IB Aplicaciones e Interpretación NM · Geometría en 3D · Apartado 1 de 3

Coordenadas, distancia y punto medio en 3D

3 ejemplos resueltos · Por Álvaro López

Idea clave

Pasar del plano al espacio es añadir una tercera coordenada: la altura. Con ella puedes situar un dron, un globo o la esquina de una habitación, medir la distancia entre dos de esos puntos con una versión ampliada de Pitágoras y encontrar el punto que queda justo a mitad de camino. En el examen del IB estos cálculos suelen abrir un problema de contexto, y después se pide un ángulo con trigonometría.

Los tres ejes y las coordenadas de un punto

El espacio se describe con tres rectas perpendiculares entre sí que se cortan en el origen $O$ : el eje $x$ , el eje $y$ y el eje $z$ . Por convención, $x$ e $y$ forman el «suelo» y $z$ marca la altura. En cada eje se elige una escala, y las tres pueden ser distintas.

Cada pareja de ejes determina un plano, llamado plano coordenado: el $O X Y$ (el suelo, donde $z = 0$ ), el $O X Z$ (donde $y = 0$ ) y el $O Y Z$ (donde $x = 0$ ). Estos tres planos reparten el espacio en ocho octantes, igual que los dos ejes del plano lo reparten en cuatro cuadrantes. Cada octante corresponde a una combinación de signos de $x$ , $y$ y $z$ .

El orden importa: $(2, 5, 1)$ y $(5, 2, 1)$ son puntos distintos. Para dibujar $P$ se avanza $x$ sobre el eje $x$ , desde ahí $y$ en la dirección del eje $y$ y por último $z$ hacia arriba. Esos tres tramos son las aristas de una caja cuyas esquinas opuestas son $O$ y $P$ .

Ejes x, y, z y un punto P con sus tres coordenadas, apoyado en una caja

Un punto con una coordenada igual a cero está en un plano coordenado: $(3, 4, 0)$ está sobre el suelo y $(0, - 2, 5)$ está en el plano $O Y Z$ . Si dos coordenadas son cero, el punto está sobre un eje: $(0, 0, 7)$ está en el eje $z$ .

Distancia entre dos puntos

Sean $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ y $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . El segmento $A B$ es la diagonal de una caja cuyas aristas miden $∣ x_{2} - x_{1} ∣$ , $∣ y_{2} - y_{1} ∣$ y $∣ z_{2} - z_{1} ∣$ . La longitud sale de aplicar Pitágoras dos veces:

En el suelo, la diagonal $s$ de la base cumple $s^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Esa diagonal y la arista vertical son los catetos de un segundo triángulo rectángulo cuya hipotenusa es $A B$ : $d^{2} = s^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$ .

Como en el plano, el orden de los puntos no importa, porque las diferencias van al cuadrado, y los signos negativos se escriben entre paréntesis. En un problema de contexto el resultado queda en las unidades de la escala (metros, kilómetros...), y si no se indica otra cosa se da con 3 cifras significativas.

Un caso útil es la distancia de un punto $P (x, y, z)$ al origen: $d (O, P) = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

Punto medio de un segmento

El punto medio $M$ de $A B$ está a la misma distancia de los dos extremos. En cada eje queda a la mitad del recorrido, de modo que cada coordenada de $M$ es la media de las coordenadas correspondientes.

Funciona en los dos sentidos: si conoces $M$ y un extremo, el otro se despeja con $x_{2} = 2 x_{M} - x_{1}$ , $y_{2} = 2 y_{M} - y_{1}$ y $z_{2} = 2 z_{M} - z_{1}$ .

Ángulos en el espacio

Cuando hay que medir un ángulo entre dos segmentos del espacio, lo normal es buscar un triángulo rectángulo que contenga ese ángulo. Casi siempre aparece al combinar un segmento con su proyección sobre el suelo: si $K (a, b, h)$ es un punto en el aire, su proyección es $D (a, b, 0)$ , el segmento $K D$ es vertical y mide $h$ , y el triángulo $O K D$ tiene el ángulo recto en $D$ . Con él se aplica Pitágoras para las longitudes y seno, coseno o tangente para el ángulo. El ángulo de elevación de $K$ visto desde $O$ es el que forma $O K$ con el suelo, es decir, el ángulo $K O D$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 Básico

Dos drones sobre un campo

En un sistema de ejes con 1 unidad igual a 1 m, un dron de reparto se encuentra en $A (2, - 3, 4)$ y otro dron, que le sigue, en $B (8, 1, 16)$ .

a) Calcula la distancia entre los dos drones.

b) Halla las coordenadas del punto medio del segmento $A B$ , donde se coloca una baliza de aviso.

Solución

a) Se aplica la fórmula de la distancia en el espacio: $d = (8 - 2)^{2} + (1 - (- 3))^{2} + (16 - 4)^{2} = 6^{2} + 4^{2} + 1 2^{2} = 196 = 14 m$

b) Cada coordenada del punto medio es la media de las de los extremos: $M (\frac{2 + 8}{2}, \frac{- 3 + 1}{2}, \frac{4 + 16}{2}) = (5, - 1, 10)$

Ejemplo 2 Medio

Un punto en el octante de los negativos

En un sistema de ejes con 1 unidad igual a 1 m se coloca un sensor en el punto $P (- 4, 3, - 12)$ .

a) Calcula la distancia de $P$ a cada uno de los planos coordenados $O Y Z$ , $O X Z$ y $O X Y$ , en este orden.

b) Calcula la distancia de $P$ al origen.

c) El punto $Q (- 4, 3, 12)$ es el simétrico de $P$ respecto al plano $O X Y$ . Halla el punto medio de $P Q$ e indica en qué plano coordenado está.

Solución

a) La distancia a cada plano coordenado es el valor absoluto de la coordenada que no está en el plano:

al plano $O Y Z$ (donde $x = 0$ ): $∣ - 4∣ = 4$ m;
al plano $O X Z$ (donde $y = 0$ ): $∣3∣ = 3$ m;
al plano $O X Y$ (donde $z = 0$ ): $∣ - 12∣ = 12$ m.

b) Con la fórmula de la distancia desde el origen: $d (O, P) = (- 4)^{2} + 3^{2} + (- 12)^{2} = 16 + 9 + 144 = 169 = 13 m$

c) El punto medio es $M (\frac{- 4 + ( - 4 )}{2}, \frac{3 + 3}{2}, \frac{- 12 + 12}{2}) = (- 4, 3, 0)$ Como su tercera coordenada es 0, está en el plano $O X Y$ : es la proyección de $P$ sobre el suelo.

Ejemplo 3 Difícil

Un globo atado con una cuerda

Una persona está en el origen $O (0, 0, 0)$ de un sistema de ejes con 1 unidad igual a 1 m: los ejes $x$ e $y$ están en el suelo y el eje $z$ es vertical. Sujeta un globo $K$ con una cuerda tensa, recta y de 25 m de longitud. El globo está justo encima del punto $D (9, 12, 0)$ del suelo. Un dron $B$ se encuentra en $B (- 3, 0, 8)$ .

a) Halla las coordenadas de $K$ .

b) Calcula el ángulo de elevación de la cuerda, es decir, el ángulo $K O D$ , en grados.

c) Calcula la distancia entre el globo y el dron.

d) Halla el punto medio del segmento $K B$ .

Solución

a) Como $K$ está sobre $D$ , sus dos primeras coordenadas son las de $D$ : $K (9, 12, h)$ . El triángulo $O K D$ tiene el ángulo recto en $D$ . Su cateto horizontal es $O D = 9^{2} + 1 2^{2} + 0^{2} = 225 = 15 m$ y la hipotenusa es la cuerda, $O K = 25$ . Por Pitágoras: $h^{2} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 625 - 225 = 400 \Rightarrow h = 20$ Así que $K (9, 12, 20)$ . (Se comprueba con la distancia: $81 + 144 + 400 = 25$ .)

b) En el triángulo rectángulo $O K D$ , el lado opuesto al ángulo es $K D = 20$ y la hipotenusa es 25: $sen K O D = \frac{20}{25} = 0, 8 \Rightarrow K O D = arcsen (0, 8) = 53, 1^{\circ}$

c) Con $K (9, 12, 20)$ y $B (- 3, 0, 8)$ : $K B = (- 3 - 9)^{2} + (0 - 12)^{2} + (8 - 20)^{2} = 144 + 144 + 144 = 432 = 20, 8 m$

d) El punto medio es $M (\frac{9 + ( - 3 )}{2}, \frac{12 + 0}{2}, \frac{20 + 8}{2}) = (3, 6, 14)$

En el examen: en un apartado como el a) se puntúa reconocer el triángulo rectángulo con el ángulo recto en el suelo y plantear Pitágoras; en el b) hay que escribir la razón trigonométrica con los lados usados y tener la CPG en grados. Guarda $432$ sin redondear hasta el final.

Errores típicos

Resumen

Un punto del espacio es una terna $P (x, y, z)$ y los tres planos coordenados dividen el espacio en ocho octantes. La distancia de $P$ a cada plano es el valor absoluto de la coordenada que no está en él.
Distancia: $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$ (Pitágoras dos veces). Al origen: $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .
Punto medio: $M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2}, \frac{z _{1} + z _{2}}{2})$ . Si conoces $M$ y un extremo, el otro es $2 M - extremo$ coordenada a coordenada.
Para un ángulo, busca un triángulo rectángulo (casi siempre una vertical y su proyección sobre el suelo) y usa seno, coseno o tangente, con la CPG en grados.
Haz siempre un dibujo, usa paréntesis con los números negativos, no redondees los valores intermedios y da las unidades.

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