Teorema de De Moivre y raíces n-ésimas

El teorema

Partimos de la forma polar: al multiplicar dos complejos se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Si multiplicas un complejo por sí mismo varias veces, el módulo se multiplica por sí mismo y el argumento se suma consigo mismo. Eso es el teorema.

La versión exponencial es casi evidente porque $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$ sigue la regla de las potencias. La demostración que se pide en el programa es la que no usa la exponencial, y se hace por inducción. Basta con tomar $r=1$, porque el módulo $r^n$ sale fuera sin dificultad.

Demostración por inducción

Llamamos $P(n)$ a la afirmación $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$.

1. Caso base. Para $n=1$ los dos lados son $\cos \theta +i\sin \theta$. Se cumple.
2. Hipótesis. Suponemos que $P(k)$ es cierta para algún $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$.
3. Paso. Multiplicamos por $\cos \theta +i\sin \theta$ y usamos la hipótesis:

$$\begin{array}{rl}(\cos \theta +i\sin \theta {)}^{k+1}& =(\cos k\theta +i\sin k\theta )(\cos \theta +i\sin \theta )\\ & =(\cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta )+i(\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta )\\ & =\cos (k\theta +\theta )+i\sin (k\theta +\theta )=\cos (k+1)\theta +i\sin (k+1)\theta \end{array}$$

En la última línea hemos usado las fórmulas del coseno y del seno de una suma. Es justo $P(k+1)$. 4. Conclusión. $P(1)$ es cierta y $P(k)\Rightarrow P(k+1)$, así que $P(n)$ es cierta para todo $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Potencias de un complejo

Elevar $z=a+bi$ a una potencia grande desarrollando el binomio es lento y propenso a errores. Con la forma polar es casi inmediato.

Una consecuencia útil: $z^n$ es un número real cuando $n\theta$ es un múltiplo de $\pi$, y imaginario puro cuando $n\theta$ es un múltiplo impar de $\frac{\pi }{2}$. Así se averigua el menor exponente que da un resultado real sin calcular las potencias una a una.

Raíces $n$-ésimas

Una raíz $n$-ésima de $z$ es un complejo $w$ tal que $w^n=z$. En los reales, $\sqrt[3]{8}$ solo tiene un valor real; en los complejos, la ecuación $w^3=8$ tiene tres soluciones. Veamos por qué escribiendo $w=s\mathrm{cis}\alpha$ y $z=r\mathrm{cis}\theta$ y aplicando De Moivre:

$$s^n\mathrm{cis}(n\alpha )=r\mathrm{cis}\theta$$

Dos complejos son iguales si tienen el mismo módulo y sus argumentos difieren en un múltiplo de $2\pi$. Por tanto $s^n=r$, es decir $s=\sqrt[n]{r}$ (la raíz real positiva), y $n\alpha =\theta +2k\pi$ con $k$ entero. Despejando $\alpha$ se obtiene una familia de ángulos, y solo $n$ de ellos dan puntos distintos, porque al llegar a $k=n$ el ángulo ha dado una vuelta completa.

Dónde están las raíces

Como todas tienen el mismo módulo, las raíces están sobre una circunferencia de centro el origen. Como cada una está a $\frac{2\pi }{n}$ de la anterior, están equiespaciadas. Por tanto, las raíces $n$-ésimas son los vértices de un polígono regular de $n$ lados inscrito en esa circunferencia. La figura muestra las tres raíces cúbicas de $8$: forman un triángulo equilátero.

Esto da una forma rápida de comprobar o de completar una lista: conocida una raíz, las demás se obtienen girándola un ángulo $\frac{2\pi }{n}$ alrededor del origen. Si te piden el área o el perímetro del polígono, basta con el radio $\sqrt[n]{r}$ y la geometría del triángulo o cuadrado que forman.

Raíces de la unidad

El caso $z=1$ es especial porque $1=\mathrm{cis}0$. Sus raíces $n$-ésimas se llaman raíces $n$-ésimas de la unidad.

Por qué la suma es cero. Es una progresión geométrica de razón $\omega$, y ${\omega }^n=1$, así que

$$1+\omega +\cdots +{\omega }^{n-1}=\frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }=\frac{1-1}{1-\omega }=0$$

(vale porque $\omega \ne 1$ cuando $n\ge 2$). La intuición geométrica es que un polígono regular centrado en el origen está equilibrado: sus vértices, vistos como vectores, se compensan. Una consecuencia directa: la suma de las partes reales de las raíces es $0$, y lo mismo la de las partes imaginarias.

Para cualquier $z$, las raíces $n$-ésimas son las de la unidad multiplicadas por una de ellas: si $w_0$ es una raíz de $w^n=z$, las demás son $w_0,w_0\omega ,w_0{\omega }^2,\dots$ y su suma también es cero.

Identidades trigonométricas

De Moivre se puede leer al revés: comparando la parte real e imaginaria de $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ con $\cos n\theta +i\sin n\theta$ se obtienen fórmulas para ángulos múltiplos.

Con $n=3$, y escribiendo $c=\cos \theta$, $s=\sin \theta$:

$$(c+is{)}^3=c^3+3i{c}^{2}s-3c{s}^2-i{s}^3=(c^3-3c{s}^2)+i(3c^{2}s-s^3)$$

La parte real es $\cos 3\theta =c^3-3c{s}^2$, y con $s^2=1-c^2$ queda

$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$

y de la parte imaginaria sale $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$.

El camino inverso es expresar una potencia de $\cos \theta$ o de $\sin \theta$ como suma de cosenos o senos de ángulos múltiplos. Para ello se usa $z=\cos \theta +i\sin \theta$, para el que $z^{-1}=\cos \theta -i\sin \theta$.

Se comprueba con De Moivre: $z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$ y $z^{-n}=\cos n\theta -i\sin n\theta$; al sumar se van los senos y al restar se van los cosenos.

Por ejemplo, con ${\sin }^4\theta$: $(z-z^{-1}{)}^4=(2i\sin \theta {)}^4=16{\sin }^4\theta$. Al desarrollar,

$$(z-z^{-1}{)}^4=z^4-4z^2+6-4z^{-2}+z^{-4}=(z^4+z^{-4})-4(z^2+z^{-2})+6=2\cos 4\theta -8\cos 2\theta +6$$

y dividiendo entre $16$:

$${\sin }^4\theta =\frac{\cos 4\theta -4\cos 2\theta +3}{8}$$

Esta forma es la que permite, después, integrar ${\sin }^4\theta$ sin esfuerzo: cada término es un coseno de un ángulo múltiplo.