Ejercicios IB del tema 12

a) 1. Los datos están agrupados, así que usamos las marcas de clase: $5,15,25,\dots ,95$, con las frecuencias de la tabla. 2. Con la CPG (estadísticos de una variable con lista de marcas y lista de frecuencias) o a mano, la media es $\bar{t}=\frac{\sum ft}{70}=\frac{3490}{70}=49,857\dots$ 3. La desviación típica de la muestra (se divide entre $n=70$) es $${\sigma }_t=\sqrt{\frac{\sum f(t-\bar{t}{)}^2}{70}}=21,4\dots$$

b) 1. La estimación no sesgada usa $n-1=69$ en el denominador: $s_{n-1}={\sigma }_t\sqrt{\frac{70}{69}}$. 2. $s_{n-1}=21,43\dots \cdot 1,0072\dots =21,6$.

Resultado: a) ${\sigma }_t\approx 21,4$ horas; b) $s_{n-1}\approx 21,6$ horas.

1. Pasamos la tabla acumulativa a una tabla de frecuencias por intervalos (restando cada frecuencia acumulada de la anterior) y calculamos la marca de clase de cada intervalo:

2. Media: $\bar{x}=\frac{3(-7500)+4(-2500)+15(2500)+17(7500)+5(12500)+6(17500)}{50}=\frac{300000}{50}=6000$.
3. Como las 50 propiedades son toda la población, usamos la desviación típica poblacional $\sigma$ (divisor $n=50$). Con la CPG, introduciendo las marcas de clase y las frecuencias, se obtiene $\sigma \approx 6422,6$.
4. A 3 cifras significativas: $\sigma \approx 6420$ euros.

Resultado: $\sigma \approx 6420$ euros

1. Número de estudiantes: $n=6+k+3+1+2+1=13+k$.
2. Suma de las calificaciones: $5\cdot 6+6k+7\cdot 3+8\cdot 1+9\cdot 2+10\cdot 1=30+6k+21+8+18+10=87+6k$.
3. La media es $6,5$: $$\frac{87+6k}{13+k}=6,5.$$
4. Quitamos el denominador: $87+6k=84,5+6,5k$, de donde $2,5=0,5k$ y $k=5$.
5. Comprobación: $n=18$ y suma $=117$; $\frac{117}{18}=6,5$.

Resultado: $k=5$

a) 1. Número de jugadores: $4+k+3+2+3+1=13+k$. 2. Total de goles: $0\cdot 4+1\cdot k+2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 3+8\cdot 1=k+6+6+12+8=32+k$. 3. La media es $1,95$: $$\frac{32+k}{13+k}=1,95\Rightarrow 32+k=25,35+1,95k\Rightarrow 6,65=0,95k\Rightarrow k=7.$$

b) 1. Con $k=7$ había $20$ jugadores y $39$ goles. Al añadir al máximo anotador hay $21$ jugadores y $39+22=61$ goles. 2. (i) La media correcta es $$\bar{x}=\frac{61}{21}\approx 2,90.$$ 3. (ii) Para la desviación típica, calculamos la suma de los cuadrados. Con los datos de la tabla: $$\sum x^2=7\cdot 1+3\cdot 4+2\cdot 9+3\cdot 16+1\cdot 64=7+12+18+48+64=149,$$ y con el nuevo dato, $149+22^2=149+484=633$. 4. La varianza es $${\sigma }^2=\frac{633}{21}-{\left(\frac{61}{21}\right)}^2\approx 30,143-8,438=21,705,$$ y la desviación típica $\sigma =\sqrt{21,705}\approx 4,66$. (La CPG, con los valores $0,1,2,3,4,8,22$ y sus frecuencias $4,7,3,2,3,1,1$, da el mismo resultado como desviación típica de la población.)

Resultado: a) $k=7$; b) (i) $\bar{x}\approx 2,90$; (ii) $\sigma \approx 4,66$

a) 1. El número de estudiantes es $n=5+1+4+3+x=13+x$. 2. La mediana es $4,5$, que no es un dato de la tabla: es la media de los dos datos centrales, que deben ser $4$ y $5$. Entonces $n$ es par y el límite entre los datos que valen $4$ y los que valen $5$ está justo en el centro. 3. Hasta el valor $4$ hay $5+1+4=10$ datos, así que ese límite está entre el dato $10$.º y el $11$.º, y debe ser $\frac{n}{2}=10$, es decir, $n=20$. 4. Luego $13+x=20$ y $x=7$.

b) 1. Con $x=7$ hay $20$ estudiantes. Suma de horas: $2\cdot 5+3\cdot 1+4\cdot 4+5\cdot 3+6\cdot 7=10+3+16+15+42=86$, luego $\bar{x}=\frac{86}{20}=4,3$. 2. Suma de cuadrados: $4\cdot 5+9\cdot 1+16\cdot 4+25\cdot 3+36\cdot 7=20+9+64+75+252=420$. 3. Varianza: ${\sigma }^2=\frac{420}{20}-4,3^2=21-18,49=2,51$. 4. Desviación típica: $\sigma =\sqrt{2,51}\approx 1,58$ horas. (La CPG da este valor al introducir los datos y las frecuencias y tomar la desviación típica de la población.)

Resultado: a) $x=7$; b) $\sigma \approx 1,58$ horas

a) 1. Hay 60 niños, así que la mediana corresponde a la frecuencia acumulada $30$. 2. Entre los puntos $(1,0;24)$ y $(1,1;39)$ la curva es casi una recta. Interpolamos: faltan $30-24=6$ de los $39-24=15$ niños de ese intervalo, es decir, $\frac{6}{15}=0,4$ del tramo: $$\text{mediana}\approx 1,0+0,4\cdot 0,1=1,04\text{m}.$$

b) 1. Obtenemos las frecuencias de cada intervalo restando frecuencias acumuladas consecutivas y usamos la marca de clase:

2. Media estimada: $$\bar{h}=\frac{9(0,85)+15(0,95)+15(1,05)+12(1,15)+6(1,25)+3(1,35)}{60}=\frac{63}{60}=1,05\text{m}.$$

Resultado: a) mediana $\approx 1,04$ m; b) $\bar{h}\approx 1,05$ m

a) 1. Hay 30 plantas, así que la mediana corresponde a la frecuencia acumulada $\frac{30}{2}=15$. 2. Trazamos una recta horizontal desde $15$ en el eje vertical hasta la curva y bajamos en vertical hasta el eje de alturas: se lee aproximadamente $h=11$. 3. La mediana estimada es de unos $11$ cm.

b) 1. La frecuencia de cada intervalo es la diferencia entre los valores de la curva en sus extremos. Leemos en la curva las frecuencias acumuladas: $4$ en $h=5$, $13$ en $h=10$, $21$ en $h=15$, $26$ en $h=20$ y $30$ en $h=25$. 2. Restamos valores consecutivos: $$10\le h<15:21-13=8,15\le h<20:26-21=5,20\le h<25:30-26=4.$$ 3. Comprobación: $4+9+8+5+4=30$ plantas.

c) 1. Para datos agrupados usamos la marca de clase (punto medio) de cada intervalo: $2,5$; $7,5$; $12,5$; $17,5$ y $22,5$. 2. Con la media de una tabla de frecuencias: $$\bar{x}\approx \frac{4(2,5)+9(7,5)+8(12,5)+5(17,5)+4(22,5)}{30}=\frac{10+67,5+100+87,5+90}{30}=\frac{355}{30}\approx 11,8.$$ (Con la CPG se obtiene lo mismo introduciendo las marcas de clase y las frecuencias.)

Resultado: a) mediana $\approx 11$ cm; b) frecuencias $8$, $5$ y $4$; c) $\bar{x}\approx 11,8$ cm

Del diagrama: mínimo $2$, $Q_1=4$, mediana $4,5$, $Q_3=6$, máximo $7$.

a) 1. Hay $100$ datos, así que la mediana es la media del dato $50$.º y del $51$.º: $\frac{x_{50}+x_{51}}{2}=4,5$. 2. Las calificaciones son enteras y $x_{50}\ge Q_1=4$ (ver el apartado b), por lo que $x_{50}=4$ y $x_{51}=5$. 3. Entonces $50$ estudiantes tienen $4$ o menos y los otros $50$ tienen $5$ o más.

b) 1. Con $100$ datos, $Q_1$ es la media de los datos $25$.º y $26$.º. Como $Q_1=4$ y $x_{26}\le x_{50}=4$, resulta $x_{25}=x_{26}=4$. 2. Los datos $25$.º a $50$.º valen todos $4$, pues están entre $x_{25}=4$ y $x_{50}=4$. Hay $50-25+1=26$ datos, así que como mínimo $26$ estudiantes obtuvieron un $4$. 3. El mínimo del diagrama es $2$, luego al menos un estudiante (el dato $1$.º) sacó $2$. Los datos $2$.º a $50$.º pueden valer todos $4$, y el $51$.º ya es un $5$. Por tanto como máximo $50-1=49$ estudiantes obtuvieron un $4$.

Resultado: a) $50$ estudiantes; b) mínimo $26$ y máximo $49$

a) 1. Un dato es atípico si supera $U+1,5\mathrm{RIC}$ o si es menor que $L-1,5\mathrm{RIC}$. Aquí $1,5\cdot 20=30$. 2. No hay atípicos, así que el mayor valor, $75$, no supera $U+30$: $$75\le U+30\Rightarrow U\ge 45.$$ 3. El valor mínimo posible de $U$ es $45$ g.

b) 1. El rango intercuartílico es $U-L=20$, luego $L=U-20$. 2. Como $U\ge 45$, resulta $L\ge 25$. El valor mínimo posible de $L$ es $45-20=25$ g. 3. Comprobación: con $L=25$ y $U=45$, el límite inferior de atípicos es $25-30=-5$, y el dato $10$ está por encima; el límite superior es $45+30=75$ y el dato $75$ no lo supera.

Resultado: a) $U_{\min }=45$ g; b) $L_{\min }=25$ g

Del diagrama de caja blanca (después de dormir bien) leemos: mínimo $0,24$, $Q_1=0,27$, mediana $0,28$, $Q_3=0,35$, máximo $0,46$.

a) La mediana es la línea dentro de la caja: $0,28$ s.

b) 1. El rango intercuartílico es $\mathrm{RIC}=Q_3-Q_1=0,35-0,27=0,08$. 2. Un dato es atípico si es mayor que $Q_3+1,5\mathrm{RIC}$ o menor que $Q_1-1,5\mathrm{RIC}$. Calculamos los límites: $1,5\cdot 0,08=0,12$, luego el intervalo de datos no atípicos es $$[0,27-0,12,0,35+0,12]=[0,15,0,47].$$ 3. Como $0,15\le 0,46\le 0,47$, el valor $0,46$ s no es un valor atípico.

c) 1. Cada cuarto de los datos (aproximadamente una cuarta parte de los adultos) está en un tramo del diagrama: $[0,24;0,27]$, $[0,27;0,28]$, $[0,28;0,35]$ y $[0,35;0,46]$, cuyas longitudes son $0,03$, $0,01$, $0,07$ y $0,11$. 2. La mitad inferior de los datos queda concentrada entre $0,24$ y $0,28$ (un tramo de solo $0,04$), mientras que la mitad superior se reparte entre $0,28$ y $0,46$ (un tramo de $0,18$). La distribución está alargada hacia los valores grandes. 3. Los valores altos «tiran» de la media hacia arriba pero no afectan a la mediana. Una estimación con las marcas de clase de los cuatro tramos lo confirma: $$\bar{x}\approx \frac{0,255+0,275+0,315+0,405}{4}=0,3125>0,28.$$

d) 1. Para el diagrama gris (no durmió bien) leemos una mediana de unos $0,35$ s y un primer cuartil de unos $0,29$ s. Para el blanco (durmió bien), mediana $0,28$ y tercer cuartil $0,35$. 2. La mediana de los tiempos tras no dormir bien ($0,35$) coincide con el tercer cuartil de los tiempos tras dormir bien: el $50\%$ de los tiempos tras no dormir bien supera $0,35$ s, pero solo el $25\%$ de los tiempos tras dormir bien lo supera. Además, el primer cuartil del gris ($\approx 0,29$) es mayor que la mediana del blanco ($0,28$): al menos el $75\%$ de los tiempos tras no dormir bien son mayores que la mediana de los tiempos tras dormir bien. 3. Por tanto, los diagramas sugieren que no dormir bien aumenta el tiempo de reacción. No lo demuestran: la muestra es de solo nueve adultos y los diagramas no muestran la comparación de cada adulto consigo mismo.

Resultado: a) $0,28$ s; b) el intervalo de datos no atípicos es $[0,15;0,47]$, que contiene a $0,46$; c) $\bar{x}\approx 0,3125>0,28$, porque los valores altos están más dispersos; d) los tiempos tras no dormir bien son en general mayores (su mediana $0,35$ es el tercer cuartil de los otros), lo que sugiere un aumento del tiempo de reacción

1. Suma de los tiempos de los tres primeros: $3\cdot 34,1=102,3$ s.
2. Suma de los tiempos de los cuatro primeros: $4\cdot 35,0=140,0$ s.
3. El tiempo del cuarto esquiador es la diferencia: $140,0-102,3=37,7$ s.

Resultado: $37,7$ segundos

a) 1. Frecuencias acumuladas: $7,10,25,36,42,47,50$ (para $0,1,2,3,4,5,6$ bombillas). 2. Con $50$ datos, la mediana es la media del dato 25.º y el 26.º. 3. El dato 25.º es $2$ (la acumulada llega a $25$ en el valor $2$) y el 26.º es $3$ (es el primero tras pasar de $25$). 4. $\text{mediana}=\frac{2+3}{2}=2,5$.

b) 1. $\bar{x}=\frac{0(7)+1(3)+2(15)+3(11)+4(6)+5(5)+6(3)}{50}=\frac{0+3+30+33+24+25+18}{50}=\frac{133}{50}=2,66$.

Resultado: a) mediana $=2,5$; b) $\bar{x}=2,66$

a) La suma de las puntuaciones es $0+19\cdot 10=190$, así que $$\bar{x}=\frac{190}{20}=9,5.$$

b) Hay $20$ datos: uno vale $0$ y los otros $19$ valen $10$. La mediana es la media de los datos $10$.º y $11$.º, que valen ambos $10$. Luego la mediana es $10$.

c) (i) Por encima de $9,5$ están los $19$ estudiantes que sacaron $10$.

(ii) Por debajo de la mediana $10$ está solo el estudiante que sacó $0$: $1$ estudiante.

Resultado: a) $9,5$; b) $10$; c) (i) $19$ estudiantes, (ii) $1$ estudiante

1. Ordenamos los números: $a\le b\le c\le d$.
2. La media es $13$, luego la suma es $4\cdot 13=52$.
3. La mediana es $14$, y con cuatro datos es la media de los dos centrales: $\frac{b+c}{2}=14$, es decir, $b+c=28$.
4. La moda es $15$, así que el $15$ aparece más veces que cualquier otro valor; como mínimo, dos veces. Si $b=c=15$ la mediana sería $15$, no $14$, así que el $15$ ocupa los dos últimos lugares: $c=d=15$ (si apareciera tres veces también sería $b=15$ y de nuevo $b+c=30\ne 28$).
5. De $b+c=28$ y $c=15$ sale $b=13$.
6. De la suma: $a+13+15+15=52\Rightarrow a=9$.
7. Comprobación: media $\frac{9+13+15+15}{4}=13$; mediana $\frac{13+15}{2}=14$; moda $15$.

Resultado: los números son $9,13,15,15$

1. La varianza es el promedio de los cuadrados menos el cuadrado de la media: ${\sigma }^2=\frac{\sum x_i^2}{n}-{\bar{x}}^2$, donde $\bar{x}=E(X)$.
2. Sustituimos $n=10$, $\sum x_i^2=1341$ y $\sigma =6,9$: $$6,9^2=\frac{1341}{10}-{\bar{x}}^2\Rightarrow 47,61=134,1-{\bar{x}}^2.$$
3. Despejamos: ${\bar{x}}^2=134,1-47,61=86,49$.
4. Tomamos la raíz positiva: $\bar{x}=\sqrt{86,49}=9,3$.

Resultado: $E(X)=9,3$

1. La estimación sin sesgo de la media de la población es la media de la muestra. Con la CPG (estadísticos de una variable) o a mano: $\sum x=69,1$, luego $\bar{x}=\frac{69,1}{10}=6,91$.
2. La estimación sin sesgo de la varianza es la varianza muestral $s_{n-1}^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}$ (se divide entre $n-1=9$, no entre $n$).
3. La suma de los cuadrados de las desviaciones es $\sum (x_i-6,91{)}^2=0,489$, así que $$s_{n-1}^2=\frac{0,489}{9}=0,0543\dots$$
4. Equivale a $s_{n-1}=0,233$ mg, el valor que muestra la CPG como desviación típica muestral.

Resultado: $\bar{x}=6,91$ mg; $s_{n-1}^2\approx 0,0543$

a) 1. La estimación insesgada de la media de la población es la media de la muestra: $$\bar{x}=\frac{6,2+7,8+12,1+9,7+5,2+14,8+16,2+3,7}{8}=\frac{75,7}{8}=9,4625\approx 9,46.$$

b) 1. La estimación insesgada de la varianza de la población es la varianza muestral con divisor $n-1$: $$s_{n-1}^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}.$$ 2. Con $n=8$ y $\bar{x}=9,4625$, la suma de los cuadrados de las desviaciones vale $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2\approx 145,68$. 3. Entonces $s_{n-1}^2=\frac{145,68}{7}\approx 20,8$. En la Prueba 2 se obtiene directamente con la CPG: introducimos los 8 datos y leemos $s_{n-1}=4,56$, de donde $s_{n-1}^2=20,8$.

Resultado: a) $\bar{x}=9,46$; b) $s_{n-1}^2=20,8$

a) 1. La estimación insesgada de la media es la media muestral: $$\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}=\frac{626}{20}=31,3\text{minutos}.$$

b) 1. Calculamos primero la suma de los cuadrados de las desviaciones: $$\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2=19780,8-20(31,3{)}^2=19780,8-19593,8=187.$$ 2. La estimación insesgada de la varianza usa el divisor $n-1=19$: $$s_{n-1}^2=\frac{187}{19}\approx 9,84.$$

Resultado: a) $\bar{x}=31,3$ minutos; b) $s_{n-1}^2=9,84$

1. Media: $\frac{2+x+y+10+17}{5}=8\Rightarrow x+y+29=40\Rightarrow x+y=11$.
2. Varianza: ${\sigma }^2=\frac{\sum d^2}{5}-{\bar{x}}^2$, donde $\sum d^2$ es la suma de los cuadrados de los datos: $$\frac{4+x^2+y^2+100+289}{5}-64=27,6\Rightarrow x^2+y^2+393=458\Rightarrow x^2+y^2=65.$$
3. De $x+y=11$ se obtiene $2xy=(x+y{)}^2-(x^2+y^2)=121-65=56$, es decir, $xy=28$.
4. Así, $x$ e $y$ son raíces de $t^2-11t+28=0$, o sea $(t-4)(t-7)=0$: $t=4$ o $t=7$.
5. Como $x<y$: $x=4$, $y=7$. Comprobación: $x^2+y^2=16+49=65$.

Resultado: $x=4$, $y=7$

1. Media: $\frac{2+3+6+9+a+b}{6}=6\Rightarrow a+b+20=36\Rightarrow a+b=16$.
2. Varianza: $\frac{4+9+36+81+a^2+b^2}{6}-6^2=10\Rightarrow a^2+b^2+130=276\Rightarrow a^2+b^2=146$.
3. Entonces $2ab=(a+b{)}^2-(a^2+b^2)=256-146=110$, es decir, $ab=55$.
4. $a$ y $b$ son raíces de $t^2-16t+55=0$, o sea $(t-5)(t-11)=0$: $t=5$ o $t=11$.
5. Como $a<b$: $a=5$, $b=11$. Comprobación: $25+121=146$.

Resultado: $a=5$, $b=11$

a) 1. La estimación de la media poblacional es la media de la muestra. Con la tabla de frecuencias: $$\sum fx=2(29,6)+3(29,7)+4(29,8)+5(29,9)+7(30,0)+5(30,1)+3(30,2)+1(30,3)=898,4.$$ 2. Hay $n=30$ paquetes, luego $\bar{x}=\frac{898,4}{30}=29,9467\approx 29,9$ g.

b) 1. La estimación de la varianza de la población es la varianza muestral con divisor $n-1$: $$s_{n-1}^2=\frac{\sum f(x-\bar{x}{)}^2}{n-1}.$$ 2. Con $\bar{x}=29,9467$ se tiene $\sum f(x-\bar{x}{)}^2\approx 0,9747$. 3. Entonces $s_{n-1}^2=\frac{0,9747}{29}\approx 0,0336$. En la CPG, con los valores en una lista y las frecuencias en otra, se lee $s_{n-1}=0,1833$ y $s_{n-1}^2=0,0336$.

Resultado: a) $\bar{x}=29,9$ g; b) $s_{n-1}^2=0,0336{\text{g}}^2$

a) 1. Ordenamos los 9 datos: $65,65,66,69,70,71,72,73,75$. 2. La mediana es el quinto dato, $70$. Con la CPG, el primer cuartil es la mediana de la mitad inferior $(65,65,66,69)$ y el tercer cuartil la de la mitad superior $(71,72,73,75)$, sin contar la mediana: $$Q_1=\frac{65+66}{2}=65,5,Q_3=\frac{72+73}{2}=72,5.$$ 3. $\mathrm{RIC}=Q_3-Q_1=72,5-65,5=7$.

b) 1. La estimación de la media de la población es la media muestral: $$\bar{x}=\frac{626}{9}=69,555\dots \approx 69,6.$$

c) 1. La estimación sin sesgo de la varianza usa el divisor $n-1=8$: $$s_{n-1}^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x}{)}^2}{8}=\frac{104,22}{8}\approx 13,0.$$ 2. En la CPG se lee $s_{n-1}=3,61$, de donde $s_{n-1}^2=13,0$.

Resultado: a) $\mathrm{RIC}=7$; b) $\bar{x}=69,6$; c) $s_{n-1}^2=13,0$

1. Con los dos candidatos tardíos hay $n=22$ puntuaciones.
2. Media: $\frac{826+a+b}{22}=42\Rightarrow 826+a+b=924\Rightarrow a+b=98$.
3. Varianza: $\frac{\sum x^2}{22}-{\bar{x}}^2=32$, donde $\sum x^2=34132+a^2+b^2$: $$\frac{34132+a^2+b^2}{22}-42^2=32\Rightarrow 34132+a^2+b^2=22\cdot 1796=39512\Rightarrow a^2+b^2=5380.$$
4. De $a+b=98$ obtenemos $b=98-a$ y sustituimos: $$a^2+(98-a{)}^2=5380\Rightarrow 2a^2-196a+9604-5380=0\Rightarrow a^2-98a+2112=0.$$
5. Resolvemos: $a=\frac{98\pm \sqrt{9604-8448}}{2}=\frac{98\pm 34}{2}$, es decir, $a=66$ o $a=32$, y $b=98-a$ vale entonces $32$ o $66$.
6. Comprobación: $66^2+32^2=4356+1024=5380$.

Resultado: $a=66$ y $b=32$, o bien $a=32$ y $b=66$

a) 1. Sumamos los cuatro datos: $(k-2)+k+(k+1)+(k+4)=4k+3$. 2. Dividimos entre $4$: $\bar{x}=\frac{4k+3}{4}$.

b) 1. Si a todos los datos se les resta una constante, la media queda disminuida en esa constante: $${\bar{x}}_{\text{nueva}}=\frac{4k+3}{4}-3=\frac{4k+3-12}{4}=\frac{4k-9}{4}.$$ 2. Comprobación con los datos nuevos $k-5;k-3;k-2;k+1$: su suma es $4k-9$.

Resultado: a) $\bar{x}=\frac{4k+3}{4}$; b) ${\bar{x}}_{\text{nueva}}=\frac{4k-9}{4}$

a) i) 1. Suma de las notas: $8+4+7+6+10+9+7+3=54$. 2. Media: $\bar{x}=\frac{54}{8}=6,75$.

(ii) 1. Con la CPG (estadísticos de una variable, datos de toda la clase) se obtiene la desviación típica poblacional. A mano: $\sum x^2=64+16+49+36+100+81+49+9=404$. 2. $\sigma =\sqrt{\frac{404}{8}-6,75^2}=\sqrt{50,5-45,5625}=\sqrt{4,9375}=2,22\dots$

b) i) Al sumar una constante a todos los datos, la media aumenta en esa constante: $6,75+2=8,75$.

(ii) Sumar una constante desplaza todos los datos igual, así que las distancias entre ellos no cambian y la desviación típica sigue siendo $2,22$.

c) 1. Ordenamos las ocho notas: $3,4,6,7,7,8,9,10$. La mediana es la media de los valores 4.º y 5.º, ambos iguales a $7$: mediana $=7$. 2. Con nueve estudiantes la mediana es el 5.º valor de la lista ordenada. Cualquiera que sea la nota del noveno: si es menor o igual que $7$, los dos sietes pasan a ser los valores 5.º y 6.º; si es mayor que $7$, siguen siendo el 4.º y el 5.º. En ambos casos el 5.º valor es $7$, así que la mediana sigue siendo $7$.

Resultado: a) i) $\bar{x}=6,75$; ii) $\sigma \approx 2,22$; b) i) $8,75$; ii) $2,22$; c) la mediana con nueve notas es el 5.º valor, que sigue siendo $7$.

1. Escribimos $x_i-12=(x_i-10)-2$ y desarrollamos el cuadrado: $$\sum _{i=1}^{10}(x_i-12{)}^2=\sum _{i=1}^{10}(x_i-10{)}^2-4\sum _{i=1}^{10}(x_i-10)+\sum _{i=1}^{10}4.$$
2. Como la media es $10$, la suma de las desviaciones es cero: $\sum (x_i-10)=0$.
3. Como la desviación típica es $3$, ${\sigma }^2=\frac{\sum (x_i-10{)}^2}{10}=9$, luego $\sum (x_i-10{)}^2=90$.
4. El último sumando vale $10\cdot 4=40$.
5. Por tanto ${\sum }_{i=1}^{10}(x_i-12{)}^2=90-0+40=130$.

Resultado: ${\sum }_{i=1}^{10}(x_i-12{)}^2=130$

1. Suma de las $15$ observaciones: $\sum x=15\cdot 11,5=172,5$.
2. Suma de los cuadrados. Como ${\sigma }^2=\frac{\sum x^2}{n}-{\bar{x}}^2$, se tiene $\sum x^2=n\left({\sigma }^2+{\bar{x}}^2\right)=15(9,3+132,25)=2123,25$.
3. Quitamos la observación $22,1$: $$\sum x=172,5-22,1=150,4,\sum x^2=2123,25-22,1^2=2123,25-488,41=1634,84.$$
4. Nueva media: $\bar{x}=\frac{150,4}{14}=10,742\dots \approx 10,7$.
5. Nueva varianza: $${\sigma }^2=\frac{1634,84}{14}-{\left(\frac{150,4}{14}\right)}^2=116,774\dots -115,409\dots =1,365\dots \approx 1,37.$$

Resultado: media $\approx 10,7$; varianza $\approx 1,37$

a) (i) 1. La suma de los números es $a+2a+\cdots +na=a(1+2+\cdots +n)=a\cdot \frac{n(n+1)}{2}$. 2. Hay $n$ números, así que la media es $$\frac{an(n+1)/2}{n}=\frac{a(n+1)}{2}.$$