IB Análisis y Enfoques NS · Estadística descriptiva · Apartado 3 de 5

Medidas de centralización

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Las medidas de centralización resumen un conjunto de datos con un solo número «típico»: la media (el reparto equitativo), la mediana (el dato que ocupa el medio) y la moda (el dato más repetido). En el examen del IB tienes que calcularlas a mano con datos sueltos, con tablas y con datos agrupados, y razonar cuál de las tres describe mejor unos datos concretos.

La media

La media $x ˉ$ es la suma de todos los datos dividida entre cuántos hay. Si el dato $x_{i}$ aparece $f_{i}$ veces en una tabla con $k$ valores distintos, sumar «todos los datos» es sumar cada valor tantas veces como se repite.

Al trabajar con una tabla, añade una columna $f_{i} x_{i}$ : la suma de esa columna es el numerador y la suma de la columna de frecuencias es $n$ .

La media usa todos los datos, y por eso un dato muy alejado la arrastra hacia él. Es la medida natural cuando los datos son simétricos o cuando interesa el total (la suma).

Media con datos agrupados

Cuando los datos vienen en intervalos, no se sabe el valor exacto de cada uno. Se hace una aproximación: se supone que todos los datos de un intervalo valen lo mismo que su punto medio, la marca de clase.

El resultado es una estimación, no el valor exacto, porque se ha perdido la información de dónde cae cada dato dentro de su intervalo. Dilo así en el examen: «una estimación de la media».

La mediana

La mediana es el valor que deja la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima, una vez ordenados.

Para datos agrupados no se puede dar el valor exacto de la mediana con esta receta, pero sí la clase mediana: el intervalo en el que la frecuencia acumulada pasa por la posición $\frac{n + 1}{2}$ . Una estimación más fina se lee en el gráfico de frecuencias acumuladas, como viste en el apartado anterior.

La mediana depende del orden, no del tamaño de los datos extremos. Cambiar el valor del mayor dato, mientras siga siendo el mayor, no la mueve.

La moda es la única medida que sirve también para datos cualitativos (el color más frecuente, la marca más vendida). Cuidado: la moda es el valor del dato, no su frecuencia. Si el valor $5$ aparece $9$ veces, la moda es $5$ , no $9$ .

¿Cuál elegir? Valores atípicos

Un valor atípico es un dato muy distinto del resto del conjunto. Cada medida reacciona de forma distinta.

Medida	Usa	Efecto de un dato atípico	Cuándo conviene
Media	Todos los datos	Se desplaza mucho hacia el atípico	Datos simétricos, sin extremos raros; cuando importa el total
Mediana	Solo el orden	Casi no cambia	Datos asimétricos o con atípicos (salarios, precios de viviendas)
Moda	Solo las frecuencias	No cambia	Datos cualitativos o cuando interesa lo más habitual

Una pista rápida: si la media es mucho mayor que la mediana, probablemente hay datos muy altos que la están tirando hacia arriba.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Tres medidas de unos tiempos de espera

Los tiempos de espera, en minutos, de ocho clientes en una ventanilla son

$12, 7, 9, 15, 9, 11, 9, 14$

a) Halla la media.

b) Halla la mediana.

c) Halla la moda.

d) Por un error de anotación, el $15$ era en realidad $150$ . Halla la nueva media y la nueva mediana.

Solución

a) La suma es $12 + 7 + 9 + 15 + 9 + 11 + 9 + 14 = 86$ , y hay $8$ datos:

$x ˉ = \frac{86}{8} = \frac{43}{4} = 10, 75$

b) Ordenamos: $7, 9, 9, 9, 11, 12, 14, 15$ . Como $n = 8$ es par, la mediana es la media de los datos en las posiciones $4$ y $5$ (la posición es $\frac{8 + 1}{2} = 4, 5$ ):

$\frac{9 + 11}{2} = 10$

c) El $9$ aparece tres veces y ningún otro valor se repite tanto: la moda es $9$ .

d) La suma pasa a ser $86 - 15 + 150 = 221$ :

$x ˉ = \frac{221}{8} = 27, 625$

Al ordenar, el $150$ sigue siendo el mayor dato y el resto no cambia, así que las posiciones $4$ y $5$ valen lo mismo y la mediana sigue siendo $10$ . La media casi se ha triplicado y la mediana no se ha movido.

Ejemplo 2 Medio

Duración de trayectos en datos agrupados

Se han cronometrado $40$ trayectos en autobús urbano. La duración $t$ , en minutos, se recoge en la tabla.

Duración $t$ (min)	Frecuencia
$0 \leq t < 10$	$5$
$10 \leq t < 20$	$13$
$20 \leq t < 30$	$12$
$30 \leq t < 40$	$7$
$40 \leq t < 50$	$3$

a) Indica la clase modal.

b) Halla una estimación de la duración media.

c) Halla la clase que contiene a la mediana.

Solución

a) La frecuencia mayor es $13$ , que corresponde a $10 \leq t < 20$ .

b) Se añaden la marca de clase $x_{i}$ y la columna $f_{i} x_{i}$ :

Intervalo	$f_{i}$	$x_{i}$	$f_{i} x_{i}$
$0 \leq t < 10$	$5$	$5$	$25$
$10 \leq t < 20$	$13$	$15$	$195$
$20 \leq t < 30$	$12$	$25$	$300$
$30 \leq t < 40$	$7$	$35$	$245$
$40 \leq t < 50$	$3$	$45$	$135$
Total	$40$		$900$

$x ˉ \approx \frac{900}{40} = 22, 5 minutos$

c) La mediana está en la posición $\frac{40 + 1}{2} = 20, 5$ , entre los datos $20$ .º y $21$ .º. Las frecuencias acumuladas son $5, 18, 30, 37, 40$ . Hasta la segunda clase hay $18$ datos, menos de $20$ , y al llegar a la tercera hay $30$ . Los datos $20$ .º y $21$ .º están, por tanto, en $20 \leq t < 30$ .

Ejemplo 3 Difícil

Frecuencia desconocida y un dato extremo

En un grupo se ha anotado cuántos libros leyó cada alumno durante el trimestre. Se sabe que la media es $1, 9$ .

Libros $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Frecuencia	$4$	$6$	$k$	$5$	$3$

a) Halla $k$ .

b) Halla la mediana y la moda.

c) Se incorpora un alumno nuevo que ha leído $20$ libros. Halla la media y la mediana del nuevo grupo.

Solución

a) La suma de los datos es $\sum f_{i} x_{i} = 0 \cdot 4 + 1 \cdot 6 + 2 k + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 = 33 + 2 k$ y el número de alumnos es $n = 4 + 6 + k + 5 + 3 = 18 + k$ . Igualamos la media a $1, 9$ :

$\frac{33 + 2 k}{18 + k} = 1, 9 ⟹ 33 + 2 k = 34, 2 + 1, 9 k ⟹ 0, 1 k = 1, 2 ⟹ k = 12$

b) Con $k = 12$ hay $n = 30$ alumnos y la mediana está en la posición $\frac{30 + 1}{2} = 15, 5$ , entre los datos $15$ .º y $16$ .º. Las frecuencias acumuladas son $4, 10, 22, 27, 30$ : ambos datos caen en el valor $2$ . Mediana $= 2$ .

La frecuencia más alta es $12$ , que corresponde al valor $2$ : la moda es $2$ .

c) La suma de los datos era $33 + 2 \cdot 12 = 57$ (coincide con $1, 9 \cdot 30$ ). Ahora hay $31$ datos y la suma es $57 + 20 = 77$ :

$x ˉ = \frac{77}{31} \approx 2, 48$

La mediana está en la posición $\frac{31 + 1}{2} = 16$ . El nuevo dato, $20$ , queda al final de la lista ordenada, así que los $16$ primeros datos son los de antes y el $16$ .º sigue valiendo $2$ . Mediana $= 2$ .

La media ha subido de $1, 9$ a casi $2, 5$ por un solo alumno, mientras que la mediana y la moda se han quedado en $2$ .

En el examen: cuando te den la media y falte un dato, plantea la ecuación con «suma $= n x ˉ$ » y escribe todos los pasos. Si te piden comparar medidas, razona con una frase: la media cambia porque usa todos los datos, y la mediana no porque solo depende de la posición central.

Errores típicos

Resumen

Media: $x ˉ = \frac{\sum f _{i} x _{i}}{n}$ . Suma total $= n x ˉ$ : úsalo para datos que faltan o que se añaden.
Datos agrupados: se usa la marca de clase (punto medio) de cada intervalo y la media es una estimación.
Mediana: dato en la posición $\frac{n + 1}{2}$ de la lista ordenada (media de los dos centrales si $n$ es par). Con datos agrupados se identifica la clase mediana con la frecuencia acumulada.
Moda: valor con mayor frecuencia (puede haber varias); en datos agrupados, clase modal.
Un valor atípico mueve la media pero apenas la mediana y no cambia la moda: con datos asimétricos o atípicos, la mediana describe mejor lo típico.
En la Prueba 2 la CPG da media y mediana; con datos agrupados, la media de las marcas de clase es una estimación. Escribe siempre el planteamiento.

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La media

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La mediana

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