IB Análisis y Enfoques NS · Números complejos · Apartado 1 de 4

Forma binómica y operaciones

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Los números complejos amplían los reales para que toda ecuación como $x^{2} + 1 = 0$ tenga solución. Se escriben $z = a + bi$ y se operan como expresiones algebraicas, recordando que $i^{2} = - 1$ . En el examen del IB aparecen en la Prueba 1 (sumar, multiplicar, dividir, despejar $z$ ) y son la base de las formas polar y exponencial que vienen después.

La unidad imaginaria

En los reales, $x^{2} = - 1$ no tiene solución, porque un cuadrado nunca es negativo. Se inventa entonces un número nuevo cuyo cuadrado sea $- 1$ .

Si $b = 0$ , $z = a$ es un número real, así que $R \subset C$ . Si $a = 0$ y $b \neq = 0$ , $z = bi$ es un imaginario puro.

Con $i$ , las ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo ya se resuelven: si $Δ < 0$ , entonces $Δ = - Δ i$ . Por ejemplo, $x^{2} - 6 x + 10 = 0$ da $x = \frac{6 \pm - 4}{2} = 3 \pm i$ .

Potencias de $i$

Al multiplicar por $i$ sucesivamente, los resultados se repiten cada cuatro pasos:

$i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1, i^{5} = i, \dots$

Es cierto porque $i^{4} = 1$ : $i^{4 k + r} = (i^{4})^{k} i^{r} = i^{r}$ .

Igualdad y plano de Argand

Esta propiedad es la herramienta para resolver ecuaciones: una igualdad entre complejos equivale a dos igualdades entre reales.

Como un complejo son dos números $(a, b)$ , se dibuja como un punto del plano, llamado plano de Argand (o plano complejo): el eje horizontal es el eje real y el vertical es el eje imaginario. El complejo $z = a + bi$ es el punto $(a, b)$ , y también se puede ver como el vector que va del origen a ese punto.

Plano de Argand con el complejo z igual a a más bi como punto de coordenadas a y b y su conjugado z asterisco igual a a menos bi como punto simétrico respecto del eje real

Los reales quedan sobre el eje horizontal y los imaginarios puros sobre el vertical. Esta imagen sirve para interpretar el conjugado (más abajo) y, en el apartado siguiente, el módulo y el argumento.

Suma, resta y producto

Sean $z = a + bi$ y $w = c + d i$ .

No hace falta memorizar la fórmula del producto: se desarrolla como un producto de binomios y se sustituye $i^{2} = - 1$ : $(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

Sumar es sumar vectores en el plano de Argand; el producto, en cambio, tiene un significado geométrico más sutil que verás con la forma polar.

El conjugado y la división

La clave es que, al multiplicar un complejo por su conjugado, desaparece la $i$ : $z z^{*} = (a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ donde $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$ es el módulo de $z$ (la distancia de $z$ al origen). Es la misma idea que racionalizar un denominador con raíces.

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

Tampoco hay que memorizar este resultado: se aplica el método cada vez.

Propiedades del conjugado

En palabras: el conjugado de una operación es la operación de los conjugados. Cada propiedad se comprueba escribiendo $z = a + bi$ y $w = c + d i$ y desarrollando los dos lados. Por ejemplo, para el producto: $z w = (a c - b d) + (a d + b c) i$ y $z^{*} w^{*} = (a - bi) (c - d i) = (a c - b d) - (a d + b c) i$ , que es el conjugado de $z w$ .

Ecuaciones con complejos

Raíz cuadrada de un complejo

Todo complejo tiene dos raíces cuadradas, una opuesta a la otra. Para hallarlas en forma binómica se plantea $(x + y i)^{2} = a + bi$ .

Con números sencillos suele bastar probar enteros que cumplan $2 x y = b$ y $x^{2} - y^{2} = a$ . En un cociente o en una ecuación de segundo grado con coeficientes complejos, este paso es el que permite aplicar la fórmula de $x = \frac{- B \pm Δ}{2 A}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Potencias, producto y cociente

a) Calcula $i^{103}$ .

b) Calcula $(4 - 3 i) (2 + i)$ y da su parte real y su parte imaginaria en la forma $a + bi$ .

c) Escribe $\frac{1 + 2 i}{3 - i}$ en la forma $a + bi$ .

Solución

a) Se divide el exponente entre $4$ : $103 = 4 \cdot 25 + 3$ , así que el resto es $3$ y $i^{103} = i^{3} = - i$ .

b) Se desarrolla como un producto de binomios: $(4 - 3 i) (2 + i) = 8 + 4 i - 6 i - 3 i^{2} = 8 - 2 i + 3 = 11 - 2 i$

c) Se multiplica por el conjugado del denominador, $3 + i$ : $\frac{1 + 2 i}{3 - i} = \frac{( 1 + 2 i ) ( 3 + i )}{( 3 - i ) ( 3 + i )} = \frac{3 + i + 6 i + 2 i ^{2}}{9 + 1} = \frac{1 + 7 i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10} i$

Ejemplo 2 Medio

Ecuaciones con z, con conjugado y raíz cuadrada

a) Halla el complejo $z$ que cumple $(1 + 2 i) z = 7 - i$ .

b) Halla el complejo $z$ que cumple $2 z + z^{*} = 9 + 2 i$ .

c) Halla las dos raíces cuadradas de $- 5 + 12 i$ .

Solución

a) Se despeja $z$ y se divide con el conjugado de $1 + 2 i$ : $z = \frac{7 - i}{1 + 2 i} = \frac{( 7 - i ) ( 1 - 2 i )}{( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i )} = \frac{7 - 14 i - i + 2 i ^{2}}{5} = \frac{5 - 15 i}{5} = 1 - 3 i$

b) Aparece $z^{*}$ , así que se escribe $z = x + y i$ y $z^{*} = x - y i$ : $2 (x + y i) + (x - y i) = 3 x + y i = 9 + 2 i$ Igualando partes real e imaginaria: $3 x = 9$ y $y = 2$ . Entonces $z = 3 + 2 i$ .

c) Se plantea $(x + y i)^{2} = - 5 + 12 i$ , es decir, $x^{2} - y^{2} + 2 x y i = - 5 + 12 i$ : $x^{2} - y^{2} 2 x y = - 5 = 12$ De la segunda, $y = \frac{6}{x}$ . Sustituyendo, $x^{2} - \frac{36}{x ^{2}} = - 5$ , es decir, $x^{4} + 5 x^{2} - 36 = 0$ . Con $u = x^{2}$ : $u^{2} + 5 u - 36 = 0$ , de donde $u = 4$ o $u = - 9$ . Como $x$ es real, $u = x^{2} = 4$ , luego $x = \pm 2$ e $y = \frac{6}{x} = \pm 3$ . Las raíces son $2 + 3 i y - 2 - 3 i$ Comprobación: $(2 + 3 i)^{2} = 4 + 12 i - 9 = - 5 + 12 i$ .

Ejemplo 3 Difícil

Un parámetro y un sistema con conjugados

a) Halla el valor real de $p$ para que $\frac{p + 3 i}{2 + i}$ sea un imaginario puro y escribe entonces ese número.

b) Los complejos $z$ y $w$ cumplen $z + i w z^{*} + 2 w = 2 + 5 i = 7 - 4 i$ Halla $z$ y $w$ en la forma $a + bi$ .

Solución

a) Se divide con el conjugado de $2 + i$ : $\frac{p + 3 i}{2 + i} = \frac{( p + 3 i ) ( 2 - i )}{5} = \frac{2 p - p i + 6 i - 3 i ^{2}}{5} = \frac{( 2 p + 3 ) + ( 6 - p ) i}{5}$ Es un imaginario puro cuando la parte real es cero: $2 p + 3 = 0$ , es decir, $p = - \frac{3}{2}$ . El número es entonces $\frac{6 - ( - 3/2 )}{5} i = \frac{15/2}{5} i = \frac{3}{2} i$ .

b) Se escribe $z = x + y i$ y $w = p + q i$ con $x, y, p, q \in R$ . Entonces $z^{*} = x - y i$ y $i w = p i + q i^{2} = - q + p i$ .

Primera ecuación: $(x - q) + (y + p) i = 2 + 5 i$ , luego $x - q = 2, y + p = 5$ Segunda ecuación: $(x - y i) + 2 (p + q i) = (x + 2 p) + (2 q - y) i = 7 - 4 i$ , luego $x + 2 p = 7, 2 q - y = - 4$ Se resuelve el sistema de cuatro ecuaciones. De la primera, $x = 2 + q$ . De la tercera, $2 + q + 2 p = 7$ , así que $q = 5 - 2 p$ . De la segunda, $y = 5 - p$ . En la cuarta: $2 (5 - 2 p) - (5 - p) = - 4$ , es decir, $5 - 3 p = - 4$ y $p = 3$ . Entonces $q = - 1$ , $x = 2 + q = 1$ e $y = 5 - p = 2$ .

Por tanto $z = 1 + 2 i$ y $w = 3 - i$ . Comprobación en la primera ecuación: $1 + 2 i + i (3 - i) = 1 + 2 i + 3 i + 1 = 2 + 5 i$ .

En el examen: al tratar $z^{*}$ pasa siempre a $x + y i$ y separa las partes real e imaginaria; cada igualdad de partes es un resultado puntuable. Comprueba la solución en las ecuaciones originales, porque un signo mal puesto en $z^{*}$ cambia todo el sistema.

Errores típicos

Resumen

$i^{2} = - 1$ . Las potencias de $i$ se repiten cada 4: $i, - 1, - i, 1$ ; usa el resto de dividir el exponente entre 4.
$z = a + bi$ : $Re (z) = a$ , $Im (z) = b$ (números reales). En el plano de Argand, $z$ es el punto $(a, b)$ .
Igualdad: $a + bi = c + d i \Leftrightarrow a = c$ y $b = d$ . Una ecuación compleja equivale a un sistema de dos ecuaciones reales.
Suma y resta: parte a parte. Producto: se desarrolla y se sustituye $i^{2} = - 1$ .
Conjugado $z^{*} = a - bi$ : $z z^{*} = a^{2} + b^{2} = ∣ z ∣^{2}$ . Para dividir, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.
El conjugado respeta las operaciones: $(z \pm w)^{*} = z^{*} \pm w^{*}$ , $(z w)^{*} = z^{*} w^{*}$ , $(z / w)^{*} = z^{*} / w^{*}$ , $(z^{n})^{*} = (z^{*})^{n}$ .
Con $z^{*}$ en la ecuación, escribe $z = x + y i$ e iguala partes. La raíz cuadrada de $a + bi$ sale de $(x + y i)^{2} = a + bi$ : $x^{2} - y^{2} = a$ , $2 x y = b$ .

Sigue estudiando

Clases de matemáticas en Aldaia y online

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Primera consulta gratuita: vemos tu nivel, el examen que te espera y montamos un plan. Álvaro responde por WhatsApp.

Escribir por WhatsApp

Forma binómica y operaciones

La unidad imaginaria

Potencias de i

Igualdad y plano de Argand

Suma, resta y producto

El conjugado y la división

Propiedades del conjugado

Ecuaciones con complejos

Raíz cuadrada de un complejo

Ejemplos resueltos

Errores típicos

Resumen

¿Quieres que lo trabajemos juntos?

Potencias de $i$