IB Análisis y Enfoques NS · Estadística descriptiva · Apartado 4 de 5

Medidas de dispersión

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

La media o la mediana dicen dónde está el centro de los datos, pero no cuánto se alejan de él. Las medidas de dispersión (rango, rango intercuartílico, varianza y desviación típica) miden esa separación y permiten comparar dos conjuntos con el mismo centro. En el examen del IB las calculas con la CPG en la Prueba 2 y a mano, con una tabla, en la Prueba 1.

Rango y cuartiles

Dos clases pueden sacar la misma nota media y ser muy distintas: en una todos rondan el 6 y en la otra hay ceros y dieces. Lo que las distingue es la dispersión.

Es fácil de calcular, pero depende solo de dos datos y un único valor extremo lo dispara. Por eso se usan también los cuartiles, que ignoran los extremos.

Una forma de localizar los cuartiles a mano con $n$ datos ordenados es mirar las posiciones $\frac{n + 1}{4}$ , $\frac{n + 1}{2}$ y $\frac{3 ( n + 1 )}{4}$ ; si la posición no es un número entero, se promedian los dos datos vecinos. Con datos en tabla se busca esa posición en la columna de frecuencias acumuladas.

Los cinco números $x_{m i n}$ , $Q_{1}$ , $Q_{2}$ , $Q_{3}$ y $x_{m a x}$ son los que dibujan el diagrama de caja y bigotes que viste en el apartado de gráficos: la caja mide exactamente el RIC.

Valores atípicos

Un dato muy alejado del resto distorsiona la media y el rango. El IB fija una regla para decidir cuándo un dato se considera atípico.

En el diagrama de caja los atípicos se marcan aparte con una cruz y el bigote llega solo hasta el dato más extremo que no es atípico.

Diagrama de caja con un valor atípico a la derecha del límite superior

Varianza y desviación típica

El rango y el RIC miran solo algunos datos. La desviación típica usa todos, midiendo cuánto se aparta cada dato de la media.

Para cada dato, $x_{i} - x ˉ$ es su desviación respecto a la media. Si se sumaran sin más, positivas y negativas se compensarían y saldría $0$ . Para evitarlo se elevan al cuadrado y se promedian.

La segunda expresión (media de los cuadrados menos cuadrado de la media) es la más cómoda a mano: solo necesitas $\sum f_{i} x_{i}$ y $\sum f_{i} x_{i}^{2}$ . La desviación típica se mide en las mismas unidades que los datos, la varianza no (está en unidades al cuadrado).

Interpretar la desviación típica

Una desviación típica grande significa datos muy repartidos alrededor de la media; una pequeña, datos muy agrupados. Un número aislado no dice mucho: su valor se interpreta comparando con otro conjunto medido en la misma unidad, o con la propia media.

Cuando dos conjuntos tienen medias parecidas, el de menor desviación típica es el más regular o homogéneo. Al comparar, escribe siempre una frase completa que mencione el contexto, por ejemplo «las piezas de la máquina A son más uniformes porque su desviación típica es menor». Un número sin frase pierde el punto de interpretación.

Algunas propiedades que conviene recordar: $σ \geq 0$ y vale $0$ solo si todos los datos son iguales; y, a diferencia del rango, usa todos los datos, así que un valor atípico la aumenta mucho. Por eso, si hay atípicos, el RIC es una medida de dispersión más fiable que $σ$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Rango, cuartiles y valores atípicos

Un ayuntamiento anota el tiempo de espera, en minutos, de once pacientes en un centro de salud:

Paciente	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Espera (min)	4	6	7	9	10	12	13	15	16	18	40

Los datos ya están ordenados.

a) Halla el rango.

b) Halla $Q_{1}$ , $Q_{3}$ y el rango intercuartílico.

c) Determina si hay algún valor atípico.

Solución

a) Rango $= 40 - 4 = 36$ minutos.

b) Hay $n = 11$ datos. Las posiciones son $\frac{n + 1}{4} = 3$ y $\frac{3 ( n + 1 )}{4} = 9$ , así que $Q_{1}$ es el tercer dato y $Q_{3}$ el noveno: $Q_{1} = 7$ y $Q_{3} = 16$ . Entonces

$RIC = 16 - 7 = 9$

c) Se calcula $1, 5 \cdot RIC = 13, 5$ . Los límites son

$Q_{1} - 13, 5 = 7 - 13, 5 = - 6, 5 Q_{3} + 13, 5 = 16 + 13, 5 = 29, 5$

Ningún dato queda por debajo de $- 6, 5$ . Por encima de $29, 5$ está el $40$ . El único valor atípico es $40$ , y es el de la figura de arriba.

Ejemplo 2 Medio

Desviación típica con una tabla de frecuencias

Se pregunta a 20 personas cuántos libros han leído este mes. Los resultados son:

Libros leídos, $x_{i}$	0	1	2	3	4
Personas, $f_{i}$	3	5	7	4	1

a) Halla la media.

b) Halla la desviación típica de estos 20 valores, en forma exacta.

c) Considera ahora que las 20 personas son una muestra de los lectores de un barrio. Halla $s_{n - 1}$ en forma exacta.

Solución

Se amplía la tabla con las columnas $f_{i} x_{i}$ y $f_{i} x_{i}^{2}$ :

$x_{i}$	$f_{i}$	$f_{i} x_{i}$	$f_{i} x_{i}^{2}$
0	3	0	0
1	5	5	5
2	7	14	28
3	4	12	36
4	1	4	16
Suma	20	35	85

a) $x ˉ = \frac{35}{20} = \frac{7}{4} = 1, 75$ libros.

b) La varianza es

$σ^{2} = \frac{85}{20} - (\frac{7}{4})^{2} = \frac{17}{4} - \frac{49}{16} = \frac{68 - 49}{16} = \frac{19}{16}$

y la desviación típica es $σ = \frac{19}{4} \approx 1, 09$ libros.

c) Con $n = 20$ :

$s_{n - 1}^{2} = \frac{20}{19} \cdot \frac{19}{16} = \frac{5}{4} s_{n - 1} = \frac{5}{2} \approx 1, 12 libros$

Como era de esperar, $s_{n - 1}$ es algo mayor que $σ$ .

Ejemplo 3 Difícil

Comparar dos máquinas

Una fábrica de cereales tiene dos máquinas que llenan bolsas de 50 g. Se pesan ocho bolsas de cada una (en gramos):

Máquina	Pesos
A	48, 50, 49, 51, 50, 52, 49, 51
B	45, 55, 50, 47, 53, 50, 46, 54

a) Halla la media de cada máquina.

b) Halla la desviación típica $σ$ de cada máquina, en forma exacta.

c) Indica qué máquina es más regular. Responde con la letra «A» o «B».

d) Para la máquina A, $Q_{1} = 49$ y $Q_{3} = 51$ . Halla los límites a partir de los cuales un peso es atípico y decide si un peso de $56$ g lo sería. Responde con la tupla (límite inferior, límite superior, ¿es atípico?).

e) Si las ocho bolsas de B se tratasen como una muestra de todo lo que produce esa máquina, halla $s_{n - 1}$ en forma exacta.

Solución

a) Máquina A: $\frac{48 + 50 + 49 + 51 + 50 + 52 + 49 + 51}{8} = \frac{400}{8} = 50$ . Máquina B: $\frac{45 + 55 + 50 + 47 + 53 + 50 + 46 + 54}{8} = \frac{400}{8} = 50$ . Las dos medias son $50$ g.

b) Como las medias valen $50$ , las desviaciones son $x_{i} - 50$ .

A: $- 2, 0, - 1, 1, 0, 2, - 1, 1$ . Sus cuadrados suman $4 + 0 + 1 + 1 + 0 + 4 + 1 + 1 = 12$ , luego $σ_{A}^{2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ y $σ_{A} = \frac{3}{2} = \frac{6}{2} \approx 1, 22$ g.
B: $- 5, 5, 0, - 3, 3, 0, - 4, 4$ . Sus cuadrados suman $25 + 25 + 0 + 9 + 9 + 0 + 16 + 16 = 100$ , luego $σ_{B}^{2} = \frac{100}{8} = \frac{25}{2}$ y $σ_{B} = \frac{5 2}{2} \approx 3, 54$ g.

c) Las medias coinciden, así que decide la dispersión: $σ_{A} \approx 1, 22 < σ_{B} \approx 3, 54$ . La máquina A es más regular, porque sus bolsas se acercan más a los $50$ g.

d) $RIC = 51 - 49 = 2$ y $1, 5 \cdot RIC = 3$ . Los límites son $49 - 3 = 46$ y $51 + 3 = 54$ . Como $56 > 54$ , el peso de $56$ g sí sería un valor atípico para la máquina A.

e) Con $n = 8$ : $s_{n - 1}^{2} = \frac{100}{7}$ , y por tanto $s_{n - 1} = \frac{10}{7} = \frac{10 7}{7} \approx 3, 78$ g.

En el examen: al comparar, da la conclusión con una frase en contexto («la máquina A es más regular porque su desviación típica es menor»); un número suelto no suma el punto de interpretación. En «valor atípico» muestra los dos límites y compara con ellos. Y di si usas $σ$ o $s_{n - 1}$ .

Errores típicos

Resumen

Rango $= x_{m a x} - x_{m i n}$ . Cuartiles: $Q_{1}$ , $Q_{2}$ (mediana) y $Q_{3}$ ; $RIC = Q_{3} - Q_{1}$ es la anchura de la caja. En el examen vale el cuartil que da la CPG.
Valor atípico: el que cae por debajo de $Q_{1} - 1, 5 \cdot RIC$ o por encima de $Q_{3} + 1, 5 \cdot RIC$ .
Varianza de la población: $σ^{2} = \frac{\sum f _{i} x _{i}^{2}}{n} - x ˉ^{2}$ ; desviación típica $σ = σ^{2}$ , en las mismas unidades que los datos.
Muestra: $s_{n - 1}^{2} = \frac{n}{n - 1} σ^{2}$ y $s_{n - 1} > σ$ . Usa $σ$ si son todos los datos, $s_{n - 1}$ si se trata de una muestra para estimar la población.
Menor desviación típica significa datos más agrupados y más regulares; interprétala siempre comparando y con una frase en contexto.
Un atípico hace crecer mucho el rango y la desviación típica, pero apenas afecta al RIC.
Con la CPG (Prueba 2) obtienes media, $σ$ , $s_{n - 1}$ , $Q_{1}$ , mediana y $Q_{3}$ ; en datos agrupados, usa las marcas de clase.

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