IB Análisis y Enfoques NS · Números complejos · Apartado 2 de 4

Forma polar y exponencial

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un número complejo se puede dar por sus coordenadas $(a, b)$ o por su distancia al origen y su dirección. La forma polar y la exponencial usan la segunda descripción, y con ella multiplicar y dividir se vuelve muy fácil: se multiplican (o dividen) las distancias y se suman (o restan) los ángulos. Es la base del teorema de De Moivre y de las raíces, y sale en la Prueba 1 sin calculadora.

Módulo y argumento

Piensa en $z = a + bi$ como el punto $(a, b)$ del plano de Argand (si no recuerdas la forma $a + bi$ , repásala en forma binómica y operaciones). Ese punto queda fijado por dos datos: cuánto dista del origen y qué ángulo forma su segmento con el eje real positivo.

Plano de Argand con el punto z, su módulo r como distancia al origen y su argumento theta como ángulo con el eje real positivo

El triángulo rectángulo de la figura da las relaciones de paso entre $(a, b)$ y $(r, θ)$ :

$a = r cos θ, b = r sin θ, tan θ = \frac{b}{a} (a \neq = 0)$

El número $0$ tiene módulo $0$ y no tiene argumento (no apunta a ninguna parte).

Dos consecuencias rápidas del dibujo: el conjugado $z^{*}$ es el simétrico respecto al eje real, así que $∣ z^{*} ∣ = ∣ z ∣$ y $ar g z^{*} = - ar g z$ ; y $- z$ está en la dirección contraria, con el mismo módulo y argumento $ar g z \pm π$ .

Cuidado con el cuadrante

La ecuación $tan θ = \frac{b}{a}$ tiene dos soluciones en cada vuelta, separadas $π$ , y la tecla $arctan$ solo devuelve la que está en $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ , es decir, la de los cuadrantes primero y cuarto ( $a > 0$ ). Si $a < 0$ hay que corregir. Lo más seguro es dibujar el punto y trabajar con el ángulo agudo de referencia.

Comprobación útil: el signo de $sin θ$ debe coincidir con el de $b$ y el de $cos θ$ con el de $a$ .

Forma polar y forma exponencial

Sustituyendo $a = r cos θ$ y $b = r sin θ$ en $z = a + bi$ y sacando factor común $r$ :

Existe una tercera escritura, todavía más compacta, que se apoya en la fórmula de Euler:

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$

Por ahora tómala como una definición de lo que significa elevar $e$ a un exponente imaginario (en cursos más avanzados se demuestra con series). Lo importante es que obedece las reglas de las potencias, y eso explica por qué los argumentos se suman al multiplicar, como veremos enseguida.

Las tres formas describen el mismo número. Por ejemplo, $z = 2 cis \frac{π}{3} = 2 e^{iπ /3} = 1 + 3 i$ . Dos casos que conviene saber de memoria: $e^{iπ} = - 1$ y $e^{iπ /2} = i$ .

Producto y cociente en forma polar

En forma binómica multiplicar obliga a desarrollar y agrupar. En forma polar es casi inmediato. Sean $z = r_{1} cis θ_{1}$ y $w = r_{2} cis θ_{2}$ :

Por qué. Al multiplicar los paréntesis aparecen las identidades de suma de ángulos:

$z w = r_{1} r_{2} (cos θ_{1} + i sin θ_{1}) (cos θ_{2} + i sin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [(cos θ_{1} cos θ_{2} - sin θ_{1} sin θ_{2}) + i (sin θ_{1} cos θ_{2} + cos θ_{1} sin θ_{2})] = r_{1} r_{2} [cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})]$

En forma exponencial el resultado es la regla de las potencias de siempre: $r_{1} e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} e^{i θ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$ , y el cociente resta los exponentes. Para el cociente se razona igual, o se usa que dividir es multiplicar por el inverso, que tiene módulo $\frac{1}{r}$ y argumento $- θ$ .

Después de operar, el ángulo puede salirse del intervalo $] - π, π]$ : suma o resta $2 π$ hasta que entre. Es el mismo número, solo que escrito con su argumento principal.

Interpretación geométrica

Multiplicar por $w = r_{2} cis θ_{2}$ hace dos cosas a la vez sobre cualquier punto $z$ :

lo estira (o encoge) multiplicando su distancia al origen por $r_{2}$ ;
lo gira un ángulo $θ_{2}$ alrededor del origen, en sentido antihorario si $θ_{2} > 0$ .

Los puntos z y w y su producto zw: el módulo se multiplica y los ángulos alfa y beta se suman

Casos particulares que se usan muchísimo:

Multiplicar por	Efecto
$i = cis \frac{π}{2}$	giro de $9 0^{\circ}$ (no cambia el módulo)
$- 1 = cis π$	giro de $18 0^{\circ}$
$cis θ$ (módulo 1)	giro puro de ángulo $θ$
$k > 0$ real	estiramiento de razón $k$ , sin giro

Dividir por $w$ hace lo contrario: encoge por $r_{2}$ y gira $- θ_{2}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Pasar de binómica a polar y al revés

Escribe en forma polar $r cis θ$ , con el argumento principal en radianes y valores exactos:

a) $z_{1} = - 3 + 3 i$ .

b) $z_{2} = - 23 - 2 i$ .

c) $z_{3} = - 7 i$ .

d) Pasa $z_{4} = 6 cis \frac{2 π}{3}$ a forma binómica.

Solución

a) El punto $(- 3, 3)$ está en el 2.º cuadrante. $r = 9 + 9 = 32$ . El ángulo de referencia es $α = arctan \frac{3}{- 3} = \frac{π}{4}$ , y en el 2.º cuadrante $θ = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$ . Así, $z_{1} = 32 cis \frac{3 π}{4}$ .

b) El punto $(- 23, - 2)$ está en el 3.º cuadrante. $r = 12 + 4 = 4$ . Ángulo de referencia: $α = arctan \frac{2}{2 3} = arctan \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ . En el 3.º cuadrante, $θ = \frac{π}{6} - π = - \frac{5 π}{6}$ , que está en $] - π, π]$ . Así, $z_{2} = 4 cis (- \frac{5 π}{6})$ .

c) Está sobre el eje imaginario negativo: $r = 7$ y $θ = - \frac{π}{2}$ . Entonces $z_{3} = 7 cis (- \frac{π}{2})$ .

d) $z_{4} = 6 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3}) = 6 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 3 + 33 i$ .

Ejemplo 2 Medio

Producto y cociente de dos complejos

Sean $z = 4 e^{3 π i /4}$ y $w = 2 e^{2 π i /3}$ .

a) Calcula $z w$ en forma exponencial con el argumento principal.

b) Calcula $\frac{z}{w}$ en forma exponencial con el argumento principal.

Solución

a) Se multiplican los módulos y se suman los argumentos:

$z w = 4 \cdot 2 e^{i (\frac{3 π}{4} + \frac{2 π}{3})} = 8 e^{\frac{17 π}{12} i}$

Como $\frac{17 π}{12} > π$ , se resta $2 π$ para llevarlo a $] - π, π]$ :

$\frac{17 π}{12} - 2 π = \frac{17 π - 24 π}{12} = - \frac{7 π}{12} ⟹ z w = 8 e^{- \frac{7 π}{12} i}$

b) Se dividen los módulos y se restan los argumentos:

$\frac{z}{w} = \frac{4}{2} e^{i (\frac{3 π}{4} - \frac{2 π}{3})} = 2 e^{\frac{π}{12} i}$

El ángulo $\frac{π}{12}$ ya está en $] - π, π]$ , no hace falta ajustarlo.

Ejemplo 3 Difícil

Un giro con estiramiento

Sean $u = 1 + 3 i$ y $v = 3 - i$ .

a) Escribe $u$ en forma exponencial.

b) Escribe $v$ en forma exponencial.

c) Calcula $\frac{u}{v}$ en forma binómica, sin desarrollar fracciones con el conjugado.

d) En un mapa del plano complejo, el punto $P$ representa a $u$ . Se gira $P$ un ángulo de $\frac{π}{4}$ en sentido antihorario alrededor del origen y a la vez se multiplica su distancia al origen por $2$ . Halla, en forma binómica, el número $p$ que representa el nuevo punto.

Solución

a) $u = 1 + 3 i$ está en el 1.er cuadrante. $r = 1 + 3 = 2$ y $θ = arctan 3 = \frac{π}{3}$ . Luego $u = 2 e^{\frac{π}{3} i}$ .

b) $v = 3 - i$ está en el 4.º cuadrante. $r = 3 + 1 = 2$ , $α = arctan \frac{1}{3} = \frac{π}{6}$ y en el 4.º cuadrante $θ = - \frac{π}{6}$ . Luego $v = 2 e^{- \frac{π}{6} i}$ .

c) Se divide en forma exponencial: módulo $\frac{2}{2} = 1$ y argumento $\frac{π}{3} - (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{2}$ . Entonces

$\frac{u}{v} = e^{\frac{π}{2} i} = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2} = i$

d) Estirar por $2$ y girar $\frac{π}{4}$ equivale a multiplicar por $w = 2 cis \frac{π}{4} = 2 (\frac{2}{2} + \frac{2}{2} i) = 1 + i$ . Entonces

$p = u w = (1 + 3 i) (1 + i) = 1 + i + 3 i + 3 i^{2} = (1 - 3) + (1 + 3) i$

Comprobación en forma polar: $p$ debe tener módulo $22$ y argumento $\frac{π}{3} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{12}$ , en el 2.º cuadrante. En efecto, $1 - 3 < 0$ y $1 + 3 > 0$ , y $(1 - 3)^{2} + (1 + 3)^{2} = 8 = 22$ .

En el examen: cuando se pide $\frac{u}{v}$ o un producto y los números son «bonitos» en polar, pasar a forma exponencial ahorra mucho cálculo, pero escribe siempre los módulos y argumentos de partida (se puntúan) y reduce el argumento final a $] - π, π]$ antes de dar el resultado.

Errores típicos

Resumen

Módulo $r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ . Argumento $θ = ar g z$ : el ángulo con el eje real positivo; el principal está en $] - π, π]$ . $0$ no tiene argumento.
Para hallar $θ$ : dibuja el punto, calcula $α = arctan ∣ b / a ∣$ y ajústalo al cuadrante ( $α$ , $π - α$ , $α - π$ , $- α$ ). $arctan (b / a)$ solo vale si $a > 0$ .
Forma polar $z = r (cos θ + i sin θ) = r cis θ$ ; forma exponencial $z = r e^{i θ}$ (Euler: $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ ). De polar a binómica: $a = r cos θ$ , $b = r sin θ$ .
$z w = r_{1} r_{2} cis (θ_{1} + θ_{2})$ y $\frac{z}{w} = \frac{r _{1}}{r _{2}} cis (θ_{1} - θ_{2})$ . Reduce el ángulo final a $] - π, π]$ .
Geométricamente, multiplicar por $r cis θ$ estira por $r$ y gira $θ$ ; multiplicar por $i$ gira $9 0^{\circ}$ . Además $ar g z^{*} = - ar g z$ .

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