Prismas y pirámides: volumen, área y ángulos

Prismas

Un prisma es un sólido con dos caras iguales y paralelas, las bases, unidas por caras laterales que son paralelogramos. Si las caras laterales son rectángulos, el prisma es recto. La base puede ser cualquier polígono: un triángulo, un rectángulo, un hexágono...

La altura $h$ es la distancia entre las dos bases, medida en perpendicular. En un prisma recto coincide con la longitud de una arista lateral.

Dos casos que conviene tener controlados:

• Prisma rectangular (ortoedro), con dimensiones $a$, $b$ y $c$: $V=abc$ y área total $=2(ab+ac+bc)$, porque tiene tres pares de rectángulos iguales.
• Cubo de arista $a$: $V=a^3$ y área total $=6a^2$.

En un prisma triangular la base es un triángulo: su área es $\frac{1}{2}\cdot \text{base}\cdot \text{altura del triaˊngulo}$, y a menudo hay que calcular antes con Pitágoras o trigonometría alguno de sus lados. Ojo con las dos alturas: la del triángulo de la base y la $h$ del prisma son medidas distintas.

Pirámides

Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se juntan en un punto, el vértice. En una pirámide recta de base regular, el vértice está justo encima del centro de la base.

Hay que distinguir dos medidas que se confunden con facilidad:

• La altura $h$ es el segmento vertical desde el vértice hasta la base. Es perpendicular a la base y pasa por su centro.
• La apotema $a$ es la altura de una de las caras triangulares: va del vértice hasta el punto medio de una arista de la base. Es siempre mayor que $h$.

Si la base es un cuadrado de lado $l$, la fórmula del área total queda $l^2+2la$.

Longitudes y ángulos dentro del sólido

Casi todos los problemas dan la altura y alguna medida de la base y piden otra longitud o un ángulo. La técnica es siempre la misma: encuentra un triángulo rectángulo escondido en el sólido, dibújalo aparte con sus medidas y resuélvelo.

Diagonal de una cara. En una cara rectangular de lados $a$ y $b$, la diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo: $d=\sqrt{a^2+b^2}$.

Diagonal del ortoedro. Es el segmento que une dos vértices opuestos y atraviesa el interior. Se aplica Pitágoras dos veces: primero la diagonal de la base, $\sqrt{a^2+b^2}$, y luego un triángulo que tiene esa diagonal y la altura $c$ como catetos:

$$D=\sqrt{{\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)}^2+c^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Ángulo entre una arista y la base. Es el ángulo que forma la arista con su proyección sobre el plano de la base, es decir, con el segmento que une el pie de la arista con el punto de la base situado justo debajo del otro extremo. En una pirámide recta, la proyección de una arista lateral es la mitad de la diagonal de la base, y el ángulo $\theta$ cumple $\tan \theta =\frac{h}{\text{mitad de la diagonal}}$.

Ángulo entre una cara y la base. En una pirámide recta de base cuadrada se usa el triángulo formado por la altura, la apotema y la mitad del lado de la base: $\tan \phi =\frac{h}{l/2}$.