IB Análisis y Enfoques NS · Estadística descriptiva · Apartado 5 de 5

Efecto de cambiar los datos

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Si transformas todos los datos con la misma operación (sumarles algo, multiplicarlos por algo), los estadísticos no se calculan de nuevo: se transforman con la misma regla o no cambian en absoluto. Con una constante sumada se mueve el centro pero no la dispersión; con una constante multiplicada cambian las dos. Y si se añade, quita o corrige un dato, casi siempre basta trabajar con la suma total. En el examen del IB aparece sobre todo en preguntas de Prueba 1 sin datos concretos.

Sumar una constante a todos los datos

Imagina que un sensor mide siempre $2$ unidades de menos y se corrige sumando $2$ a cada lectura. Toda la lista se desplaza, como si movieras una regla sobre la mesa: los datos siguen igual de separados entre sí, pero todos están más a la derecha.

La razón es que la dispersión mide distancias entre datos, o entre datos y la media. Si los datos y la media se desplazan lo mismo, cada diferencia $(x_{i} + b) - (x ˉ + b) = x_{i} - x ˉ$ es la de antes. De la misma forma, $m a ˊ x - m ı ˊ n$ y $Q_{3} - Q_{1}$ restan dos valores que se han movido igual.

Multiplicar todos los datos por una constante

Cambiar de unidades (minutos a segundos, metros a centímetros) multiplica todos los datos por la misma cantidad. Ahora no se desplaza la lista: se estira o se encoge respecto del cero.

Si $a$ es negativo, la lista se da la vuelta (el mayor pasa a ser el menor). Media, mediana y moda se siguen multiplicando por $a$ , pero las medidas de dispersión son distancias y no pueden ser negativas: se multiplican por $∣ a ∣$ (la varianza, por $a^{2}$ ). Los cuartiles intercambian sus papeles y por eso hay que ordenarlos de nuevo.

Las dos cosas a la vez: $y = a x + b$

Fíjate en que $b$ solo aparece en la media, y que la desviación típica no lleva $b$ ni se calcula con $+ b$ . Esto es válido tanto para la desviación típica de la población $σ$ como para la de una muestra $s_{n - 1}$ .

La comprobación para la media: $y ˉ = \frac{\sum ( a x _{i} + b )}{n} = a \frac{\sum x _{i}}{n} + b = a x ˉ + b$ . Para la dispersión: $y_{i} - y ˉ = a (x_{i} - x ˉ)$ , así que cada desviación se multiplica por $a$ , su cuadrado por $a^{2}$ , y la media de esos cuadrados (la varianza) también.

Añadir, quitar o corregir datos

Aquí no existe una regla «mágica» sobre la desviación típica: sí la hay para la media, y se trabaja con sumas totales. Como $x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}$ , la suma de los datos es siempre $\sum x_{i} = n x ˉ$ .

Un caso muy usado es la media de dos grupos (o media ponderada). Si un grupo tiene $n_{1}$ datos con media $x ˉ_{1}$ y otro tiene $n_{2}$ datos con media $x ˉ_{2}$ , la media conjunta es

$x ˉ = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$

No es la media de las dos medias: cada media pesa según el número de datos que representa. Solo coinciden si los dos grupos tienen el mismo tamaño. El mismo razonamiento sirve para encontrar un dato que falta cuando se conoce la media: se calcula la suma total, se resta la de los datos conocidos y lo que queda es el dato.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Esperas en una farmacia

Los tiempos de espera, en minutos, de ocho clientes de una farmacia son

$2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

Para estos datos, la media es $5$ minutos, la desviación típica es $2$ minutos, la mediana es $4, 5$ y el rango intercuartílico es $2$ . La farmacia cambia de programa y a cada espera se le suman $3$ minutos de gestión.

a) Halla la nueva media, la nueva desviación típica, la nueva mediana y el nuevo rango intercuartílico.

Después, los tiempos originales se pasan a segundos (multiplicando por $60$ ).

b) Halla, en segundos, la media, la desviación típica y el rango de los datos originales.

Solución

a) Se suma una constante a todos los datos. Los estadísticos de posición (media y mediana) aumentan en $3$ y los de dispersión (desviación típica y rango intercuartílico) no cambian:

Media: $5 + 3 = 8$ minutos.
Desviación típica: $2$ minutos.
Mediana: $4, 5 + 3 = 7, 5$ minutos.
Rango intercuartílico: $2$ minutos.

b) Se multiplica por $a = 60$ . Todas las medidas se multiplican por $60$ :

Media: $5 \cdot 60 = 300$ segundos.
Desviación típica: $2 \cdot 60 = 120$ segundos.
Rango: el rango original es $9 - 2 = 7$ minutos, luego $7 \cdot 60 = 420$ segundos.

Ejemplo 2 Medio

Reajustar las notas de un examen

Las notas $x$ de un examen tienen media $40$ y desviación típica $8$ . El profesor transforma todas las notas con la regla $y = a x + b$ , con $a > 0$ , para que las nuevas notas tengan media $62$ y desviación típica $12$ .

a) Halla $a$ y $b$ .

b) Halla la varianza de las notas nuevas.

c) Una alumna sacó $28$ en el examen. ¿Qué nota tiene después de la transformación?

Solución

a) La desviación típica nueva es $σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ . Como $a > 0$ :

$12 = a \cdot 8 ⟹ a = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

La media nueva es $y ˉ = a x ˉ + b$ :

$62 = \frac{3}{2} \cdot 40 + b = 60 + b ⟹ b = 2$

b) $σ_{y}^{2} = 1 2^{2} = 144$ (o bien $a^{2} σ_{x}^{2} = \frac{9}{4} \cdot 64 = 144$ ).

c) $y = \frac{3}{2} \cdot 28 + 2 = 42 + 2 = 44$ .

Ejemplo 3 Difícil

Notas corregidas, alumnos nuevos y un ajuste final

La profesora de una clase de $25$ alumnos anota las notas de un trabajo y obtiene una media de $6, 4$ . Al revisar, descubre que una nota se escribió como $9$ cuando en realidad era $5$ .

a) Halla la media corregida.

Después se incorporan $5$ alumnos que habían entregado el trabajo más tarde, con una media de $8, 4$ entre ellos.

b) Halla la media de los $30$ alumnos.

Las notas de los $30$ alumnos tienen una desviación típica de $1, 5$ . La profesora decide sumar una misma cantidad $k$ a todas las notas para que la media de la clase sea $7$ .

c) Halla $k$ y la desviación típica de las notas tras sumar $k$ .

Solución

a) La suma de las notas anotadas es $25 \cdot 6, 4 = 160$ . Se corrige el error: se resta lo anotado y se suma lo correcto,

$160 - 9 + 5 = 156$

El número de alumnos sigue siendo $25$ , luego la media corregida es

$\frac{156}{25} = 6, 24$

b) Los $5$ alumnos nuevos suman $5 \cdot 8, 4 = 42$ . Entonces la suma total es $156 + 42 = 198$ , y hay $25 + 5 = 30$ alumnos:

$x ˉ = \frac{25 \cdot 6 , 24 + 5 \cdot 8 , 4}{25 + 5} = \frac{198}{30} = 6, 6$

c) Al sumar $k$ a todas las notas, la media aumenta en $k$ : $6, 6 + k = 7$ , luego $k = 0, 4 = \frac{2}{5}$ . La desviación típica no depende de la constante sumada, así que sigue siendo $1, 5$ .

En el examen: al corregir un dato, indica la suma total antes y después del cambio ( $n x ˉ$ ) y no olvides si cambia el número de datos. En una media de dos grupos, escribe la fórmula con los tamaños de cada grupo (no promedies las medias sin más).

Errores típicos

Resumen

Sumar $b$ a todos los datos: media, mediana, moda y cuartiles aumentan en $b$ ; rango, RIC, varianza y desviación típica no cambian.
Multiplicar por $a$ : la media, la mediana, los cuartiles y el rango se multiplican por $a$ (por $∣ a ∣$ en rango y RIC); la desviación típica por $∣ a ∣$ y la varianza por $a^{2}$ .
Si $y = a x + b$ : $y ˉ = a x ˉ + b$ y $σ_{y} = ∣ a ∣ σ_{x}$ . La constante $b$ solo afecta a la media.
Al añadir, quitar o corregir datos, trabaja con la suma total $n x ˉ$ y ajusta también $n$ cuando proceda.
Media de dos grupos: $x ˉ = \frac{n _{1} x ˉ _{1} + n _{2} x ˉ _{2}}{n _{1} + n _{2}}$ (cada media pesa según su tamaño).
Para la desviación típica al añadir o corregir un dato hacen falta los datos (CPG en la Prueba 2).

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Sumar una constante a todos los datos

Multiplicar todos los datos por una constante

Las dos cosas a la vez: y=ax+b

Añadir, quitar o corregir datos

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Errores típicos

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Las dos cosas a la vez: $y = a x + b$