IB Análisis y Enfoques NS · Estadística descriptiva · Apartado 2 de 5

Representaciones gráficas de datos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Un gráfico bien elegido deja ver de un vistazo cómo se reparten los datos: dónde se concentran, si son simétricos y si hay valores raros. Cada tipo de dato pide su gráfico, y en el examen del IB tienes que dibujarlos, leerlos y sacar de la curva de frecuencias acumuladas la mediana y los cuartiles.

Elegir el gráfico según el tipo de dato

La regla general: el tipo de variable decide la representación.

Datos	Gráfico habitual
Cualitativos o discretos con pocos valores	Diagrama de barras, diagrama de sectores
Continuos o agrupados en intervalos	Histograma
Se quiere leer mediana y cuartiles	Frecuencias acumuladas, diagrama de caja y bigotes

Diagramas de barras y de sectores

El de sectores es cómodo para comparar partes con el todo, pero no sirve si hay muchas categorías o si lo que importa es el orden de los valores.

Histograma

Si todas las clases tienen la misma amplitud, el área es proporcional a la altura y basta con dibujar como altura la frecuencia. Pero si las amplitudes son distintas, hay que corregir, o el gráfico engaña: una clase muy ancha parecería enorme solo por abarcar más valores.

En la figura, las clases tienen amplitudes 10, 10, 20 y 20 años. La clase de 20 a 40 años reúne a 40 personas, y su barra tiene altura $40/20 = 2$ y área $2 \cdot 20 = 40$ .

Histograma de edades con intervalos de distinta amplitud: alturas 2, 3, 2 y 1 sobre los intervalos 0 a 10, 10 a 20, 20 a 40 y 40 a 60

Frecuencias acumuladas

La frecuencia acumulada de un valor es el número de datos menores o iguales que él. En datos agrupados se calcula para el extremo superior de cada clase: es la cantidad de datos que quedan por debajo de ese extremo.

Es el gráfico que contesta preguntas del tipo «cuántos datos hay por debajo de tal valor», y también las contrarias: «por debajo de qué valor queda tal cantidad de datos».

Mediana y cuartiles en la curva acumulada

Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuatro grupos con la misma cantidad: $Q_{1}$ deja por debajo la cuarta parte, $Q_{2}$ (la mediana) la mitad y $Q_{3}$ las tres cuartas partes.

La interpolación equivale a suponer que dentro de cada clase los datos están repartidos con uniformidad. Por eso el resultado es una estimación: con datos agrupados no se conocen los valores reales.

El rango intercuartílico es $RIC = Q_{3} - Q_{1}$ y mide cuánto se extiende la mitad central de los datos.

Diagrama de caja y bigotes

La caja contiene el 50 % central de los datos y cada bigote, aproximadamente el 25 % de los extremos. Una caja con la mediana descentrada o un bigote mucho más largo que el otro indica asimetría.

Valores atípicos

En la figura aparece un ejemplo con doce valores: 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 y 24. Con $Q_{1} = 5, 5$ , $Q_{2} = 7, 5$ y $Q_{3} = 10, 5$ resulta $RIC = 5$ , así que la valla superior es $10, 5 + 1, 5 \cdot 5 = 18$ . El 24 la supera y se dibuja aparte; el bigote derecho llega hasta el 13. La valla inferior, $5, 5 - 7, 5 = - 2$ , no la rebasa ningún dato.

Diagrama de caja y bigotes: bigote izquierdo en 2, caja de 5,5 a 10,5 con la mediana en 7,5, bigote derecho en 13 y un valor atípico en 24; la valla de 18 va marcada con una línea discontinua

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Ángulos de un diagrama de sectores

En un instituto se pregunta a 60 estudiantes cómo llegan al centro. Responden: 24 en autobús, 9 en bicicleta, 15 andando y 12 en coche.

a) Calcula el ángulo del sector de cada modo de transporte, en el orden dado.

b) Halla el porcentaje de estudiantes que llegan andando.

Solución

a) El ángulo es $\frac{f}{60} \cdot 36 0^{\circ} = 6 f$ grados:

Autobús: $6 \cdot 24 = 14 4^{\circ}$ .
Bicicleta: $6 \cdot 9 = 5 4^{\circ}$ .
Andando: $6 \cdot 15 = 9 0^{\circ}$ .
Coche: $6 \cdot 12 = 7 2^{\circ}$ .

Comprobación: $144 + 54 + 90 + 72 = 360$ .

b) $\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$ , es decir, el $25 %$ (también se ve en el gráfico: $9 0^{\circ}$ es un cuarto de vuelta).

Ejemplo 2 Medio

Histograma con clases de distinta amplitud

Se anota el tiempo de espera, en minutos, de 80 pacientes en un centro de salud:

Tiempo de espera $t$ (min)	$0 \leq t < 5$	$5 \leq t < 10$	$10 \leq t < 20$	$20 \leq t < 40$
Número de pacientes	12	18	30	20

a) Halla la altura de cada rectángulo de un histograma en el que el área sea proporcional a la frecuencia (altura = pacientes por minuto), en el orden de la tabla.

b) Halla la proporción de pacientes que esperaron menos de 20 minutos.

c) Halla la proporción de pacientes que esperaron 10 minutos o más.

Solución

a) Las amplitudes son $5$ , $5$ , $10$ y $20$ minutos. Altura $= \frac{frecuencia}{amplitud}$ :

$\frac{12}{5} = \frac{12}{5}, \frac{18}{5}, \frac{30}{10} = 3, \frac{20}{20} = 1$

Es decir, $2, 4$ ; $3, 6$ ; $3$ y $1$ . Si se dibujara la frecuencia directa como altura, la clase de 10 a 20 minutos (30 pacientes) parecería mucho mayor que la de 5 a 10 (18 pacientes), aunque cada minuto de esa clase reúne menos pacientes.

b) Menos de 20 minutos son las tres primeras clases: $12 + 18 + 30 = 60$ pacientes, y $\frac{60}{80} = \frac{3}{4}$ .

c) Diez minutos o más son las dos últimas clases: $30 + 20 = 50$ pacientes, y $\frac{50}{80} = \frac{5}{8}$ .

Ejemplo 3 Difícil

Mediana, cuartiles y valores atípicos con datos agrupados

Se midió, en segundos, el tiempo de carga de una página web en 100 conexiones:

Tiempo $t$ (s)	$0 \leq t < 2$	$2 \leq t < 4$	$4 \leq t < 6$	$6 \leq t < 8$	$8 \leq t < 10$	$10 \leq t < 14$
Número de conexiones	10	20	40	20	6	4

a) Construye la fila de frecuencias acumuladas, en el orden de la tabla.

b) Estima la mediana.

c) Estima $Q_{1}$ y $Q_{3}$ y calcula el rango intercuartílico. Da el resultado como la tupla $(Q_{1}, Q_{3}, RIC)$ .

d) Halla la valla superior para valores atípicos y decide si una conexión de 12 segundos sería atípica. Da el valor de la valla.

Solución

a) Se van sumando las frecuencias: $10$ , $10 + 20 = 30$ , $30 + 40 = 70$ , $70 + 20 = 90$ , $90 + 6 = 96$ , $96 + 4 = 100$ .

b) La mitad de los datos es $\frac{100}{2} = 50$ . La acumulada pasa de $30$ (en $t = 4$ ) a $70$ (en $t = 6$ ), así que la mediana está en la clase $4 \leq t < 6$ . Interpolando:

$Q_{2} = 4 + 2 \cdot \frac{50 - 30}{70 - 30} = 4 + 2 \cdot \frac{20}{40} = 5$

c) Para $Q_{1}$ buscamos la altura $\frac{100}{4} = 25$ , que cae entre $10$ (en $t = 2$ ) y $30$ (en $t = 4$ ):

$Q_{1} = 2 + 2 \cdot \frac{25 - 10}{30 - 10} = 2 + 2 \cdot \frac{15}{20} = \frac{7}{2}$

Para $Q_{3}$ buscamos $\frac{3 \cdot 100}{4} = 75$ , que cae entre $70$ (en $t = 6$ ) y $90$ (en $t = 8$ ):

$Q_{3} = 6 + 2 \cdot \frac{75 - 70}{90 - 70} = 6 + 2 \cdot \frac{5}{20} = \frac{13}{2}$

El rango intercuartílico es $RIC = \frac{13}{2} - \frac{7}{2} = 3$ .

d) La valla superior es $Q_{3} + 1, 5 \cdot RIC = \frac{13}{2} + 1, 5 \cdot 3 = 6, 5 + 4, 5 = 11$ . Una carga de $12$ s supera $11$ , luego sí sería un valor atípico. (La valla inferior, $3, 5 - 4, 5 = - 1$ , no puede cumplirse con tiempos positivos.)

En el examen: al interpolar escribe la altura que buscas ( $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ , $\frac{3 n}{4}$ ) y la clase donde cae; es lo que puntúa como método. Para decir que un dato es atípico no basta con que «parezca grande»: hay que calcular la valla y compararla.

Errores típicos

Resumen

Barras y sectores para datos cualitativos o discretos; histograma para datos agrupados. En el histograma no hay huecos y el área es la frecuencia.
Con clases de distinta amplitud, altura $= \frac{frecuencia}{amplitud}$ .
Ángulo de un sector $= \frac{f}{n} \cdot 36 0^{\circ}$ .
La frecuencia acumulada se asocia al extremo superior de cada clase; el polígono o la curva empiezan en $0$ y acaban en $n$ .
Para leer $Q_{1}$ , $Q_{2}$ y $Q_{3}$ busca las alturas $\frac{n}{4}$ , $\frac{n}{2}$ y $\frac{3 n}{4}$ y baja al eje horizontal; con una tabla, interpola. $RIC = Q_{3} - Q_{1}$ .
Diagrama de caja y bigotes: mínimo, $Q_{1}$ , mediana, $Q_{3}$ , máximo. Son atípicos los datos fuera de $Q_{1} - 1, 5 RIC$ y $Q_{3} + 1, 5 RIC$ .
En la Prueba 2 la CPG dibuja estos gráficos y da los cuartiles, pero escribe siempre cómo has obtenido el resultado.

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