos en la segunda: $2(2p+2)=2-p$, es decir, $4p+4=2-p$.
4. Entonces $5p=-2$ y $p=-\frac{2}{5}$.
5. $q=2\left(-\frac{2}{5}\right)+2=\frac{6}{5}$.
6. Comprobación de la segunda ecuación: $2q=\frac{12}{5}$ y $2-p=\frac{12}{5}$.

Resultado: $p=-\frac{2}{5}$, $q=\frac{6}{5}$

1. Racionalizamos los denominadores: $\frac{1}{3+4i}=\frac{3-4i}{25}$, $\frac{1}{5i}=-\frac{i}{5}$ y $\frac{5}{3-4i}=\frac{5(3+4i)}{25}=\frac{3+4i}{5}$.
2. Multiplicamos toda la ecuación por $25$: $z(3-4i)-5i(z-1)=5(3+4i)$.
3. Desarrollamos: $(3-4i)z-5iz+5i=15+20i$, es decir, $(3-9i)z=15+15i$.
4. Despejamos: $z=\frac{15(1+i)}{3(1-3i)}=\frac{5(1+i)}{1-3i}$.
5. Multiplicamos por el conjugado: $z=\frac{5(1+i)(1+3i)}{10}=\frac{1+3i+i-3}{2}=\frac{-2+4i}{2}=-1+2i$.
6. Comprobación: $\frac{z}{3+4i}=\frac{1+2i}{5}$ y $\frac{z-1}{5i}=\frac{2+2i}{5}$; su suma es $\frac{3+4i}{5}=\frac{5}{3-4i}$.

Resultado: $z=-1+2i$

a) 1. $|z|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ y $|w|=\sqrt{4+a^2}$. 2. La condición $|w|=2|z|$ da $\sqrt{4+a^2}=2\sqrt{5}$. Elevamos al cuadrado: $4+a^2=20$. 3. Entonces $a^2=16$ y $a=\pm 4$.

b) 1. Calculamos el producto: $zw=(1+2i)(2+ai)=2+ai+4i+2a{i}^2=(2-2a)+(a+4)i$. 2. La condición $\mathrm{Re}(zw)=2\mathrm{Im}(zw)$ da $2-2a=2(a+4)$. 3. Entonces $2-2a=2a+8$, luego $-4a=6$ y $a=-\frac{3}{2}$.

Resultado: a) $a=\pm 4$ b) $a=-\frac{3}{2}$