IB Análisis y Enfoques NS · Estadística descriptiva · Apartado 1 de 5

Datos, frecuencias y tablas

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Antes de calcular o dibujar nada hay que ordenar los datos. Una tabla de frecuencias cuenta cuántas veces aparece cada valor (o cada intervalo) y es el punto de partida de los gráficos, de la media y de los cuartiles. En el examen del IB te piden construirla, completarla cuando faltan casillas y leer de ella porcentajes y recuentos.

Población, muestra y tipos de datos

La estadística descriptiva resume un conjunto de datos con tablas, gráficos y unos pocos números.

Cómo se elige la muestra importa, porque una muestra mal escogida da conclusiones sesgadas. Los métodos más habituales son:

Aleatorio simple: cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido (por sorteo o con números aleatorios).
Sistemático: se numera la población y se toma un individuo cada cierto número de posiciones, con un arranque al azar.
Estratificado: se divide la población en grupos (estratos) y se toma una muestra aleatoria de cada uno, en proporción a su tamaño.
Por cuotas: como el estratificado, pero dentro de cada grupo se elige a quien resulte cómodo, sin azar.
De conveniencia: se toman los datos más fáciles de conseguir. No es aleatorio y es el que más se arriesga a un sesgo.

Cada valor observado se llama dato, y lo que se mide en cada individuo es la variable. Se escribe $x_{i}$ para los valores distintos que toma.

El tipo de variable decide cómo se organizan y se dibujan los datos: valores sueltos para una variable cualitativa o discreta con pocos valores, e intervalos cuando la variable es continua o hay muchísimos valores distintos.

Frecuencias

Sea $n$ el número total de datos y $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}$ los $k$ valores distintos que aparecen.

Las acumuladas responden a preguntas del tipo «¿cuántos tienen como máximo...?», y la acumulada relativa $\frac{F _{i}}{n}$ da la proporción correspondiente.

Datos agrupados en intervalos

Si la variable es continua, o discreta con muchos valores diferentes, una tabla con valores sueltos sería tan larga como la propia lista. Entonces los datos se reparten en clases: intervalos que cubren todos los datos sin solaparse, de modo que cada dato cae en una sola clase.

Para que las clases no se solapen, un extremo se incluye y el otro no. Se usa la notación $[a, b [$ : entra $a$ y no entra $b$ , de modo que un dato igual a $b$ pasa a la clase siguiente. La última clase suele cerrarse por los dos lados para no dejar fuera al dato mayor.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Libros leídos en un mes

En un grupo de 20 estudiantes se anotó cuántos libros leyó cada uno durante un mes:

2	0	1	3	2	1	1	4	2	0
3	2	1	2	5	1	3	2	0	2

a) Construye la tabla de frecuencias y halla la frecuencia acumulada de cada valor. Da la lista de las acumuladas, de menor a mayor valor.

b) ¿Qué proporción de los estudiantes leyó al menos 3 libros?

c) ¿Cuántos estudiantes leyeron como máximo 1 libro?

Solución

a) Hay $n = 20$ datos y los valores distintos son $0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Contando:

$x_{i}$	$f_{i}$	$F_{i}$	$f_{i} / n$
0	3	3	$0, 15$
1	5	8	$0, 25$
2	7	15	$0, 35$
3	3	18	$0, 15$
4	1	19	$0, 05$
5	1	20	$0, 05$

Comprobación: $3 + 5 + 7 + 3 + 1 + 1 = 20$ y las relativas suman $1$ . Las acumuladas son $3, 8, 15, 18, 19, 20$ .

b) «Al menos 3» son los valores $3, 4, 5$ : $3 + 1 + 1 = 5$ estudiantes. La proporción es $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ . (Con la acumulada: $20 - F (2) = 20 - 15 = 5$ .)

c) «Como máximo 1» es $x \leq 1$ , y eso es justo $F (1) = 8$ estudiantes.

Ejemplo 2 Medio

Tiempos de trayecto agrupados

Se midió, en minutos, el tiempo que tardan 20 personas en llegar al trabajo:

12,4 · 15,1 · 9,8 · 21,7 · 18,3 · 14,6 · 11,2 · 25,9 · 17,5 · 13,8 · 19,9 · 22,4 · 10,6 · 16,2 · 14,1 · 23,8 · 12,9 · 20,5 · 15,7 · 18,8

Se quieren agrupar en 4 clases de la misma amplitud.

a) Calcula el recorrido y la menor amplitud entera que permite cubrir todos los datos con 4 clases (la amplitud es un número entero).

b) Con esa amplitud y empezando en $9$ , escribe las clases $[a, b [$ y da la lista de sus marcas de clase.

c) Da la lista de frecuencias absolutas de las clases, de menor a mayor.

Solución

a) El dato menor es $9, 8$ y el mayor $25, 9$ , así que el recorrido es $25, 9 - 9, 8 = 16, 1$ . Con 4 clases, $\frac{16 , 1}{4} = 4, 025$ , que redondeado hacia arriba a un entero es $5$ .

b) Empezando en $9$ y sumando $5$ cada vez: $[9, 14 [$ , $[14, 19 [$ , $[19, 24 [$ , $[24, 29 [$ . La última llega hasta $29$ , que supera el dato mayor, $25, 9$ , así que se cubre todo. Las marcas de clase son los puntos medios:

$\frac{9 + 14}{2} = 11, 5, 16, 5, 21, 5, 26, 5$

c) Se reparte cada dato en su clase:

$[9, 14 [$ : $9, 8; 12, 4; 11, 2; 13, 8; 10, 6; 12, 9$ , es decir $6$ datos.
$[14, 19 [$ : $15, 1; 18, 3; 14, 6; 17, 5; 16, 2; 14, 1; 15, 7; 18, 8$ , es decir $8$ datos.
$[19, 24 [$ : $21, 7; 19, 9; 22, 4; 23, 8; 20, 5$ , es decir $5$ datos.
$[24, 29 [$ : $25, 9$ , es decir $1$ dato.

Comprobación: $6 + 8 + 5 + 1 = 20$ .

Ejemplo 3 Difícil

Completar una tabla con casillas en blanco

Una cafetería pidió a sus clientes que valoraran el servicio de 1 a 5. Con los resultados se empezó una tabla de frecuencias, pero se borraron casillas. Se sabe lo siguiente:

El valor $2$ tuvo frecuencia absoluta $10$ y frecuencia relativa $0, 25$ .
La frecuencia acumulada del valor $1$ es $6$ .
El valor $3$ tuvo frecuencia absoluta $12$ .
La frecuencia acumulada del valor $4$ es $36$ .

a) Halla el número total $n$ de clientes.

b) Halla las frecuencias absolutas de los valores $1, 2, 3, 4, 5$ . Da la lista.

c) ¿Qué proporción de clientes dio una valoración de al menos $4$ ?

d) ¿Qué porcentaje dio una valoración de $3$ o menos?

Solución

a) Una frecuencia relativa es $\frac{f}{n}$ , así que para el valor $2$ : $\frac{10}{n} = 0, 25$ . Entonces $n = \frac{10}{0 , 25} = 40$ .

b) Se va de acumulada en acumulada:

Valor $1$ : $f_{1} = F_{1} = 6$ .
Valor $2$ : $f_{2} = 10$ , luego $F_{2} = 6 + 10 = 16$ .
Valor $3$ : $f_{3} = 12$ , luego $F_{3} = 16 + 12 = 28$ .
Valor $4$ : $F_{4} = 36$ , luego $f_{4} = 36 - 28 = 8$ .
Valor $5$ : la última acumulada es $n = 40$ , luego $f_{5} = 40 - 36 = 4$ .

Comprobación: $6 + 10 + 12 + 8 + 4 = 40$ .

c) Valoración de al menos $4$ son los valores $4$ y $5$ : $8 + 4 = 12$ clientes, y la proporción es $\frac{12}{40} = \frac{3}{10}$ .

d) Valoración de $3$ o menos es $F_{3} = 28$ , y $\frac{28}{40} = 0, 7$ , es decir, el $70 %$ .

En el examen: en las tablas con casillas borradas se puntúa el método. Anota qué relación usas ( $f_{i} / n$ , $F_{i} = F_{i - 1} + f_{i}$ , $F_{k} = n$ ) y comprueba siempre que la suma de las frecuencias da $n$ .

Errores típicos

Resumen

Población: todo lo que se estudia; muestra: la parte observada. Una buena muestra es representativa y un método no aleatorio puede sesgar.
Variable cualitativa (categorías), cuantitativa discreta (valores aislados, se cuenta) o continua (cualquier valor de un intervalo, se mide).
$f_{i}$ es el número de veces que aparece $x_{i}$ , con $\sum f_{i} = n$ ; $F_{i} = f_{1} + \dots + f_{i}$ y acaba en $n$ ; la relativa es $\frac{f _{i}}{n}$ y suma $1$ .
Con muchos valores o variable continua se agrupan los datos en clases sin huecos ni solapes: $[a, b [$ , amplitud $b - a$ , marca $\frac{a + b}{2}$ .
Para fijar las clases: recorrido entre número de clases (5 a 10), redondeado hacia arriba.
Comprueba siempre que $\sum f_{i} = n$ . En la Prueba 2 la CPG ayuda a ordenar y agrupar, pero la tabla se escribe a mano.

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