Ejercicios IB del tema 5

a)

(i) Distancia entre $A(2,1,3)$ y $B(2,6,3)$:

$$AB=\sqrt{(2-2{)}^2+(6-1{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{25}=5.$$

(ii) La base es un cuadrado, así que $BC=AB=5$. Como $B(2,6,3)$ y $C(-3,k,3)$:

$$BC=\sqrt{(-3-2{)}^2+(k-6{)}^2+0}=5\Rightarrow 25+(k-6{)}^2=25\Rightarrow k=6.$$

Comprobamos con $D(-3,1,3)$: $AD=\sqrt{(-5{)}^2+0+0}=5$, correcto. Luego $C(-3,6,3)$.

(iii) Los lados $AB$ y $BC$ miden $5$ y son perpendiculares (la base es un cuadrado), así que el triángulo $ABC$ es rectángulo en $B$:

$$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=12,5.$$

Resultado: (i) $AB=5$; (ii) $k=6$; (iii) área $=12,5$

b)

(i) El área de la base es $5^2=25$. Con $V=\frac{1}{3}\cdot \text{aˊrea base}\cdot h$:

$$40=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot h\Rightarrow h=\frac{120}{25}=4,8.$$

(ii) La pirámide es recta: el vértice $E$ está sobre el centro de la base, que es el punto medio de la diagonal $AC$:

$$\left(\frac{2+(-3)}{2},\frac{1+6}{2},3\right)=(-0,5,3,5,3).$$

La base está en el plano $z=3$, así que $E$ se obtiene sumando la altura a la coordenada $z$ (tomando la pirámide hacia arriba): $z_E=3+4,8=7,8$.

Resultado: (i) $h=4,8$; (ii) $E(-0,5,3,5,7,8)$

Resultado: a) (i) $5$; (ii) $k=6$; (iii) $12,5$; b) (i) $4,8$; (ii) $E(-0,5,3,5,7,8)$

a) Volumen del cuboide: $V=29\cdot 98\cdot 186=528612{\text{mm}}^3$. A dos cifras significativas: $530000{\text{mm}}^3$.

Resultado: $V\approx 530000{\text{mm}}^3$

b) En notación científica, $530000=5,3\times 10^5$ (con $a=5,3$ y $k=5$).

Resultado: $5,3\times 10^5$

c) Como $1\text{cm}=10\text{mm}$, se tiene $1{\text{cm}}^3=10^3{\text{mm}}^3=1000{\text{mm}}^3$. Dividimos el volumen exacto entre $1000$:

$$V=\frac{528612}{1000}=528,612{\text{cm}}^3\approx 529{\text{cm}}^3.$$

(También se puede pasar cada medida a centímetros: $2,9\cdot 9,8\cdot 18,6=528,612$.)

Resultado: a) $530000{\text{mm}}^3$; b) $5,3\times 10^5$; c) $\approx 529{\text{cm}}^3$

a)

(i) Cuboide: $V=\text{largo}\cdot \text{ancho}\cdot \text{alto}=8\cdot 5\cdot 3,5=140{\text{cm}}^3$.

(ii) Cilindro de diámetro $7$ cm (radio $3,5$ cm) y altura $4$ cm:

$$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3,5^2\cdot 4=49\pi \approx 153,9\approx 154{\text{cm}}^3.$$

Resultado: (i) $140{\text{cm}}^3$; (ii) $154{\text{cm}}^3$

b)

1. El precio por ${\text{cm}}^3$ es el de FreshWave: $\frac{90}{140}\approx 0,643$ centavos por ${\text{cm}}^3$.
2. La lata HappyFin tiene $49\pi {\text{cm}}^3$, así que su precio es $$\frac{90}{140}\cdot 49\pi \approx 98,96\approx 99,0\text{centavos}.$$

Resultado: a) (i) $140{\text{cm}}^3$; (ii) $154{\text{cm}}^3$; b) $99,0$ centavos

a) La varilla $EG$ es la diagonal de la cara inferior, que es un cuadrado de lado $8$ cm.

1. Por Pitágoras en el triángulo rectángulo $EHG$ (con $EH=HG=8$): $l^2=8^2+8^2=128$.
2. Entonces $l=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\approx 11,3$ cm.

Resultado: $l=8\sqrt{2}\approx 11,3$ cm

b) La varilla más larga dentro de la caja es la diagonal del cubo, por ejemplo de $E$ a $C$.

1. Tomamos el triángulo rectángulo formado por la diagonal de la base $EG$, la arista vertical $GC$ y la diagonal $EC$. Su ángulo recto está en $G$, y $GC=8$.
2. Por Pitágoras: $L^2=l^2+8^2=128+64=192$.
3. Entonces $L=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\approx 13,9$ cm.

Resultado: $L=8\sqrt{3}\approx 13,9$ cm

Resultado: a) $l\approx 11,3$ cm; b) $L\approx 13,9$ cm

a) Volumen = largo por ancho por alto:

$$V=8,7\cdot 5,6\cdot 3,4=165,648{\text{cm}}^3.$$

b)

1. (i) A un lugar decimal: la segunda cifra decimal es 4, así que no se sube: $165,6{\text{cm}}^3$.
2. (ii) A tres cifras significativas (las tres primeras son 1, 6 y 5; la siguiente cifra es 6, así que se sube): $166{\text{cm}}^3$.

c) En notación científica, con $a$ entre 1 y 10: $166=1,66\times 10^2$.

Resultado: a) $165,648{\text{cm}}^3$; b) (i) $165,6{\text{cm}}^3$, (ii) $166{\text{cm}}^3$; c) $1,66\times 10^2$

a) Los seis vértices de un hexágono regular reparten la vuelta completa en seis ángulos centrales iguales: $$\widehat{AOB}=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }.$$

Resultado: $\widehat{AOB}=60^{\circ }$

b) $OA=OB=15$ cm y el ángulo entre ellos es $60^{\circ }$: $$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 15\cdot \mathrm{sen}60^{\circ }\approx 97,4{\text{cm}}^2.$$

Resultado: área de $AOB\approx 97,4$ cm${}^2$

c)

1. El hexágono se divide en seis triángulos iguales a $AOB$, así que su área es $6\cdot 97,43\approx 584,6$ cm${}^2$.
2. Volumen del prisma $=$ área de la base por altura: $$V=584,6\cdot 20\approx 11700{\text{cm}}^3.$$

Resultado: a) $60^{\circ }$; b) $97,4$ cm${}^2$; c) $11700$ cm${}^3$

a) La caja es un ortoedro, así que el volumen es el producto de sus tres dimensiones:

$$V=50\cdot 100\cdot 40=200000{\text{cm}}^3.$$

Resultado: $V=200000{\text{cm}}^3$

b) Joaquin divide el volumen de la caja entre su estimación del volumen de un cubo:

$$\frac{200000}{500}=400.$$

Resultado: 400 cubos

c) El valor real es 350 y el estimado es 400:

$$\text{error}=\left|\frac{400-350}{350}\right|\cdot 100=14,285\dots \%=14,3\%.$$

Resultado: a) $200000{\text{cm}}^3$; b) 400 cubos; c) $14,3\%$

a) El pie de la altura, $M$, es el centro del rectángulo, es decir, el punto medio de la diagonal $AC$.

1. La diagonal de la base, por Pitágoras: $AC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$ cm.
2. Entonces $AM=\frac{AC}{2}=5$ cm.
3. El triángulo $VMA$ tiene un ángulo recto en $M$, con hipotenusa $VA=13$ cm:

$$VM=\sqrt{V{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\text{cm}.$$

Resultado: $VM=12$ cm

b) El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura:

$$V=\frac{1}{3}\cdot (8\cdot 6)\cdot 12=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 12=192{\text{cm}}^3.$$

Resultado: a) $VM=12$ cm; b) $V=192{\text{cm}}^3$

a) Pasamos los números mixtos a fracciones: $1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$ y $2\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.

$$V=16\cdot \frac{7}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{16\cdot 7\cdot 8}{4\cdot 3}=\frac{896}{12}=\frac{224}{3}{\text{m}}^3.$$

Resultado: $V=\frac{224}{3}{\text{m}}^3$

b) El volumen estimado por Jim es $15\cdot 2\cdot 3=90{\text{m}}^3$. El valor real es $\frac{224}{3}=74,666\dots {\text{m}}^3$:

$$\text{error}=\left|\frac{90-\frac{224}{3}}{\frac{224}{3}}\right|\cdot 100=\frac{46/3}{224/3}\cdot 100=\frac{46}{224}\cdot 100=20,535\dots \%\approx 20,5\%.$$

Resultado: a) $V=\frac{224}{3}{\text{m}}^3$; b) $20,5\%$

a)

(i) $G$ es el centro del cuadrado y $M$ el punto medio del lado $QR$, así que $GM$ es la mitad del lado: $GM=4$ cm.

(ii) El triángulo $VGM$ es rectángulo en $G$ (la altura es perpendicular a la base), con $VG=12$ y $GM=4$. Por Pitágoras:

$$VM=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{160}=12,649\dots \approx 12,6\text{ cm}.$$

Resultado: (i) $4$ cm; (ii) $12,6$ cm

b)

(i) La superficie total es la base más cuatro triángulos iguales. $VM$ es la altura de cada triángulo lateral sobre su base de $8$ cm (porque $VM\perp QR$):

1. Base: $8^2=64$ cm${}^2$.
2. Cada cara lateral: $\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12,649=50,596$ cm${}^2$; las cuatro: $202,39$ cm${}^2$.
3. Total: $64+202,39=266,39\dots \approx 266{\text{ cm}}^2$.

(ii) $GM\perp QR$ y $VM\perp QR$, así que el ángulo entre la cara $VQR$ y la base es el ángulo $\widehat{VMG}$:

$$\tan \widehat{VMG}=\frac{VG}{GM}=\frac{12}{4}=3\Rightarrow \widehat{VMG}=71,6^{\circ }.$$

Resultado: a) (i) $4$ cm, (ii) $12,6$ cm; b) (i) $266{\text{ cm}}^2$, (ii) $71,6^{\circ }$

a) $X$ es el centro del cuadrado y $M$ el punto medio de $BC$, así que $XM$ es perpendicular a $BC$ y mide la mitad del lado: $XM=\frac{10}{2}=5$ cm.

Resultado: $XM=5$ cm

b) $VX$ es perpendicular a la base, luego el triángulo $VXM$ es rectángulo en $X$, con catetos $VX=8$ y $XM=5$. Por el teorema de Pitágoras:

$$VM=\sqrt{V{X}^2+X{M}^2}=\sqrt{8^2+5^2}=\sqrt{89}\approx 9,43\text{ cm}.$$

Resultado: $VM\approx 9,43$ cm

c) El ángulo entre la recta $VM$ y el plano de la base es el que forma $VM$ con su proyección sobre la base, que es $XM$; es decir, el ángulo $\widehat{VMX}$. En el triángulo rectángulo $VXM$:

$$\tan \widehat{VMX}=\frac{VX}{XM}=\frac{8}{5}\Rightarrow \widehat{VMX}={\tan }^{-1}\left(\frac{8}{5}\right)\approx 58,0^{\circ }.$$

Resultado: a) $5$ cm; b) $9,43$ cm; c) $58,0^{\circ }$

a) Las aristas laterales miden $13$ cm, así que $VB=VC=13$ y el triángulo $VBC$ es isósceles. $VM$ es su altura, luego $VM\perp BC$ y $BM=\frac{10}{2}=5$. En el triángulo rectángulo $VMB$:

$$VM=\sqrt{V{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\text{ cm}.$$

Resultado: $VM=12$ cm

b) Sea $X$ el centro de la base (pie de la altura). Entonces $XM=\frac{10}{2}=5$ cm y $VXM$ es rectángulo en $X$:

$$h=VX=\sqrt{V{M}^2-X{M}^2}=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{119}\approx 10,9\text{ cm}.$$

Resultado: $h\approx 10,9$ cm

c) El ángulo entre la cara $VBC$ y la base es $\widehat{VMX}$ ($VM$ y $XM$ son perpendiculares a la arista común $BC$):

$$\cos \widehat{VMX}=\frac{XM}{VM}=\frac{5}{12}\Rightarrow \widehat{VMX}\approx 65,4^{\circ }.$$

Resultado: a) $12$ cm; b) $10,9$ cm; c) $65,4^{\circ }$

a) La base de cada triángulo mide $12$ cm, así que el lado del cuadrado es $12$ y la distancia del centro $X$ de la base al punto medio $M$ de un lado es $XM=6$ cm. La altura del triángulo ($OM=10$ cm) y la altura de la pirámide $OX$ forman el triángulo rectángulo $OXM$ (recto en $X$), con hipotenusa $OM=10$:

$$OX=\sqrt{O{M}^2-X{M}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ cm}.$$

Resultado: altura $=8$ cm

b) El ángulo entre $MO$ y la base es $\widehat{OMX}$:

$$\cos \widehat{OMX}=\frac{6}{10}\text{(o bien }\tan \widehat{OMX}=\frac{8}{6}\text{)}\Rightarrow \widehat{OMX}\approx 53,1^{\circ }.$$

Resultado: $53,1^{\circ }$

c) $$V=\frac{1}{3}\cdot 12^2\cdot 8=\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 8=384{\text{ cm}}^3.$$

Resultado: $V=384$ cm${}^3$

d) El prisma tiene base $10\times 10=100$ cm${}^2$ y debe tener volumen $384$ cm${}^3$:

$$100h=384\Rightarrow h=3,84\text{ cm}.$$

Resultado: a) $8$ cm; b) $53,1^{\circ }$; c) $384$ cm${}^3$; d) $3,84$ cm

a) $AH$ es la diagonal de la cara superior $ADHE$, que es un rectángulo con $AE=8$ y $EH=8$ (y $AD=EH=8$). En el triángulo rectángulo $AEH$:

$$AH=\sqrt{A{E}^2+E{H}^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}\approx 11,3\text{ cm}.$$

Resultado: $AH\approx 11,3$ cm

b) El triángulo $ACH$ tiene lados $AC=10$, $CH=10$ y $AH=\sqrt{128}$. Por el teorema del coseno aplicado al ángulo en $C$:

$$\cos \widehat{ACH}=\frac{A{C}^2+C{H}^2-A{H}^2}{2\cdot AC\cdot CH}=\frac{100+100-128}{200}=0,36\Rightarrow \widehat{ACH}\approx 68,9^{\circ }.$$

Resultado: $\widehat{ACH}\approx 68,9^{\circ }$

c) Calculamos las tres dimensiones. $AD=EH=8$ cm (largo) y $DH=AE=8$ cm (fondo). En la cara frontal $ABCD$, que es un rectángulo, $AC=10$ es la diagonal y $AD=8$, así que

$$AB=\sqrt{10^2-8^2}=6\text{ cm}.$$

(Se comprueba con $CH$: $CD=6$, $DH=8$, $\sqrt{36+64}=10$.) El prisma mide $8\times 8\times 6$ y su área total es

$$A=2(8\cdot 8+8\cdot 6+8\cdot 6)=2(64+48+48)=320{\text{ cm}}^2.$$

Resultado: $A=320$ cm${}^2$

d) El plano $ABGH$ es vertical y corta el prisma por la diagonal de la base, así que el prisma triangular tiene como base el triángulo $BCG$ (visto desde abajo): rectángulo en $C$, con catetos $BC=8$ y $CG=8$, es decir, la mitad del cuadrado de $8\times 8$. Su altura es $AB=6$ cm:

$$V=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 8\cdot 6=192{\text{ cm}}^3.$$

Resultado: a) $11,3$ cm; b) $68,9^{\circ }$; c) $320$ cm${}^2$; d) $192$ cm${}^3$

a)

1. La pirámide es recta con base cuadrada, así que el triángulo $VAB$ es isósceles ($VA=VB$) y $VM$ es perpendicular a $AB$. En el triángulo $VMB$, rectángulo en $M$, tenemos $MB=\frac{230}{2}=115$ m y el ángulo en $B$ es $58,3^{\circ }$.
2. Usamos la tangente: $$\tan 58,3^{\circ }=\frac{VM}{115}\Rightarrow VM=115\tan 58,3^{\circ }\approx 186,2\approx 186\text{m}.$$

b)

1. $O$ es el centro de la base y $M$ el punto medio de $AB$, así que $OM=\frac{230}{2}=115$ m. El triángulo $VOM$ es rectángulo en $O$.
2. Por Pitágoras: $$VO=\sqrt{V{M}^2-O{M}^2}=\sqrt{186,2^2-115^2}\approx 146,4\approx 146\text{m}.$$

Resultado: $VO\approx 146$ m

c) Volumen de una pirámide: $\frac{1}{3}\cdot \text{aˊrea base}\cdot \text{altura}$ (con la altura sin redondear):

$$V=\frac{1}{3}\cdot 230^2\cdot 146,4\approx 2582000\approx 2580000{\text{m}}^3.$$

Resultado: $V\approx 2580000{\text{m}}^3$

d) $V\approx 2,58\times 10^6{\text{m}}^3$.

e)

1. Volumen del muro: largo $430\text{km}=430000$ m, alto $5$ m y ancho $1$ m: $$V_{\text{muro}}=430000\cdot 5\cdot 1=2150000=2,15\times 10^6{\text{m}}^3.$$
2. La pirámide tiene $2,58\times 10^6{\text{m}}^3$, que es mayor que $2,15\times 10^6{\text{m}}^3$. Hay piedra de sobra para construir ese muro, así que la afirmación de Ahmad es correcta.

f)

(i) En el triángulo $ABW$ conocemos $AB=230$, $BW=160$ y el ángulo $ABW=15^{\circ }$. Teorema del coseno:

$$A{W}^2=230^2+160^2-2\cdot 230\cdot 160\cdot \cos 15^{\circ }\approx 7405\Rightarrow AW\approx 86,1\text{m}.$$

(ii) Área con la fórmula $\frac{1}{2}ab\sin C$:

$$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 230\cdot 160\cdot \sin 15^{\circ }\approx 4762\approx 4760{\text{m}}^2.$$

Resultado: (i) $AW\approx 86,1$ m; (ii) área $\approx 4760{\text{m}}^2$

Resultado: a) $VM\approx 186$ m; b) $VO\approx 146$ m; c) $2580000{\text{m}}^3$; d) $2,58\times 10^6{\text{m}}^3$; e) sí, es correcta ($2,58\times 10^6>2,15\times 10^6$); f) (i) $86,1$ m; (ii) $4760{\text{m}}^2$

Como $PTS$ es isósceles con $PT=TS$, la altura $TM$ cae sobre el punto medio $M$ de $PS$, y $PM=MS=1,6$ m. El triángulo $TMS$ es rectángulo en $M$, con ángulo $35^{\circ }$ en $S$.

a) En el triángulo $TMS$, el lado $MS$ es el cateto adyacente al ángulo de $35^{\circ }$ y $ST$ es la hipotenusa:

$$\cos 35^{\circ }=\frac{MS}{ST}\Rightarrow ST=\frac{1,6}{\cos 35^{\circ }}=1,9532\dots \approx 1,95\text{ m}.$$

Resultado: $ST\approx 1,95$ m

b)

1. Altura del triángulo (cateto opuesto a $35^{\circ }$): $TM=MS\tan 35^{\circ }=1,6\tan 35^{\circ }=1,1203\dots$ m.
2. Área: $\frac{1}{2}\cdot PS\cdot TM=\frac{1}{2}\cdot 3,2\cdot 1,1203=1,7925\dots \approx 1,79{\text{ m}}^2$.

Resultado: $1,79{\text{ m}}^2$

c) $STVR$ es un rectángulo de lados $ST$ y $SR$:

$$A=ST\cdot SR=1,9532\dots \cdot 4,7=9,1802\dots \approx 9,18{\text{ m}}^2.$$

Resultado: $9,18{\text{ m}}^2$

d) La superficie está formada por la base, los dos triángulos de los extremos y los dos rectángulos inclinados (iguales):

1. Base $PQRS$: $3,2\cdot 4,7=15,04$ m${}^2$.
2. Dos triángulos: $2\cdot 1,7925=3,585$ m${}^2$.
3. Dos rectángulos: $2\cdot 9,1802=18,3604$ m${}^2$.
4. Total: $15,04+3,585+18,3604=36,985\dots \approx 37,0{\text{ m}}^2$.

Resultado: $37,0{\text{ m}}^2$

e) El volumen de un prisma es el área de la base por la altura (aquí, la longitud $SR$):

$$V=1,7925\cdot 4,7=8,4249\dots \approx 8,42{\text{ m}}^3.$$

Resultado: $8,42{\text{ m}}^3$

f)

(i) La altura de la tienda es $TM=1,1203\dots \approx 1,12$ m (calculada en b).

(ii) Los dos triángulos de los extremos son iguales, así que $V$ está a la misma altura que $T$ sobre el punto medio $N$ de $QR$, y $MN=SR=4,7$ m. El triángulo $VNM$ es rectángulo en $N$, con $VN=1,1203$ m:

$$VM=\sqrt{4,7^2+1,1203^2}=4,8317\dots \approx 4,83\text{ m}.$$

Resultado: (i) $1,12$ m; (ii) $4,83$ m

g) El ángulo de $VM$ con la base es el ángulo $VMN$ del triángulo anterior:

$$\tan \widehat{VMN}=\frac{VN}{MN}=\frac{1,1203}{4,7}\Rightarrow \widehat{VMN}=13,4^{\circ }.$$

Resultado: a) $ST\approx 1,95$ m; b) $1,79{\text{ m}}^2$; c) $9,18{\text{ m}}^2$; d) $37,0{\text{ m}}^2$; e) $8,42{\text{ m}}^3$; f) (i) $1,12$ m, (ii) $4,83$ m; g) $13,4^{\circ }$

a) Teorema del coseno en el triángulo $ABC$ (conocemos dos lados y el ángulo que forman):

$$A{C}^2=30^2+24^2-2\cdot 30\cdot 24\cos 35^{\circ }=1476-1440\cos 35^{\circ }=296,4\dots$$

$$AC=\sqrt{296,4\dots }=17,2169\dots \approx 17,2\text{ cm}.$$

Resultado: $AC\approx 17,2$ cm

b) Área con dos lados y el ángulo comprendido:

$$A=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 24\cdot \sin 35^{\circ }=360\sin 35^{\circ }=206,487\dots \approx 206{\text{ cm}}^2.$$

Resultado: $206{\text{ cm}}^2$

c)

1. Volumen de un bloque = área de la base por la altura del prisma ($CD=25$ cm): $206,487\dots \cdot 25=5162,19\dots$ cm${}^3$.
2. Volumen de $2600$ bloques: $2600\cdot 5162,19\dots =13421689\dots$ cm${}^3$.
3. Redondeando a tres cifras significativas: $13400000$ cm${}^3$. Queda comprobado.

Resultado: $13400000{\text{ cm}}^3$

d) Movemos la coma siete lugares hacia la izquierda:

$$13400000=1,34\times 10^7.$$

Resultado: $1,34\times 10^7$

e) La superficie total son dos triángulos iguales (las bases) y tres rectángulos de altura $25$ cm:

1. Dos triángulos: $2\cdot 206,487=412,975$ cm${}^2$.
2. Los tres rectángulos suman (perímetro de la base) $\cdot 25=(30+24+17,2169)\cdot 25=1780,42$ cm${}^2$.
3. Total: $412,975+1780,42=2193,4\dots \approx 2190{\text{ cm}}^2$ (3 cifras significativas).

Resultado: $2190{\text{ cm}}^2$

f)

1. Superficie de los $2600$ bloques: $2600\cdot 2193,4=5702832$ cm${}^2$.
2. Pasamos a m${}^2$ (1 m${}^2$ = $10000$ cm${}^2$): $570,28$ m${}^2$.
3. Litros de pintura: $\frac{570,28}{22}=25,92\dots \approx 25,9$ litros.

Resultado: a) $17,2$ cm; b) $206{\text{ cm}}^2$; c) $13400000{\text{ cm}}^3$; d) $1,34\times 10^7$; e) $2190{\text{ cm}}^2$; f) $25,9$ litros

a)

(i) $O$ es el centro de la base y $M$ el punto medio de un lado, así que $OM$ es la mitad del lado: $OM=\frac{230,4}{2}=115,2$ m.

(ii) El triángulo $VOM$ es rectángulo en $O$, con $VO=146,5$ y $OM=115,2$:

$$VM=\sqrt{146,5^2+115,2^2}=186,37\dots \approx 186\text{ m}.$$

Resultado: (i) $115,2$ m; (ii) $186$ m

b) $VM$ es perpendicular a $BC$ (la cara $VBC$ es un triángulo isósceles y $M$ es el punto medio de su base), luego es la altura del triángulo:

$$A=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot VM=\frac{1}{2}\cdot 230,4\cdot 186,37=21469,7\dots \approx 21500{\text{ m}}^2.$$

Resultado: $21500{\text{ m}}^2$

c) Volumen de una pirámide = $\frac{1}{3}\cdot$ (área de la base) $\cdot$ altura:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 230,4^2\cdot 146,5=2592276\dots \approx 2590000{\text{ m}}^3.$$

Resultado: $2590000{\text{ m}}^3$

d) El ángulo de $VM$ con la base es $\widehat{VMO}$ del triángulo rectángulo $VOM$:

$$\tan \widehat{VMO}=\frac{VO}{OM}=\frac{146,5}{115,2}\Rightarrow \widehat{VMO}=51,82{\dots }^{\circ }\approx 52^{\circ }\text{(2 cifras significativas)}.$$

Resultado: $\widehat{VMO}\approx 52^{\circ }$

e) $O$, $M$ y $P$ están alineados sobre el suelo, así que $\widehat{VMP}$ y $\widehat{VMO}$ son suplementarios:

$$\widehat{VMP}=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }.$$

Resultado: $128^{\circ }$

f)

1. En el triángulo $VMP$ el tercer ángulo es $\widehat{MVP}=180^{\circ }-128^{\circ }-27^{\circ }=25^{\circ }$.
2. Teorema del seno: $\frac{x}{\sin 25^{\circ }}=\frac{VM}{\sin 27^{\circ }}$.
3. Despejamos:

$$x=\frac{186,37\cdot \sin 25^{\circ }}{\sin 27^{\circ }}=173,5\dots \approx 173\text{ m}.$$

Resultado: $x\approx 173$ m

g)

1. En el triángulo rectángulo $VOP$: $VP=\frac{VO}{\sin 27^{\circ }}=\frac{146,5}{\sin 27^{\circ }}=322,69\dots$ m.
2. En el triángulo $VQP$ conocemos $QP=50$, $VP=322,69$ y el ángulo $27^{\circ }$ en $P$. Teorema del coseno:

$$Q{V}^2=322,69^2+50^2-2\cdot 322,69\cdot 50\cos 27^{\circ }=77879\dots$$

$$QV=279,07\dots \approx 279\text{ m}.$$

Resultado: a) (i) $115,2$ m, (ii) $186$ m; b) $21500{\text{ m}}^2$; c) $2590000{\text{ m}}^3$; d) $52^{\circ }$; e) $128^{\circ }$; f) $173$ m; g) $279$ m

a)

(i) Un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales, de $60^{\circ }$: $\widehat{BAF}=60^{\circ }$.

(ii) El triángulo tiene dos lados de 6 cm que forman un ángulo de $60^{\circ }$: $$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6\cdot \mathrm{sen}60^{\circ }=9\sqrt{3}\approx 15,6{\text{cm}}^2.$$

Resultado: a) i) $60^{\circ }$; ii) $15,6$ cm${}^2$

b) La superficie total son los dos extremos triangulares más las tres caras rectangulares (cada una de $6\times 23$ cm):

$$A_T=2\cdot 15,588+3\cdot (6\cdot 23)=31,18+414\approx 445{\text{cm}}^2.$$

Resultado: $A_T\approx 445$ cm${}^2$

c)

1. Volumen: área de la base por longitud, $V=15,588\cdot 23\approx 358,5$ cm${}^3$.
2. Peso: $358,5\cdot 1,5\approx 538$ g.

Resultado: peso $\approx 538$ g

d) Sea $\theta$ el ángulo entre los lados de 6 cm y 4 cm; el lado opuesto es el de 7 cm. Teorema del coseno:

$$7^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{36+16-49}{48}=\frac{3}{48}=0,0625.$$

$$\theta =\arccos (0,0625)\approx 86,4^{\circ }.$$

Resultado: $\theta \approx 86,4^{\circ }$

e)

1. Área del extremo: $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \mathrm{sen}86,417^{\circ }\approx 11,98$ cm${}^2$ (también sale con la fórmula de Herón).
2. Volumen de la barra: $\frac{500}{1,5}\approx 333,3$ cm${}^3$.
3. Longitud: $\ell =\frac{V}{\text{aˊrea}}=\frac{333,3}{11,98}\approx 27,8$ cm.

Resultado: a) i) $60^{\circ }$; ii) $15,6$ cm${}^2$; b) $445$ cm${}^2$; c) $538$ g; d) $86,4^{\circ }$; e) $27,8$ cm

a) El ángulo entre una cara triangular y la base se mide en el plano perpendicular a la arista común, pasando por la altura. Para la cara $ECD$ (arista $CD$), $G$ es el punto medio de $CD$, $EG$ es la altura de la cara y $MG$ es perpendicular a $CD$ dentro de la base. El triángulo pedido es $EMG$, rectángulo en $M$, con el ángulo de $70^{\circ }$ en $G$ (es decir, $\widehat{EGM}=70^{\circ }$).

Resultado: triángulo $EMG$, recto en $M$, con $\widehat{EGM}=70^{\circ }$

b) $M$ es el centro del cuadrado, así que $MG$ es la mitad del lado: $MG=5$ cm. En el triángulo $EMG$:

$$\tan 70^{\circ }=\frac{EM}{MG}\Rightarrow EM=5\tan 70^{\circ }\approx 13,737\approx 13,7\text{ cm}.$$

Resultado: altura $=13,7$ cm

c) i) En el mismo triángulo:

$$\cos 70^{\circ }=\frac{MG}{EG}\Rightarrow EG=\frac{5}{\cos 70^{\circ }}\approx 14,6\text{ cm}.$$

(ii) $EG$ es la altura del triángulo isósceles $ECD$ sobre su base $CD=10$, luego divide el ángulo en dos iguales. En el triángulo $EGD$, recto en $G$, con $GD=5$ y $EG=14,619$:

$$\tan \frac{\widehat{DEC}}{2}=\frac{5}{14,619}\Rightarrow \frac{\widehat{DEC}}{2}\approx 18,88^{\circ }\Rightarrow \widehat{DEC}\approx 37,8^{\circ }.$$

Resultado: i) $EG\approx 14,6$ cm; ii) $\widehat{DEC}\approx 37,8^{\circ }$

d) El área total es la de la base más la de las cuatro caras triangulares iguales (base $10$, altura $EG$):

$$A=10^2+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 10\cdot 14,619=100+292,4\approx 392{\text{ cm}}^2.$$

Resultado: $A\approx 392$ cm${}^2$

e) $$V=\frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 100\cdot 13,737\approx 458{\text{ cm}}^3.$$

Resultado: a) triángulo $EMG$ con $70^{\circ }$ en $G$; b) $13,7$ cm; c) i) $14,6$ cm; ii) $37,8^{\circ }$; d) $392$ cm${}^2$; e) $458$ cm${}^3$