IB Análisis y Enfoques NS · Números complejos · Apartado 4 de 4

Polinomios con raíces complejas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un polinomio de grado $n$ tiene siempre $n$ raíces si se admiten números complejos, y cuando sus coeficientes son reales las raíces no reales aparecen por parejas conjugadas. Con esto, conocer una raíz compleja te regala otra, y la suma y el producto de las raíces se leen directamente de los coeficientes. En el examen del IB sirve para hallar las raíces que faltan, reconstruir un polinomio y despejar parámetros.

Todo polinomio tiene tantas raíces como su grado

En el tema 1 viste que un cero $c$ de $P (x)$ equivale al factor $x - c$ (teorema del factor), pero solo con números reales. Si se permiten complejos, no se escapa ninguno. Aquí la variable se escribe $z$ , porque las raíces pueden ser no reales.

No se demuestra en este curso. Lo que importa es la consecuencia: la ecuación $P (z) = 0$ de grado $n$ tiene exactamente $n$ soluciones complejas, contando las repetidas. Cada vez que encuentras una, el teorema del factor te deja dividir y bajar un grado.

Por ejemplo, $z^{2} + 4 = 0$ no tiene raíces reales, pero sí dos complejas, $z = 2 i$ y $z = - 2 i$ , y $z^{2} + 4 = (z - 2 i) (z + 2 i)$ .

Raíces conjugadas

La razón está en cómo se comporta el conjugado con las operaciones (suma, producto y potencias, que ya conoces de la forma binómica) y en que un número real es igual a su conjugado. Si $P (w) = 0$ , conjuga los dos lados:

$0 = 0^{*} = (a_{n} w^{n} + \dots + a_{1} w + a_{0})^{*} = a_{n}^{*} (w^{*})^{n} + \dots + a_{1}^{*} w^{*} + a_{0}^{*} = a_{n} (w^{*})^{n} + \dots + a_{1} w^{*} + a_{0} = P (w^{*})$

El paso clave es $a_{k}^{*} = a_{k}$ : solo vale si los coeficientes son reales. Si alguno no lo es, la propiedad falla.

Consecuencias que conviene tener a mano:

Las raíces no reales vienen en parejas $a + bi$ y $a - bi$ . Si el polinomio es real de grado impar, queda al menos una raíz real sin pareja.
Cada pareja forma un factor cuadrático con coeficientes reales:

$(z - (a + bi)) (z - (a - bi)) = z^{2} - 2 a z + (a^{2} + b^{2})$

La suma de la pareja es $2 a$ y su producto es $∣ w ∣^{2} = a^{2} + b^{2}$ : ambos reales, como debe ser.

Factorizar en los reales y en los complejos

Un cuadrático real $z^{2} + p z + q$ no tiene raíces reales si su discriminante $p^{2} - 4 q$ es negativo; entonces sus raíces son un par conjugado. Así que, en los reales, un polinomio se factoriza en lineales y cuadráticos irreducibles, y en los complejos solo en lineales.

Reconstruir un polinomio a partir de sus raíces

Si conoces todas las raíces $w_{1}, \dots, w_{n}$ y el coeficiente principal, el teorema fundamental da el polinomio sin más que multiplicar los factores. Con coeficientes reales, añade siempre las conjugadas de las raíces no reales: si te dicen «tiene por raíz $3 + i$ », el polinomio real de menor grado que la tiene necesita también $3 - i$ , y por tanto es al menos de grado 2.

Suma y producto de las raíces

Al desarrollar $a_{n} (z - w_{1}) \dots (z - w_{n})$ y comparar con $a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{0}$ , los coeficientes quedan ligados a las raíces. No hace falta conocer las raíces para usar estas relaciones, y valen también con coeficientes complejos.

Casos concretos que se usan a menudo:

Grado	Polinomio	Suma de raíces	Producto de raíces
2	$a z^{2} + b z + c$	$- \frac{b}{a}$	$\frac{c}{a}$
3	$a z^{3} + b z^{2} + cz + d$	$- \frac{b}{a}$	$- \frac{d}{a}$
4	$a z^{4} + b z^{3} + c z^{2} + d z + e$	$- \frac{b}{a}$	$\frac{e}{a}$

La comprobación en grado 2 es inmediata: $a (z - w_{1}) (z - w_{2}) = a z^{2} - a (w_{1} + w_{2}) z + a w_{1} w_{2}$ . Fíjate en el signo y en que se divide entre el coeficiente principal: el polinomio $2 z^{3} - 6 z^{2} + \dots$ tiene suma de raíces $- \frac{- 6}{2} = 3$ , no $6$ ni $- 6$ .

Usarlas junto con la conjugación es muy potente: si las raíces son $w$ y $w^{*}$ (y otras), su suma aporta $2 Re (w)$ y su producto aporta $∣ w ∣^{2}$ , dos números reales fáciles de manejar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Una raíz compleja y las demás

La ecuación $z^{3} - 5 z^{2} + 17 z - 13 = 0$ tiene por raíz $z = 2 + 3 i$ .

a) Escribe otra raíz no real.

b) Halla la raíz real.

c) Factoriza $P (z) = z^{3} - 5 z^{2} + 17 z - 13$ como producto de un factor lineal y un factor cuadrático, ambos con coeficientes reales.

Solución

a) Los coeficientes de $P$ son reales, así que la conjugada de $2 + 3 i$ también es raíz: $z = 2 - 3 i$ .

b) Las dos raíces conjugadas dan el factor cuadrático real. Su suma es $(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4$ y su producto es $2^{2} + 3^{2} = 13$ , luego

$(z - (2 + 3 i)) (z - (2 - 3 i)) = z^{2} - 4 z + 13$

Dividimos $P (z)$ entre $z^{2} - 4 z + 13$ . El cociente es de grado 1, $z + m$ , y al desarrollar $(z^{2} - 4 z + 13) (z + m) = z^{3} + (m - 4) z^{2} + (13 - 4 m) z + 13 m$ y comparar con $P$ : el término independiente da $13 m = - 13$ , luego $m = - 1$ . Comprobación del coeficiente de $z^{2}$ : $m - 4 = - 5$ . Correcto, y también $13 - 4 m = 17$ . El tercer factor es $z - 1$ , así que la raíz real es $z = 1$ .

Otra vía: la suma de las tres raíces es $- \frac{- 5}{1} = 5$ , así que $(2 + 3 i) + (2 - 3 i) + r = 5$ y $r = 1$ .

c) $P (z) = (z - 1) (z^{2} - 4 z + 13)$ .

Ejemplo 2 Medio

Reconstruir un polinomio real de grado 4

Un polinomio $P (z)$ mónico de grado $4$ con coeficientes reales tiene por raíces $2 i$ y $3 + i$ .

a) Escribe las otras dos raíces.

b) Halla $P (z)$ desarrollado.

c) Factoriza $P (z)$ en $R$ (factores lineales o cuadráticos con coeficientes reales).

Solución

a) Como $P$ tiene coeficientes reales, las conjugadas $- 2 i$ y $3 - i$ también son raíces. Con las dos dadas hacen las cuatro raíces del polinomio de grado 4, que son todas.

b) Se agrupan las parejas conjugadas:

Pareja $\pm 2 i$ : suma $0$ y producto $2^{2} = 4$ , factor $z^{2} + 4$ .
Pareja $3 \pm i$ : suma $6$ y producto $3^{2} + 1^{2} = 10$ , factor $z^{2} - 6 z + 10$ .

Al ser mónico,

$P (z) = (z^{2} + 4) (z^{2} - 6 z + 10) = z^{4} - 6 z^{3} + 10 z^{2} + 4 z^{2} - 24 z + 40 = z^{4} - 6 z^{3} + 14 z^{2} - 24 z + 40$

Comprobación con la suma de raíces: $2 i - 2 i + (3 + i) + (3 - i) = 6$ , que coincide con $- \frac{- 6}{1} = 6$ . El producto de raíces es $40 = (- 1)^{4} \cdot \frac{40}{1}$ , y vale $4 \cdot 10 = 40$ .

c) Los dos factores cuadráticos tienen discriminante negativo ( $0 - 16 < 0$ y $36 - 40 < 0$ ), así que no se descomponen más en los reales:

$P (z) = (z^{2} + 4) (z^{2} - 6 z + 10)$

Ejemplo 3 Difícil

Parámetros con suma y producto de raíces

Considera el polinomio $P (z) = z^{4} - 8 z^{3} + b z^{2} + cz + 65$ , con $b, c \in R$ . Las cuatro raíces de $P (z) = 0$ no son reales y dos de ellas son $1 + 2 i$ y $p + q i$ , con $p, q \in R$ , $q > 0$ , distinta de $1 + 2 i$ .

a) Halla la suma y el producto de las cuatro raíces.

b) Halla $p$ y $q$ .

c) Halla $b$ y $c$ .

Solución

Como los coeficientes son reales y ninguna raíz es real, las cuatro raíces son dos parejas conjugadas: $1 + 2 i$ , $1 - 2 i$ , $p + q i$ y $p - q i$ .

a) Con $a_{4} = 1$ , $a_{3} = - 8$ y $a_{0} = 65$ :

$suma = - \frac{- 8}{1} = 8, producto = (+ 1) \cdot \frac{65}{1} = 65$

b) La suma de las cuatro raíces es $2 \cdot 1 + 2 p = 8$ , luego $p = 3$ . El producto de cada pareja es el cuadrado del módulo: $(1^{2} + 2^{2}) (p^{2} + q^{2}) = 5 (9 + q^{2}) = 65$ . Entonces $9 + q^{2} = 13$ , es decir $q^{2} = 4$ , y como $q > 0$ , $q = 2$ . Las raíces son $1 \pm 2 i$ y $3 \pm 2 i$ .

c) Se forman los factores reales de cada pareja: $1 \pm 2 i$ da $z^{2} - 2 z + 5$ y $3 \pm 2 i$ da $z^{2} - 6 z + 13$ . Entonces

$P (z) = (z^{2} - 2 z + 5) (z^{2} - 6 z + 13) = z^{4} - 8 z^{3} + (13 + 12 + 5) z^{2} + (- 26 - 30) z + 65$

$P (z) = z^{4} - 8 z^{3} + 30 z^{2} - 56 z + 65$

y por tanto $b = 30$ y $c = - 56$ . El coeficiente de $z^{3}$ y el término independiente coinciden con los del enunciado, lo que confirma el cálculo.

En el examen: justifica por qué las raíces son dos parejas conjugadas (coeficientes reales y raíces no reales) antes de usar suma y producto: esa frase da los puntos de método. Y escribe la suma con el signo correcto, $- \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}$ .

Errores típicos

Resumen

Teorema fundamental del álgebra: un polinomio de grado $n \geq 1$ tiene $n$ raíces complejas (contando repeticiones) y $P (z) = a_{n} (z - w_{1}) \dots (z - w_{n})$ .
Si los coeficientes son reales y $w$ es raíz, $w^{*}$ también lo es. Las raíces no reales vienen por parejas $a \pm bi$ ; un polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.
Cada pareja forma un factor real $z^{2} - 2 a z + (a^{2} + b^{2})$ : suma $2 a$ , producto $a^{2} + b^{2}$ . En $R$ se factoriza en lineales y cuadráticos sin raíces reales; en $C$ , solo en lineales.
Para reconstruir un polinomio real: añade las conjugadas de las raíces no reales, agrupa en factores cuadráticos, multiplica y ajusta el coeficiente principal.
Suma de raíces $= - \frac{a _{n - 1}}{a _{n}}$ ; producto de raíces $= (- 1)^{n} \frac{a _{0}}{a _{n}}$ . En grado 2: $- \frac{b}{a}$ y $\frac{c}{a}$ .
Con la CPG (Prueba 2) puedes obtener las raíces complejas en modo complejo, pero escribe siempre el planteamiento.

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